La potència d’un punt P respecte a una circumferència és: \(\overline{PA} \cdot \overline{PB}=d²-r²\). El punt pot ser exterior, interior o de la circumferència.
Si ens donen un punt i l’equació d’una circumferència, per a calcular al distància d haurem de trobar l’equació de la recta i els punts d’intersecció amb la circumferència fent un sistema d’equacions no lineals. També haurem de recordar els coneixements de vectors en el pla per a calcular les distàncies.
El procediment que hem de seguir és:
Trobem el centre i el radi de la circumferència i determinem si el punt és exterior, interior o de la circumferència.
Calculem l’equació de la recta que passa pel punt P i el punt del centre de la circumferència.
Trobem els punts d’intersecció de la circumferència i la recta.
Calculem la distància d i la potència de P a la circumferència.
L’eix radical de dues circumferències és el lloc geomètric dels punts que tenen la mateixa potència respecte a cada circumferència. És una recta perpendicular a la recta que uneix el centres de cada circumferència.
Una paràbola s’obté tallant de forma obliqua una superfície cònica.
5.1 Elements de la paràbola
La distància del focus a la directriu s’anomena paràmetre.
L’eix és la recta que passa pel focus i és perpendicular a la directriu.
El vèrtex és el punt d’intersecció de la paràbola amb l’eix.
5.2 Equació general
\(
Ax²+Bx+Cy+D=0\\
Ay²+Bx+Cy+D=0
\)
Separarem els termes amb \(x\) dels termes amb \(y\) i dividirem tota l’equació pel coeficient del terme quadrat.
Farem el quadrat perfecte del terme quadrat i susbstituirem l’expressió calculada a l’equació anterior.
Calcularem l’equació de la paràbola transformant l’expressió del punt anterior en una la forma \((y-y_0)²=\pm 2p(x-x_0)\), o bé de la forma \((x-x_0)²=\pm 2p(y-y_0)\) extraent el factor comú del coeficient \( x\) o \(y\) de primer grau de la dreta de la igualtat.
Si l’equació té un terme \(y²\), la transformarem en una de la primera forma. Si té un terme \(x²\), la transformarem en una equació de la segona forma.
Definirem els elements de la paràbola i en calcularem un parell de punts per a poder dibuixar-la.
La geometria (del grec, “mesura de la Terra) és la parts de les matemàtiques que estudia les relacions entre els elements que la formen (punt, recta, pla, angles i figures) i la manera de calcular-les.
Els elements de la geometria analítica a l’espai són el punt, la recta i el pla i els angles.
El producte vectorial de dos vectors és un altre vector perpendicular al pla que formen aquests dos vectors. El sentit del vector del producte vectorial es pot determinar amb la regla de la mà dreta.
El mòdul del vector resultant del producte vectorial de dos vectors representa l’àrea tancada per aquests vectors.
El producte vectorial no és commutatiu.
Per a calcular el producte vectorial de dos vectors farem el següent determinant:
El producte mixt de tres vectors \([u,v,w]\) s’obté multiplicant escalarment el primer vector pel producte vectorial del segon i el tercer. També es pot calcular fent el determinat dels tres vectors. Representa el volum tancat per aquests tres vectors.
Per a definir tots els punts d’un pla ens calen tres punts o dos vectors i un punt.
Si \(O\) és l’origen de coordenades del sistema de referència, \(\vec u_1, \vec u_2\) són els dos vectors del pla de referència, \(P\) és un punt del pla de referència i \(X\) és el punt que volem definir, l’equació vectorial del pla amb dos vectors i un punt és: \(\vec {OX}=\vec{OP}+\vec{PX}\).
Podem estudiar la posició relativa de rectes i plans comparant-ne, o bé els punts i vectors, o bé comparant els rangs de les matrius formades amb les equacions generals de les rectes.
Si tenim l’equació general d’una recta però ens cal un vector i un punt, haurem de calcular-ne les equacions vectorial, paramètrica o continua.
Per a calcular l’equació paramètrica d’una recta si en tenim la general, farem:
Assignarem a alguna de les variables, per exemple la zeta, el paràmetre \(\lambda\). Aquesta variable (o el paràmetre \(\lambda\)) serà la variable independent del sistema d’equacions indeterminat.
Resoldrem el sistema d’equacions indeterminat eliminant la \(y\) per a obtenir \(x\) en funció de \(z\). També podem resoldre els passos 2 i 3 resolent el sistema d’equacions per Gauss o Crammer.
Agruparem les equacions resultants i obtenim l’equació paramètrica de la recta. Fent les operacions habituals de l’apartat 3 podem obtenir qualsevol altre equació de la recta.
Per a calcular l’equació general d’una recta si en tenim la paramètrica o continua farem com en l’exemple anterior els passos habituals per obtenir les diferents equacions d’una recta:
Per a calcular sols el vector d’una recta si en tenim l’equació general farem el producte vectorial del vectors normals de les equacions generals dels plans:
Si les rectes són coincidents, els vectors directors seran paral·lels i tindran els mateixos punts.
Si són paral·leles, els vectors directors seran paral·lels però tindran punts diferents.
Si les rectes són secants, els vectors directors no seran paral·lels i el determinant \(D\) dels dos vectors i el vector \((x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\) serà zero.
Si les rectes s’encreuen, els vectors directors no seran paral·lels i el determinant \(D\) dels dos vectors i el vector \((x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\) serà diferent de zero:
Per a calcular la projecció d’una recta sobre un pla, fem:
Calculem el vector normal del pla que conté la recta (\(\pi_2\)) fent el producte vectorial del vector de la recta i el vector normal del pla de projecció (tots dos són vectors del pla que conté la recta).
Calculem el terme independent \(D\) de \(\pi_2\) usant el punt de la recta que també és un punt d’aquest pla.
L’equació de la recta projectada és la formada per les equacions generals dels dos plans.
5.2.2 Recta perpendicular a dues rectes que s’encreuen
El procediment és:
Expressem genèricament un punt de cada recta (\(P_r,P_s\)) i calculem el vector entre aquests dos punts (\(\vec {P_rP_s}\)).
Aquest vector ha de ser perpendicular a les rectes que s’encreuen, per tant el producte escalar amb els vectors de les rectes ha de ser zero.
Resolent el sistema d’equacions trobem el valor dels paràmetres de cada recta que fan que la recta \(t:\) sigui perpendicular i en calculem un vector perpendicular.
Fem passar la recta perpendicular \(t:\) per un dels punts del vector \(P_r,P_s\) i tenim l’equació de la recta perpendicular a dues rectes que s’encreuen.
5.2.3 Recta que passa per un punt que talla a dues rectes
És la recta formada per cada un dels dos plans \(\pi_1,\pi_2\) que contenen a \(r,s\) respectivament i que passa per \(P\). Per a calcular l’equació d’aquesta recta hem de trobar les equacions dels plans que contenen a \(r:, s:, \; i \; P\):
Calculem el vector normal de \(\pi_1\) fent el producte vectorial del vector de la recta \(r:\) i el vector \(\vec {PP_r}\).
Calculem el vector normal de \(\pi_2\) fent el producte vectorial del vector de la recta \(s:\) i el vector \(\vec {PP_s}\).
Calculem els plans \(\pi_1,\pi_2\) amb les vectors normals i el punt \(P\).
L’equació de la recta és la formada per les equacions generals dels dos plans.
Per a determinar la posició relativa d’una recta i un pla comparant punts i vectors usarem les equacions vectorial, paramètrica o continua de la recta i l’equació general del pla. Per fer-ho amb rangs, ens calen les equacions generals de la recta i del pla.
Si la recta està continguda en el pla, el producte escalar del vector de la recta i el normal del pla serà zero i els punts de la recta són punts del pla. Per a saber si un punt de la recta és també un punt del pla el substituirem a l’equació del pla:
Exemple:
\(
r:
\begin{cases}
x=2-5\lambda\\
y=3+3\lambda\\
z=1+\lambda
\end{cases}\\
v_r(-5,3,1), \; P_r(2,3,1)\\[1cm]
\pi:2x+4y-2z-14=0\\
\vec n(2,4,-2)\\[1cm]
\vec v_r \cdot \vec n=(-5,3,1) \cdot (2,4,-2)=-5 \cdot 2+3 \cdot 4-1 \cdot 2=-10+12-2=0\\
\pi(2,3,1)=2 \cdot 2+4 \cdot 3 -2 \cdot 1-14=4+12-2-14=0\\[1cm]
\text{El pla i la recta són paral·lels i la recta està continguda en el pla.}
\)
Si la recta i el pla són paral·lels, el producte escalar dels dos vectors serà zero, però els punts de la recta i del pla són diferents:
\(
r:
\begin{cases}
x=2-5\lambda\\
y=4+3\lambda\\
z=3+\lambda
\end{cases}
\Rightarrow r:
\begin{cases}
3x+5y-26=0\\
x+5z-17=0
\end{cases}\\
\pi:4x+6y+2z-28=0\\[1cm]
\vec v_r(-5,3,1), \; P_r(2,4,3)\\
\vec n_\pi(4,6,2)\\[1cm]
\vec v_r \cdot \vec n_\pi=(-5,3,1) \cdot (4,6,2)=-20+18+2=0 \text{ (Recta i pla són paral·lels)}\\
\pi(2,4,3):4 \cdot 2+6 \cdot 4+2 \cdot 3-28=10 \text{ (Els punts de la recta no śon del pla)}\\[1cm]
\text{Per tant, la recta i el pla són paral·lels}\\[1cm]
\text{Matriu A}=\begin{bmatrix}3 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}\\
\text{Matriu A*}=\begin{bmatrix}3 & 5 & 0 & 26 \\ 1 & 0 & 5 & 17 \\ 4 & 6 & 2 & 28\end{bmatrix}\\
\text{Rang A}=2 \\
\text{Rang A*}=3 \\
\text{Per tant, la recta i el pla són paral·lels}
\)
Si el pla i la recta són secants , la recta tallarà el pla en un punt (Q). Q serà el punt que resulta de fer el sistema d’equacions generals de la recta i el pla.
Per a determinar la posició relativa de dos plans determinarem els rangs de les equacions generals del plans, o bé compararem els vectors i els punts de cada pla:
Un pla bisector és un pla que passa per l’aresta d’un angle dièdric i el divideix en dos angles iguals. Un angle dièdric és una regió de l’espai compresa entre dos semiplans que tenen la mateixa recta, anomenada aresta de l’angle dièdric.
Per a calcular els dos plans bisectors que formen l’angle dièdric, farem:
La distància \(d\) mínima o perpendicular d’un punt \(P\) a un pla (o a una recta) és el mòdul del vector projecció entre un punt del pla (origen) i el punt P (extrem).
El signe del vector distància és positiu si el sentit d’aquest vector és el mateix que el del vector normal del pla, i és negatiu si els sentits d’ambdós vectors són contraris.
5.5 Tres plans
Per a determinar la posició relativa de tres plans hem d’usar les equacions generals dels plans i calcular el rang de la matriu de coeficients i de l’ampliada. En alguns casos, també hem de tenir en compte els vectors directors dels plans per tal de no confondre dues posicions relatives amb el mateix resultat quan comparem els rangs:
Tres plan coincidentsParal·lels dos a dosSecants i diferentsDos de coincidents i un de secantParal·lels i dos de coincidentsSecants dos a dosDos de paral·lels i un de secantSecants en un punt
6. Distàncies i angles
6.1 Distàncies
6.1.1 Punt-recta
La distància mínima és la distància perpendicular entre el punt i la recta.
L’angle entre la recta i el pla és \(90-\theta\). Aquest angle també es pot calcular directament fent \(\sin \theta=\frac {\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|}\).
6.2.3 Pla-pla
Es calcula de la mateixa manera que l’angle entre dues rectes l’angle_entre dues rectes fent servir els vectors normals dels plans.
Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.
Una recta és un conjunt de punt infinits en línia. Podem definir una recta amb dos punts o amb un punt i un pendent.
punt-punt
punt -pendent
1.2 Equacions de la recta
L’equació d’una recta es pot expressar de diferents maneres. Farem sevir l’equació que més ens convingui per tal de fer els càlculs més fàcilment o segons les dades disponibles.
1.3 Equació vectorial
L’equació vectorial de la recta es dedueix de la definició d’una recta amb dos punts: si a un punt d’origen de la recta que volem definir li sumem un nombre determinat de vegades (\(t\)) un dels vectors directors de la recta podem trobar-ne qualsevol altre punt.
\((x,y)=(x_0,y_0) + t \cdot (u,v)\)
1.4 Equació paramètrica
Igualant els components \(x\) i \(y\) de l’equació vectorial:
\(
x=x_0+t \cdot u\\
y=y_0+ t \cdot v
\)
1.5 Equació contínua
Aïllant el paràmetre \(t\) de cadascuna de les equacions paramètriques anteriors:
\(
t=\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}
\)
1.6 Equació general o implícita
Surt de fer el producte d’extrems i de mitjos de l’equació contínua:
El vector \(\vec{n}=(A,B)\) és un dels dos vectors perpendiculars de la recta. Per a calcular el vector perpendicular d’una recta tan sols hem de permutar els components del vector i canviar-ne un de signe.
Els vectors perpendiculars de dues rectes formen el mateix angle que els vectors directors.
O bé dues rectes són paral·leles, o bé són secants. Per a determinar si dues rectes son paral·leles o coincidents (paral·lelisme) o secants (amb un angle qualsevol o perpendiculars) resoldrem el sistema d’equacions lineals.
rectes perpendiculars (t:, s:) o secants amb un angle diferent de 90º (r:,s:).Rectes parale·les (r:, s:) o coincidents (r:, t:)
Una integral indefinida són totes les funcions primitives \(F(x)\) d’una funció \(f(x):\) \(\int f(x) \enspace dx=F(x)+C\). Les diferents funcions es diferencien una de l ‘altra tan sols per un paràmetre \(C\).
A la integral d’una funció derivada (primitiva) li hem d’afegir una constant \(C\) perquè la derivada d’una constant és zero, i quan derivem la primitiva aquesta constant es perd. Aquest paràmetre és el deplaçament vertical de la funció.
3. Integrals immediates
Són les integrals que s’obtenen de les regles de derivació invertides:
Les integrals obtingudes d’aquesta manera formen la taula d’integrals.
3.1 Taula d’integrals immediates
f (x)
f(u)
F(x)
F(u)
\(\int dx\enspace\)
\(\int du\)
\(x+C\)
\(u+C\)
\(\int k \enspace dx\)
\(\int k \enspace du\)
\(kx+C\)
\(ku+C\)
\(\int {\frac{dx}{x}} \enspace dx\)
\(\int {\frac{du}{u}} \enspace dx\)
\(\ln x+C\)
\(\ln u+C\)
\(\int e^x \enspace dx\)
\(\int e^u \enspace du\)
\(e^x+C\)
\(e^u+C\)
\(\int a^x \enspace dx\)
\(\int a^u \enspace du\)
\(\frac{a^x}{\ln a}+C\)
\(\frac{a^u}{\ln a}+C\)
\(\int \sin x \enspace dx\)
\(\int \sin u \enspace du\)
\(-\cos x+C\)
\(-\cos u+C\)
\(\int \cos x \enspace dx\)
\(\int \cos u \enspace du\)
\(\sin x+C\)
\(\sin u+C\)
\(\int \tan x \enspace dx\)
\(\int \tan u \enspace du\)
\(-\ln |\cos x |+C\)
\(-\ln |\cos u |+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x²}} \enspace dx\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{1-u²}} \enspace du\)
\(\arcsin x+C\)
\(\arcsin u+C\)
\(\int \frac{-1}{\sqrt{1-x²}} \enspace dx\)
\(\int \frac{-1}{\sqrt{1-u²}} \enspace du\)
\(\arccos x+C\)
\(\arccos u+C\)
\(\int \frac{1}{1+x²} \enspace dx\)
\(\int \frac{1}{1+u²} \enspace du\)
\(\arctan x+C\)
\(\arctan u+C\)
La resolució és immediata, la integral d’una de les funcions derivades de la columna esquerra és la funció primitiva que li correspon de la columna de la dreta.
Per la regla de la cadena de derivació de funcions compostes, la integral ha d’encloure \(du\) la derivada d’ \(u\):
Si hem de resoldre una integral que no és immediata, haurem de descompondre-la en una o més integrals que sí són immediates i després resoldre cadascuna d’aquestes intergrals.
Els procediments de descompondre la integral original en integrals de la taula d’integrals immediates són els mètodes d’integració.
La tria del mètode d’integració dependrà de la funció que volem integrar. L’ordre de verificació del mètode d’integració més adient, és:
Integral immediata (vist en l’apartat anterior)
Integral quasi immediata
Integral per parts
Descomposició en fraccions simples
Trigonomètrica
De substitució
En aquesta entrada veurem com es fan sobretot els mètodes \(1,2,3,4\).
4.1 Integrals quasi immediates
Són integrals que no són immediates però que es poden transformar fàcilment en immediates fent algunes transformacions simples. Es resolen usant la taula d’integrals i les propietats de les integrals. De fet, es resolen per mètodes de susbstitució molt senzills.
La integral \(\int v \; du\) ha de ser més fàcil de resoldre que la integral original \(\int u \; dv\) i el terme de susbstitució \(dv\) ha d’incloure sempre el terme \(dx\) de la integral original.
Exemple:
\(
I=\int \ln x \; dx\\
u=\ln x \rightarrow du=\frac{dx}{x}\\
dv=dx \rightarrow v=\int {dx}=x\\[1cm]
I=\ln x \cdot x-\int{x \frac{dx}{x}}\\
I=\ln x \cdot x-\int{dx}\\
I=\ln x \cdot x-x\\
I=x(\ln x -1)+C\\
\)
De vegades, quan la integral està formada per les funcions \(e^u, \; \sin x/ \cos x\), haurem d’integrar per parts dues o més vegades:
\(
I=\int {e^{x} \, \sin x \; dx} \\
u=\sin x \rightarrow du= \cos x \; dx\\
dv=e^x \; dx \rightarrow v=\int {e^x \; dx}=e^x\\[1cm]
\int {u \; dv}=\int { e^x \; \sin x \; dx}\\
u \cdot v= \sin x \cdot e^x\\
\int {v \; du}=\int e^x \; \cos x \; dx\\[1cm]
I=\sin x \; e^x-\int e^x \; \cos x \; dx\\
I=\sin x \; e^x- \; I_1\\[1cm]
I_1=\int e^x \; \cos x \; dx\\
u=\cos x \rightarrow du= -\sin x \; dx\\
dv=e^x \; dx \rightarrow v=\int {e^x \; dx}=e^x\\[1cm]
I_1= \cos x \; e^x+\int{\sin x \; e^x \; dx}\\
I_1=\cos x \; e^x+I\\
I=\sin x \; e^x-(\cos x \; e^x+I)\\
2I=\sin x \; e^x-\cos x \; e^x\\
I=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}
\)
2.4 Per descomposició en fraccions simples
La descomposició en fraccions simples és el procediment invers de l’operació de suma de fraccions algebraiques.
2.4.1 Si N(x) ≥ D(x):
Quan la funció que volem integrar és una funció racional \(f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}\) i la integral no es pot resoldre més fàcilment per cap dels mètode anteriors, farem servir aquest mètode, tenint em compte que:
\(N(x)\) és el polinomi del numerador, \(D(x)\) és el polinomi del denominador, \(q(x)\) és el polinomi del quocient i \(r(x)\) és el polinomi residu de la divisió polinòmica.
Per a resoldre la integral, farem el següents passos:
Farem la divisió polinòmica \(\frac{N(x)}{D(x)}\).
Descompondrem la funció f(x) en dues o més integrals: \(q(x)+\frac{r(x)}{D(x)}\).
Com que no és possible fer la divisió polinòmica, farem la descomposició en fraccions parcials. Recordeu que la descomposició en fraccions parcials és el procediment invers de l’addició de fraccions.
La seqüència del procediment és la següent:
Exemple:
1.Factoritzarem el denominador de la funció racional fins a obtenir-ne polinomis irreductibles. Els factors seran, o bé binomis lineals (x+a), o bé polinomis quadràtics irreductibles (ax²+bx+c).
2.Transformarem la funció racional en diferents fraccions de la següent manera: la fracció que correspon a cada factor lineal (x+a) és \(\ \frac{A}{(x+a)}\) (A és un valor constant). La fracció que correspon a cada factor quadràtic (ax²+bx+c) és \(\frac{Ax+B}{(ax²+bx+c)}\). En ambdós casos, a cada factor li corresponen tantes fraccions com multiplicitat o nombre de solucions múltiples tingui el factor.
En aquest mètode es modifica la funció \(f(x)\) substituint-ne una part per una expressió algebraica perquè la funció resultant sigui més fàcil d’integrar. Aquests expressió es funció d’una nova variable independent \(g(t)\).
El mètode de substitució o de canvi de variable per a calcular primitives té el seu origen en la regla de la cadena per a derivades.
El procediment per a aquest mètode és:
1.Trobar el canvi de variable adient que transformi la funció \(f(x)\) en una altra de més senzilla. 2.Calculem la funció \(g(t)\) que resulta de fer el canvi de variable i substituim \(f(x)\) per aquesta funció. 3.Fent servir el canvi de variable, calculem i substituim \(dx\). 4.Resolem la integral \(\int {g(t) \; dt}\). 5.Desfem el canvi.
Una integral definida és la integració d’una funció \(f(x)\) en un interval del seu domini: \(A=\int_{a}^{b}{f(x)\; dx}\).
\(a,b\) són els límits inferior i superior de l’interval.
El valor \(A\) de la integral representa l’àrea tancada per la funció entre els límits \(a,b\) i l’eix \(OX\).
Si calculem l’àrea que hi ha dessota de la funció (línia carabassa) aproximant-la a la del rectangle verd, podríem fer un error important. Però si dividim l’àrea en rectangles petits, calculem l’àrea de cadascun, i en fem la suma, el resultat serà més aproximat i l’error més petit. El cálcul serà més precís com més estrets siguin els rectangles. Si l’amplada dels rectangles és infinitesimal (infinitament petita), el resultat serà pràcticament exacte ( \(dx=\Delta x \rightarrow 0\)).
3.1 Regla de Barrow
Per fer el cálcul d’una intergral definida usem la regla de Barrow (el segon teorema fonamental del càlcul:
La programació lineal és la part de les matemàtiques que determina el valor de les variables restringides \(x, y\) d’una funció \(f(x,y)\) que es vol maximitzar o minimitzar. La funció i les restriccions són funcions lineals.
(Vegeu també l’entrada Inequacions per a saber-ne més)
2. Resolució
Els passos per a resoldre els exercicis de programació lineal són:
Es llegeix atentament l’exercici per tal de plantejar l’equació de la funció i el sistema d’inequacions de les restriccions.
S’escriu l’equació de la funció que es vol optimitzar i les inequacions de les restriccions: la pregunta de l’exercici ens indica quines són les variables que hem de calcular. Per tant, assignarem les incògnites \(x,y\) a aquestes variables per a construir la taula de restriccions.
Dibuixem la regió factible delimitada pel sistema d’inequacions.
Calculem els vèrtexs de la regió factible.
Introduïm el valor de cada vèrtex a la funció i en calculem el valor.
Determinem el valor de la funció més gran (màxim) o més petit (mínim).
Exemple (PAU juny 2001):
En un taller de confecció es disposa de 80 metres quadrats de tela de cotó i de 120 metres quadrats de tela de llana. Es fan dos tipus de vestits, A i B. Per fer un vestit del tipus A es necessita 1 metre quadrat de cotó i 3 metres quadrats de llana; en canvi, per un vestit del tipus B calen 2 metres quadrats de cada tipus de tela.
a) Quants vestits de cada tipus s’han de fer per obtenir un benefici total màxim si per cada vestit (sigui del tipus que sigui) es guanyen 30 euros?
b) Quina seria la conclusió a la pregunta anterior si per cada vestit del tipus A es guanyen 30 euros i, en canvi, per cada un del tipus B només es guanyen 20 euros.
2.
Nombre de vestits A: \(x\) Nombre vestits B: \(y\)
Funció objectiu: \(f(x,y)=30x+30y\)
Taula de restriccions:
A
B
m²
Llana
\(3x\)
\(2y\)
\(\leq 120\)
Cotó
\(1x\)
\(2y\)
\(\leq 80\)
3.
Per a delimitar la regió factible, dibuixarem la funció lineal de cada inequació.
Cada funció divideix el pla en dos semiplans. Per a determinar quin és el semiplà solució, substituirem un punt qualsevol del pla en la inequació. El punt que triem no ha de ser un punt de les rectes de les inequacions. Normalment agafem el (0,0) per comoditat de càlcul.
Si es compleix la inequació, el semiplà solució és el pla al qual pertany el punt anterior, sinó és l’altre.
Farem el mateix procediment per a cada inequació. La regió comuna als semiplans és la regió factible.
La derivada d’una funció en un punt és el valor del pendent de la recta tangent en aquest punt.
El pendent o la inclinació (\(\varphi\)) de la línia de color blau (taxa de variació mitjana) és \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
Però aquesta inclinació no coincideix amb la inclinació de la recta tangent en el punt de tangència \(x_1\) (línia de color carabassa). Les inclinacions coincidiran quan la diferència entre \(x_2\) i \(x_1 \enspace (h)\) sigui infinitament petita.
Ara bé, si introduïm cadascuna de les funcions elementals en el la fórmula de la definició de derivada anterior i fem els càlculs necessaris, el resultat que obtenim és la funció derivada. La funció derivada és la funció que ens informa del pendent de la funció primitiva o sense derivar en qualsevol punt.
D’aquesta manera, obtenim la taula de derivades de les funcions elementals:
\(f(x)\)
\(f'(x)\)
\(y=k\)
\(y’=0\)
\(y=x\)
\(y’=1\)
\(y=kx\)
\(y’=k\)
\(y=x^n\)
\(y’=nx^{(n-1)}\)
\(y=\ln x\)
\(y’=\frac{1}{x}\)
\(y=e^x\)
\(y=e^x\)
\(y=\log_a x\)
\(y’=\frac{1}{x.ln a}\)
\(y=a^x\)
\(y=a^x. \ln a\)
\(y=\sin x\)
\(y’=\cos x\)
\(y=\cos x\)
\(y’=-\sin x\)
\(y=\tan x\)
\(y’=sec²x\)
\(y=\arcsin x\)
\(y’=\frac{1}{\sqrt{1-x²}}\)
\(y=\arccos x\)
\(y’=-\frac{1}{\sqrt{1-x²}}\)
\(y=\arctan x\)
\(y’=\frac{1}{1+x²}\)
2. Propietats de les derivades:
Les propietats de les derivades són:
a) Derivada d’una suma/ diferència de funcions: \([f(x)+g(x)]’=f'(x)+g'(x)\)
b) Derivada d’un producte de funcions: \([f(x) \cdot g(x)]’=f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)\)
c) Derivada d’un quocient de funcions: \([\frac{f(x)}{g(x)}]’=\frac{f'(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{[g'(x)]²}\)
3. Regla de la cadena
Si \(f(x)\) i \(g(x)\) són dues funcions derivables i \(h(x)\) és la funció composta d’aquestes dues funcions, la derivada d’ \(h(x)=f(x) ∘ g(x)= f[g(x)]\) és \(h'(x)=f'[g(x)] \cdot g'(x)\).
Per tant, la taula de derivades d’una funció composta és:
\(h(x)\)
\(h'(x)\)
\(y=k\)
\(y’=0\)
\(y=k \cdot h(x)\)
\(y’=k \cdot h'(x)\)
\(y=h(x)^n\)
\(y’=n \cdot h(x)^{n-1} \cdot h'(x)\)
\(y=\ln h(x)\)
\(y’=\frac{h'(x)}{h(x)}\)
\(y=e^{h(x)}\)
\(y=e^{h(x)} \cdot h'(x)\)
\(y=\log_a h(x)\)
\(y’=\frac{h'(x)}{h(x).ln a}\)
\(y=a^{h(x)}\)
\(y=a^{h(x)} \cdot \ln a \cdot h'(x)\)
\(y=\sin h(x)\)
\(y’=\cos h(x) \cdot h'(x)\)
\(y=\cos h(x)\)
\(y’=-\sin h(x) \cdot h'(x)\)
\(y=\tan h(x)\)
\(y’=sec²h(x) \cdot h'(x)\)
\(y=\arcsin h(x)\)
\(y’=\frac{h'(x)}{\sqrt{1-h²(x)}}\)
\(y=\arccos h(x)\)
\(y’=-\frac{h'(x)}{\sqrt{1-h²(x)}}\)
\(y=\arctan h(x)\)
\(y’=\frac{h'(x)}{1+h²(x)}\)
4. Aplicacions de les derivades
4.1 Monotonia i punts crítics d’una funció
La monotonia d’una funció es refereix al creixement i decreixement de la funció en cada interval del domini.
Els punts crítics d’una funció són els punts que anul·len la primera derivada (\(y’=0\)). Aquests punts són els possibles màxims, mínims i punts d’inflexió de la funció.
4.1.1 Monotonia, màxims i mínims
Els màxims i mínims són els punts en els quals canvia la monotonia o creixement de la funció.
El punt en el qual la monotonia de la funció canvia de decreixent a creixent, és un mínim. En aquest punt, la inclinació o pendent és zero, abans d’aquest punt és negativa i després és positiva.
El punt en el qual la monotonia de la funció canvia de creixent a decreixent, és un màxim. En aquest punt, la inclinació o pendent és zero, abans d’aquest punt és positiva i després és negativa.
Els punts d’inflexió són els punts en els quals canvia la curvatura de la funció. La curvatura indica el canvi de direcció de les tangents d’una funció entre dos punts de tangència.
La curvatura en un interval és positiva si la la gràfica de la funció està per sobre la de la recta tangent.
La curvatura en un interval és negativa quan la gràfica de la funció està per sota de la recta tangent.
Si una funció té curvatura positiva en un interval, tindrà un punt mínim en aquest interval. Si una funció té curvatura negativa en un interval, tindrà un màxim en aquest interval.
Per a determinar els punts d’inflexió, farem la segona derivada igual a zero \(y”=0\). Si hi ha un canvi de signe (concavitat) en un punt, aquest punts és un punt d’inflexió.
Una altra manera de determinar si un punt singular és un màxim o un mínim, es fent la segona derivada i determinant el signe en aquest punt: si és positiu serà un mínim i si és negatiu serà un màxim.
És trobar els valors de les variables de la funció objectiu (funció que es vol maximitzar o minimitzar) tenint en compte les restriccions (limitació dels valors de les variables).
Per a resoldre els exercicis d’optimització farem:
Analitzant la geometria plantejarem l’equació de la funció objectiu i de la restricció.
Aïllarem una de les incògnites de la restricció (la que faci els càlculs posteriors més senzills) i la substituïrem a la función objectiu.
Farem la primera derivada de la funció objetiu i la igualarem a zero.
Resoldrem l’equació que en resulti.
Substituint el resultat a la restricció trobarem el valor de la segona incògnita.
Calcularem el valor de la funció objectiu.
Determinarem si és un màxim o un mínim.
Exemple:
Hem de determinar quins valors de la longitud dels catets d’un triangle rectangle fan que l’àrea sigui màxima tenint en compte que la hipotenusa ha de fer 12 unitats de longitud:
L’anàlisi matemàtic és la part de les matemàtiques que estudia les funcions.
Una funció és una una aplicació o correspondència \(f\) entre dos conjunts numèrics \((X,Y) (f: X \mapsto Y)\).
Per a determinar el comportament d’una funció, analitzem de \(-\infty\) fins a \(+\infty\) diverses característiques que un cop interpretades conjuntament ens mostraran aquest comportament.
2. Característiques
2.1 Domini i recorregut
El domini són tots els punts del conjunt inicial \(X\) als quals els correspon un o més valors del conjunts d’arribada \(Y\) (codomini o recorregut). Quan a un punt del conjunt \(X\) no li correspon cap punt del conjunt \(Y\), aquest punt no pertany al domini de la funció (la fletxa puntejada del diagrama de Venn anterior és un punt que no pertany al domini de la funció \(f(x)\)).
Per a determinar el domini d’una funció hem d’analitzar-la per tal de esbrinar si hi ha algun punt \(x\) al qual no li correspongui cap imatge (\(y\)).
Polinòmiques: el domini de les funcions polinòmiques són tots els nombres reals \(Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R}\}\)
Racionals \(y=\frac{N(x)}{D(x)}\): el domini de les funcions racionals son tots els nombre reals excepte els que fan el polinomi del denominador zero \(Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / (D(x) \neq 0)\}\).
Irracionals \(y=\sqrt[2n]{P(x)}\): el domini de les funcions irracionals d’index de l’arrel parell, són tots els nombres reals excepte el que fan que el radicand sigui més petit que zero \(Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / (P(x) \geq 0)\}\).
Quan haguem resolt l’equació que resulta d’igualar el radicand a zero, haurem de determinar quin o quins dels intervals que divideixen la recta real són solució substituint un punt de cada interval: si la solució és negativa, l’interval no pertany al domini.
Exemples:
\(y= 4x³-2x²+8x-9\)
\( y= \frac{x²+1}{x²-1}\\ x²-1=0\\ x=\pm1\\ Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / x²-1 \neq 0)\}, \text {o bé}\\ Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / x \neq \pm1\} \)
\( y= \sqrt{x²-9}\\ x²-9=0\\ x=\pm3\\ y(-10)=\sqrt{(-10)²-9}>0\\ y(0)=\sqrt{(0)²-9}<0\\ y(+10)=\sqrt{(+10)²-9}>0\\ Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / x²-9 > 0)\}, \text {o bé}\\ Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} – (x \geq -3, x \geq 3)\} \)
Per a determinar el recorregut calcularem la funció inversa, tot i que de vegades no es pot calcular. En aquest cas, s’ha de dibuixar la funció per a poder de determinar-lo.
Per a que la funció \(x=f(y)\) existeixi, s’ha de complir que el radicand de l’arrel sigui posItiu i el denominador diferent de zero: \(\frac{1+y}{y-1} \geq 0, y-1 \neq 0\)
Per tant, la funció no té imatge en \(-1 \leq y<+1\).
Una asímptota és una recta a la qual la funció s’aproxima infinitesimalment (“infinitesimal: quantitat infinitament petita”) sense arribar a tallar-la mai. La funció i l’asímptota són tangents a l’infinit.
Quan calculem les asímptotes verticals d’una funció, haurem de calcular-ne també els límits laterals per tal de d’esbrinar el sentit de la corba (\(+\infty, -\infty)\) a cada banda de l’asímptota.
Una funció \(f(x)\) és una aplicació o correspondència entre dos conjunts numèrics: un conjunt de sortida o inicial i un conjunt d’arribada a final.
Per a què una aplicació o correspondència sigui una funció, a cada element del conjunt inicial li ha de correspondre un únic element del conjunt final:
Els elements del conjunt inicial són el domini de la funció i els elements del conjunt final són el recorregut de la funció.
Els elements del domini són la variable independent (\(x\)) i els del recorregut són la variable independent (\(y\)) de la funció.
La correspondència entre els elements del domini i el recorregut del diagrama de Venn anterior és una funció.
En canvi, la correspondència entre els elements del diagrama anterior no és una funció perquè alguns dels elements del domini no tenen imatge i hi ha almenys un element d’aquest conjunt que té dues imatges.
\(\color{red}{y=x^2}\) és una funció, però \(\color{blue}{y=\pm \sqrt x}\) no és una funció.
1.2 Funció elemental
Una funció elemental és una funció formada per funcions simples d’una variable amb operacions aritmètiques.
Les funcions elementals més simples són les irracionals (arrels), potències, exponencials, logarítmiques, polinòmiques, trigonomètriques i les trigonomètriques inverses. Simplificant, podem dir que són les funcions habituals que coneixem.
Exemple:
\( y= 4 \\ y= x^3 \\ y= ln x \\ y= e^x \\ y= \sqrt {x} \\ y= x^2-9x+3 \\ y= \frac{x^2+2x+3}{x^2+1} \\ y= sin x \\ y= arcsin x \\ y= \frac{xe^x-\log_2(1+x^2)}{\sqrt{\arctan(3x)}} \)
No hi ha una definició de funció no elemental però, per exclusió, diem que una funció no és elemental si no és una funció elemental. Una funció amb factorials, per exemple, no sería una funció elemental.
1.3 Funció composta
Una funció composta és una operació de dues funcions \(f(x), \, g(x)\) que genera una nova funció \(h(x)\): \(h(x)=f(x)∘g(x)=f[g(x)]\).
La funció \(h(x)\) és la funció resultant d’aplicar la funció \(g(x)\) a la funció \(f(x)\).
Una funció lineal \(y=m*x+n\) és una funció polinòmica de grau u, o bé zero. La gràfica de les funcions lineals és una recta. (\(a_1x+a_2x^{n-1}+a_3x^{n-2}…a_nx⁰, n \in \mathbb{R}\))
La \(m\) és el pendent o la inclinació de la recta. Si és positiva, la recta serà creixent, si és negativa serà decreixent i si és zero serà horitzontal.
La \(n\) és l’ordenada a l’origen (punt de tall amb l’eix de les \(y\) quan la \(x=0\)). L’ordenada a l’origen és el desplaçament vertical de la funció. Si és un valor positiu, estarà desplaçada cap amunt i si és negatiu cap avall.
Exemple:
\(y=2x+3, \, y= -3x, \, y=4\)
3.1.1 Propietats
El domini de la funció són tots el nombres reals (\(\mathbb{R}\).
La funció, o bé sempre creix, o bé sempre decreix o té un valor constant.
No tenen ni màxims, ni mínims, ni punts d’inflexió.
No tenen asímptotes.
No tenen ni simetria parella ni senars.
No són funcions periòdiques.
3.2 Funció proporcional
Una funció \(y=m*x+n\) és proporcional quan \(n=0\).
Exemples:
\(y=2x, \, y=-3x\)
y=2x
x
y
0
0
1
2
2
4
La variació dels valors de la variable dependent \(y\) són proporcionals a la variació de la variable independent \(x\). És per això que diem que és una funció lineal proporcional.
Les funcions lineals proporcionals sempre passen per l’origen de coordenades \((0,0)\).
3.1.2 Funció afí
En una funció lineal afí \(n \neq 0\). Per tant, no passa per l’eix de coordenades. El valor de \(n\) indica el desplaçament vertical de la funció respecte a la funció proporcional del mateix pendent.
Exemples:
\(y=2x+3, \, y=-5x-8, \, y=6x-2 \)
y=2x+3
x
y
0
3
1
5
-1
1
3.1.3 Funció constant
En una funció lineal constant \(m=0\) i \(n \neq 0\). Són funcions lineals de pendent zero.
Exemple:
\(y=-1\)
y=-1
x
y
0
-1
1
-1
2
-1
3.2 Funció recíproca
Les funcions recíproques \(y=\frac{\pm k}{x}\) són hipèrboles.
Un sistema d’equacions són dues o més equacions que compleixen certes igualtats per a uns valors determinats (solucions) de les incògnites.
Dues equacions són equivalents quan tenen les mateixes solucions.
El nombre de solucions d’un sistema és igual al grau de l’equació, tot i que en el conjunt dels nombres reals (\(\mathbb R\)) pot ser inferior quan apareixen arrels d’índex parell negatives com en aquest cas:
Al resoldre un sistema d’equacions determinem els punts secants (d’intersecció) de les equacions del sistema entre sí. Aquests són els punts que tenen en comú les equacions del sistema.
El nombre màxim de solucions serà el grau més gran de les equacions del sistema.
3.1 Lineals
3.1.1 Reducció o Eliminació
Consisteix en eliminar o reduir una de les incògnites del sistema d’equacions.
Per a eliminar-la, multiplicarem cada equació pel coeficient de la incògnita que volem eliminar de l’altre equació.
Aïllarem la \(y\) de cada equació i les representarem en un mateix gràfic.
Si el sistema és compatible determinat, el punt d’intersecció d’ambdues rectes serà la solució del sistema.
Si és indeterminat, ambdues rectes seran coincidents.
Si és incompatible, seran paral·leles.
3.2 No lineals
El millor mètode de resoldre sistemes d’equacions no lineals sol ser el mètode de substitució, tot i que s’ha d’analitzar en cada cas el sistema per a determinar quin és el millor métode de resolució.
Per a resoldre un sistema de tres equacions amb tres incògnites, usarem el sistema de reducció entre la primera i la segona equació, després entre la primera i la tercera i finalment entres les dues equacions resultants:
Usem galetes per oferir una experiència més relevant al recordar les vostres preferències y visites. Polsant ACCEPTAR, consentiu l'ús de TOTES les galetes..
Aquest lloc web utilitza cookies per millorar la vostra experiència mentre navegueu pel lloc web. D’aquestes, les cookies que es classifiquen com a necessàries s’emmagatzemen al vostre navegador, ja que són essencials per al funcionament de les funcionalitats bàsiques del lloc web.
També fem servir cookies de tercers que ens ajuden a analitzar i entendre com utilitzeu aquest lloc web. Aquestes cookies s’emmagatzemaran al vostre navegador només amb el vostre consentiment. Teniu l’opció de desactivar aquestes cookies, però això pot afectar la vostra experiència de navegació.
Les galetes necessàries són absolutament essencials perquè el lloc web funcioni correctament. Aquesta categoria només inclou galetes que garanteixen funcionalitats bàsiques i funcions de seguretat del lloc web. Aquestes galetes no emmagatzemen cap informació personal.
Les galetes que no siguin especialment necessàries perquè el lloc web funcioni i s\'utilitzi específicament per recopilar dades personals de l\'usuari a través d\'analítiques, anuncis, altres continguts incrustats es desmenten com a galetes no necessàries. És obligatori obtenir el consentiment de l\'usuari abans d\'executar aquestes galetes al seu lloc web.
RSS CEEdukat
