Archivo de etiquetas equacions

Porceedukat

Altres mètodes de resolució d’equacions

1. Equacions logarítmiques:

Són equacions que la incògnita és a l’argument d’un o més logaritmes (p.e:\(2*log(x+6)\)).

El logaritme és la funció inversa de les funcions exponencials (la inversa de les funcions potencials és la radicació): \(b^{exp}=n\) (potència), \( log_b(n)=exp\); \(2^3=8, \, log_2(8)=3\).

El logaritme d’un nombre és l’exponent al qual hem d’elevar la base per obtenir el nombre. En aquest exemple, el logaritme de vuit en base dos és tres. 

Els logaritmes foren inventats per  John Napier a principis del segle XVII. La utilitat dels logaritmes és simplificar el càlcul quan hem d’operar amb nombres molt grans o molt petits.

Els logaritmes més comuns són els decimals o de base 10  ( \(log_{10}\)  o \(log \)). Els logaritmes naturals o neperians ( \(log_e \) o \(Ln \))  tenen de base el nombre irracional \(e\).

1.1 Propietats dels logaritmes

Les propietats dels logaritmes són necessàries per a poder resoldre’n les equacions. Són les següents:

(Forma compacta = Forma desenvolupada)

\(log_b(x*y)= log_b (x) + log_b (y)
\\
log(2*3)=log(2)+log(3)
\\[1cm]
log_b (\frac{x}{y})= log_b (x) – log_b (y)
\\
log(2*3)=log(2)-log(3)
\\[1cm]
log_b (x^n)= n*log_b (x)
\\
log (2^3)=3*log(2)
\\[1cm]
log_b (x<=0) \notin \enspace \mathbb{R}
\\
log(0), log(-2) \notin \enspace \mathbb{R}.\)

1.2 Resolució d'equacions amb un sol logaritme

La incògnita del logaritme pot ser la base, l’exponent o el nombre, però per a resoldre’l sense calculadora sempre farem l’antilogaritme o potència. El mètode de resolució d’equacions logarítmiques és:

1. Descomponem les bases compostes (que no són primeres)
2. Fem l’antilogaritme
3. Resolem l’equació
4. Comprovem el resultat.

\(log_2(16)=x
\\
2^x=16
\\
2^x=2^4
\\
x=4
\\[1cm]
log_x(16)=4
\\
x^4=16
\\
x^4=2^4
\\
x=2
\\[1cm]
log_2(x)=4
\\
2^4=x
\\
x=16
\\[1cm]
log(3x+10)=4
\\
3x+10=10^4
\\
x=\frac{10^4-10}{3}
\\
x=3 330\)

1.3 Amb més d'un logaritme

Si hi ha més d’un logaritme, no es podrà usar el mètode anterior de resoldre fent l’antilogaritme. En aquest cas, farem servir les propietats dels logaritmes per a transformar l’equació en la forma compacta equivalent i quan l’hagem transformat amb un sol logaritme, farem l’antilogaritme:

\(log(x+1)+log(x-3)=log(5x-13)
\\
log[(x+1)*(x-3)]=log(5x-13)
\\
(x+1)*(x-3)=5x-13
\\
x^2-2x-3=5x-13
\\
x^2-7x+10=0
\\
x_1=5
\\
x_2=2
\\[1cm]
log_5(x+2)^4-1=log_5(x+2)+5
\\
log_5(x+2)^4-log_5(x+2)=5+1
\\
4*log_5(x+2)-log_5(x+2)=6
\\
3*log_5(x+2)=6
\\
log_5(x+2)=2
\\
x+2=5^2
\\
x=25-2=23\)

En el primer exemple, \(x=2\) no és cap solució perquè l’argument de \(log(x-3), log(5x-13)\) és negatiu.

2. Equacions exponencials

Una equació és exponencial quan la incògnita és a l’exponent. Per a resoldre una equació exponencial usarem les propietats de les potències.

2.1 Propietats de les potències

Per a resoldre una equació potencial farem servir les propietats de les potències (recordeu que podem operar potències si tenen la mateixa base o el mateix exponent).

\(a^n*a^m=a^{n+m}:
\\
2^6*2^9=2^{15}
\\[1cm]
a^n \div a^m=a^{n-m}
\\
2^{6} \div 2^9=2^{-3}
\\[1cm]
(a^n)^m=a^{n*m}
\\
(2^3)^9=2^{27}
\\[1cm]
a^0=1
\\
2^0=1,\, [(\sqrt{2})^{ 0}=1, \pi^0=1, (-2)^0=1]
\\[1cm]
a^1=a
\\
2^1=2\
\\[1cm]
a^{-n}=\frac{1}{a^n}
\\
2^{-6}=\frac{1}{2^6}\)

2.2 Resolució d'equacions exponencials

El mètode per a resolder equacions exponencials és el següent:

1. Descompondre les bases compostes en bases primeres
2. Trobar l’expressió potencial comuna a tots els termes
3. Fer el canvi d’aquesta expressió potencial comuna per t.
4. Resoldre l’equació resultant.
5. Desfer el canvi.

\(
2^{(x+3)}+4^{(x+1)}-320=0
\\
2^{(x+3)}+(2^2)^{(x+1)}-320=0
\\
2^{(x+3)}+2^{(2x+2)}-320=0
\\
2^x*2^3+(2^x)^2*2^2-320=0
\\
2^x=t
\\
4t^2+8t-320=0
\\
t=8, -10
\\
2^x=8
\\
x=3
\)

(Hem ignorat la solució \(t=-10\) perquè \(-10=2^x\) no es pot resoldre.)

3. Equacions trigonomètriques

Són equacions que tenen la incògnita en l’argument de funcions trigonomètriques. Per a resoldre-les, fem servir les identitats trigonomètriques.

3.1 Identitats trigonomètriques

3.2 Resolució d'equacions trigonomètriques

Tot i que no hi ha un mètode únic per a resoldre una equació trigonomètrica, en general es poden resoldre seguint el següent esquema:

1. Transformem les sumes en productes o els productes en sumes per tal de convertir els arguments amb més d’un angle en arguments amb un sol angle.
2. Transformem les funcions trigonomètriques derivades en les funcions trigonomètriques fonamentals (sin, cos).
3. Transformem tots els angles no simples de l’equació en simples.
4. Transformem tots els sinus a cosinus o a l’inrevés fent servir la identitat trigonomètrica fonamental (\(sin^2+cos^2=1\)).
5. Resolem l’equació trigonomètrica resultant.

Però l’ordre a seguir pot ser diferent per a cada equació trigonomètrica. Haurem d’avaluar en cada cas quin ordre s’ha de seguir per a resoldre l’equació de la millor manera.

Recordeu que el resultat d’una equació trigonomètrica es correspon amb dos angles i que també hi hem d’afegir els angles que es generen en cada volta completa a la circumferència (\(360*k, 2\pi*k\)). Per tant, la solució d’una equació trigonomètrica no és única, sinó que és una família de solucions:

\(tg(\frac{\alpha}{2})=2
\\
arctg(2)=\alpha
\\
\alpha=63.435º+360*k, k \in  \mathbb{N}\)

ANGLES MULTIPLES

En aquest cas, simplifiquem una equació trigonomètrica amb més d’una funció i angles compostos en una equació d’una sola funció:

\(
{cos(2\alpha)+cos(\alpha)}*{sin(2\alpha)+sin(\alpha)}=0′
\\
2cos^2{\alpha}-1+cos{\alpha}*2sin{\alpha}*cos{\alpha}+sin{\alpha}=0\\
2*(1-sin^2{\alpha})-1+2sin{\alpha}*(1-sin^2{\alpha})+sin{\alpha}=0\\
2-2sin^2{\alpha}-1+2sin{\alpha}-2sin^3{\alpha}+sin{\alpha}=0\\
-2sin^3{\alpha}-2sin^2{\alpha}+3sin{\alpha}+1=0\\
t=sin{\alpha}\\
2t^3+2t^2-3t-1=0\\
t=1, \, \frac{-2+\sqrt{2}}{2},\frac{-2-\sqrt{2}}{2}\\
x=arcsin(t)=90º, \, -17.03º
\)

La tercera solució \(sin^{-1}(\frac{-2-\sqrt2}{2})\) no és possible perquè \frac{-2-\sqrt2}{2}=-1.707.

Demostrem una igualtat trignomètrica reduint les expressions de cada banda de la igualtat amb més d’una funció i angles compostos a una sola funció amb un angle simple:

\(tg^2 \alpha-sin^2 \alpha=tg^2 \alpha*sin^2 \alpha
\\
\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}-sin^2\alpha=\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}*sin^2\alpha
\\
\frac{sin^2\alpha-sin^2\alpha*cos^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}
\\
sin^2\alpha-sin^2\alpha*(1-sin^2\alpha)=sin^4\alpha
\\
sin^2\alpha-sin^2\alpha+sin^4\alpha=sin^4\alpha
\\
sin^4\alpha=sin^4\alpha\)

Porceedukat

Resolució d’equacions d’una incògnita

Una equació és una igualtat entre dues expressions matemàtiques que conté quantitats conegudes (coeficients) i quantitats desconegudes (incògnites). Resoldre una equació és trobar totes les solucions de l’equació.

Les equacions es poden classificar segons el nombre de solucions i el grau de l’equació. Si tenim més d’una equació, diem que és un sistema d’equacions.

1. De primer grau

Per a resoldre una equació de primer grau, farem el següents:

  1. Eliminarem els denominadors: per a eliminar els denominadors usarem el mètode del mínim comú múltiple.
  2. Resoldrem els parèntesis: aplicant la propietat distributiva \(a*(b+c)=a*b+a*c\).
  3. Passarem a una banda de la igualtat els monomis sense \(x\) i a l’altra els termes independents. Recordeu que fem l’operació inversa al terme que volem moure per a passar-lo a l’altra banda de l’equació.
  4. Reagrupem els monomis després de cada moviment.
  5. Finalment, aïllem la \(x\) passant a dividir el coeficient que la multiplica:

    \(2x+9=6+5x\)

    En aquest cas no hi ha ni denominadors ni parèntesis, anem doncs al tercer pas. Posem les \(x\) a l’esquerra de la igualtat i el termes independents a la dreta.

    Movem el \(9\) de l’esquerra a la dreta restant-lo a cada banda de la igualtat:

    \(2x+9-9=6+5x-9\)

    Agrupem els monomis (termes) semblants

    \(2x=5x-3\)

    Ara canviem de banda el \(5x\) restant-lo a cada costat de l’equació:

    \(2x-5x=5x-5x-3\)

    Tornem a regrupar termes:

    \(-3x=-3\)

    I aïllem la \(x\) passant a divdir el coeficient que la multiplica:

    \(x=\frac{-3}{-3}=1\).

    Un altre exemple amb denominadors i parèntesis:

    \(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}=\frac{5x+35}{2}\)

    Multipliquem a cada banda pel mínim comú múltiple:

    \(6*[(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}]=6*(\frac{5x+35}{2})\)

    Eliminem els denominadors:

    \(12*(2x+5)+2*(x+2)-15*(x-3)=3*(5x+35)\)

    Reagrupem els monomis semblants:

    \((24x+60)+(2x+4)-(15x-45)=(15x+105)\)

    Movem les \(x\) a l’esquerre de la igualtat i els termes independents a la dreta:

    \(24x+2x-15x-15x=105-60-4-45\)

    I aïllem la \(x\):

    \(-4x=-4
    \\
    x=\frac{-4}{-4}=1\)

2. De segon grau

2.1 Completa

Per a resoldre una equació de segon grau completa (amb tots els termes,  \(ax^2+bx+c=0\))  usarem la següent fórmula:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c}}{2*a}\), per exemple

\(
x^2+5x+6=0 \quad a=1,\enspace b=5, \enspace c=6:
\\
x=\frac{-5\pm \sqrt{(5)^2-4*1*6}}{2*1}=
\\
\frac{-5\pm \sqrt{(5)^2-24}}{2}=
\\
\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{-5\pm 1}{2}
\\
x_1=\frac{-4}{2}=-2
\\
x_2=\frac{-6}{2}=-3\)

2.2 Incompleta (b=0)

\(ax^2+c=0
\\
x={\pm \sqrt\frac {-c}{a}}
\)

Exemple:​

\(4 x^2-36=0
\\
x=\pm \sqrt{\frac{-(-36)}{4}}
\\
x=\pm 3\)

2.3 Incompleta (c=0)

\(ax^2+bx=0
\\
x(ax+b)=0
\\
x_1=0
\\
ax_2+b=0
\\
x_2=-\frac{b}{a}
\\
\)

Exemple:

\(
3x^2+6x=0\\
x(3x+6)=0\\
x_1=0\\
x_2=-\frac{6}{3}=-2
\)

3. Calcular el nombre de solucions

Per a determinar el nombre de solucions d’una equació de segon grau sense resoldre-la, en calcularem el discriminant: \(\Delta=b^2-4*a*c.\)

3.1 Dues solucions

\(
\Delta>0
\)

\(
x^2+5x+6=0
\\
\Delta=5^2-4*1*6>0 \enspace (x_1= -2,x_2=-3)
\)

3.2 Una solució doble

\(
\Delta=0
\)

\(
\\
x^2+4x+4=0
\\
\Delta=4^2-4*1*4=0 \enspace (x_1=+2,x_2=+2)
\)

3.3 Cap solució

\(
\Delta<0
\)

\(
x^2+5x+9=0
\\
\Delta=5^2-4*1*9<0
\)

4. Biquadrades

Les equacions biquadrades (\(ax^{2n}+bx^n+c=0\)) es resolen fent un canvi de variable (\(x^n=t\))  que les transforma en una equació de segon grau:

\(
a*x^{2n}+b*x^n+c=0
\\
(x^n=t)
\\
a*t^2+b*t+c=0\)

Exemple:

\(x^4-5\color {red}{x^2}+4=0 \enspace (\color {red}{x^2=t})
\\
t^2-5t+4=0
\\
t=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4*1*4}}{2*1}
\\
t=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2}
\\
t_1=4
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{4}= \pm 2
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1\)

Un altre exemple: \(x^6-9x^3+8=0.\)

Fixeu-vos que això també és una equació biquadrada, perquè l’exponent del primer monomi és el doble de l’exponent del segon monomi i el tercer és el terme independent. 

La resolem de la mateixa manera:

\(x^6-9\color{red}{x^3}+8=0 \enspace (\color{red}{x^3=t})
\\
t^2-9t+8=0
\\
t=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2-4*1*8}}{2*1}
\\
t=\frac{9 \pm 7}{2}
\\
t_1=8
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{8}= \pm 2 \sqrt{2}
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1\)

Si algun dels resultats de la \(t\) és negatiu, no es podrà trobar la  \(x\) corresponent.

5. Irracionals

Són equacions en les quals la incògnita és sota una arrel, per exemple, \(\sqrt{x+1}=9\). Per simplificació, sols analitzarem la resolució d’equacions irracionals amb arrels quadrades.

5.1 Amb una arrel

Per a solucionar una equació irracional:

  1. Posarem el terme amb arrel a un costat de la igualtat i la resta de termes a l’altra,
  2. Elevarem cada terme al quadrat per tal d’eliminar l’arrel, i
  3. Resoldrem l’equació que resulti de fer els passos anteriors:

\(\sqrt{2x-6}+2=4
\\
\sqrt{2x-6}=4-2
\\
\sqrt{2x-6}=2
\\
(\sqrt{2x-6})^2=2^2
\\
2x-6=4
\\
2x=4+6
\\
2x=10
\\
x=\frac{10}{2}=5\)

5.2 Amb dues arrels

És el mateix procediment de resolució, però quan hi ha dues arrels, el càlcul sol ser més fàcil posant una arrel a cada banda de la igualtat. Si hi ha dues arrels, haurem de repetir els passos \(1\) i \(2\) dues vegades per a eliminar-les totes:

\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{x+7}=4
\\
\sqrt{2x-3}=4-\sqrt{x+7}
\\
(\sqrt{2x-3})^2=(4-\sqrt{x+7})^2
\\
2x-3=16-2*4*\sqrt{x+7}+(\sqrt{x+7})^2\)

Ara que sols queda una arrel, continuarem el procés com en el cas anterior:

\(2x-3=16-8\sqrt{x+7}+(x+7)
\\
2x-3-16-(x+7)=-8\sqrt{x+7}
\\
x-26=-8\sqrt{x+7}
\\
(x-26)^2=(-8\sqrt{x+7})^2
\\
x^2-52x+676=64(x+7)
\\
x^2-116x+228=0
\\
x_1=114\\
x_2=2\)

Porceedukat

Altres mètodes de resolució de sistemes d’equacions

1. Gauss

El mètode de resolució de sistemes d’equacions per Gauss, segueix el mètode clàssic de resolució per reducció. La diferència és que eliminarem les incògnites ordenadament (primer la \(x\), després la \(y\) i finalment la \(z\)) i que farem servir matrius sols amb els coeficients en comptes de tota l’equació.

A tall d’exemple,  resoldrem primer un sistema d’equacions amb tres incògnites pel mètode reducció ordenadament:

\(2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
7x-5y+2z=4
\\[1cm]
*-2)2x+3y-\enspace z=4
\\
\hspace{1.2cm}4x-2y+5z=7
\\
———————–
\\
\hspace{1.2cm}0x+8y-7z=1
\\[1cm]
\hspace{0.5cm}7*) 2x+3y-\enspace z=4
\\
-2*)7x-5y+2z=4
\\
————————–
\\
\hspace{1.9cm}31y-11z=20
\\[1cm]
\hspace{0.2cm}31*)\hspace{0.3cm}8y-\enspace 7z=1
\\
-8*)31y-11z=20
\\
———————
\\
\hspace{1.2cm}-129z=-129
\\
z=\frac{129}{129}=1
\\
y=\frac{1+7z}{8}=1
\\
x=\frac{4+z-3y}{2}=1
\)

Per a resoldre un sistema d’equacions per Gauss fem la triangulació superior de matriu ( fem zeros a la part inferior de la diagonal de la matriu).

Si el sistema resultant és compatible, el resoldrem. Si és incompatible, acabarem l’exercici.

Observeu que obtenim els mateixos resultats que fent-ho pel mètode anterior de reducció:

\(\left[ \begin{matrix} \color{red} 2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 4 & \hspace{0.3cm} -2 & \hspace{0.3cm} 5 & 7 &\\ 7 & \hspace{0.3cm} -5 & \hspace{0.3cm}2 & 4 \\ \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 2F_1-F_2
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \color{red} 2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 & \hspace{27px} 8 & \hspace{0.05cm} -7 &1\\ 7 & \hspace{0.3cm}-5 & \hspace{0.4cm} 2 & 4 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 7F1-2F_3
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 & \hspace{27px} \color{red}8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1\\ 0 & \hspace{0.5cm}31 & -11 & \hspace{5px} 20 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 31F_2-8F_3
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 &\hspace{27px}  \color{red}8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1\\ 0 & \hspace{0.6cm}0 & -129 & \hspace{5px} -129 \end{matrix} \right]\)

La tercera fila d’aquesta matriu triangulada ens diu que \(-129z=-129\), i per tant,\( z=1.\)

De la segona fila, \(8y-7z=1,\,  y=\frac{1+7z}{8}=1.\)

I de la primera, \(2x+3y-z=4, \,x=\frac{4-3y+z}{2}=1.\)

Quant a la resolució d’un sistema indeterminat:

\(2x+3y-z=4
\\4x-2y+5z=7
\\
6x+y+4z=11
\\[1cm]
\begin{bmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & -1 & 4 \\ 4 & \hspace{0.3cm}-2 & \hspace{0.3cm}5 & 7 \\ 6 & \hspace{0.7cm}1 & \hspace{0.3cm}4 & 11\end{bmatrix}
\\[1cm]
\begin{bmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & -1 & 4 \\0 & \hspace{0.6cm}8 & \hspace{0.05cm}-7 & 1 \\ 0 & \hspace{0.6cm}8 & \hspace{0.05cm}-7 & 1 \end{bmatrix}
\\\)

Sols les dues primeres equacions són linealment independents. El resolem, per tant, com un sistema indeterminat (SCI):

\(2x+3y-z=4
\\
8y-7z=1
\\
z=\lambda \\ y=\frac{1+7z}{8}=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}\lambda \\ x=\frac{4+z-3y}{2}=\frac{4+z-3y}{2}=\frac{29}{16}-\frac{13}{16}\lambda\)

2. Crammer

El mètode de Crammer usa els determinants per a calcular els resultats del sistema d’equacions. Consisteix en canviar la columna de coeficients de la incògnita que volem calcular per la dels termes independents:

\(\Delta x=\frac{\left| \begin{matrix}\hspace{4px} \color{red}4 & \hspace{27px} 3 & -1\\ \color{red}7 & \hspace{0.4cm} -2 & \hspace{0.2cm} 5 \\ 4 & \hspace{0.4cm} \color{red} -5 & \hspace{0.2cm} 2 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\\
\Delta y=\frac{\left| \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px}\color{red} 4 & -1\\ 4 & \hspace{27px}\color{red} 7 & \hspace{0.2cm}5 \\ \hspace{0.1cm}7 & \hspace{0.7cm}\color{red}4 & \hspace{0.2cm} 2 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\\
\Delta z=\frac{\left| \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & \hspace{10px}\color{red}4\\ 4 &\hspace{0.4cm} -2 & \hspace{15px}\color{red} 7 \\ 7 &\hspace{0.4cm}-5 &\hspace{15px} \color{red} 4 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1\)

Quan el determinant de la matriu és zero, \(|A|=0\),  diem que el sistema no és de Cramer. En aquest cas, per a resoldre el sistema indeterminat farem servir sols les equacions que són linealment independents fent la substitució \(z=\lambda\) que ara formarà part del terme independent:

\(
\\
\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 &-\lambda&4 \\4 & -2 &\hspace{0.4cm}5\lambda&7 \end{vmatrix}
\\[1cm]
\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & 4+\lambda \\4 & -2 &\hspace{0.4cm} 7-5\lambda \end{vmatrix}
\\[1cm]
\Delta x=\frac{\begin{vmatrix}4+\lambda & \hspace{0.3cm}3 \\7-5\lambda & -2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.3cm}3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} }=\frac{29}{16}-\frac{13}{16}\lambda
\\[1cm]
\Delta y=\frac{\begin{vmatrix}2 & \hspace{0.3cm}4+\lambda\\4 & \hspace{0.3cm}7-5\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.3cm}3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} }=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}\lambda\)

3. Teorema de Rouché-Fröbenius

Sistema Compatible Determinat (SCD): \(Rang A=Rang A^*=3\)

Sistema Compatible Indeterminat (SCI): \(Rang A=Rang A^*=2\)

Sistema Incompatible (SI): \(Rang A=2, Rang A^*=3\)

Per a determinar els rangs de la matriu de coeficients \(A\) i de l’ampliada \(A^*\), farem la triangulació del sistema i analitzarem el nombre de files independents de cadascuna. 

Si el determinant de la matriu de coeficients és zero, vol dir que el sistema no és determinat.

Porceedukat

Sistemes d’equacions

1. Què és un sistema d'equacions

Un sistema d’equacions són dues o més equacions que compleixen certes igualtats per a uns valors determinats (solucions) de les incògnites.

Dues equacions són equivalents quan tenen les mateixes solucions.

El nombre de solucions d’un sistema és igual al grau de l’equació, tot i que en el conjunt dels nombres reals (\(\mathbb R\)) pot ser inferior quan apareixen arrels d’índex parell negatives com en aquest cas:

\(x^2-4x+8=0
\\
\Delta=\sqrt {b^2-4*a*c}
\\
=\sqrt {4^2-4*1*8}
\\
=\sqrt {16-32}=\sqrt{-16}\)

En aquest article, sols veurem la resolució de sistemes de dues equacions. 

2. Classificació dels sistemes d'equacions

2.1 Segons el grau de les equacions

2.1.1.1 Lineals

Un sistema d’equacions és lineal quan tots els termes de les equacions són de grau u.

2.1.1.2 No lineals

Quan alguna o totes les equacions del sistema són de grau dos o superior, o bé són equacions no lineals, diem que és un sistema d’equacions no lineal.

2.2 Segons les soluciones del sistema

2.2.1 Sistema Compatible Determinat (SCD)

Un sistema és compatible determinat si té un nombre finit de solucions.

Per a què un sistema d’equacions sigui determinat, calen tantes equacions diferents com incògnites tingui el sistema.

Dues rectes del pla que formen un sistema compatible determinat es tallen en un punt.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
——————
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}
\)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT

2.2.2 Sistema Compatible Indeterminat

Un sistema compatible indeterminat és un sistema d’equacions que té infinites solucions.

Si un sistema té més incógnites que equacions diferents, serà un sistema indeterminat.

Si un sistema de dues funcions lineals del pla és indeterminat, les rectes que el formen són en realitat una mateixa recta.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
4x+6y=16
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +4x+6y=16
\\
-4x-6y=-16
\\
——————-
\\
\hspace{9pt} 0x+0y=0
\end {cases}\)

 
SISTEM COMPATIBLE INDETERMINAT

2.2.3 Sistema Incompatible

Un sistema és incompatible si no té solució.

Quan dues rectes del pla són paral·leles, formen un sistema incompatible.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x+3y=10
\\
————-
\\
0=-2
\end{cases}\)

SISTEMA INCOMPATIBL

(Per a saber-ne, vegeu Altres mètodes de resolució de sistemes d’equacions -Batxillerat).

3. Resolució del sistemes d'equacions

Al resoldre un sistema d’equacions determinem els punts secants (d’intersecció) de les equacions del sistema entre sí. Aquests són els punts que tenen en comú les equacions del sistema.

El nombre màxim de solucions serà el grau més gran de les equacions del sistema.

3.1 Lineals

3.1.1 Reducció o Eliminació

Consisteix en eliminar o reduir una de les incògnites del sistema d’equacions. 

Per a eliminar-la, multiplicarem cada equació pel coeficient de la incógnita que volem eliminar de l’altre equació.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
4*)\,2x+3y=8
\\
3*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
8x+12y=32
\\
3x-12y=-21
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} 11x+0y=11
\\
x=\frac{11}{11}=1
\\[0.2cm]
y=\frac{8-2x}{3}=2
\end {cases}\)

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
1*)\,2x+3y=8
\\
2*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x-8y=-14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
—————-
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}\)

3.1.2 Igualació

Per tal d’aplicar el mètode d’igualació, aillarem la mateixa incògnita de cada equació i després igualarem ambdues expressions.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}
\\
x={-7+4y}
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
\frac{8-3y}{2}={-7+4y}
\\[0.2cm]
(8-3y)=2*(-7+4y)
\\[0.2cm]
8-3y=-14+8y
\\[0.2cm]
-3y-8y=-14-8
\\[0.2cm]
-11y=-22
\\[0.2cm]
y=\frac{22}{11}=2
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}\)

3.1.3 Substitució

En el mètode de substitucío, aïllarem una de les incògnites i la substituirem al’altra equació.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
x-4*(\frac{8-2x}{3})=-7
\\[0.2cm]
x-\frac{32-8x}{3}=-7
\\[0.2cm]
\frac{3x-32+8x}{3}=\frac{-21}{3}
\\[0.2cm]
3x+8x=-21+32
\\[0.2cm]
11x=11
\\[0.2cm]
x=1
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
y=2
\end {cases}\)

3.1.4 Mètode gràfic

Aïllarem la \(y\) de cada equació i les representarem en un mateix gràfic.

Si el sistema és compatible determinat, el punt d’intersecció d’ambdues rectes serà la solució del sistema.

Si és indeterminat, ambdues rectes seran coincidents.

Si és incompatible, seran paral·leles.

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT

3.2 No lineals

El millor mètode de resoldre sistemes d’equacions no lineals sol ser el mètode de substitució, tot i que s’ha d’analitzar en cada cas el sistema per a determinar quin és el millor métode de resolució.

Per a saber-me  més, vegeu Altres mètodes de resolució d’equacions -Batxillerat).

\(\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x+y=5
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x=5-y
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\\(5-y)^2+y^2=25
\\
(25-10y+y^2)+y^2=25
\\
2y^2-10y=0
\\
y*(2y-10)=0
\\
y=5, 0
\\
x=0, 5
\end{cases}\)

4. De tres equacions amb tres incògnites

Per a resoldre un sistema de tres equacions amb tres incògnites, usarem el sistema de reducció entre la primera i la segona equació, després entre la primera i la tercera i finalment entres les dues equacions resultants:

\(2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
7x-5y+2z=4
\\[1cm]
*-2)2x+3y-\enspace z=4
\\
\hspace{1.2cm}4x-2y+5z=7
\\
———————–
\\
\hspace{1.2cm}0x+8y-7z=1
\\[1cm]
\hspace{0.5cm}7*) 2x+3y-\enspace z=4
\\
-2*)7x-5y+2z=4
\\
————————–
\\
\hspace{1.9cm}31y-11z=20
\\[1cm]
\hspace{0.2cm}31*)\hspace{0.3cm}8y-\enspace 7z=1
\\
-8*)31y-11z=20
\\
———————
\\
\hspace{1.2cm}-129z=-129
\\
z=\frac{129}{129}=1
\\
y=\frac{1+7z}{8}=1
\\
x=\frac{4+z-3y}{2}=1
\)

CEEdukat Online! Primària - ESO - Batxillerat - Provés d'accés

A CEEdukat ara també fem classes online amb la mateixa qualitat i professionalitat que les presencials. També obrim els mesos de juliol i agost.