Abans de començar…

Porceedukat

Abans de començar…

CEEdukat Online

CEEdukat Online (Hospitalet de Llobregat, Barcelona) és una acadèmia de professors particulars que fa tutories i classes online de reforç i repàs escolar. Les classes són individuals i adaptades a cada alumne.

A causa de les incerteses quant a la continuació d’aquest curs escolar 2019-2020 i fins i tot el següent, a CEEdukat Online fem el seguiment i reforç de totes les matèries escolars seguint els currículums oficials establerts. L’objectiu és que l’estudiant no perdi aquest curs i també evitar-li dificultats l’any que ve.

Com són les classes de CEEdukat Online?

√ Fem totes les matèries i nivells del currículum escolar (matemàtiques, anglès, català, castellà, etc.) ara online.

√ Els horaris són flexibles i adaptats a cada estudiant.

√ Mateixa qualitat d’ensenyament que les classes presencials.

√ Paquets mensuals d’hores  econòmics.

√ Possibilitat de recuperació de classes.

√ Si encara no n’estàs convençut, fes una classe gratuïta de 15 minuts.

Queda’t a casa i fes les classes online i a distància!

Etiquetes: professor, tutor, classes online, acadèmia, tutories, repàs escolar, reforç escolar, queda’t a casa.

Per a fer una cerca al bloc

  1. Escriviu a la caixeta de cerca la paraula. (→)
  2. Us apareixeran diferents entrades que la contenen.
  3. Feu Ctrl+F per a cercar la paraula a la pàgina.
  4. Si s’ha trobat més d’una pàgina, feu Ctrl+F a cada pàgina.

Consells per a estudiar bé

  • Dorm i menja bé.
  • Manté al dia l’horari i l’agenda personal d’estudi i un sistema d’arxiu ordenat i pulcre.
  • Fes una planificació futura com a mínim amb dues setmanes d’antelació dels deures i exàmens.
  • No memoritzis amb la intenció de només aprovar exàmens i cerca paraules al diccionari per comprendre els materials d’estudi.
  • Memoritzar és duplicar la feina, tampoc garanteix l’aprovat i podria ser la causa de situacions catastròfiques en els teus estudis.
  • Si no has fet el nostre curs de tècnica d’estudi, fes-lo; si l’has fet, usa’l.
  • Fes els deures i estudia el que has fet a classe a diari. Si fas l’ESO o Batxillerat i no estudies cada dia, podries tenir dificultats importants en els teus estudis.
  • Presenta el treballs, llegeix els llibres que se t’assignen i no xerris a classe.
  • No estudiïs per treure només un cinc, estudia per treure un deu.
  • Fes els deures i els exàmens sense nervis i repassa els exercicis abans d’entregar-los.
  • Prepara les consultes i dubtes que tinguis abans de venir reforç per aprofitar-ne millor les hores.
  • Porta els teus propis llibres, ordinador portàtil, calculadora, bolígrafs, llapis, gomes d’esborrar i tot el material necessari per fer la classe i marca’ls amb el teu nom.
  • Desconnecta el mòbil o posa’l en mode avió abans d’entrar a classe.
  • Aixeca el braç cada vegada que tinguis un dubte i t’atendrem tan aviat com ens sigui possible.
  • Les classes de reforç són un ajut pels teus estudis i un premi per a tu … aprofita-les.
  • Els resultats depenen sobretot de la teva dedicació personal diària i de la teva capacitat personal i, per tant, no podem garantir-te l’aprovat, però si treballes com a un professional és molt probable que aprovis.

Porceedukat

Proves d’accés a CFGM, CFGS, GESO, Selectivitat/ PAU i PAP

Vols fer un cicle formatiu?

T’agradaria tornar a estudiar?

A CEEdukat et preparem per a les proves d’accés dels cicles formatius de grau superior (CFGS), grau mig (CFGM), de la ESO (GESO), Selectivitat/ PAU (Prova d’accés a la Universitat) i PAP (Prova d’aptitud Personal).

Horaris flexibles de matí, tarda i dissabtes.

Classes individuals PRESENCIALS i ONLINE en grups reduïts.

Demaneu més informació enviant aquest formulari

Formulari de contacte
Serveis
Obligatori
Obligatori
Porceedukat

Pruebas de acceso a CFGM, CFGS, GESO, Selectividad/ PAU y PAP

¿Quieres hacer un ciclo formativo?

¿Te gustaría volver a estudiar?

En CEEdukat te preparamos para las pruebas de acceso a los ciclos formativos de grado superior (CFGS), grau medio(CFGM), de la ESO (GESO), Selectividad/ PAU (Prueba de Acceso a la Universidad) i PAP (Prueba de aptitud Personal).

Horarios flexibles de mañana, tardes y sábados.

Clases individuales PRESENCIALES i ONLINE en grupos reducidos.

Soliciten más información enviando este formulario:

Formulario de contacto
Servicios *
INFORMACIÓN PROTECCIÓN DE DATOS DE XAVIER MAS i RAMóN (CENTRE D'ESTUDIS EDUKAT)

Finalidades: Responder a sus solicitudes y remitirle información comercial de nuestros productos y servicios, incluso por correo electrónico. Legitimación: Consentimiento del interesado. Destinatarios: No están previstas cesiones de datos. Derechos: Puede retirar su consentimiento en cualquier momento, así como acceder, rectificar, suprimir sus datos y otros derechos a centre.estudis.edukat@ceedukat.es. Información Adicional: Puede ampliar la información en el enlace de Avisos Legales.

Obligatorio
Obligatorio
Porceedukat

Límits i continuïtat

Abans de començar

1. Límit d’una funció en un punt

El límit d’una funció \(f(x)\) en un punt \(x=a\) és el valor al qual s’aproxima la funció quan \(x\) s’aproxima al valor \(a: \, \lim_{x \to a} f(x)= \, L\).

Exemple:

\(y=\lim_{x \to 2}2*x+6=2*2+6=10\)

xy=2*x+6
1.99.8
1.999.98
1.99999.9998
1.999999.99998
1.9999999.999998

Quan \(L\) és un valor real o infinit (\(\pm \infty\)) diem que el límit és determinat.

Exemple:

\(
\lim_{x \to 3} x^3-5= \,22 \\
\lim_{x \to \infty} x^3-5= \, \infty
\)

El límit d’una funció és indeterminat quan és un valor indefinit.

Exemple:

\(\lim_{x \to 5}\frac{x-5}{x^2-25}= \, \frac{0}{0}\).

\( \frac{0}{0}\) es un resultat indeterminat perquè té moltes solucions.

Les indeterminacions (resultat indeterminats) que podem trobar quan resolem el límit d’una funció en un punt són: \(\frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty}, \, \infty-\infty, \, 1^{\infty}, \, 0*\infty, \, 0^0 \, i \, \infty^0\).

1.1 Límits laterals d’una funció

Per a determinar quin és el límit d’una funció en un punt hem de deteminar el límit d’aquesta funció quan ens hi aproximem per l’esquerra o per la dreta. Si el límits laterals no coincideixen, el límit serà indefinit i per tant la funció no tindrà límit.

Exemple:

\(
f(x)
\begin{cases}
x^2-2 \enspace si \enspace-\infty \lt x \lt 2\\
4 \hspace{1.3cm} si \enspace 2 \leq x \lt 4
\end{cases}
\\[1cm]
\lim_{x \to +2^-} f(x)=\lim_{x \to +2^-}x^2-2=2\\
\lim_{x \to +2^+} f(x)=\lim_{x \to +2^+}4=4
\)

La funció anterior és una funció a trossos formada per les funcions \(y=x^2-2\) i la funció \(y=4\). Quan ens aproximem a \(x=2, \, f(x)\) té valors diferents. Els límits laterals no coindeixen, per tant, la funciò no té un límit definit.

2. Propietats dels límits

Si el límit d’una funció existeix, es compleixen les següents propietats:

i) El límit d’una suma de funcions és igual a la suma dels límits de cada funció:

\(\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=\lim_{x \to \infty}f(x)+\lim_{x \to \infty}g(x)\)

ii) El límit d’un producte de funcions és igual al límit d’una funció multiplicat pel límit de l’altra:

\(\lim_{x \to a}[{f(x)}*{g(x)}]=\lim_{x \to a}f(x)*\lim_{x \to a}g(x)\)

iii) El límit d’un quocient de funcions és igual al límit de la funció dividend dividit pel límit de la funció divisor:

\(\lim_{x \to a}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}\)

iv) El límit d’una funció base elevada a una funció exponent és igual al límit de la funció base elevat al límit de la funció exponent:

\(\lim_{x \to a}[{f(x}^{g(x)}]={\lim_{x \to a}f(x)}^{\lim_{x \to a}g(x)}\)

v) El límit del logaritme d’una funció és igual al logaritme del límit de la funció:

\(\lim_{x \to a}{log_a{f(x)}}=log_a[{\lim_{x \to a}f(x)}]\)

2. Càlcul de límits indeterminats

Segons el tipus d’indeterminació que resulti resolent el límit d’una funció, farem servir un mètode diferent per a determinar-ne el valor:

2.1 \((\frac{0}{0})\)

Per a resoldre aquesta indeteminació factoritzarem el numerador i el denominador, simplificarem la fracció algebraica i tornarem a fer el límit:

Exemple:

\(
\lim_{x \to 5}\frac{x-5}{x^2-25}= \, \frac{0}{0} \\
\lim_{x \to 5}\frac{x-5}{(x+5)*(x-5)}= \\
\lim_{x \to 5}\frac{1}{(x+5)}=\frac{1}{10}
\)

2.2 \((\frac{\infty}{\infty})\)

Per a resoldre aquesta indeterminació, dividim cada monomi del numerador i del denominador pel monomi de grau més gran de la funció:

\(
lim_{x \to \infty}\frac{5x^2-3x+8}{x+2}= \, \frac{\infty}{\infty} \\
lim_{x \to \infty}\frac{(5x^2-3x+8) \div x^2}{(x+2) \div x^2}= \\
lim_{x \to \infty}\frac{5x^2/x^2-3x/x^2+8/x^2}{(x/x^2+2 \div x^2)}= \\
lim_{x \to \infty}\frac{5-3/x+8/x^2}{(1/x+2/ x^2))}= \\
\frac{5+0+0}{(0+0)}= \\
\frac{5}{(0)}=\infty
\)

Però la manera més fàcil de resoldre les indeterminacions \(\frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty}\) és pel mètode de l’Hôpital. Aquest métode consisteix en derivar el numerador i el denominador fins obtenir un limit determinat:

\(
lim_{x \to 5}\frac{x-5}{x^2-25}= \, \frac{0}{0} \\
lim_{x \to 5}
\frac
{\frac{d}{dx}(x-5)}
{\frac{d}{dx}(x^2-5)}= \\
lim_{x \to 5}(\frac{1}{2x})=\frac{1}{10}
\\[1cm]
lim_{x \to \infty}(\frac{5x^2-3x+8}{x+2})= \, \frac{\infty}{\infty} \\
lim_{x \to \infty}
\frac
{
\frac{d}{dx}5x^2-3x+8
}
{
\frac{d}{dx}x+2
}= \\
lim_{x \to \infty}[\frac{10x-3}{1})]= {\infty}
\)

2.3 \((\infty-\infty)\)

Quan no podem concloure quín és el límit de la funció si la indeterminació és \(\infty-\infty\), resoldrem el límit multiplicant pel conjugat si apareixen arrels a la funció o resolent la suma/ resta de les fraccions algebraiques:

\(
\lim_{x \to \infty}{\sqrt{(6x^2+8x)}-(x+4)}= \, \infty-\infty \\
\lim_{x \to \infty}{\sqrt{6x^2+8x}-(x+4)}\frac{\sqrt{6x^2+8x}+(x+4)}{\sqrt{6x^2+8x}+(x+4)}= \\
\lim_{x \to \infty}\frac{(6x^2+8x)-(x+4)^2}{\sqrt{6x^2+8x}+(x+4)}= \frac{\infty}{\infty}\\
\lim_{x \to \infty}\frac{(5x^2/x^2-16/x^2)}{\sqrt{\frac{(6x^2+8x)}{x^4}}+(x/x^2+4/x^2))}= \\
\lim_{x \to \infty}\frac{(5)}{0}= \infty
\) \(
\lim_{x \to 3}\frac{1}{x^2-2}-\frac{4x}{x+5}=\frac{\infty}{\infty}\\
\lim_{x \to 3}\frac{x+5-4x(x^2-2)}{(x+5)(x^2+2)}\\
\lim_{x \to 3}\frac{-4x^3+9x+5}{x^3+5x^2+2x+10}=-4
\)

2.4 \((1^{\infty})\)

El mètode més senzill per a resoldre aquesta indeterminació és: \(\lim_{x \to \infty}{f(x)}^{g(x)}=e^{\lim_{x \to \infty}{[f(x)-1]}*g(x)}\)

Exemple:

\(
\lim_{x \to \infty}{(\frac{x^2+5x}{x^3}+2)}^\frac{1}{x+1}=\\
e^{\lim_{x \to \infty}}[{(\frac{x^2+5x+2x^3}{x^3}-1)}^\frac{1}{x+1}]=\\
e^{\lim_{x \to \infty}}{(\frac{x^3+x^2+5x}{x^3})}^{\frac{1}{x+1}}=\\
e^{1}=e
\)

2.5 \((0*\infty)\)

Per a resoldre aquesta indeterminació, primer la transformarem en una altra del tipus \(\frac{0}{0}\), o bé del tipus \(\frac{\infty}{\infty}\) i després resoldrem aquesta indeterminació per l’Hôpital:

Exemple:

\(
lim_{x \to 0}[\sin x*{\frac{1}{x^2}}]\\
lim_{x \to 0}[\frac{1}{\frac{1}{\sin x}}*{\frac{1}{x^2}}]=\\
lim_{x \to 0}[\frac{1}{\frac{x^2}{\sin x}}]=\\
lim_{x \to 0}[\frac{\sin x}{x^2}]=\frac{0}{0}\\
lim_{x \to 0}[\frac{\cos x}{2x}]=\\
\frac{1}{0}=\infty
\)

2.5 \((0^0)\)

Quan tenim una funció elevada a una altra funció, usarem logaritmes per a resoldre el la indeterminació:

\(
lim_{x \to 0}{({x+5})}^{x+1}=0^0\\
lim_{x \to 0}[\ln (x+5)^{x+1}]=\\
lim_{x \to 0}[(x+1)*\ln (x+5)]=\\
lim_{x \to 0}(x+1)*lim_{x \to 0}[\ln (x+5)]=\\
1*\ln{5}=ln{5}\\
lim_{x \to 0}{({x+5})}^{x+1}=e^{\ ln 5}=5
\)

2.6 \(( \infty^0)\)

Com en el cas anterior:

\(
lim_{x \to \infty}[\ln (x+5)^{\frac{1}{x}}]=\\
lim_{x \to \infty}[(\frac{1}{x})\ln (x+5)]=0*\infty\\
lim_{x \to \infty}(\frac{1}{x})*\frac{1}{\frac{1}{\ln (x+5)}}=\\
lim_{x \to \infty}(\frac{\ln (x+5)}{x})=\frac{\infty}{\infty}\\
lim_{x \to \infty}[\frac{d}{dx} {(\frac{\ln (x+5)}{x})}]=\\
lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{(x+5)}}{1}=\\
lim_{x \to \infty}\frac{1}{(x+5)}=0
\)

3. Continuïtat d’una funció

Una funció \(f(x)\) és continua en un punt si \(f(x_o)=\lim_{x \to x_o} {f(x)}\). Per tant, la funció ha de tenir limit i els límits laterals de la funció han de coincidir.

Exemple:

\(
f(x)
\begin{cases}
e^x \enspace si\enspace -\infty\leq x \lt -2 \\
x^2 \enspace si\enspace -2 \leq x \leq 2 \\
\end{cases}
\\[1cm]
i)\, x^2=4
\\
ii) \, \lim_{x \to -2}{e^x}\,=e^{-2}\\
\lim_{x \to -2}{x^2}\,=(-2)^2=4
\)

En l’exemple anterior, la funció té imatge en el punt on hi pot haver una possible disconitnuïtat \(x=-2\), però els límits laterals no coincideixen. Per tant, la funció és discontinua.

Un altre exemple:

\(
f(x)
\begin{cases}
4x+6 \enspace si\enspace -\infty\leq x \leq -5 \\
\frac{x^2+3}{-2} \enspace si\enspace -5 \lt x \lt 5 \\
\end{cases}
\\[1cm]
i. \, 4*(-5)+6=-14
\\
ii. \, \lim_{x \to -5}{4x+6}\,=-14\\
\lim_{x \to -5}\frac{x^2+3}{-2}\,=\frac{(-5)^2+3}{-2}=-14
\)

En aquest exemple, la funció també té imatge en el punt frontera entre les dues funcions \(x=-5\) i els límits laterals coincideixen. Per tant, la funció és continua.

i) Teorema de Bolzano

Si una funció \(f(x)\) és continua en un interval tancat \([a,b]\) i \(f(a)\) i \(f(b)\) són de signes diferents, existeix almenys un punt \(c \in (a,b)\) tal que \(f(c)=0\).

Exemple:

Volem saber si la funció \(f(x)=x^2-2\) té almenys una arrel en l’interval tancat \([1,2]\).

Com que és una funció polinómica, és continua en tot \(\mathbb{R}\).

\(
f(x)=x^2-2\\
f(1)=1^2-2=-1\\
f(2)=2^2-2=2\\
signf(1) \neq signf(2)
\)

Aixó vol dir que la funció SÍ té almenys una solució en aquest interval.

ii) Teorema dels valors intermitjos

Si una funció \(f(x)\) és continua en un interval tancat \([a,b]\) i \(y_0\) és un valor comprès entre \(f(a), f(b)\), \(f(x)\) té el valor \(y_0\) almenys una vegada en aquest interval.

Aquest teorema és una conseqüència del teorema de Bozano: que \(f(x)=x^2-2\) sigui \(0.25\) en l’interval tancat \([1,2]\), és el mateix que dir que la funció s’anul·la en el punt \(x=1.5\) d’aquest interval , per exemple:

\(
f(x)=x^2-2-0.25=0
f(1.5)=(1.5)^2-2-0.25=0
\)

iii) Teorema de Weierstrass

Si una funció \(f(x)\) és continua en un interval tancat \([a,b]\), la funció tindrà com a mínim un màxim i un mínim absolut en aquest interval.

3.1 Discontinuïtats

3.1.1 Discontinuïtat de 1a. espècie de salt determinat

i) La funció té imatge.

ii) Els límits laterals no coincideixen i són finits.

3.1.2 Discontinuïtat de 1a. espècies de salt infinit

i) La funció té imatge.

ii) Algun dels límits laterals és infinit.

3.1.3 Discontinuitat de 2a. espècie o esencial

i) La funció té imatge.

ii) Algun dels límits laterals no existeix.

3.1.4 Discontinuïtat evitable

i) La funció no té imatge, o bé

ii) la funció té imatge però no coincideix amb el límit de la funció.

Porceedukat

Àrees i volums

Porceedukat

Potències

Instruccions abans de començar

1. Definició

Una potència és una multiplicació repetida d’un mateix nombre: \(a^n: a*a*…a, \, n\) vegades. \(a\) és la base i \(n\) és l’exponent.

Exemple:

\(3^5= \, 3*3*3*3*3= \, 243\)

2. Propietats de les potències

2.1 Amb la mateixa base

PropietatExemple
\(a^n*a^m=a^{n+m}\)\(3^5*3^{-2}=3^3\)
\(a^n \div a^m=a^{n-m}\)\(3^5 \div 3^{-2}=3^7\)
\((a^n)^m=a^{n*m}\)\((3^5)^{-2}=3^{-10}\)
\(a^0=1\)\(3^0=1\)
\(a^1=a\)\(3^1=3\)
\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)\(3^{-2}=\frac{1}{3^2}\)

2.2 Amb el mateix exponent

PropietatExemple
\(a^n*b^n=(a*b)^n\)\(3^5*2^{5}=(3*2)^5=6^5\)
\(a^n \div b^n=(a \div b)^n\)\(3^5 \div 2^{5}=(\frac{3}{2})^5\)

Per a calcular fraccions de potències, farem:

1. Descompondrem les bases compostes en factors primers.
2. Multiplicarem les potències amb la mateixa base del numerador i del denominador tenint en compte les propietats anteriors.
3. Dividirem les potències resultants de la mateix base:

Exemple:

\(
\frac{6^3*2^5*7^{-2}*25^3}{49^6*125^{-3}*16^2*3^3}=\\
\frac{(2*3)^3*2^5*7^{-2}*(5^2)^3}{(7^2)^6*(5^3)^{-3}*(2^4)^2*3^3}=\\
\frac{(2*3)^3*2^5*(5^2)^3}{(7^2)*(7^{2})^6*5^{-9}*(2^4)^2*3^3}=\\
\frac{2^3*3^3*2^5*5^6}{7^2*7^{12}*5^{-9}*2^8*3^3}=\\
\frac{2^8*3^3*5^6}{7^{14}*5^{-9}*2^8*3^3}=\\
\frac{5^{15}}{7^{14}}=5^{15}*7^{-14}
\)

Porceedukat

Vectors en el pla

Instruccions abans de començar

1. Definició

Un vector (\(\vec{v}\)) és un segment orientat. Per a definir un vector ens calen dos punts: un punt d’origen i i el punt de l’extrem. Un vector del pla té dos components, l’horitzontal i el vertical, que representen les unitats que s’han de desplaçar per anar de l’origen a l’extrem del vector.

A diferència d’un escalar (un nombre), un vector té quatre característiques:

(i) Mòdul (\(\left|\vec{v}\right|\)): és la longitud del segment. Per a calcular el módul d’un vector fem: \(\left|\vec{v} \right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\) unitats.

Exemple:

\(\left|(3,1) \right|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\) unitats.


(ii) Direcció (\(\theta\)): és la inclinació o el pendent de la recta sobre la qual està situat el vector. Dos vectors tenen la mateixa direcció si estan sobre rectes paral·leles o coincidents.

La direcció o inclinació d’un vector és l’arc tangent del component vertical del vector dividit per l’horitzontal: \(\arctan \frac{y}{x}\)-.

Exemple:

\(\alpha=\arctan\frac{1}{3}= 18.43º\)

(Vegeu l’entrada raons trigonomètriques per a saber-ne més).

(iii) Sentit: és cap a on apunta la fletxa. Pot ser positiu o negatiu.
(iv) Origen: és el punt d’on surt el vector.

2. Operacions amb vectors

2.1 Suma/resta

\(
\vec{u} = (u_{1}, u_{2}), \vec{v} = (v_{1}, v_{2})
\\
\vec{u} + \vec{v} = (u_{1}+ v_{1},u_{2}+v_{2})
\\
\vec{u} – \vec{v} = (u_{1}- v_{2}, u_{2}- v_{2})
\)

Exemple:

\(
\vec{u} = (3,1),\, \vec{v} = (1,2)\\
\vec{u} + \vec{v} = (3,1)+(1,2)=(4,3)\\
\vec{u} – \vec{v} = (3,1)-(1,2)=(2,-1)\\
\vec{v} – \vec{u} = (1,2)-(3,1)=(-2,1)\\
\).

2.2 Multiplicació

2.2.1 D’un vector per un escalar

Quan multipliquem un vector per un escalar el resultat és un altre vector paral·lel amb una longitud (mòdul) de \(k\) vegades.

\(k*\vec{v} = k*(v_{1}, v_{2}) = (k*v_{1}, k*v_{2})\)

Exemple:

\(k = -4*(3,-6) = (-12,24)\)

El component horitzontal del vector gris és de dues unitats i el vertical d’una. Al multiplicar-lo per dos, el component horitzontal del vector resultant és quatre i el vertical de dos.

2.2.2 Producte escalar de dos vectors

El producte escalar o producte punt de dos vectors és una multiplicació entre dos vectors que dóna com a resultat un escalar (nombre):

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = (u_{1}, u_{2})\cdot(v_{1}, v_{2}) = u_{1}*v_{1} + u_{2}*v_{2}\)

Exemple:

\((3,1)\cdot (2,-4)=(3*2+1*-4)= 2\)

Una altra manera de calcular el producte escalar entre dos vectors és:

\(\vec{u}\cdot \vec{v} =\left|\vec{u}\right|*\left|\vec{v}\right|*\cos\alpha\)

(\(\alpha\) és l’angle que formen els vectors.)

Exemple:

\(
\vec{u}=(3,1), \, \vec{v}=(2,-4), \ \alpha=81.87º \\
(3,1)\cdot(2,-4)=\left|(3,1) \right|*\left|(2,-4) \right|*cos{81.7}=\sqrt{10}*\sqrt{20}*cos{\,81.87}= 2\)

El producte escalar de dos vectors és el resultat de multiplicar un dels vectors per la projecció horitzontal de l’altra sobre el primer.

2.3 Angle entre dos vectors

Per a calcular l’angle que formen dos vectors, fem servir la definició anterior de producte escalar :

\(
\cos{\alpha} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left| \vec{u} \right|*\left|\vec{v} \right|} \Rightarrow
\alpha=\arccos(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u} \right|*\left|\vec{v}\right|} )
\)

Exemple:

\(\alpha=\arccos{\frac{2}{\sqrt{10}* \sqrt{20}}}= 81.87º\)

(Vegeu l’entrada raons trigonomètriques per a saber-ne més).

El producte escalar de dos vectors perpendiculars és zero perquè \(\cos{\, 90º} =0\).

El producte escalar compleix les següents propietats:

(i) Commutativa: \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\).
(ii) Distributiva: \(\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = \vec{w}\cdot\vec{u} + \vec{w}\cdot\vec{v}\)
(iii) El producte escalar d’un vector per ell mateix és el seu mòdul al quadrat: \(\vec{v}\cdot\vec{v} = \left|\vec{v} \right|*\left|\vec{v} \right|*\cos0 = |\vec{v}|^2\).

3. Combinació lineal de vectors

Si un vector \(\vec{w}\) és combinació lineal d’un altre són dos vectors proporcionals: \(\vec{w} = k*\vec{v}\). Un vector \(\vec{w}\) és combinació lineal de dos vectors diferents si \(\vec{w} = \mu*\vec{u} + \lambda*\vec{v}\).

Quan en un conjunt de vectors cap vectors es pot obtenir com a combinació lineal d’altres vectors diem que aquests vectors són linealment independents. La condició perquè un conjunt de vectors siguin linealment independents és:

\(\lambda_1*\vec{v_1}+\lambda_2*\vec{v_2}+…\lambda_n*\vec{v_n}=0\), sols si tots els coeficients \(\lambda\) són zero.

4. Bases

Una base són un conjunt de vectors linealment independents que poden generar tots els altres vectors del pla o de l’espai. És a dir, que qualsevol altre vector és una combinació lineal d’aquests vectors.

Al pla, dos vectors \(\vec{v_1},\vec{v_2}\) si són linealment independents i poden generar tots els altres vectors del pla ( \(B ={\vec{v_1},\vec{v_2}}\)):

\(\vec{w}=\lambda_1*\vec{v_1}+\lambda_2*\vec{v_2}\), essent \(\vec{v_1}, \,\vec{v_2}\) linealment independents.

3.1 Base ortogonal

Una base de vectors és ortogonal si els vectors que la formen són perpendiculars entre sí.

3.2 Base ortonormal

Un vector unitari (\({\hat{v}}\)) és un vector de mòdul \(1\): \(\hat v=\frac{\vec v}{\left ||v \right ||}\)

Per a normalitzar un vector dividim cada component pel seu mòdul:

Exemple:

\(\widehat{(5,-9)}=\frac{(5,-9)}{\sqrt{5^2+(-9)^2}}=(\frac{5}{\sqrt{106}},\frac{-9}{\sqrt{106}})\)

Quan els vectors de la base són ortogonals i normals, és una base ortonormal.

Els vectors \((1,0)\) i \((0,1)\) formen la base ortonormal del pla \(B={\vec{e_1}(1,0),\, \vec{e_2}(0,1)}\).

Qualsevol vector del pla és una combinació lineal d’aquests dos vectors: \(\vec{w_1}=\lambda_1*\vec{e_1}+4\lambda_2*\vec{e_2}\)

Exemple:

\((3,2)=3*\vec{e_1}+2*\vec{e_2}\)

3.3 Coordenades d’un vector

Les coordenades d’un vector en una base són els coeficients \(\lambda_n\) del vector expressat en aquesta base.

En l’exemple anterior, les coordenades del vector (3,2) en base ortonormal expressat en la base \(B=\left\{ (5,7), (6,2) \right\}\) és el vector \((\frac{3}{16}, \, \frac{11}{32})\):

Exemple:

\(
(3,2)=\lambda_1*(5,7)+\lambda_2*(6,2) \\
3=5*\lambda_1+6*\lambda_2\ \\
2=7*\lambda_1+2*\lambda_2 \\
\lambda_1= \frac{3}{16} \\
\lambda_2= \frac{11}{32} \\
\)

5. Sistemes de referència

Un sistema de referència és el conjut format per una base de vectors \(\vec{u},\vec{v}\) i un origen de coordenades \(O\): \(R = {O,[\vec{u},\vec{v}]}\).

En un sistema de referència a cada punt \(P\) del pla se li associa un vector de posició \(OP\).

Porceedukat

Nombres reals

Instruccions abans de començar

Els nombres reals és el conjunt de nombres format pel conjunt dels nombres racionals i el conjunt dels nombres irracionals.

El nombres reals són un subconjunt de nombres complexos.

1. Nombres Naturals

Són els nombres que usem per a comptar: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, … \). El conjunt dels nombres naturals es representa per \(\mathbb{N}\).

1.1 Nombres primers

Són els nombres naturals que sols són divisibles per ells mateixos i per la unitat.

Exemple:

\(2, 3, 5, 7, 11…\)

1.2 Nombres compostos

Un nombre compost, és un nombre format pel producte de nombres primers.

Exemple:

\(
6=2*3\\
24=2^3*3\\
60=2^2*5*3\\
450=2*3^2*5^2
\)

2. Nombres enters

És el conjunt dels nombres naturals positius, negatius i el 0: \(…-3,-2,-1,0,1,2,3,…\). El conjunt de nombres enters es representa per \(\mathbb{Z}\).

Els nombres naturals són part dels nombres enters (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)).

3. Nombres racionals

Són els nombres decimals generats per una fracció que anomenem fracció generatriu\( \frac{a}{b}\). \(a,b\) són nombres enters i \(b \neq 0\). Els conjunt de nombres racionals es representa per \(\mathbb{Q}\).

Exemple:

\(\frac{21}{10}=2.1, \, \frac{3}{2}=1.5\).

Els nombres enters també són racionals perquè els podem expressar en forma de fracció: \(2 = \frac{2}{1}\). Per tant, els nombres enters són un subconjunt dels racionals (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)).

Els nombres decimals dels quals en podem trobar una fracció generatriu són:

3.1 Decimals exactes

Els decimals exactes són els nombres decimals que tenen una quantitat exacta de decimals.

Exemple:

\(2.345\), té tres decimals
\(0.9\), té un decimal
\(5.129837\), té sis decimals

Per a calcular la fracció generatriu d’un decimal exacte (\(2.345\)), fem el següent:

i) Escrivim el nombre sense comes al numerador: \(2\, 345\)

ii) El dividim per \(10 \) elevat al nombre de decimals que tingui: \(\frac{2\, 345}{10^3}=\frac{2\, 345}{1\, 000}\).

iii) Calculem la fracció irreductible: \(\frac{469}{200}…\)

Exemple:

\(1.75= \frac{175}{10^ 2} = \frac{7}{4}\).

3.2 Decimals periòdics purs

Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.

Exemple:

\(
2.33333… \rightarrow 2. \hat 3 \\
0.66666… \rightarrow 0. \hat 6 \\
8.97979… \rightarrow 8. \widehat {97} \\
\)

Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.

En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \(10\) elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:

Exemple:

\(
n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\
n \hspace{1cm}= \hspace{0.8cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm}56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\)

La forma ràpida de calcular la fracció generatriu és:

i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \(56\, 987-56=56\, 931\)

ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període: \(999\)

iii) Calculem al fracció irreductible: \(\frac{56\, 931}{999}=\frac{56\, 931}{999}\)

Exemple:

\(
1.23232323…= 1.\widehat {23} \\
\frac{123 – 1}{99} = \\
\frac{122}{99}
\)

En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(123\), el període és \(\widehat{23}\), el nombre fins al període és l’\(1\) i el període té dos decimals.

3.3 Decimals periòdics mixts

Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.

Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \(10\) elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:

Exemple

\(
n=56.9 \widehat{87} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{87}\\
-\\
10*n \hspace{0.4cm}=\hspace{0.6cm}569.\widehat{87}\\
———\\
990*n \hspace{0.4cm}=\, 56 \,418.0
\\
n=\frac{56\, 418}{990}
\)

Per a calcular la fracció generatriu, fem:

i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \(56\, 987-569=56\, 418\)

ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període i tants zeros com decimals tingui l’avantperíode: \(990\)

iii) Calculem al fracció irreductible: \(\frac{56\, 418}{900}=\frac{9\, 403}{150}\)

Exemple:

\(1.5787878…= 1.5\widehat{78} = \\
\frac{157 – 15}{900} =\\
\frac{142}{900} = \\
\frac{71}{450}
\)

En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(1578\), l’avantperíode és \(5\) i el període és \(\widehat 78\) i el nombre fins al període és l’\(1\). L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.

4. Nombres irracionals

Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \(\mathbb{I}\).

Exemple:

\(\pi, e\), qualsevol arrel no exacta com \(\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\).

5. Nombres reals

És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \(\mathbb{R}\).

Per tant, \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\).

Els nombres reals es representen a la recta real.

5.1 Representació a la recta real

i) Per a representar un nombre enter (\(\mathbb{Z}\)) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\(\mathbb{N}\)) i a l’esquerra en negatius:

ii) Per a representar un nombre racional (\(\mathbb{Q}\)), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.

Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:

En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \(0\) i \(1\) (p.e: \(\frac{4}{5}=0.8\)).

En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \(\frac{5}{2}=2.5)\). Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\(\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\)).

Exemple:

Calculem la fracció (pròpia) generatriu:

\(
0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\)

Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:

i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \( 0-1\) en parts iguals.

Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:

Exemple:

\(
1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\)

iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:

Exemple:

\(
\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\)

6. Intervals

És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.

Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.

Exemple:

Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:

\(-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\). En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \((- \infty \lt x \leq +2]\)).

Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:

\(\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\). \( ]n , n[\) o bé \((n , n)\) significa que l’extrem és obert i \( [n , n] \) vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \((-\infty, +2]\)).

7. Notació científica

És un nombre expressat segons la notació \(N*10^a\). \(N\) és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \(a\) és un nombre enter.

Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.

Exemple:

\(
1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\)

En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \(10^{-12}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \(10^{+12}\).

En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \(10^{+9}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \(10^{-9}\).

7.1 Operacions

Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.

Exemple:

\(
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\)

Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.

Exemple:

\(
2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\)
Porceedukat

Trigonometria

Instruccions abans de començar

Definició

La trigonometria és l’àrea de les matemàtiques que estudia la relació entre els costats i els angles dels triangles.

S’aplica sols als triangles rectangles, tot i que ens serveix per a resoldre qualsevol mena de triangle.

La paraula prové del grec: tri (tres), gono (angle) i metria (mesura).

Classificació dels triangles

Un triangle és una figura geomètrica plana de tres costats i tres angles.

Podem classificar els triangles segons els angles o els costats que els formen.

Segons els angles que els formen, es classifiquen en acutangles, rectangles i obtusangles.

Segons els costats que els formen, es classifiquen en isòsceles, equilàters i escalens.

(Vegeu l’entrada càlcul de l’àrea d’un polígon per a saber-ne més).

Mesura d’angles

Els angles tenen diferents unitats de mesura. La més coneguda és el grau sexagesimal. En una circumferència divida en graus sexagesimals cada quart de circumferència són 90º i una volta sencera són 360º.

El radià és la unitat d’angle del SI. Un radià és l’angle que té un arc de circumferència igual al radi \(s=r\).

Com que la longitud de qualsevol circumferència és \(L=2\pi*r \Rightarrow \, 2\pi=\frac{L}{r}\).

Això vol dir que la longitud de qualsevol circumferència conté \(2\pi\) vegades el radi.

Cada partició d’un radi de la longitud d’una circumferència és un radià.

Quan mesurem els angles en radians, cada quart de circumferència són \(\frac{\pi}{2}\) radians (escrit \(rad\)). Una volta sencera són \(2\pi \enspace rad\) o simplement \(2\pi\).

Per passar de graus sexagesimals a radians usem el factor de conversió \(360º = 2\pi \, rad\).

Exemple:

\(30º.\frac{2\pi}{360º} = \frac{\pi}{6}\, rad\).

Els angles notables (més importants) són: \(0º\, (0\, rad),\, 30º\ (\frac{\pi} {6} \, rad), \, 45º\, (\frac{\pi}{4} \, rad), \,60º [latex]\frac{\pi}{6}\) \, 90º \, \((\frac{\pi}{2} \, rad)\).

Raons trigonomètriques

Una raó o proporció trigonomètrica és el quocient de la longitud de dos costats d’un triangle rectangle.

Definim les raons trigonomètriques fonamentals o bàsiques per a un angle qualsevol de la circumferència goniomètrica (la circumferència per a mesurar angles) com:

\(sin \, \alpha= \frac {catet \, oposat}{hipotenusa}\\\)
\(cos \, \alpha= \frac {catet \, contigu \, o \, adjacent}{hipotenusa}\)

Per a qualsevol triangle rectangle també es compleix que:

\(
hipotenusa^2 = catet \, oposat^2 + catet \, adjacent^2
\,
(a^2=b^2+c^2)
\)

I la relació derivada:

\(tan \, \alpha= \frac {catet \, oposat}{catet \, contigu\, o\, adjacent}\)

Les resta de relacions (proporcions o raons) trigonomètriques derivades del sinus i cosinus d’un angle són:

\(
cosecant \, d’ \alpha \,(csc \, \alpha) =\frac{1}{sin \, \alpha}= \frac{a}{b}
\\
secant \, d’ \alpha \,(sec \, \alpha) =\frac{1}{cos \, \alpha}=\frac{a}{c}
\\
cotangent \, d\, ‘ \alpha \, (cot \, \alpha) = \frac{1}{tan \, \alpha}=\frac{c}{b}
\)

Exemple:

Si \(a = 5, \,b = 3, \,c = 4\), llavors

\(
\sin\, \alpha = \frac{b}{a} = \frac{3}{5} = 0.6\\
\cos\, \alpha = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0.8\\
\tan\,\alpha = \frac{b}{c} = \frac{3}{4} = 0.75\\
\csc\, \alpha = \frac{a}{b} = \frac{5}{3} = 1.6667\\
\sec\, \alpha = \frac{a}{c} = \frac{5}{4} = 1.25\\
\cot\, \alpha = \frac{c}{b} = \frac{4}{3} = 1.333
\)

Les funcions inverses ens serveixen per a trobar l’angle sabent els valor de la funció.

Exemple:

\(
\alpha=\ arcsin \, \alpha\, (\sin^{-1} \, \alpha); \,
\arcsin{0.6} \,(\sin^{-1}{0.6})=36.87º
\\
\alpha=\ arccos \, \alpha\, (\cos^{-1} \, \alpha); \,
\arccos{0.6} \,(\cos^{-1}{0.6})=53.13º
\\
\alpha=\ arctan \, \alpha\, (\tan^{-1} \, \alpha); \,
\arctan{0.6} \,(\tan^{-1}{0.6})=30.96º
\)

I la taula de relacions trigonomètriques notables és:

\(0º (0 \, rad)\)\(30º (\frac{\pi}{6} \, rad)\)\(45º (\frac{\pi}{4} \, rad)\)\(60º (\frac{\pi}{3} \, rad)\)\(45º (\frac{\pi}{2} \, rad)\)
\(\\sin \, \alpha\)\(0\)\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt2}{2}\)\(\frac{\sqrt3}{2}\)\(1\)
\(\\cos \, \alpha\)\(1\)\(\frac{\sqrt3}{2}\)\(\frac{\sqrt2}{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(0\)
\(\\tan \, \alpha\)\(0\)\(\frac{1}{\sqrt3}\)\(1\)\({\sqrt3}\)\(\infty\)

Reducció d’angles al primer quadrant

Reducció d’angles al primer quadrant

La reducció d’un angle al primer quadrant consisteix en transformar un angle de més de 90º a un altre del primer quadrant que tingui la mateixa obertura.

Un angle més gran de 360º es pot transformar en un angle de la primera volta de la següent manera:

Si \(\alpha= 1 285º\): el quocient de \(1 285 \div 360= 3\) i el residu és \(205º\). Això vol dir que \(1 285º\) equivalen a 3 voltes senceres a la circumferència més 205º addicionals a la quarta volta.

Un cop hem determinat quan val l’angle de la darrera volta incompleta, fem la reducció d’aquest angle al primer quadrant. Observant el gràfic superior, veiem que:

Per a un angle de segon quadrant: \(\theta_{q2}=180º – \theta_{q1}\\\)
Per a un angle de tercer quadrant: \(\theta_{q3}= 180º+\theta_{q1}\\\)
Per a un angle de quart quadrant: \(\theta_{q4}= 360º – \theta_{q1}
\).

Ailant \(\theta_1\), tenim la reducció de l’angle al primer quadrant.

Exemple:

Si \(\theta_{q2} = 135º \, \Rightarrow \, \theta_{q1}=180º – 35º = 45º\\\)
Si \(\theta_{q3} = 200º \, \Rightarrow \, \theta_{q1}=200º – 180º = 20º\\\)
Si \(\theta_{q4} = 350º \, \Rightarrow \, \theta_{q1}=360º – 350º =10º\)

I els signes de les relacions trigonomètriques de cada quadrant són:

\(sin \, \theta_{q1}: +, \, cos \, \theta_{q1}: +, \, tan \, \theta_{q1}: +\)
\(sin \, \theta_{q2}: +, \, cos \, \theta_{q2}: -, \, tan \, \theta_{q2}: \, –\)
\(sin \, \theta_{q3}: -, \, cos \, \theta_{q3}: -, \, tan \, \theta_{q3}: +\\
sin \, \theta_{q4}: -, \, cos \, \theta_{q4}: +, \, tan \, \theta_{q4}: \, –\)

Resolució de triangles

Semblança de triangles

Dos triangles són semblants quan es compleix que:

1. Els seus angles són iguals: \(\hat{A} = \hat{A’}, \hat{B} = \hat{B’}, \hat{C} = \hat{C’}\), i que
2. Els seus costats són proporcionals: \(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\).

Triangles semblants

Resoldre un triangle consisteix a trobar el valor de tots els seus costats i angles. Els diferents triangles que haurem de resoldre són:

i) Un triangle rectangle,
ii) un triangle inscrit en un altre triangle
iii) un triangle obtusangle.

Per a resoldre els triangles anteriors farem servir la trigonometria i la semblança de triangles:

i) Un triangle rectangle:

Per a resoldre un triangle rectangle ens calen, o bé dos costats, o bé un costat i un angle. Farem servir les relacions trigonomètriques sinus, cosinus, tangent i el teorema de Pitàgores:

Exemple:

\(c=3, \, \hat B=30º \Rightarrow \, a=\frac{c}{cos\, 30º}= 2 \sqrt 3, \, b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt 3\)

Exemple:

\(c=3, \,a=2\sqrt3 \Rightarrow \, b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt 3, \, \hat B=tg^{-1}(\frac{b}{c})=30º\)

Per a trobar l’angle complementari del \(\hat B\) farem \(90-\hat B=60º\).

ii) Dos triangles rectangles inscrits:

En aquest cas, farem la tangent de cada triangle rectangle i resoldrem el sistema pel mètode d’igualació:

Exemple:

\(
x=5 m, \, \hat B=40º, \, \hat C=20º, \, (L=?, \, h=?) \\
\begin{cases}
\tan \hat B=\frac{h}{L}\\
\tan \hat C=\frac{h}{L+x}
\end{cases} \\
h=\tan \hat B*L=\tan \hat C*(L+x)\\
L=\frac{\tan \hat C*x}{\tan \hat B-\tan \hat C }\\
L=\frac{tan 20º*5}{tan 40º-tan 20}=3.83 m\\
h= \tan \hat B*L=tan 40º*3.83= 3.21 m
\)

iii) Un triangle obtusangle:

Usarem també el mètode anterior:

Exemple:

\(
L=15 m, \, \hat A=40º, \, \hat B=20º, \, (x=?, \, h=?) \\
\begin {cases}
\tan \hat A=\frac{h}{L-x}\\
\tan \hat B=\frac{h}{x}
\end {cases}\\
x=\frac{L*tan \hat A}{tan \hat A+\tan \hat B}\\
x=\frac{15*(tan 40º)}{tan 40º+tan 20º}=10.46 m\\
h=x*\tan \hat B= 10.46*tan 20º=3.81 m
\)

Altres mètodes de resolució

Teorema del cosinus

Fem servir el teorema del cosinus si coneixem tres costats o dos costats i l’angle que els separa. També el podem usar per a calcular l’angle que els separa si coneixem dos costats adjacents.

Qualsevol triangle d’angles \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\) i costats \(a, b, c\) compleix que (teorema del cosinus):

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c\cos\hat{A}\)
\(b^2 = a^2 + c^2 – 2*a*c*\cos\hat{B}\)
\(c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\)

Exemple:

Si coneixem els tres costats (ens cal esbrinar els tres angles): \(a = 7, b = 3, c = 6\)

Trobem dos angles:

\(
a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c*\cos\hat{A}\\
7^2 = 3^2 + 6^2 – 2*3*6*\cos\hat{A}\\
\cos\hat{A} = -\frac{7^2-3^2-6^2}{2*3*6}=\frac{1}{9}\\
\hat{A} = \cos^{-1}{(\frac{1}{9})}=96.38º
\)

Exemple:

Si coneixem dos costats i l’angle que el separa: \(a = 7, b = 3, \hat C=58º\)

\(
c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\\
c^2 = 7^2 + 3^2 – 2*7*3*\cos\hat{58}\\
c=5.99 m
\)

Per a trobar \(\hat A, \, \hat B\), seguim el procediment anterior:

\(
\hat A=\cos^{-1}{\frac{a^2-b^2-c^2}{-2*b*c}}=93.38º\\
\hat B=\cos^{-1}{\frac{b^2-a^2-c^2}{-2*a*c}}=25.21º
\)

Teorema del sinus

Qualsevol triangle d’angles \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\) i costats \(a, b, c\) compleix que: \(\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}} = \frac{c}{\sin\hat{C}}\)

NOMENCLATURA TRIANGLE ESTANDAR

Usem el teorema del sinus quan coneixem, o bé dos costats i l’angle oposat d’un dels costats coneguts, o bé dos angles i un costat oposat d’un dels angles coneguts del triangle.

Exemple:

Coneguts un costat i dos angles: \(\hat{A} = 62º, \hat{B} = 47º, c = 9\)

Trobem l’angle que falta sabent que tots tres sumen 180:

\(\hat{C} = 180 – 62 – 47 = 71º\)

Apliquem el teorema del sinus per trobar els altres dos costats:

\(
\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}}= \frac{c}{\sin\hat{C}}\\
\frac{a}{\sin 62º}=\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
\frac{a}{\sin 62º} = \frac{9}{\sin71º}\\
a = 9*\frac{\sin 62}{\sin 71}=8.4\\
\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
b = 9*\frac{\sin 47}{\sin 71}=6.96
\)

Teorema de l’altura

\(h^2 = m*n\)

Teorema del catet

\(c^2 = a*m\)

Equacions trigonomètriques

Per a resoldre equacions trigonomètriques hem d’usar les identitats trigonomètriques.

(Vegeu l’entrada equacions trigonomètriques per a saber-ne més).

Porceedukat

Radicals

Instruccions abans de començar

Definició

L’arrel n-éssima de \(a\) (un nombre real), és tot nombre real \(b\) que verifica \(b^n = a\). Ho escrivim \(b = \sqrt[n]{a}\).

Anomenem radicand de l’arrel a \(a\) i índex de l’arrel a \(n\).

Exemples:

\(\sqrt{4} = \pm 2\), perquè \((\pm 2)^2=4\\\)
\(\sqrt[3]{-8} = -2\), perquè \((-2)^3=-8\\\)
\(\sqrt[4]{81} = \pm 3\), perquè \((\pm 3)^4=81\)

Propietats de les arrels

Propietat fonamental\(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n*p]{a^{m*p}}\)
Relació entre potències i arrels\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)
Arrels d’un radical\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m*n]{a}\)
Potència d’un radical\((\sqrt[m]{a^n})^p= \sqrt[m]{a^{p*n}}\)
Producte de radicals\(\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b}
\)
Quocient de radicals\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

Operacions amb arrels

Per a operar radicals, descompondrem sempre els radicals compostos en nombres primers.

Exemple:

\(\sqrt{6}=\sqrt{2*3}, \, \sqrt[4]{45}=\sqrt[4]{3^2*5}, \, \sqrt[3]{72}=\sqrt[3]{3^2*2^3}\)

Transformació a potències

\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)

Exemples:

\(
\sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}, \\
\sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}},\\
\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}},\\
\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^3} = 2^{\frac{3}{4}}
\)

Podem simplificar l’arrel \( \sqrt[n]{a^m}\) si la fracció \(\frac{m}{n}\) es pot simplificar.

Exemples:

\(
\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{\frac{6}{4}}=2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}\\
\sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^4} = 2^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}\).

Arrels d’un radical

Per a calcular l’arrel d’un radical, hem de multiplicar els índexs de les arrels del radical: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m*n]{a}\).

Exemple:

\(\sqrt[3]{\sqrt[5]{7}}=\sqrt[15]{7}\)

Potència d’un radical

\((\sqrt[m]{a^n})^p= \sqrt[m]{a^{p*n}}\)

Exemple:

\(
(\sqrt[4]{8^3})^7=
\sqrt[4]{8^{3*7}}=
\sqrt[4]{8^{21}}
\)

Extracció/ introducció de factors de l’arrel

Abans de fer res més, descompondrem el radicand en factors primers.

Extracció de factors de l’arrel:

Per a extreure factors de l’arrel, l’exponent del factor del radicand ha de ser més gran o igual que l’índex de l’arrel.

Quan dividim l’exponent del radicand entre l’índex de l’arrel, el residu indica l’exponent del factor del radicand queda dins l’arrel i el quocient és l’exponent del factor que queda fora de l’arrel.

Exemple:

\(
\sqrt[4]{3^{11}}= \, 3^2*\sqrt[4]{3^3}\\
(11 \div 3 \rightarrow quocient= 3, residu= 2)\\
\)

Exemple:

\(
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3*5^2*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3}*\sqrt[3]{5^2}*\sqrt[3]{b^5}=\\
2*\sqrt[3]{5^2}*b*\sqrt[3]{b^2}=\
2*b*\sqrt[3]{5^2*b^2}=\\
2b\, \sqrt[3]{25b^2}
\)

Introducció de factors a l’arrel:

Per a introduir un factor dins l’arrel, l’elevarem a l’índex de l’arrel.

Exemple:

\(
2*b*\sqrt[3]{25*b^2}=\\
\sqrt[3]{2^3*b^3*25*b^2}=\\
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{200b^5}
\)

Producte/ Quocient de radicals

Per a multiplicar o dividir radicals han de tenir, o bé el mateix índex, o bé el mateix radicand.

Si tenen el mateix índex:

\(
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\
\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b}
\)

Exemple:

\(
\frac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{15}{3}} = \sqrt[3]{5}\\
\sqrt[3]{15}*\sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{15*3}=\sqrt[3]{45}
\)

Si no tenen el mateix índex ( \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}, \,\sqrt[n]{a}*\sqrt[m]{b}\)):

Quan les arrels no tenen el mateix índex, per a poder operar-les hem de transformar-les en les arrels equivalents aplicant la propietat fonamental de manera que tinguin el mateix índex.

L’índex comú és el mínim comú múltiple (mcm) dels índexs de les arrels.

Exemple:

\(\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}\)

El mínim comú múltiple dels índexs d’aquestes arrels és sis \((6)\) . Si canviem l’índex de cada arrel per sis i fem l’arrel equivalent:

\(\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}=\sqrt[6]{2^2}*\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{2^2*5^3}=\sqrt[6]{60}
\)

En aquest cas, també podríem transformar les arrels a potències i operar-les, però aquesta és una entrada per aprendre a operar arrels.

Suma/Resta de radicals

Per a sumar i restar radicals cal que cada terme de la suma (o resta) tingui el mateix índex i el mateix radicand , és a dir, han de ser radicals semblants.

Els radicals semblants tenen el mateix índex i el mateix radicand, però els coeficient que els multiplica són diferents. \(2\sqrt[5]{9}\) i \( 8\sqrt[5]{9}\) són radicals semblants.

Dos o més radicals són equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. \(\sqrt[5]{9^2}\) i \( 8\sqrt[10]{9^4}\) són radicals equivalents.

Per exemple, podem sumar o restar \(3\sqrt{5}\) i \(9\sqrt{5}\) però no podem sumar o restar \(\sqrt{5}\) i \(\sqrt{3}\) o \(\sqrt[3]{5}\) i\(\sqrt{5}\).

De fet, no sabem sumar ni restar arrels. Però, si és possible, podem treure factor comú dels radicands semblants i sumar o restar-ne els coeficients després de fer l’extracció de factors de cada arrel.

Exemple:

\(
\sqrt{40}+\sqrt{90}=\\
\sqrt{2^3*5}+\sqrt{2*3^2*5}=\\
2*\sqrt{2*5}+3\sqrt{2*5}=\\
\sqrt{10}*(2+3)=\\
5*\sqrt{10}
\)

Racionalització

Consisteix a transformar fraccions amb arrels al denominador en altres arrels ‘equivalents que no en tinguin.

Si tenim fraccions del tipus \(\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}\) multipliquem a dalt i a baix per \(\sqrt[n]{b^{n-m}}\):

Exemple:

\(
\frac{4}{\sqrt[3]{7}} =\\
\frac{4}{\sqrt[3]{7^1}}\frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}} =\\
\frac{4\sqrt[3]{7^2}}{7}
\)

Quan el denominador és un binomi [\((b + \sqrt{c})\), o bé \((\sqrt{b} – \sqrt{c})\)], multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel conjugat del denominador. El conjugat d’un binomi \((a+b)\) és \((a-b)\), i el conjugat de \((a-b)\) és \((a+b)\).

Multiplicant el denominador pel seu conjugat el transformen en un nombre real \((\mathbb{R})\). Recordeu la identitat notable dels polinomis \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\).

Exemple:

\(\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{2 – 3} = -5(\sqrt{2} – \sqrt{3})\) \(\frac{6}{2 – \sqrt{5}} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{(2 – \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{4 – 5} = -6(2 + \sqrt{5})\)
Porceedukat

Resolució d’un sistema de forces

Instruccions abans de començar

Per a resoldre exercicis de dinàmica, seguirem els següents passos en aquest ordre:

1. Fer el diagrama de blocs (dibuix).

2. Fer el diagrama de forces per a cada bloc (massa).

3. Plantejar el sistema d’equacions per a cada bloc (massa):

4. Resoldre el sistema d’equacions

Tenint en compte el diagrama de forces del punt 2, es plantejarà el sistema d’equacions de l’eix \(\sum F_x\), de l’eix \(\sum F_y\) i dels moments de gir \(\sum M\). 

A dinámica, cada sistema d’equacions de forces s’igualarà o bé a zero, o bé a \(m*a\) depenent de si el moviment resultant és accelerat o no. De la mateixa manera, l’equació del moments de gir s’igualarà a o bé a zero, o bé al moment resultant. 

És a dir:

\(\begin {cases}
\sum F_x: 0, m*a\\
\sum F_y: 0, m*a\\
\sum M: 0,M_{resultant}\\
\end {cases}\)

A estàtica, el sistema d’equacions és el d’una estructura sobre la qual apliquem una o més càrregues. En aquest cas, tant \(\sum F_x\), com \(\sum F_y\) com \(\sum M\) s’igualaran a zero perquè el sistema analitzat (l’estructura) ha d’estar en equilibri estàtic. 

És a dir:

\(\begin {cases}
\sum F_x: 0\\
\sum F_y:0\\
\sum M: 0\\
\end {cases}\)

En un pla inclinat

Pas 1.

Pas 2

DIAGRAM DE FORCES
Diagrama de forces del bloc 1
DIAGRAMA DE FORCES
Diagrama de forces del bloc 2

Pas 3

Aquest pas consisteix en plantejar els sistemes d’equacions dels diagrames de forces del pas 2.

Del bloc 1:

\(
\begin{cases}
\sum F_x=T-P_{1x}-f=m_1*a\\
T-P*sin(\alpha)-\mu*P*cos(\alpha)=m_1*a\\
T-m_1*g*sin(\alpha)-\mu*m_1*g*cos (\alpha)=m_1*a\\
T-m_1*g*[sin(\alpha)-\mu*cos(\alpha)]=m_1*a\\
T=m_1*a+m_1*g*[sin(\alpha)-\mu*cos(\alpha)]\\
\sum F_y=N-P_{1y}=0\\
N-m_1*g*cos (\alpha)=0\\
\end{cases}
\)

Del bloc 2:

\(
\\[1cm]
\begin{cases}
\sum F_y=T-P_2=-m_2*a\\
T=m_2*g-m_2*a= m_2*(g-a)\\
\end{cases}
\) \(
\\[1cm]
\Rightarrow m_1*a+m_1*g*[sin(\alpha)-\mu*cos (\alpha)]=m_2*(g+a)\\
a=\frac {m_1*g*[sin(\alpha)-\mu*cos (\alpha)]-m_2*g} {m_2-m_1}
\)

Fixeu-vos que el dibuix ia a a els sistemes d’equacions plantejats són sempre els mateixos amb petites variacions

Si en compte de pujar, el bloc baixa, canviaran els signe de l’acceleració \(a\) i de la força de fricció \(f\):

Si l’acceleració resultant és en sentit contrari \(-a\)\, llavors \( (3.1)\, \sum F_x = -m_1 * a, \enspace (3.2)\, \sum F_y = + m_2 * a \enspace \)

La força de fricció \( f \) també canviarà de signe (la força de fricció sempre és oposada al sentit del desplaçament). L’eix de les \( x \) sempre és l’eix de desplaçament.

Si sols tenim el bloc del pla inclinat, la tensió \(T\) desapareixerà i la reemplaçarem per una força \(F\).

D’un pèndol en un pla horitzontal

Per a què es produeixi un moviment circular hi ha d’haver una força en direcció al centre de gir (força centrípeta) que obligui al mòbil a girar.

Aquesta força és la resultant o força neta de les forces que actuen en el seu eix \(F_c=\sum F\). 

El sentit de la tensió \(T\) sempre és cap al centre de gir.

Pas 1

DIAGRAMA DE BLOCS PENDOL HORITZONTAL

Pas 2

PENDOL HORITZONTAL PAS 2.1
PENDOL HORITZONTAL PAS 2.2
\(
1. \sum F_x=F_c=T\\
T=m_1*\frac{v^2}{R}
\\[1cm]
2. \sum F_y=T-P=0\\
T=P=m_2*g\\
m_1*\frac{v^2}{R}=m_2*g\\
v=\sqrt{\frac{m_2*g*R}{m_1}}
\)

D’un pèndol en un pla vertical

Punt més baix

Pas 1

PENDOL VERTICAL PUNT MES BAIX

Pas 2

El diagrama de forces és sols el de l’eix vertical i en aquest cas és força evident.

Pas 3

\(\sum F_y=F_c=T-P\\
T=F_c+P=m_1*\frac{v^2}{R}+m_1*g
=
\\
m_1*(\frac{v^2}{R}+g)
\)

D’un pèndol en el punt més alt

Pas 1

pendol vertical punt mes alt

Pas 2

També en aquest cas el diagrama de forces és evident.

Pas 3

\(\sum F_y=F_c=T+P\\
T=F_c-P
=\\
m_1*\frac{v^2}{R}-m_1*g
=\\
m_1*(\frac{v^2}{R}-g)
\)

La velocitat mínima que ha de tenir l’objecte \(m\) en el punt més alt perquè no caigui és \((T=0)\):

\(\sum F_y=F_c=T+P\\
F_c=P\\
m_1*\frac{v^2}{R}=m_1*g\\
v=\sqrt{g*r}
\)

Punt del mig

Pas 1

PENDOL VERTICAL PUNT DEL MIG

Pas 2

Una altre vegada, el diagrama de forces és molt evident, però aquesta vegada és sobre les abcises.

Pas 3

\(
\sum F_x=F_c=T\\
T=m_1*\frac{v^2}{R}
\)