Radicals

Porceedukat

Radicals

Instruccions abans de començar

Definició

L’arrel n-éssima de \(a\) (un nombre real), és tot nombre real \(b\) que verifica \(b^n = a\). Ho escrivim \(b = \sqrt[n]{a}\).

Anomenem radicand de l’arrel a \(a\) i índex de l’arrel a \(n\).

Exemples:

\(\sqrt{4} = \pm 2\), perquè \((\pm 2)^2=4\\\)
\(\sqrt[3]{-8} = -2\), perquè \((-2)^3=-8\\\)
\(\sqrt[4]{81} = \pm 3\), perquè \((\pm 3)^4=81\)

Propietats de les arrels

Propietat fonamental\(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n*p]{a^{m*p}}\)
Relació entre potències i arrels\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)
Arrels d’un radical\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m*n]{a}\)
Potència d’un radical\((\sqrt[m]{a^n})^p= \sqrt[m]{a^{p*n}}\)
Producte de radicals\(\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b}
\)
Quocient de radicals\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

Operacions amb arrels

Per a operar radicals, descompondrem sempre els radicals compostos en nombres primers.

Exemple:

\(\sqrt{6}=\sqrt{2*3}, \, \sqrt[4]{45}=\sqrt[4]{3^2*5}, \, \sqrt[3]{72}=\sqrt[3]{3^2*2^3}\)

Transformació a potències

\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)

Exemples:

\(
\sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}, \\
\sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}},\\
\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}},\\
\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^3} = 2^{\frac{3}{4}}
\)

Podem simplificar l’arrel \( \sqrt[n]{a^m}\) si la fracció \(\frac{m}{n}\) es pot simplificar.

Exemples:

\(
\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{\frac{6}{4}}=2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}\\
\sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^4} = 2^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}\).

Arrels d’un radical

Per a calcular l’arrel d’un radical, hem de multiplicar els índexs de les arrels del radical: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m*n]{a}\).

Exemple:

\(\sqrt[3]{\sqrt[5]{7}}=\sqrt[15]{7}\)

Potència d’un radical

\((\sqrt[m]{a^n})^p= \sqrt[m]{a^{p*n}}\)

Exemple:

\(
(\sqrt[4]{8^3})^7=
\sqrt[4]{8^{3*7}}=
\sqrt[4]{8^{21}}
\)

Extracció/ introducció de factors de l’arrel

Abans de fer res més, descompondrem el radicand en factors primers.

Extracció de factors de l’arrel:

Per a extreure factors de l’arrel, l’exponent del factor del radicand ha de ser més gran o igual que l’índex de l’arrel.

Quan dividim l’exponent del radicand entre l’índex de l’arrel, el residu indica l’exponent del factor del radicand queda dins l’arrel i el quocient és l’exponent del factor que queda fora de l’arrel.

Exemple:

\(
\sqrt[4]{3^{11}}= \, 3^2*\sqrt[4]{3^3}\\
(11 \div 3 \rightarrow quocient= 3, residu= 2)\\
\)

Exemple:

\(
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3*5^2*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3}*\sqrt[3]{5^2}*\sqrt[3]{b^5}=\\
2*\sqrt[3]{5^2}*b*\sqrt[3]{b^2}=\
2*b*\sqrt[3]{5^2*b^2}=\\
2b\, \sqrt[3]{25b^2}
\)

Introducció de factors a l’arrel:

Per a introduir un factor dins l’arrel, l’elevarem a l’índex de l’arrel.

Exemple:

\(
2*b*\sqrt[3]{25*b^2}=\\
\sqrt[3]{2^3*b^3*25*b^2}=\\
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{200b^5}
\)

Producte/ Quocient de radicals

Per a multiplicar o dividir radicals han de tenir, o bé el mateix índex, o bé el mateix radicand.

Si tenen el mateix índex:

\(
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\
\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b}
\)

Exemple:

\(
\frac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{15}{3}} = \sqrt[3]{5}\\
\sqrt[3]{15}*\sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{15*3}=\sqrt[3]{45}
\)

Si no tenen el mateix índex ( \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}, \,\sqrt[n]{a}*\sqrt[m]{b}\)):

Quan les arrels no tenen el mateix índex, per a poder operar-les hem de transformar-les en les arrels equivalents aplicant la propietat fonamental de manera que tinguin el mateix índex.

L’índex comú és el mínim comú múltiple (mcm) dels índexs de les arrels.

Exemple:

\(\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}\)

El mínim comú múltiple dels índexs d’aquestes arrels és sis \((6)\) . Si canviem l’índex de cada arrel per sis i fem l’arrel equivalent:

\(\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}=\sqrt[6]{2^2}*\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{2^2*5^3}=\sqrt[6]{60}
\)

En aquest cas, també podríem transformar les arrels a potències i operar-les, però aquesta és una entrada per aprendre a operar arrels.

Suma/Resta de radicals

Per a sumar i restar radicals cal que cada terme de la suma (o resta) tingui el mateix índex i el mateix radicand , és a dir, han de ser radicals semblants.

Els radicals semblants tenen el mateix índex i el mateix radicand, però els coeficient que els multiplica són diferents. \(2\sqrt[5]{9}\) i \( 8\sqrt[5]{9}\) són radicals semblants.

Dos o més radicals són equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. \(\sqrt[5]{9^2}\) i \( 8\sqrt[10]{9^4}\) són radicals equivalents.

Per exemple, podem sumar o restar \(3\sqrt{5}\) i \(9\sqrt{5}\) però no podem sumar o restar \(\sqrt{5}\) i \(\sqrt{3}\) o \(\sqrt[3]{5}\) i\(\sqrt{5}\).

De fet, no sabem sumar ni restar arrels. Però, si és possible, podem treure factor comú dels radicands semblants i sumar o restar-ne els coeficients després de fer l’extracció de factors de cada arrel.

Exemple:

\(
\sqrt{40}+\sqrt{90}=\\
\sqrt{2^3*5}+\sqrt{2*3^2*5}=\\
2*\sqrt{2*5}+3\sqrt{2*5}=\\
\sqrt{10}*(2+3)=\\
5*\sqrt{10}
\)

Racionalització

Consisteix a transformar fraccions amb arrels al denominador en altres arrels ‘equivalents que no en tinguin.

Si tenim fraccions del tipus \(\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}\) multipliquem a dalt i a baix per \(\sqrt[n]{b^{n-m}}\):

Exemple:

\(
\frac{4}{\sqrt[3]{7}} =\\
\frac{4}{\sqrt[3]{7^1}}\frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}} =\\
\frac{4\sqrt[3]{7^2}}{7}
\)

Quan el denominador és un binomi [\((b + \sqrt{c})\), o bé \((\sqrt{b} – \sqrt{c})\)], multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel conjugat del denominador. El conjugat d’un binomi \((a+b)\) és \((a-b)\), i el conjugat de \((a-b)\) és \((a+b)\).

Multiplicant el denominador pel seu conjugat el transformen en un nombre real \((\mathbb{R})\). Recordeu la identitat notable dels polinomis \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\).

Exemple:

\(\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{2 – 3} = -5(\sqrt{2} – \sqrt{3})\) \(\frac{6}{2 – \sqrt{5}} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{(2 – \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{4 – 5} = -6(2 + \sqrt{5})\)

Sobre el autor

ceedukat administrator

CEEdukat Online! Primària - ESO - Batxillerat - Provés d'accés

A CEEdukat ara també fem classes online amb la mateixa qualitat i professionalitat que les presencials. També obrim els mesos de juliol i agost.