En PDF:
20211109-Metode-de-resolucio-de-sistemes-dequacions-ESO
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Geometria en el pla
1. Equacions de la recta
(Vegeu Vectors en el pla per a saber-ne més.)
1.1 Definició
Una recta és un conjunt de punt infinits en línia. Podem definir una recta amb dos punts o amb un punt i un pendent.
1.2 Equacions de la recta
L’equació d’una recta es pot expressar de diferents maneres. Farem sevir l’equació que més ens convingui per tal de fer els càlculs més fàcilment o segons les dades disponibles.
1.3 Equació vectorial
L’equació vectorial de la recta es dedueix de la definició d’una recta amb dos punts: si a un punt d’origen de la recta que volem definir li sumem un nombre determinat de vegades (\[t\]) un dels vectors directors de la recta podem trobar-ne qualsevol altre punt.
\[(x,y)=(x_0,y_0) + t \cdot (u,v)\]1.4 Equació paramètrica
Igualant els components \[x\] i \[y\] de l’equació vectorial:
\[x=x_0+t \cdot u\\
y=y_0+ t \cdot v
\]
1.5 Equació contínua
Aïllant el paràmetre \[t\] de cadascuna de les equacions paramètriques anteriors:
\[t=\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}
\]
1.6 Equació general o implícita
Surt de fer el producte d’extrems i de mitjos de l’equació contínua:
\[v \cdot (x-x_0)=u \cdot (y-y_0)\\
v \cdot x-v \cdot x_0=u \cdot y-u \cdot y_0\\
v \cdot x-u \cdot y-v \cdot x_0+u \cdot y_0=0\\
A=v, \, B=-u, \, C=-v \cdot x_0+u \cdot y_0\\
Ax+By+C=0
\]
El vector \[\vec{n}=(A,B)\] és un dels dos vectors perpendiculars de la recta. Per a calcular el vector perpendicular d’una recta tan sols hem de permutar els components del vector i canviar-ne un de signe.
Els vectors perpendiculars de dues rectes formen el mateix angle que els vectors directors.
Exemple:
\[\vec{v}=(9,-6) \rightarrow \vec{n_1}=(6,9), \enspace \vec{n_2}=(-6,-9)\].
1.7 Equació explícita
Aïllant la \[y\] de l’equació general:
\[y=-\frac{A}{B} \cdot x-\frac{C}{B}\\
m=-\frac{A}{B}, \, n=-\frac{C}{B}\\
y=m \cdot x+n
\]
1.8 Equació punt-pendent
Es dedueix de la definició de la recta amb un punt i un pendent:
\[(y-y_0)=m \cdot (x-x_0)
\]
1.9 Equació canònica
Els denominadores de l’equació canònica són les coordenades \[x\] i \[y\] del punts de tall amb els eixos de coordenades \[(a,0)\] i \[(0,b)\]:
\[Ax+By+C=0\\
\frac{A}{-C}x+\frac{B}{-C}y+\frac{C}{-C}=0\\
\frac{x}{\frac{-C}{A}}+\frac{y}{\frac{-C}{B}}=1\\
a=\frac{-C}{A|}, \, b=\frac{-C}{B}\\
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
\]
Exemple:
\[P (2,3), \, Q=(-4,6)\\[0.5cm]
Calculem \enspace el \enspace vector \enspace director\\
\vec{PQ}=(-4,6)-(2,3)=(-6,3) \enspace \\[0.5cm]
Equació \enspace vectorial)\\
(x,y)=(2,3)+t\cdot (-6,3) \\[0.5cm]
Equació \enspace paramètrica\\
x=2-6t\\
y=3+3t \\[0.5cm]
Equació \enspace contínua\\
t=\frac{x-2}{-6}=\frac{y-3}{3} \\[0.5cm]
Equació \enspace implícita \enspace o \enspace general\\
3(x-2)=-6(y-3)\\
3x-6+6y-18=0\\
3x+6y-24=0 \\[0.5cm]
Equació \enspace explícita\\
y=-\frac{3}{6}x+\frac{24}{6}\\
y=-\frac{1}{2}x+6 \\[0.5cm]
Equació \enspace canònica\\
\frac{x}{\frac{24}{3}}+\frac{y}{\frac{24}{6}}=1\\
\frac{x}{8}+\frac{y}{4}=1\\[0.5cm]
Equació \enspace punt-pendent\\
(y-2)=-\frac{1}{2}(x-3)
\]
2. Posició relativa de dues rectes
O bé dues rectes són paral·leles, o bé són secants. Per a determinar si dues rectes son paral·leles o coincidents (paral·lelisme) o secants (amb un angle qualsevol o perpendiculars) resoldrem el sistema d’equacions lineals.
(Vegeu Classificació dels sistemes d’equacions per a saber-ne més.)
3. Distàncies i angles
Calcularem la distància mínima o perpendicular entre un punt i una recta usant la fórmula següent:
d(P,r)=\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A²+B²}}\\
\]
Exemple:
\[P(-5,7), \enspace r:3x+6y-24=0\\
d(P,r)=\frac{3 \cdot -5+6 \cdot 7-24}{\sqrt{3²+6²}}=\frac{3}{\sqrt{45}}=\frac{1}{\sqrt{5}}u.
\]
Calcularem l’angle entre dues rectes secants amb la fórmula següent:
\[\cos \theta=\frac{\vec u \cdot \vec v}{|u| \cdot |v|}\\
\theta=\arccos {\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|u| \cdot |v|}}
\]
Exemple:
\[r:3x+6y-24=0, \enspace s:-5x+4y+9=0\\
\vec{n_r}=(3,6), \enspace \vec{n_s}=(-5,4)\\
\theta=\arccos \frac{(3,6) \cdot (-5,4)}{\sqrt{3²+6²} \cdot \sqrt{(-5)²+4²}}\\
\theta=\frac{-15+24}{\sqrt{45*41}}=\frac{9}{\sqrt{1845}}=\frac{9}{3\sqrt{205}}=\frac{3}{\sqrt{205}}॰
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Sistemes d’equacions
Instruccions abans de començar
1. Què és un sistema d’equacions
Un sistema d’equacions són dues o més equacions que compleixen certes igualtats per a uns valors determinats (solucions) de les incògnites.
Dues equacions són equivalents quan tenen les mateixes solucions.
El nombre de solucions d’un sistema és igual al grau de l’equació, tot i que en el conjunt dels nombres reals (\[\mathbb R\]) pot ser inferior quan apareixen arrels d’índex parell negatives com en aquest cas:
\[x^2-4x+8=0
\\
\Delta=\sqrt {b^2-4*a*c}
\\
\sqrt {4^2-4*1*8}
\\
\sqrt {16-32}
\\
\sqrt{-16}
\]
En aquest article, sols veurem la resolució de sistemes de dues equacions.
2. Classificació dels sistemes d’equacions
2.1 Segons el grau de les equacions
2.1.1.1 Lineals
Un sistema d’equacions és lineal quan tots els termes de les equacions són de grau u.
2.1.1.2 No lineals
Quan alguna o totes les equacions del sistema són de grau dos o superior, o bé són equacions no lineals, diem que és un sistema d’equacions no lineal.
2.2 Segons les soluciones del sistema
2.2.1 Sistema Compatible Determinat (SCD)
Un sistema és compatible determinat si té un nombre finit de solucions.
Per a què un sistema d’equacions sigui determinat, calen tantes equacions diferents com incògnites tingui el sistema.
Dues rectes del pla que formen un sistema compatible determinat es tallen en un punt.
\[\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
——————
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}
\]
2.2.2 Sistema Compatible Indeterminat
Un sistema compatible indeterminat és un sistema d’equacions que té infinites solucions.
Si un sistema té més incógnites que equacions diferents, serà un sistema indeterminat.
Si un sistema de dues funcions lineals del pla és indeterminat, les rectes que el formen són en realitat una mateixa recta.
\[\begin {cases}
2x+3y=8
\\
4x+6y=16
\\
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +4x+6y=16
\\
-4x-6y=-16
\\
——————-
\\
\hspace{9pt} 0x+0y=0
\end {cases}
\]
2.2.3 Sistema Incompatible
Un sistema és incompatible si no té solució.
Quan dues rectes del pla són paral·leles, formen un sistema incompatible.
\[\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x+3y=10
\\
————-
\\
0=-2
\end{cases}
\]
(Per a saber-ne, vegeu Altres mètodes de resolució de sistemes d’equacions -Batxillerat).
3. Resolució del sistemes d’equacions
Al resoldre un sistema d’equacions determinem els punts secants (d’intersecció) de les equacions del sistema entre sí. Aquests són els punts que tenen en comú les equacions del sistema.
El nombre màxim de solucions serà el grau més gran de les equacions del sistema.
3.1 Lineals
3.1.1 Reducció o Eliminació
Consisteix en eliminar o reduir una de les incògnites del sistema d’equacions.
Per a eliminar-la, multiplicarem cada equació pel coeficient de la incògnita que volem eliminar de l’altre equació.
\[\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
4*)\,2x+3y=8
\\
3*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
8x+12y=32
\\
3x-12y=-21
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} 11x+0y=11
\\
x=\frac{11}{11}=1
\\[0.2cm]
y=\frac{8-2x}{3}=2
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
1*)\,2x+3y=8
\\
2*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x-8y=-14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
—————-
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}
\]
3.1.2 Igualació
Per tal d’aplicar el mètode d’igualació, aïllarem la mateixa incògnita de cada equació i després igualarem ambdues expressions.
\[\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}
\\
x={-7+4y}
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
\frac{8-3y}{2}={-7+4y}
\\[0.2cm]
(8-3y)=2*(-7+4y)
\\[0.2cm]
8-3y=-14+8y
\\[0.2cm]
-3y-8y=-14-8
\\[0.2cm]
-11y=-22
\\[0.2cm]
y=\frac{22}{11}=2
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}
\]
3.1.3 Substitució
En el mètode de substitució, aïllarem una de les incògnites i la substituirem a l’altra equació.
\[\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
x-4*(\frac{8-2x}{3})=-7
\\[0.2cm]
x-\frac{32-8x}{3}=-7
\\[0.2cm]
\frac{3x-32+8x}{3}=\frac{-21}{3}
\\[0.2cm]
3x+8x=-21+32
\\[0.2cm]
11x=11
\\[0.2cm]
x=1
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
y=2
\end {cases}
\]
3.1.4 Mètode gràfic
Aïllarem la \[y\] de cada equació i les representarem en un mateix gràfic.
Si el sistema és compatible determinat, el punt d’intersecció d’ambdues rectes serà la solució del sistema.
Si és indeterminat, ambdues rectes seran coincidents.
Si és incompatible, seran paral·leles.
3.2 No lineals
El millor mètode de resoldre sistemes d’equacions no lineals sol ser el mètode de substitució, tot i que s’ha d’analitzar en cada cas el sistema per a determinar quin és el millor métode de resolució.
Per a saber-me més, vegeu Altres mètodes de resolució d’equacions -Batxillerat).
\[\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x+y=5
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x=5-y
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
(5-y)^2+y^2=25
\\
(25-10y+y^2)+y^2=25
\\
2y^2-10y=0
\\
y*(2y-10)=0
\\
y=5, 0
\\
x=0, 5
\end{cases}
\]
4. De tres equacions amb tres incògnites
Per a resoldre un sistema de tres equacions amb tres incògnites, usarem el sistema de reducció entre la primera i la segona equació, després entre la primera i la tercera i finalment entres les dues equacions resultants:
\[2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
7x-5y+2z=4
\\[1cm]
*-2)2x+3y-\enspace z=4
\\
\hspace{1.2cm}4x-2y+5z=7
\\
———————–
\\
\hspace{1.2cm}0x+8y-7z=1
\\[1cm]
\hspace{0.5cm}7*) 2x+3y-\enspace z=4
\\
-2*)7x-5y+2z=4
\\
————————–
\\
\hspace{1.9cm}31y-11z=20
\\[1cm]
\hspace{0.2cm}31*) \hspace{0.3cm}8y-\enspace 7z=1
\\
-8*)31y-11z=20
\\
———————
\\
\hspace{1.2cm}-129z=-129
\\[1cm]
z=\frac{129}{129}=1
\\
y=\frac{1+7z}{8}=1
\\
x=\frac{4+z-3y}{2}=1
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Resolució d’equacions d’una incògnita
Instruccions abans de començar
Una equació és una igualtat entre dues expressions matemàtiques que conté quantitats conegudes (coeficients) i quantitats desconegudes (incògnites). Resoldre una equació és trobar totes les solucions de l’equació.
Les equacions es poden classificar segons el nombre de solucions i el grau de l’equació. Si tenim més d’una equació, diem que és un sistema d’equacions.
1. De primer grau
Per a resoldre una equació de primer grau, farem el següents:
- Eliminarem els denominadors: per a eliminar els denominadors usarem el mètode del mínim comú múltiple.
- Resoldrem els parèntesis: aplicant la propietat distributiva \[a*(b+c)=a*b+a*c\].
- Passarem a una banda de la igualtat els monomis sense \[x\] i a l’altra els termes independents. Recordeu que fem l’operació inversa al terme que volem moure per a passar-lo a l’altra banda de l’equació.
- Reagrupem els monomis després de cada moviment.
- Finalment, aïllem la \[x\] passant a dividir el coeficient que la multiplica:
En aquest cas no hi ha ni denominadors ni parèntesis, anem doncs al tercer pas. Posem les \[x\] a l’esquerra de la igualtat i el termes independents a la dreta.
Movem el \[9\] de l’esquerra a la dreta restant-lo a cada banda de la igualtat:
\[2x+9-9=6+5x-9\]Agrupem els monomis (termes) semblants:
\[2x=5x-3\]Ara canviem de banda el \[5x\] restant-lo a cada costat de l’equació:
\[2x-5x=5x-5x-3\]Tornem a regrupar termes:
\[-3x=-3\]I aïllem la \[x\] passant a divdir el coeficient que la multiplica:
\[x=\frac{-3}{-3}=1\].
Un altre exemple amb denominadors i parèntesis:
\[2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}=\frac{5x+35}{2}\]Multipliquem a cada banda pel mínim comú múltiple:
\[6*[(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}]=6*(\frac{5x+35}{2})\]Eliminem els denominadors:
\[12*(2x+5)+2*(x+2)-15*(x-3)=3*(5x+35)\]Reagrupem els monomis semblants:
\[(24x+60)+(2x+4)-(15x-45)=(15x+105)\]Movem les \[x\] a l’esquerre de la igualtat i els termes independents a la dreta:
\[24x+2x-15x-15x=105-60-4-45\]I aïllem la \[x\]:
\[-4x=-4
\\
x=\frac{-4}{-4}=1
\]
2. De segon grau
2.1 Completa
Per a resoldre una equació de segon grau completa (amb tots els termes, \[ax^2+bx+c=0\]) usarem la següent fórmula:
\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c}}{2*a}\], per exemple
\[x^2+5x+6=0 \enspace a=1,\enspace b=5, \enspace c=6:
\\
x=\frac{-5\pm \sqrt{(5)^2-4*1*6}}{2*1}=
\\
\frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2-24}}{2}=
\\
\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{-5\pm 1}{2}
\\
x_1=\frac{-4}{2}=-2
\\
x_2=\frac{-6}{2}=-3
\]
2.2 Incompleta (b=0)
\[ax^2+c=0
\\
x=\pm \sqrt{\frac {-c}{a}}
\]
Exemple:
\[4 x^2-36=0\\
x=\pm \sqrt{\frac{-(-36)}{4}}
\\
x=\pm 3
\]
2.3 Incompleta (c=0)
\[ax^2+bx=0x(ax+b)=0
\\
x_1=0
\\
ax_2+b=0
\\
x_2=-\frac{b}{a}
\]
Exemple:
\[3x^2+6x=0
\\
x(3x+6)=0
\\
x_1=0
\\
x_2=-\frac{6}{3}=-2
\]
3. Calcular el nombre de solucions
Per a determinar el nombre de solucions d’una equació de segon grau sense resoldre-la, en calcularem el discriminant: \[\Delta=b^2-4*a*c.\]
3.1 Dues solucions
\[\Delta>0
\\
x^2+5x+6=0
\\
\Delta=5^2-4*1*6>0 \enspace (x_1= -2,x_2=-3)
\]
3.2 Una solució doble
\[\Delta=0
\\
x^2+4x+4=0
\\
\Delta=4^2-4*1*4=0 \enspace (x_1=+2,x_2=+2)
\]
3.3 Cap solució
\[\Delta<0
\\
x^2+5x+9=0
\\
\Delta=5^2-4*1*9<0
\]
4. Biquadrades
Les equacions biquadrades (\[ax^{2n}+bx^n+c=0\]) es resolen fent un canvi de variable (\[x^n=t\]) que les transforma en una equació de segon grau:
\[a*x^{2n}+b*x^n+c=0
\\
(x^n=t)
\\
a*t^2+b*t+c=0\]
Exemple:
\[x^4-5 \color {red}{x^2}+4=0 \enspace (\color {red}{x^2=t})
\\
t^2-5t+4=0
\\
t=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4*1*4}}{2*1}
\\
t=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2}
\\
t_1=4
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{4}= \pm 2
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1
\]
Un altre exemple: \[x^6-9x^3+8=0.\]
Fixeu-vos que això també és una equació biquadrada, perquè l’exponent del primer monomi és el doble de l’exponent del segon monomi i el tercer és el terme independent.
La resolem de la mateixa manera:
\[x^6-9 \color{red}{x^3}+8=0 \enspace (\color{red}{x^3=t})
\\
t^2-9t+8=0
\\
t=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2-4*1*8}}{2*1}
\\
t=\frac{9 \pm 7}{2}
\\
t_1=8
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{8}= \pm 2 \sqrt{2}
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1
\]
Si algun dels resultats de la \[t\] és negatiu, no es podrà trobar la \[x\] corresponent.
5. Irracionals
Són equacions en les quals la incògnita és sota una arrel, per exemple, \[\sqrt{x+1}=9\]. Per simplificació, sols analitzarem la resolució d’equacions irracionals amb arrels quadrades.
5.1 Amb una arrel
Per a solucionar una equació irracional:
- Posarem el terme amb arrel a un costat de la igualtat i la resta de termes a l’altra,
- Elevarem cada terme al quadrat per tal d’eliminar l’arrel, i
- Resoldrem l’equació que resulti de fer els passos anteriors:
\sqrt{2x-6}+2=4
\\
\sqrt{2x-6}=4-2
\\
\sqrt{2x-6}=2
\\
(\sqrt{2x-6})^2=2^2
\\
2x-6=4
\\
2x=4+6
\\
2x=10
\\
x=\frac{10}{2}=5
\]
5.2 Amb dues arrels
És el mateix procediment de resolució, però quan hi ha dues arrels, el càlcul sol ser més fàcil posant una arrel a cada banda de la igualtat. Si hi ha dues arrels, haurem de repetir els passos \[1\] i \[2\] dues vegades per a eliminar-les totes:
\[\sqrt{2x-3}+\sqrt{x+7}=4
\\
\sqrt{2x-3}=4-\sqrt{x+7}
\\
\sqrt{2x-3})^2=(4-\sqrt{x+7})^2
\\
2x-3=16-2*4*\sqrt{x+7}+(\sqrt{x+7})^2
\]
Ara que sols queda una arrel, continuarem el procés com en el cas anterior:
\[2x-3=16-8\sqrt{x+7}+(x+7)
\\
2x-3-16-(x+7)=-8\sqrt{x+7}
\\
x-26=-8\sqrt{x+7}
\\
(x-26)^2=(-8\sqrt{x+7})^2
\\
x^2-52x+676=64(x+7)
\\
x^2-116x+228=0
\\
x_1=114
\\
x_2=2
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Àrees i volums
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Potències
Instruccions abans de començar
1. Definició
Una potència és una multiplicació repetida d’un mateix nombre: \[a^n: a*a*…a, \, n\] vegades. \[a\] és la base i \[n\] és l’exponent.
Exemple:
\[3^5= \, 3*3*3*3*3= \, 243\]2. Propietats de les potències
2.1 Amb la mateixa base
Propietat Exemple \[a^n*a^m=a^{n+m}\] \[3^5*3^{-2}=3^3\] \[a^n \div a^m=a^{n-m}\] \[3^5 \div 3^{-2}=3^7\] \[(a^n)^m=a^{n*m}\] \[(3^5)^{-2}=3^{-10}\] \[a^0=1\] \[3^0=1\] \[a^1=a\] \[3^1=3\] \[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\] \[3^{-2}=\frac{1}{3^2}\]
2.2 Amb el mateix exponent
Propietat Exemple \[a^n*b^n=(a*b)^n\] \[3^5*2^{5}=(3*2)^5=6^5\] \[a^n \div b^n=(a \div b)^n\] \[3^5 \div 2^{5}=(\frac{3}{2})^5\]
Per a calcular fraccions de potències, farem:
1. Descompondrem les bases compostes en factors primers.
2. Multiplicarem les potències amb la mateixa base del numerador i del denominador tenint en compte les propietats anteriors.
3. Dividirem les potències resultants de la mateix base:
Exemple:
\[
\frac{6^3*2^5*7^{-2}*25^3}{49^6*125^{-3}*16^2*3^3}=\\
\frac{(2*3)^3*2^5*7^{-2}*(5^2)^3}{(7^2)^6*(5^3)^{-3}*(2^4)^2*3^3}=\\
\frac{(2*3)^3*2^5*(5^2)^3}{(7^2)*(7^{2})^6*5^{-9}*(2^4)^2*3^3}=\\
\frac{2^3*3^3*2^5*5^6}{7^2*7^{12}*5^{-9}*2^8*3^3}=\\
\frac{2^8*3^3*5^6}{7^{14}*5^{-9}*2^8*3^3}=\\
\frac{5^{15}}{7^{14}}=5^{15}*7^{-14}
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
| Propietat | Exemple |
|---|---|
| \[a^n*a^m=a^{n+m}\] | \[3^5*3^{-2}=3^3\] |
| \[a^n \div a^m=a^{n-m}\] | \[3^5 \div 3^{-2}=3^7\] |
| \[(a^n)^m=a^{n*m}\] | \[(3^5)^{-2}=3^{-10}\] |
| \[a^0=1\] | \[3^0=1\] |
| \[a^1=a\] | \[3^1=3\] |
| \[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\] | \[3^{-2}=\frac{1}{3^2}\] |
| Propietat | Exemple |
|---|---|
| \[a^n*b^n=(a*b)^n\] | \[3^5*2^{5}=(3*2)^5=6^5\] |
| \[a^n \div b^n=(a \div b)^n\] | \[3^5 \div 2^{5}=(\frac{3}{2})^5\] |
Per a calcular fraccions de potències, farem:
1. Descompondrem les bases compostes en factors primers.
2. Multiplicarem les potències amb la mateixa base del numerador i del denominador tenint en compte les propietats anteriors.
3. Dividirem les potències resultants de la mateix base:
Exemple:
\[
\frac{6^3*2^5*7^{-2}*25^3}{49^6*125^{-3}*16^2*3^3}=\\
\frac{(2*3)^3*2^5*7^{-2}*(5^2)^3}{(7^2)^6*(5^3)^{-3}*(2^4)^2*3^3}=\\
\frac{(2*3)^3*2^5*(5^2)^3}{(7^2)*(7^{2})^6*5^{-9}*(2^4)^2*3^3}=\\
\frac{2^3*3^3*2^5*5^6}{7^2*7^{12}*5^{-9}*2^8*3^3}=\\
\frac{2^8*3^3*5^6}{7^{14}*5^{-9}*2^8*3^3}=\\
\frac{5^{15}}{7^{14}}=5^{15}*7^{-14}
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Nombres reals
Instruccions abans de començar
Els nombres reals és el conjunt de nombres format pel conjunt dels nombres racionals i el conjunt dels nombres irracionals.
El nombres reals són un subconjunt de nombres complexos.
1. Nombres Naturals
Són els nombres que usem per a comptar: \[0, 1, 2, 3, 4, 5, … \]. El conjunt dels nombres naturals es representa per \[\mathbb{N}\].
1.1 Nombres primers
Són els nombres naturals que sols són divisibles per ells mateixos i per la unitat.
Exemple:
\[2, 3, 5, 7, 11…\]
1.2 Nombres compostos
Un nombre compost, és un nombre format pel producte de nombres primers.
Exemple:
\[
6=2*3\\
24=2^3*3\\
60=2^2*5*3\\
450=2*3^2*5^2
\]
2. Nombres enters
És el conjunt dels nombres naturals positius, negatius i el 0: \[…-3,-2,-1,0,1,2,3,…\]. El conjunt de nombres enters es representa per \[\mathbb{Z}\].
Els nombres naturals són part dels nombres enters (\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\]).
3. Nombres racionals
Són els nombres decimals generats per una fracció que anomenem fracció generatriu\[ \frac{a}{b}\]. \[a,b\] són nombres enters i \[b \neq 0\]. Els conjunt de nombres racionals es representa per \[\mathbb{Q}\].
Exemple:
\[\frac{21}{10}=2.1, \, \frac{3}{2}=1.5\].
Els nombres enters també són racionals perquè els podem expressar en forma de fracció: \[2 = \frac{2}{1}\]. Per tant, els nombres enters són un subconjunt dels racionals (\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\]).
Els nombres decimals dels quals en podem trobar una fracció generatriu són:
3.1 Decimals exactes
Els decimals exactes són els nombres decimals que tenen una quantitat exacta de decimals.
Exemple:
\[2.345\], té tres decimals
\[0.9\], té un decimal
\[5.129837\], té sis decimals
Per a calcular la fracció generatriu d’un decimal exacte (\[2.345\]), fem el següent:
i) Escrivim el nombre sense comes al numerador: \[2\, 345\]
ii) El dividim per \[10 \] elevat al nombre de decimals que tingui: \[\frac{2\, 345}{10^3}=\frac{2\, 345}{1\, 000}\].
iii) Calculem la fracció irreductible: \[\frac{469}{200}…\]
Exemple:
\[1.75= \frac{175}{10^ 2} = \frac{7}{4}\].
3.2 Decimals periòdics purs
Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.
Exemple:
\[
2.33333… \rightarrow 2. \hat 3 \\
0.66666… \rightarrow 0. \hat 6 \\
8.97979… \rightarrow 8. \widehat {97} \\
\]
Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.
En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \[10\] elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:
Exemple:
\[
n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\
n \hspace{1cm}= \hspace{0.8cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm}56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\]
La forma ràpida de calcular la fracció generatriu és:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \[56\, 987-56=56\, 931\]
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període: \[999\]
iii) Calculem al fracció irreductible: \[\frac{56\, 931}{999}=\frac{56\, 931}{999}\]
Exemple:
\[
1.23232323…= 1.\widehat {23} \\
\frac{123 – 1}{99} = \\
\frac{122}{99}
\]
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \[123\], el període és \[\widehat{23}\], el nombre fins al període és l’\[1\] i el període té dos decimals.
3.3 Decimals periòdics mixts
Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.
Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \[10\] elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:
Exemple
\[
n=56.9 \widehat{87} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{87}\\
-\\
10*n \hspace{0.4cm}=\hspace{0.6cm}569.\widehat{87}\\
———\\
990*n \hspace{0.4cm}=\, 56 \,418.0
\\
n=\frac{56\, 418}{990}
\]
Per a calcular la fracció generatriu, fem:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \[56\, 987-569=56\, 418\]
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període i tants zeros com decimals tingui l’avantperíode: \[990\]
iii) Calculem al fracció irreductible: \[\frac{56\, 418}{900}=\frac{9\, 403}{150}\]
Exemple:
\[1.5787878…= 1.5\widehat{78} = \\
\frac{157 – 15}{900} =\\
\frac{142}{900} = \\
\frac{71}{450}
\]
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \[1578\], l’avantperíode és \[5\] i el període és \[\widehat 78\] i el nombre fins al període és l’\[1\]. L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.
4. Nombres irracionals
Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \[\mathbb{I}\].
Exemple:
\[\pi, e\], qualsevol arrel no exacta com \[\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\].
5. Nombres reals
És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \[\mathbb{R}\].
Per tant, \[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\].
Els nombres reals es representen a la recta real.
5.1 Representació a la recta real
i) Per a representar un nombre enter (\[\mathbb{Z}\]) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\[\mathbb{N}\]) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\[\mathbb{Q}\]), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \[0\] i \[1\] (p.e: \[\frac{4}{5}=0.8\]).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \[\frac{5}{2}=2.5)\]. Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\[\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\]).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\[
0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\]
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \[ 0-1\] en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
Exemple:
\[
1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\]
iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:
Exemple:
\[
\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\]
6. Intervals
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\[-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\]. En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \[(- \infty \lt x \leq +2]\]).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\[\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\]. \[ ]n , n[\] o bé \[(n , n)\] significa que l’extrem és obert i \[ [n , n] \] vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \[(-\infty, +2]\]).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \[N*10^a\]. \[N\] és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \[a\] és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
Exemple:
\[
1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\]
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \[10^{-12}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \[10^{+12}\].
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \[10^{+9}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \[10^{-9}\].
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\]
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Un nombre compost, és un nombre format pel producte de nombres primers.
Exemple:
\[6=2*3\\
24=2^3*3\\
60=2^2*5*3\\
450=2*3^2*5^2
\]
2. Nombres enters
És el conjunt dels nombres naturals positius, negatius i el 0: \[…-3,-2,-1,0,1,2,3,…\]. El conjunt de nombres enters es representa per \[\mathbb{Z}\].
Els nombres naturals són part dels nombres enters (\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\]).
3. Nombres racionals
Són els nombres decimals generats per una fracció que anomenem fracció generatriu\[ \frac{a}{b}\]. \[a,b\] són nombres enters i \[b \neq 0\]. Els conjunt de nombres racionals es representa per \[\mathbb{Q}\].
Exemple:
\[\frac{21}{10}=2.1, \, \frac{3}{2}=1.5\].
Els nombres enters també són racionals perquè els podem expressar en forma de fracció: \[2 = \frac{2}{1}\]. Per tant, els nombres enters són un subconjunt dels racionals (\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\]).
Els nombres decimals dels quals en podem trobar una fracció generatriu són:
3.1 Decimals exactes
Els decimals exactes són els nombres decimals que tenen una quantitat exacta de decimals.
Exemple:
\[2.345\], té tres decimals
\[0.9\], té un decimal
\[5.129837\], té sis decimals
Per a calcular la fracció generatriu d’un decimal exacte (\[2.345\]), fem el següent:
i) Escrivim el nombre sense comes al numerador: \[2\, 345\]
ii) El dividim per \[10 \] elevat al nombre de decimals que tingui: \[\frac{2\, 345}{10^3}=\frac{2\, 345}{1\, 000}\].
iii) Calculem la fracció irreductible: \[\frac{469}{200}…\]
Exemple:
\[1.75= \frac{175}{10^ 2} = \frac{7}{4}\].
3.2 Decimals periòdics purs
Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.
Exemple:
\[
2.33333… \rightarrow 2. \hat 3 \\
0.66666… \rightarrow 0. \hat 6 \\
8.97979… \rightarrow 8. \widehat {97} \\
\]
Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.
En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \[10\] elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:
Exemple:
\[
n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\
n \hspace{1cm}= \hspace{0.8cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm}56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\]
La forma ràpida de calcular la fracció generatriu és:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \[56\, 987-56=56\, 931\]
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període: \[999\]
iii) Calculem al fracció irreductible: \[\frac{56\, 931}{999}=\frac{56\, 931}{999}\]
Exemple:
\[
1.23232323…= 1.\widehat {23} \\
\frac{123 – 1}{99} = \\
\frac{122}{99}
\]
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \[123\], el període és \[\widehat{23}\], el nombre fins al període és l’\[1\] i el període té dos decimals.
3.3 Decimals periòdics mixts
Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.
Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \[10\] elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:
Exemple
\[
n=56.9 \widehat{87} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{87}\\
-\\
10*n \hspace{0.4cm}=\hspace{0.6cm}569.\widehat{87}\\
———\\
990*n \hspace{0.4cm}=\, 56 \,418.0
\\
n=\frac{56\, 418}{990}
\]
Per a calcular la fracció generatriu, fem:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \[56\, 987-569=56\, 418\]
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període i tants zeros com decimals tingui l’avantperíode: \[990\]
iii) Calculem al fracció irreductible: \[\frac{56\, 418}{900}=\frac{9\, 403}{150}\]
Exemple:
\[1.5787878…= 1.5\widehat{78} = \\
\frac{157 – 15}{900} =\\
\frac{142}{900} = \\
\frac{71}{450}
\]
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \[1578\], l’avantperíode és \[5\] i el període és \[\widehat 78\] i el nombre fins al període és l’\[1\]. L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.
4. Nombres irracionals
Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \[\mathbb{I}\].
Exemple:
\[\pi, e\], qualsevol arrel no exacta com \[\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\].
5. Nombres reals
És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \[\mathbb{R}\].
Per tant, \[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\].
Els nombres reals es representen a la recta real.
5.1 Representació a la recta real
i) Per a representar un nombre enter (\[\mathbb{Z}\]) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\[\mathbb{N}\]) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\[\mathbb{Q}\]), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \[0\] i \[1\] (p.e: \[\frac{4}{5}=0.8\]).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \[\frac{5}{2}=2.5)\]. Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\[\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\]).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\[
0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\]
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \[ 0-1\] en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
Exemple:
\[
1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\]
iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:
Exemple:
\[
\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\]
6. Intervals
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\[-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\]. En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \[(- \infty \lt x \leq +2]\]).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\[\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\]. \[ ]n , n[\] o bé \[(n , n)\] significa que l’extrem és obert i \[ [n , n] \] vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \[(-\infty, +2]\]).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \[N*10^a\]. \[N\] és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \[a\] és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
Exemple:
\[
1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\]
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \[10^{-12}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \[10^{+12}\].
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \[10^{+9}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \[10^{-9}\].
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\]
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
\[0.9\], té un decimal
\[5.129837\], té sis decimals
Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.
Exemple:
\[2.33333… \rightarrow 2. \hat 3 \\
0.66666… \rightarrow 0. \hat 6 \\
8.97979… \rightarrow 8. \widehat {97} \\
\]
Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.
En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \[10\] elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:
Exemple:
\[n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\
n \hspace{1cm}= \hspace{0.8cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm}56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\]
La forma ràpida de calcular la fracció generatriu és:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \[56\, 987-56=56\, 931\]
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període: \[999\]
iii) Calculem al fracció irreductible: \[\frac{56\, 931}{999}=\frac{56\, 931}{999}\]
Exemple:
\[1.23232323…= 1.\widehat {23} \\
\frac{123 – 1}{99} = \\
\frac{122}{99}
\]
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \[123\], el període és \[\widehat{23}\], el nombre fins al període és l’\[1\] i el període té dos decimals.
3.3 Decimals periòdics mixts
Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.
Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \[10\] elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:
Exemple
\[
n=56.9 \widehat{87} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{87}\\
-\\
10*n \hspace{0.4cm}=\hspace{0.6cm}569.\widehat{87}\\
———\\
990*n \hspace{0.4cm}=\, 56 \,418.0
\\
n=\frac{56\, 418}{990}
\]
Per a calcular la fracció generatriu, fem:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \[56\, 987-569=56\, 418\]
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període i tants zeros com decimals tingui l’avantperíode: \[990\]
iii) Calculem al fracció irreductible: \[\frac{56\, 418}{900}=\frac{9\, 403}{150}\]
Exemple:
\[1.5787878…= 1.5\widehat{78} = \\
\frac{157 – 15}{900} =\\
\frac{142}{900} = \\
\frac{71}{450}
\]
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \[1578\], l’avantperíode és \[5\] i el període és \[\widehat 78\] i el nombre fins al període és l’\[1\]. L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.
4. Nombres irracionals
Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \[\mathbb{I}\].
Exemple:
\[\pi, e\], qualsevol arrel no exacta com \[\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\].
5. Nombres reals
És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \[\mathbb{R}\].
Per tant, \[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\].
Els nombres reals es representen a la recta real.
5.1 Representació a la recta real
i) Per a representar un nombre enter (\[\mathbb{Z}\]) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\[\mathbb{N}\]) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\[\mathbb{Q}\]), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \[0\] i \[1\] (p.e: \[\frac{4}{5}=0.8\]).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \[\frac{5}{2}=2.5)\]. Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\[\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\]).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\[
0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\]
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \[ 0-1\] en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
Exemple:
\[
1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\]
iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:
Exemple:
\[
\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\]
6. Intervals
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\[-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\]. En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \[(- \infty \lt x \leq +2]\]).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\[\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\]. \[ ]n , n[\] o bé \[(n , n)\] significa que l’extrem és obert i \[ [n , n] \] vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \[(-\infty, +2]\]).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \[N*10^a\]. \[N\] és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \[a\] és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
Exemple:
\[
1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\]
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \[10^{-12}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \[10^{+12}\].
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \[10^{+9}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \[10^{-9}\].
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\]
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
i) Per a representar un nombre enter (\[\mathbb{Z}\]) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\[\mathbb{N}\]) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\[\mathbb{Q}\]), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \[0\] i \[1\] (p.e: \[\frac{4}{5}=0.8\]).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \[\frac{5}{2}=2.5)\]. Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\[\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\]).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\[0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\]
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \[ 0-1\] en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
Exemple:
\[1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\]
iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:
Exemple:
\[\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\]
6. Intervals
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\[-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\]. En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \[(- \infty \lt x \leq +2]\]).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\[\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\]. \[ ]n , n[\] o bé \[(n , n)\] significa que l’extrem és obert i \[ [n , n] \] vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \[(-\infty, +2]\]).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \[N*10^a\]. \[N\] és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \[a\] és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
Exemple:
\[1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\]
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \[10^{-12}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \[10^{+12}\].
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \[10^{+9}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \[10^{-9}\].
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\]
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Exemple:
\[2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Radicals
Instruccions abans de començar
Definició
L’arrel n-éssima de \[a\] (un nombre real), és tot nombre real \[b\] que verifica \[b^n = a\]. Ho escrivim \[b = \sqrt[n]{a}\].
Anomenem radicand de l’arrel a \[a\] i índex de l’arrel a \[n\].
Exemples:
\[\sqrt{4} = \pm 2\], perquè \[(\pm 2)^2=4\\\]
\[\sqrt[3]{-8} = -2\], perquè \[(-2)^3=-8\\\]
\[\sqrt[4]{81} = \pm 3\], perquè \[(\pm 3)^4=81\]
Propietats de les arrels
| Propietat fonamental | \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n*p]{a^{m*p}}\] |
| Relació entre potències i arrels | \[\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\] |
| Arrels d’un radical | \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m*n]{a}\] |
| Potència d’un radical | \[(\sqrt[m]{a^n})^p= \sqrt[m]{a^{p*n}}\] |
| Producte de radicals | \[\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b} \] |
| Quocient de radicals | \[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\] |
Operacions amb arrels
Per a operar radicals, descompondrem sempre els radicals compostos en nombres primers.
Exemple:
\[\sqrt{6}=\sqrt{2*3}, \, \sqrt[4]{45}=\sqrt[4]{3^2*5}, \, \sqrt[3]{72}=\sqrt[3]{3^2*2^3}\]Transformació a potències
\[\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\]
Exemples:
\[
\sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}, \\
\sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}},\\
\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}},\\
\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^3} = 2^{\frac{3}{4}}
\]
Podem simplificar l’arrel \[ \sqrt[n]{a^m}\] si la fracció \[\frac{m}{n}\] es pot simplificar.
Exemples:
\[
\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{\frac{6}{4}}=2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}\\
\sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^4} = 2^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}\].
Arrels d’un radical
Per a calcular l’arrel d’un radical, hem de multiplicar els índexs de les arrels del radical: \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m*n]{a}\].
Exemple:
\[\sqrt[3]{\sqrt[5]{7}}=\sqrt[15]{7}\]
Potència d’un radical
\[(\sqrt[m]{a^n})^p= \sqrt[m]{a^{p*n}}\]
Exemple:
\[
(\sqrt[4]{8^3})^7=
\sqrt[4]{8^{3*7}}=
\sqrt[4]{8^{21}}
\]
Extracció/ introducció de factors de l’arrel
Abans de fer res més, descompondrem el radicand en factors primers.
Extracció de factors de l’arrel:
Per a extreure factors de l’arrel, l’exponent del factor del radicand ha de ser més gran o igual que l’índex de l’arrel.
Quan dividim l’exponent del radicand entre l’índex de l’arrel, el residu indica l’exponent del factor del radicand queda dins l’arrel i el quocient és l’exponent del factor que queda fora de l’arrel.
Exemple:
\[
\sqrt[4]{3^{11}}= \, 3^2*\sqrt[4]{3^3}\\
(11 \div 3 \rightarrow quocient= 3, residu= 2)\\
\]
Exemple:
\[
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3*5^2*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3}*\sqrt[3]{5^2}*\sqrt[3]{b^5}=\\
2*\sqrt[3]{5^2}*b*\sqrt[3]{b^2}=\
2*b*\sqrt[3]{5^2*b^2}=\\
2b\, \sqrt[3]{25b^2}
\]
Introducció de factors a l’arrel:
Per a introduir un factor dins l’arrel, l’elevarem a l’índex de l’arrel.
Exemple:
\[
2*b*\sqrt[3]{25*b^2}=\\
\sqrt[3]{2^3*b^3*25*b^2}=\\
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{200b^5}
\]
Producte/ Quocient de radicals
Per a multiplicar o dividir radicals han de tenir, o bé el mateix índex, o bé el mateix radicand.
Si tenen el mateix índex:
\[
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\
\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b}
\]
Exemple:
\[
\frac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{15}{3}} = \sqrt[3]{5}\\
\sqrt[3]{15}*\sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{15*3}=\sqrt[3]{45}
\]
Si no tenen el mateix índex ( \[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}, \,\sqrt[n]{a}*\sqrt[m]{b}\]):
Quan les arrels no tenen el mateix índex, per a poder operar-les hem de transformar-les en les arrels equivalents aplicant la propietat fonamental de manera que tinguin el mateix índex.
L’índex comú és el mínim comú múltiple (mcm) dels índexs de les arrels.
Exemple:
\[\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}\]
El mínim comú múltiple dels índexs d’aquestes arrels és sis \[(6)\] . Si canviem l’índex de cada arrel per sis i fem l’arrel equivalent:
\[\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}=\sqrt[6]{2^2}*\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{2^2*5^3}=\sqrt[6]{60}
\]
En aquest cas, també podríem transformar les arrels a potències i operar-les, però aquesta és una entrada per aprendre a operar arrels.
Suma/Resta de radicals
Per a sumar i restar radicals cal que cada terme de la suma (o resta) tingui el mateix índex i el mateix radicand , és a dir, han de ser radicals semblants.
Els radicals semblants tenen el mateix índex i el mateix radicand, però els coeficient que els multiplica són diferents. \[2\sqrt[5]{9}\] i \[ 8\sqrt[5]{9}\] són radicals semblants.
Dos o més radicals són equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. \[\sqrt[5]{9^2}\] i \[ 8\sqrt[10]{9^4}\] són radicals equivalents.
Per exemple, podem sumar o restar \[3\sqrt{5}\] i \[9\sqrt{5}\] però no podem sumar o restar \[\sqrt{5}\] i \[\sqrt{3}\] o \[\sqrt[3]{5}\] i\[\sqrt{5}\].
De fet, no sabem sumar ni restar arrels. Però, si és possible, podem treure factor comú dels radicands semblants i sumar o restar-ne els coeficients després de fer l’extracció de factors de cada arrel.
Exemple:
\[
\sqrt{40}+\sqrt{90}=\\
\sqrt{2^3*5}+\sqrt{2*3^2*5}=\\
2*\sqrt{2*5}+3\sqrt{2*5}=\\
\sqrt{10}*(2+3)=\\
5*\sqrt{10}
\]
Racionalització
Consisteix a transformar fraccions amb arrels al denominador en altres arrels ‘equivalents que no en tinguin.
Si tenim fraccions del tipus \[\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}\] multipliquem a dalt i a baix per \[\sqrt[n]{b^{n-m}}\]:
Exemple:
\[
\frac{4}{\sqrt[3]{7}} =\\
\frac{4}{\sqrt[3]{7^1}}\frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}} =\\
\frac{4\sqrt[3]{7^2}}{7}
\]
Quan el denominador és un binomi [\[(b + \sqrt{c})\], o bé \[(\sqrt{b} – \sqrt{c})\]], multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel conjugat del denominador. El conjugat d’un binomi \[(a+b)\] és \[(a-b)\], i el conjugat de \[(a-b)\] és \[(a+b)\].
Multiplicant el denominador pel seu conjugat el transformen en un nombre real \[(\mathbb{R})\]. Recordeu la identitat notable dels polinomis \[(a + b)(a – b) = a^2 – b^2\].
Exemple:
\[\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{2 – 3} = -5(\sqrt{2} – \sqrt{3})\]
\[\frac{6}{2 – \sqrt{5}} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{(2 – \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{4 – 5} = -6(2 + \sqrt{5})\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{\frac{6}{4}}=2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}\\
\sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^4} = 2^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}\].
Per a calcular l’arrel d’un radical, hem de multiplicar els índexs de les arrels del radical: \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m*n]{a}\].
Exemple:
\[\sqrt[3]{\sqrt[5]{7}}=\sqrt[15]{7}\]Potència d’un radical
\[(\sqrt[m]{a^n})^p= \sqrt[m]{a^{p*n}}\]
Exemple:
\[
(\sqrt[4]{8^3})^7=
\sqrt[4]{8^{3*7}}=
\sqrt[4]{8^{21}}
\]
Extracció/ introducció de factors de l’arrel
Abans de fer res més, descompondrem el radicand en factors primers.
Extracció de factors de l’arrel:
Per a extreure factors de l’arrel, l’exponent del factor del radicand ha de ser més gran o igual que l’índex de l’arrel.
Quan dividim l’exponent del radicand entre l’índex de l’arrel, el residu indica l’exponent del factor del radicand queda dins l’arrel i el quocient és l’exponent del factor que queda fora de l’arrel.
Exemple:
\[
\sqrt[4]{3^{11}}= \, 3^2*\sqrt[4]{3^3}\\
(11 \div 3 \rightarrow quocient= 3, residu= 2)\\
\]
Exemple:
\[
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3*5^2*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3}*\sqrt[3]{5^2}*\sqrt[3]{b^5}=\\
2*\sqrt[3]{5^2}*b*\sqrt[3]{b^2}=\
2*b*\sqrt[3]{5^2*b^2}=\\
2b\, \sqrt[3]{25b^2}
\]
Introducció de factors a l’arrel:
Per a introduir un factor dins l’arrel, l’elevarem a l’índex de l’arrel.
Exemple:
\[
2*b*\sqrt[3]{25*b^2}=\\
\sqrt[3]{2^3*b^3*25*b^2}=\\
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{200b^5}
\]
Producte/ Quocient de radicals
Per a multiplicar o dividir radicals han de tenir, o bé el mateix índex, o bé el mateix radicand.
Si tenen el mateix índex:
\[
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\
\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b}
\]
Exemple:
\[
\frac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{15}{3}} = \sqrt[3]{5}\\
\sqrt[3]{15}*\sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{15*3}=\sqrt[3]{45}
\]
Si no tenen el mateix índex ( \[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}, \,\sqrt[n]{a}*\sqrt[m]{b}\]):
Quan les arrels no tenen el mateix índex, per a poder operar-les hem de transformar-les en les arrels equivalents aplicant la propietat fonamental de manera que tinguin el mateix índex.
L’índex comú és el mínim comú múltiple (mcm) dels índexs de les arrels.
Exemple:
\[\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}\]
El mínim comú múltiple dels índexs d’aquestes arrels és sis \[(6)\] . Si canviem l’índex de cada arrel per sis i fem l’arrel equivalent:
\[\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}=\sqrt[6]{2^2}*\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{2^2*5^3}=\sqrt[6]{60}
\]
En aquest cas, també podríem transformar les arrels a potències i operar-les, però aquesta és una entrada per aprendre a operar arrels.
Suma/Resta de radicals
Per a sumar i restar radicals cal que cada terme de la suma (o resta) tingui el mateix índex i el mateix radicand , és a dir, han de ser radicals semblants.
Els radicals semblants tenen el mateix índex i el mateix radicand, però els coeficient que els multiplica són diferents. \[2\sqrt[5]{9}\] i \[ 8\sqrt[5]{9}\] són radicals semblants.
Dos o més radicals són equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. \[\sqrt[5]{9^2}\] i \[ 8\sqrt[10]{9^4}\] són radicals equivalents.
Per exemple, podem sumar o restar \[3\sqrt{5}\] i \[9\sqrt{5}\] però no podem sumar o restar \[\sqrt{5}\] i \[\sqrt{3}\] o \[\sqrt[3]{5}\] i\[\sqrt{5}\].
De fet, no sabem sumar ni restar arrels. Però, si és possible, podem treure factor comú dels radicands semblants i sumar o restar-ne els coeficients després de fer l’extracció de factors de cada arrel.
Exemple:
\[
\sqrt{40}+\sqrt{90}=\\
\sqrt{2^3*5}+\sqrt{2*3^2*5}=\\
2*\sqrt{2*5}+3\sqrt{2*5}=\\
\sqrt{10}*(2+3)=\\
5*\sqrt{10}
\]
Racionalització
Consisteix a transformar fraccions amb arrels al denominador en altres arrels ‘equivalents que no en tinguin.
Si tenim fraccions del tipus \[\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}\] multipliquem a dalt i a baix per \[\sqrt[n]{b^{n-m}}\]:
Exemple:
\[
\frac{4}{\sqrt[3]{7}} =\\
\frac{4}{\sqrt[3]{7^1}}\frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}} =\\
\frac{4\sqrt[3]{7^2}}{7}
\]
Quan el denominador és un binomi [\[(b + \sqrt{c})\], o bé \[(\sqrt{b} – \sqrt{c})\]], multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel conjugat del denominador. El conjugat d’un binomi \[(a+b)\] és \[(a-b)\], i el conjugat de \[(a-b)\] és \[(a+b)\].
Multiplicant el denominador pel seu conjugat el transformen en un nombre real \[(\mathbb{R})\]. Recordeu la identitat notable dels polinomis \[(a + b)(a – b) = a^2 – b^2\].
Exemple:
\[\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{2 – 3} = -5(\sqrt{2} – \sqrt{3})\]
\[\frac{6}{2 – \sqrt{5}} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{(2 – \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{4 – 5} = -6(2 + \sqrt{5})\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Abans de fer res més, descompondrem el radicand en factors primers.
Extracció de factors de l’arrel:
Per a extreure factors de l’arrel, l’exponent del factor del radicand ha de ser més gran o igual que l’índex de l’arrel.
Quan dividim l’exponent del radicand entre l’índex de l’arrel, el residu indica l’exponent del factor del radicand queda dins l’arrel i el quocient és l’exponent del factor que queda fora de l’arrel.
Exemple:
\[\sqrt[4]{3^{11}}= \, 3^2*\sqrt[4]{3^3}\\
(11 \div 3 \rightarrow quocient= 3, residu= 2)\\
\]
Exemple:
\[\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3*5^2*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3}*\sqrt[3]{5^2}*\sqrt[3]{b^5}=\\
2*\sqrt[3]{5^2}*b*\sqrt[3]{b^2}=\
2*b*\sqrt[3]{5^2*b^2}=\\
2b\, \sqrt[3]{25b^2}
\]
Introducció de factors a l’arrel:
Per a introduir un factor dins l’arrel, l’elevarem a l’índex de l’arrel.
Exemple:
\[2*b*\sqrt[3]{25*b^2}=\\
\sqrt[3]{2^3*b^3*25*b^2}=\\
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{200b^5}
\]
Producte/ Quocient de radicals
Per a multiplicar o dividir radicals han de tenir, o bé el mateix índex, o bé el mateix radicand.
Si tenen el mateix índex:
\[
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\
\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b}
\]
Exemple:
\[
\frac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{15}{3}} = \sqrt[3]{5}\\
\sqrt[3]{15}*\sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{15*3}=\sqrt[3]{45}
\]
Si no tenen el mateix índex ( \[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}, \,\sqrt[n]{a}*\sqrt[m]{b}\]):
Quan les arrels no tenen el mateix índex, per a poder operar-les hem de transformar-les en les arrels equivalents aplicant la propietat fonamental de manera que tinguin el mateix índex.
L’índex comú és el mínim comú múltiple (mcm) dels índexs de les arrels.
Exemple:
\[\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}\]
El mínim comú múltiple dels índexs d’aquestes arrels és sis \[(6)\] . Si canviem l’índex de cada arrel per sis i fem l’arrel equivalent:
\[\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}=\sqrt[6]{2^2}*\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{2^2*5^3}=\sqrt[6]{60}
\]
En aquest cas, també podríem transformar les arrels a potències i operar-les, però aquesta és una entrada per aprendre a operar arrels.
Suma/Resta de radicals
Per a sumar i restar radicals cal que cada terme de la suma (o resta) tingui el mateix índex i el mateix radicand , és a dir, han de ser radicals semblants.
Els radicals semblants tenen el mateix índex i el mateix radicand, però els coeficient que els multiplica són diferents. \[2\sqrt[5]{9}\] i \[ 8\sqrt[5]{9}\] són radicals semblants.
Dos o més radicals són equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. \[\sqrt[5]{9^2}\] i \[ 8\sqrt[10]{9^4}\] són radicals equivalents.
Per exemple, podem sumar o restar \[3\sqrt{5}\] i \[9\sqrt{5}\] però no podem sumar o restar \[\sqrt{5}\] i \[\sqrt{3}\] o \[\sqrt[3]{5}\] i\[\sqrt{5}\].
De fet, no sabem sumar ni restar arrels. Però, si és possible, podem treure factor comú dels radicands semblants i sumar o restar-ne els coeficients després de fer l’extracció de factors de cada arrel.
Exemple:
\[
\sqrt{40}+\sqrt{90}=\\
\sqrt{2^3*5}+\sqrt{2*3^2*5}=\\
2*\sqrt{2*5}+3\sqrt{2*5}=\\
\sqrt{10}*(2+3)=\\
5*\sqrt{10}
\]
Racionalització
Consisteix a transformar fraccions amb arrels al denominador en altres arrels ‘equivalents que no en tinguin.
Si tenim fraccions del tipus \[\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}\] multipliquem a dalt i a baix per \[\sqrt[n]{b^{n-m}}\]:
Exemple:
\[
\frac{4}{\sqrt[3]{7}} =\\
\frac{4}{\sqrt[3]{7^1}}\frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}} =\\
\frac{4\sqrt[3]{7^2}}{7}
\]
Quan el denominador és un binomi [\[(b + \sqrt{c})\], o bé \[(\sqrt{b} – \sqrt{c})\]], multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel conjugat del denominador. El conjugat d’un binomi \[(a+b)\] és \[(a-b)\], i el conjugat de \[(a-b)\] és \[(a+b)\].
Multiplicant el denominador pel seu conjugat el transformen en un nombre real \[(\mathbb{R})\]. Recordeu la identitat notable dels polinomis \[(a + b)(a – b) = a^2 – b^2\].
Exemple:
\[\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{2 – 3} = -5(\sqrt{2} – \sqrt{3})\]
\[\frac{6}{2 – \sqrt{5}} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{(2 – \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{4 – 5} = -6(2 + \sqrt{5})\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Per a sumar i restar radicals cal que cada terme de la suma (o resta) tingui el mateix índex i el mateix radicand , és a dir, han de ser radicals semblants.
Els radicals semblants tenen el mateix índex i el mateix radicand, però els coeficient que els multiplica són diferents. \[2\sqrt[5]{9}\] i \[ 8\sqrt[5]{9}\] són radicals semblants.
Dos o més radicals són equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. \[\sqrt[5]{9^2}\] i \[ 8\sqrt[10]{9^4}\] són radicals equivalents.
Per exemple, podem sumar o restar \[3\sqrt{5}\] i \[9\sqrt{5}\] però no podem sumar o restar \[\sqrt{5}\] i \[\sqrt{3}\] o \[\sqrt[3]{5}\] i\[\sqrt{5}\].
De fet, no sabem sumar ni restar arrels. Però, si és possible, podem treure factor comú dels radicands semblants i sumar o restar-ne els coeficients després de fer l’extracció de factors de cada arrel.
Exemple:
\[\sqrt{40}+\sqrt{90}=\\
\sqrt{2^3*5}+\sqrt{2*3^2*5}=\\
2*\sqrt{2*5}+3\sqrt{2*5}=\\
\sqrt{10}*(2+3)=\\
5*\sqrt{10}
\]
Racionalització
Consisteix a transformar fraccions amb arrels al denominador en altres arrels ‘equivalents que no en tinguin.
Si tenim fraccions del tipus \[\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}\] multipliquem a dalt i a baix per \[\sqrt[n]{b^{n-m}}\]:
Exemple:
\[
\frac{4}{\sqrt[3]{7}} =\\
\frac{4}{\sqrt[3]{7^1}}\frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}} =\\
\frac{4\sqrt[3]{7^2}}{7}
\]
Quan el denominador és un binomi [\[(b + \sqrt{c})\], o bé \[(\sqrt{b} – \sqrt{c})\]], multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel conjugat del denominador. El conjugat d’un binomi \[(a+b)\] és \[(a-b)\], i el conjugat de \[(a-b)\] és \[(a+b)\].
Multiplicant el denominador pel seu conjugat el transformen en un nombre real \[(\mathbb{R})\]. Recordeu la identitat notable dels polinomis \[(a + b)(a – b) = a^2 – b^2\].
Exemple:
\[\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{2 – 3} = -5(\sqrt{2} – \sqrt{3})\]
\[\frac{6}{2 – \sqrt{5}} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{(2 – \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{4 – 5} = -6(2 + \sqrt{5})\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Diccionaris i enciclopèdies
Matemàtiques
Física
Química
Català
Castellà
Multilingües
Altres idiomes
Filosofia
Música
Tecnologia
Diccionari d’informàtica (ANG)
História
Successions o progressions
Instruccions abans de començar
1. Què és una succesió?
Una successió o progressió és un conjunt de nombres “etiquetats” amb un nombre natural que correspon a la posició de l’element.
Això vol dir que en aquest conjunt al primer element li correspon el nombre \[1\], (\[a_{1}\]), al segon element li correspon el nombre \[2\], (\[a_{2}\]), … fins a l’infinit.
Exemple:
\[a_{1} = 0, a_{2} = 1, a_{3} = 2, a_{4} = 3, a_{5} = 5, a_{6} = 8, a_{7} = 13, …\] és la successió de Fibonacci, cada terme s’obté sumant els dos anteriors.
Un altre exemple és \[a_{1} = 1, a_{2} = -1, a_{3} = 1, a_{4} = -1, a_{5} = 1, a_{6} = -1, a_{7} = 1, …\]
2. Definicions
Ordre del terme de la successio \[(n)\]: és la posició que ocupa cada terme de la successió.
Primer terme de la successió \[(a_1)\]: és el primer terme de la successió.
Terme general d’una successió \[(a_n)\]: és el terme n-éssim (que ocupa la posició \[n\]) de la successió.
Hi ha dues maneres d’indicar el terme general d’una successió, i per tant, de definir la successió:
1.Amb la llei de recurrència: calculem \[a_{n}\] a partir d’un o més elements anteriors.
Exemple:
N’és un exemple la successió de Fibonacci: \[a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}=1,2,3,5,8…\]
2.Amb la llei general: per a calcular \[a_{n}\] sols ens cal saber \[n\] (el lloc que ocupa).
Exemple:
\[a_{n} = n^2 + 1: 2, 5, 10, 17,… \].
Diferència \[(d)\]: és la diferència que hi ha entre un terme i l’anterior d’una progressió aritmètica.
Exemple:
A la successió \[1,3,5,7,9…\] la diferència és \[2:\, 3-1=2,\, 5-3= 2,\, 7-5=2,\,9-7=2…\].
Raó \[(r)\]: és el quocient entre un terme i l’anterior d’una progressió geomètrica.
A la successió \[2,\, 4,\,8,\, 16,\, 32…\] la raó és \[2: \, 4 \div 2=2,\, 8 \div 4 = 2,\, 16 \div 8=2,\, 32 \div 16=2…\].
3. Progressions aritmètiques
Són successions que s’obtenen de sumar una quantitat constant (anomenada diferència, \[d\]) al terme anterior.
Hem d’indicar quin és el primer element \[a_1\], perquè aquest no té un element anterior.
Exemple:
Si \[a_{1} = 3\] i \[d = 2\], la successió és: \[3, 5, 7, 9, 11, …\].
El terme general \[a_n\] d’una progressió aritmètica es pot calcular a partir del primer element \[a_1\] i \[d\]:
\[a_{2} = a_{1} + d\]
\[a_{3} = a_{2} + d = a_{1} + 2d\]
\[a_{4} = a_{3} + d = a_{1} + 3d\]
…
\[\mathbf{a_{n} = a_{n-1} + d = a_{1} + (n-1)d}\]
3.1 Suma d’una progressió aritmètica
La suma dels \[n\] termes d’una progressió aritmètica \[S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n}\] és:
Si \[a_{1} = 1, d = 1,\] i \[ n = 100 \Rightarrow a_n=1,2,3,…,100\] i \[S_{n} = 1 + 2 + 3 + … + 100\]:
és a dir que, \[1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 50 + 51 = 101\].
I per a calcular la suma sols hem de sumar \[50\] vegades \[101\].
Per tant,
\[\mathbf{S_{n} =\frac{(a_{1} + a_{n})*n}{2}}\]
4. Progressions geomètriques
S’obtenen multipicant una quantitat fixa anomenada raó, (\[r\]) per l’element anterior.
Exemple:
Si \[a_{1} = 2\] i \[d=2\], llavors \[a_n= 2, 4, 8, 16, 32,…\].
Fent la suma dels termes equidistants com abans, el terme general és:
\[\mathbf{a_{n} = a_{1}*r^{n-1}}\]
4.1 Producte d’una progressió geomètrica
Per a calcular el producte dels n primers termes \[P_{n} = a_{1}*a_{2}…*a_{n}\] d’una progressió geomètrica farem com abans el càlcul dels productes dels termes equidistants de la successió:
Exemple:
Si \[a_n=1,2,4,8,16,32…\] i volem calcular \[P_{6} = \,1*2*4*8*16*32\]:
fent el producte dels termes equidistants de la successió:
\[1*…32 = 2*16 = 4*8\].
És a dir que: \[P_{6}=(a_1*a_6)^{6/2}=\sqrt{(a_1*a_6)^6}\]
Per tant, la fórmula general és:
\[\mathbf{P_{n} = (a_{1}*a_{n})^{n/2} = \sqrt{(a_{1}a_{n})^{n}}}\].
4.2 Suma d’una progressió geomètrica
Volem calcular \[S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n}\] dels termes d’una progressió geomètrica.
La fórmula que ens permet fer aquest càlcul és: \[\mathbf{S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}}\]
Exemple:
Si \[a_{1} = 2, r = 2\] i \[n = 5 \Rightarrow a_n= 2,4,8,16,32\], i per tant:
\[S_{5} = 2\frac{2^5-1}{2-1} = 2*31 = 62\].
Ho podem comprovar fent la suma manualment:
\[S_{5} = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62\].
4.2.1 De termes infinits
Si fem el límit de \[S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}\] quan \[n \rightarrow \infty\] , és a dir, sumem els infinits termes d’una progressió geomètrica:
\[\lim_{n\to\infty} S_{n} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{1 – r^n}{1 – r} = \lim_{n\to\infty}(\frac{a_{1}}{1- r} – \frac{a_{1}*r^n}{1 – r})\]:
Si \[|r| > 1, r^n\] creixerà quan creixi \[n\] i \[S_n \rightarrow \infty\].
Si \[-1<|r|< 1, r^n\] anirà decreixent fins arribar a \[0\]. En aquest cas, podem per tant eliminar el segon terme i:
\[\mathbf{S_n = \frac{a_{1}}{1 – r}}\].
Exemple:
Si \[a_{1}=2\] i \[r = 1/2\], llavors \[a-n=2, 1, 1/2, 1/4, 1/8,…\].
I el resultat de la suma és: \[S_n = \frac{2}{1 – 1/2} = \frac{2}{1/2} = 4\].
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Per a calcular el producte dels n primers termes \[P_{n} = a_{1}*a_{2}…*a_{n}\] d’una progressió geomètrica farem com abans el càlcul dels productes dels termes equidistants de la successió:
Exemple:
Si \[a_n=1,2,4,8,16,32…\] i volem calcular \[P_{6} = \,1*2*4*8*16*32\]:
fent el producte dels termes equidistants de la successió:
\[1*…32 = 2*16 = 4*8\].
És a dir que: \[P_{6}=(a_1*a_6)^{6/2}=\sqrt{(a_1*a_6)^6}\]
Per tant, la fórmula general és:
\[\mathbf{P_{n} = (a_{1}*a_{n})^{n/2} = \sqrt{(a_{1}a_{n})^{n}}}\].
4.2 Suma d’una progressió geomètrica
Volem calcular \[S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n}\] dels termes d’una progressió geomètrica.
La fórmula que ens permet fer aquest càlcul és: \[\mathbf{S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}}\]
Exemple:
Si \[a_{1} = 2, r = 2\] i \[n = 5 \Rightarrow a_n= 2,4,8,16,32\], i per tant:
\[S_{5} = 2\frac{2^5-1}{2-1} = 2*31 = 62\].
Ho podem comprovar fent la suma manualment:
\[S_{5} = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62\].
4.2.1 De termes infinits
Si fem el límit de \[S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}\] quan \[n \rightarrow \infty\] , és a dir, sumem els infinits termes d’una progressió geomètrica:
\[\lim_{n\to\infty} S_{n} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{1 – r^n}{1 – r} = \lim_{n\to\infty}(\frac{a_{1}}{1- r} – \frac{a_{1}*r^n}{1 – r})\]:
Si \[|r| > 1, r^n\] creixerà quan creixi \[n\] i \[S_n \rightarrow \infty\].
Si \[-1<|r|< 1, r^n\] anirà decreixent fins arribar a \[0\]. En aquest cas, podem per tant eliminar el segon terme i:
\[\mathbf{S_n = \frac{a_{1}}{1 – r}}\].
Exemple:
Si \[a_{1}=2\] i \[r = 1/2\], llavors \[a-n=2, 1, 1/2, 1/4, 1/8,…\].
I el resultat de la suma és: \[S_n = \frac{2}{1 – 1/2} = \frac{2}{1/2} = 4\].
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
RSS CEEdukat
C/ Espanya, 11
08901- Hospitalet de Llobregat
933 371 980/ 601 285 598
centre.estudis.edukat@ceedukat.es
