Resolució d’equacions d’una incògnita

Instruccions abans de començar

Una equació és una igualtat entre dues expressions matemàtiques que conté quantitats conegudes (coeficients) i quantitats desconegudes (incògnites). Resoldre una equació és trobar totes les solucions de l’equació.

Les equacions es poden classificar segons el nombre de solucions i el grau de l’equació. Si tenim més d’una equació, diem que és un sistema d’equacions.

1. De primer grau

Per a resoldre una equació de primer grau, farem el següents:

1. Eliminarem els denominadors: per a eliminar els denominadors usarem el mètode del mínim comú múltiple.
2. Resoldrem els parèntesis: aplicant la propietat distributiva \[a*(b+c)=a*b+a*c\].
3. Passarem a una banda de la igualtat els monomis sense \[x\] i a l’altra els termes independents. Recordeu que fem l’operació inversa al terme que volem moure per a passar-lo a l’altra banda de l’equació.
4. Reagrupem els monomis després de cada moviment.
5. Finalment, aïllem la \[x\] passant a dividir el coeficient que la multiplica:

\[2x+9=6+5x\]

En aquest cas no hi ha ni denominadors ni parèntesis, anem doncs al tercer pas. Posem les \[x\] a l’esquerra de la igualtat i el termes independents a la dreta.

Movem el \[9\] de l’esquerra a la dreta restant-lo a cada banda de la igualtat:

\[2x+9-9=6+5x-9\]

Agrupem els monomis (termes) semblants: 

\[2x=5x-3\]

Ara canviem de banda el \[5x\] restant-lo a cada costat de l’equació:

\[2x-5x=5x-5x-3\]

Tornem a regrupar termes:

\[-3x=-3\]

I aïllem la \[x\] passant a divdir el coeficient que la multiplica:

\[x=\frac{-3}{-3}=1\].

Un altre exemple amb denominadors i parèntesis:

\[2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}=\frac{5x+35}{2}\]

Multipliquem a cada banda pel mínim comú múltiple:

\[6*[(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}]=6*(\frac{5x+35}{2})\]

Eliminem els denominadors:

\[12*(2x+5)+2*(x+2)-15*(x-3)=3*(5x+35)\]

Reagrupem els monomis semblants:

\[(24x+60)+(2x+4)-(15x-45)=(15x+105)\]

Movem les \[x\] a l’esquerre de la igualtat i els termes independents a la dreta:

\[24x+2x-15x-15x=105-60-4-45\]

I aïllem la \[x\]:

\[
-4x=-4
\\
x=\frac{-4}{-4}=1
\]

2. De segon grau

2.1 Completa

Per a resoldre una equació de segon grau completa (amb tots els termes,  \[ax^2+bx+c=0\])  usarem la següent fórmula:

\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c}}{2*a}\], per exemple

\[
x^2+5x+6=0 \enspace a=1,\enspace b=5, \enspace c=6:
\\
x=\frac{-5\pm \sqrt{(5)^2-4*1*6}}{2*1}=
\\
\frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2-24}}{2}=
\\
\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{-5\pm 1}{2}
\\
x_1=\frac{-4}{2}=-2
\\
x_2=\frac{-6}{2}=-3
\]

2.2 Incompleta (b=0)

\[
ax^2+c=0
\\
x=\pm \sqrt{\frac {-c}{a}}
\]

Exemple:​

\[4 x^2-36=0
\\
x=\pm \sqrt{\frac{-(-36)}{4}}
\\
x=\pm 3
\]

2.3 Incompleta (c=0)

\[ax^2+bx=0
x(ax+b)=0
\\
x_1=0
\\
ax_2+b=0
\\
x_2=-\frac{b}{a}
\]

Exemple:

\[
3x^2+6x=0
\\
x(3x+6)=0
\\
x_1=0
\\
x_2=-\frac{6}{3}=-2
\]

3. Calcular el nombre de solucions

Per a determinar el nombre de solucions d’una equació de segon grau sense resoldre-la, en calcularem el discriminant: \[\Delta=b^2-4*a*c.\]

3.1 Dues solucions

\[
\Delta>0
\\
x^2+5x+6=0
\\
\Delta=5^2-4*1*6>0 \enspace (x_1= -2,x_2=-3)
\]

3.2 Una solució doble

\[
\Delta=0
\\
x^2+4x+4=0
\\
\Delta=4^2-4*1*4=0 \enspace (x_1=+2,x_2=+2)
\]

3.3 Cap solució

\[
\Delta<0
\\
x^2+5x+9=0
\\
\Delta=5^2-4*1*9<0
\]

4. Biquadrades

Les equacions biquadrades (\[ax^{2n}+bx^n+c=0\]) es resolen fent un canvi de variable (\[x^n=t\])  que les transforma en una equació de segon grau:

\[
a*x^{2n}+b*x^n+c=0
\\
(x^n=t)
\\
a*t^2+b*t+c=0\]

Exemple:

\[
x^4-5 \color {red}{x^2}+4=0 \enspace (\color {red}{x^2=t})
\\
t^2-5t+4=0
\\
t=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4*1*4}}{2*1}
\\
t=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2}
\\
t_1=4
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{4}= \pm 2
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1
\]

Un altre exemple: \[x^6-9x^3+8=0.\]

Fixeu-vos que això també és una equació biquadrada, perquè l’exponent del primer monomi és el doble de l’exponent del segon monomi i el tercer és el terme independent. 

La resolem de la mateixa manera:

\[
x^6-9 \color{red}{x^3}+8=0 \enspace (\color{red}{x^3=t})
\\
t^2-9t+8=0
\\
t=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2-4*1*8}}{2*1}
\\
t=\frac{9 \pm 7}{2}
\\
t_1=8
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{8}= \pm 2 \sqrt{2}
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1
\]

Si algun dels resultats de la \[t\] és negatiu, no es podrà trobar la  \[x\] corresponent.

5. Irracionals

Són equacions en les quals la incògnita és sota una arrel, per exemple, \[\sqrt{x+1}=9\]. Per simplificació, sols analitzarem la resolució d’equacions irracionals amb arrels quadrades.

5.1 Amb una arrel

Per a solucionar una equació irracional:

1. Posarem el terme amb arrel a un costat de la igualtat i la resta de termes a l’altra,
2. Elevarem cada terme al quadrat per tal d’eliminar l’arrel, i
3. Resoldrem l’equació que resulti de fer els passos anteriors:

\[
\sqrt{2x-6}+2=4
\\
\sqrt{2x-6}=4-2
\\
\sqrt{2x-6}=2
\\
(\sqrt{2x-6})^2=2^2
\\
2x-6=4
\\
2x=4+6
\\
2x=10
\\
x=\frac{10}{2}=5
\]

5.2 Amb dues arrels

És el mateix procediment de resolució, però quan hi ha dues arrels, el càlcul sol ser més fàcil posant una arrel a cada banda de la igualtat. Si hi ha dues arrels, haurem de repetir els passos \[1\] i \[2\] dues vegades per a eliminar-les totes:

\[
\sqrt{2x-3}+\sqrt{x+7}=4
\\
\sqrt{2x-3}=4-\sqrt{x+7}
\\
\sqrt{2x-3})^2=(4-\sqrt{x+7})^2
\\
2x-3=16-2*4*\sqrt{x+7}+(\sqrt{x+7})^2
\]

Ara que sols queda una arrel, continuarem el procés com en el cas anterior:

\[
2x-3=16-8\sqrt{x+7}+(x+7)
\\
2x-3-16-(x+7)=-8\sqrt{x+7}
\\
x-26=-8\sqrt{x+7}
\\
(x-26)^2=(-8\sqrt{x+7})^2
\\
x^2-52x+676=64(x+7)
\\
x^2-116x+228=0
\\
x_1=114
\\
x_2=2
\]