Resolució d’equacions d’una incògnita

Porceedukat

Resolució d’equacions d’una incògnita

Una equació és una igualtat entre dues expressions matemàtiques que conté quantitats conegudes (coeficients) i quantitats desconegudes (incògnites).

Les equacions es classifiquen segons el grau de l’equació i el nombre d’incògnites que té. Si tenim més d’una equació, diem que és un sistema d’equacions.

De primer grau

Per a resoldre una equació de primer grau, farem el següents:

  1. Eliminarem els denominadors: per a eliminar els denominadors usarem el mètode del mínim comú múltiple.
  2. Resoldrem els parèntesis: aplicant la propietat distributiva \(a*(b+c)=a*b+a*c\).
  3. Passarem a una banda de la igualtat els termes sense \(x\) i a l’altra els termes independents. Recordeu que fem l’operació inversa al terme que volem moure per a passar-lo a l’altra banda de l’equació.
  4. Reagrupem termes després de cada moviment d’un terme.
  5. Finalment, aïllem la \(x\) passant a dividir el coeficient que la multiplica:

    \(2x+9=6+5x\)

    En aquest cas no hi ha ni denominadors ni parèntesis. Anem doncs al tercer pas i posaren les \(x\) a l’esquerra de la igualtat i el termes independents a la dreta.

    Movem el \(9\) de l’esquerra a la dreta restant-lo a cada banda de la igualtat:

    \(2x+9-9=6+5x-9\)

    Agrupem els monomis (termes) semblants

    \(2x=5x-3\)

    Ara canviem de banda el \(5x\) restant-lo a cada costat de l’equació:

    \(2x-5x=5x-5x-3\)

    Tornem a regrupar termes:

    \(-3x=-3\)

    I aïllem la \(x\) passant a divdir el coeficient que la multiplica:

    \(x=\frac{-3}{-3}=1\).

    Un altre exemple amb denominadors i parèntesis:

    \(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}=\frac{5x+35}{2}\)

    Multipliquem a cada banda pel mínim comú múltiple:

    \(6*[(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}]=6*(\frac{5x+35}{2})\)

    Eliminem els denominadors:

    \(12*(2x+5)+2*(x+2)-3*5*(x-3)=3*(5x+35)\)

    Reagrupem els monomis semblants:

    \((24x+60)+(2x+4)-(15x-45)=(15x+105)\)

    Movem les \(x\) a l’esquerre de la igualtat i els termes independents a la dreta:

    \(24x+2x-15x-15x=105-60-4-45\)

    I aïllem la \(x\):

    \(4x=-4
    \\
    x=\frac{-4}{-4}=1\)

De segon grau

Completa

Per a resoldre una equació de segon grau completa (o amb tots els termes: \(ax^2+bx+c=0\) amb una incògnita usarem la següent fórmula:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c}}{2*a}\), per exemple:

\(
x^2+5x+6=0 \quad a=1,\enspace b=5, \enspace c=6:
\\
x=\frac{-5\pm \sqrt{(5)^2-4*1*6}}{2*1}=
\\
\frac{-5\pm \sqrt{(5)^2-24}}{2}=
\\
\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{-5\pm 1}{2}
\\
x_1=\frac{-4}{2}=-2
\\
x_2=\frac{-6}{2}=-3\)

Incompleta (b=0)

\(ax^2+c=0
\\
x={\pm \sqrt\frac {-c}{a}}
\\
si \enspace 4 x^2-36=0
\\
x=\pm \sqrt{\frac{-(-36)}{4}}
\\
x=\pm 3\)

Incompleta (c=0)

\(ax^2+bx=0
\\
x(ax+b)=0
\\
x_1=0
\\
ax_2+b=0
\\
x_2=-\frac{-b}{a}
\\
si \enspace -3x^2-6x=0
\\
x_1=0
\\
x_2=-\frac{(-6)}{-3}=-2\)

Calcular el nombre de solucions

Per a determinar el nombre de solucions d’una equació de segon grau sense resoldre-la, en calcularem el discriminant: \(\Delta=b^2-4*a*c.\)

Dues solucions

\(
\Delta=b^2-4*a*c
\\
\Delta>0
\\
x^2+5x+6=0
\\
\Delta=5^2-4*1*6>0 \enspace (x_1= -2,x_2=-3).\)

Una solució doble

\(
\Delta=0
\\
x^2+4x+4=0
\\
\Delta=4^2-4*1*4=0 \enspace (x_1=+2,x_2=+2).\)

Cap solució

\(
\Delta<0
\\
x^2+5x+9=0
\\
\Delta=5^2-4*1*9<0\)

Biquadrades

Les equacions biquadrades (\(ax^{2n}+bx^n+c=0\)) es resolen fent un canvi de variable (\(x^n=t\))  que les transforma en una equació de segon grau:

\(
a*x^{2n}+b*x^n+c=0
\\
(x^n=t)
\\
a*t^2+b*t+c=0\)

Exemple:

\(x^4-5\color {red}{x^2}+4=0 \enspace (\color {red}{x^2=t})
\\
t^2-5t+4=0
\\
t=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4*1*4}}{2*1}
\\
t=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2}
\\
t_1=4
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{4}= \pm 2
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1\)

Un altre exemple: \(x^6-9x^3+8=0.\)

Fixeu-vos que això també és una equació biquadrada, perquè l’exponent del primer monomi és el doble de l’exponent del segon monomi i el tercer és el terme independent. 

La resolem de la mateixa manera:

\(x^6-9\color{red}{x^3}+8=0 \enspace (\color{red}{x^3=t})
\\
t^2-9t+8=0
\\
t=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2-4*1*8}}{2*1}
\\
t=\frac{9 \pm 7}{2}
\\
t_1=8
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{8}= \pm 2 \sqrt{2}
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1\)

Si algun dels resultats de la \(t\) és negatiu, no es podrà trobar la  \(x\) corresponent.

Irracionals

Són equacions en les quals la incògnita és sota una arrel, per exemple, \(\sqrt{x+1}=9\). Per simplificació, sols analitzarem la resolució d’equacions irracionals amb arrels quadrades.

Amb una arrel

Per a solucionar una equació irracional:

  1. Posarem el terme amb arrel a un costat de la igualtat i la resta de termes a l’altra,
  2. Elevarem cada terme al quadrat per tal d’eliminar l’arrel, i
  3. Resoldrem l’equació que en resulti de fer els passos anteriors:

\(\sqrt{2x-6}+2=4
\\
\sqrt{2x-6}=4-2
\\
\sqrt{2x-6}=2
\\
(\sqrt{2x-6})^2=2^2
\\
2x-6=4
\\
2x=4+6
\\
2x=10
\\
x=\frac{10}{2}=5\)

Amb dues arrels

És el mateix procediment de resolució, però quan hi ha dues arrels, el càlcul sol ser més fàcil posant una arrel a cada banda de la igualtat. Si hi ha dues arrels, haurem de repetir els passos \(1\) i \(2\) dues vegades per a eliminar totes:

\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{x+7}=4
\\
\sqrt{2x-3}=4+\sqrt{x+7}
\\
(\sqrt{2x-3})^2=(4+\sqrt{x+7})^2
\\
2x-3=16+2*4*\sqrt{x+7}+(\sqrt{x+7})^2\)

Ara que sols queda una arrel, continuarem el procés com en el cas anterior:

\(2x-3=16+8\sqrt{x+7}+(x+7)
\\
2x-3-16-(x+7)=8\sqrt{x+7}
\\
x-26=8\sqrt{x+7}
\\
(x-26)^2=(8\sqrt{x+7})^2
\\
x^2-52x+676=64(x+7)
\\
x^2-116x+228=0
\\
x=114,\, 2\)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible:

Sobre el autor

ceedukat administrator

Deja un comentario

CEEdukat Online! Ara també obrim a l'estiu!Primària - ESO - Batxillerat - Provés d'accés

A CEEdukat ara també fem classes online amb la mateixa qualitat i professionalitat que les presencials. També obrim els mesos de juliol i agost.