Bloc

Porceedukat

Abans de començar…

CEEdukat Online

CEEdukat Online (Hospitalet de Llobregat, Barcelona) és una acadèmia de professors particulars que fa tutories i classes online de reforç i repàs escolar. Les classes són individuals i adaptades a cada alumne.

A causa de les incerteses quant a la continuació d’aquest curs escolar 2019-2020 i fins i tot el següent, a CEEdukat Online fem el seguiment i reforç de totes les matèries escolars seguint els currículums oficials establerts. L’objectiu és que l’estudiant no perdi aquest curs i també evitar-li dificultats l’any que ve.

Com són les classes de CEEdukat Online?

√ Fem totes les matèries i nivells del currículum escolar (matemàtiques, anglès, català, castellà, etc.) ara online.

√ Els horaris són flexibles i adaptats a cada estudiant.

√ Mateixa qualitat d’ensenyament que les classes presencials.

√ Paquets mensuals d’hores  econòmics.

√ Possibilitat de recuperació de classes.

√ Si encara no n’estàs convençut, fes una classe gratuïta de 15 minuts.

Queda’t a casa i fes les classes online i a distància!

Etiquetes: professor, tutor, classes online, acadèmia, tutories, repàs escolar, reforç escolar, queda’t a casa.

Per a fer una cerca al bloc

  1. Escriviu a la caixeta de cerca la paraula. (→)
  2. Us apareixeran diferents entrades que la contenen.
  3. Feu Ctrl+F per a cercar la paraula a la pàgina.
  4. Si s’ha trobat més d’una pàgina, feu Ctrl+F a cada pàgina.

Consells per a estudiar bé

  • Dorm i menja bé.
  • Manté al dia l’horari i l’agenda personal d’estudi i un sistema d’arxiu ordenat i pulcre.
  • Fes una planificació futura com a mínim amb dues setmanes d’antelació dels deures i exàmens.
  • No memoritzis amb la intenció de només aprovar exàmens i cerca paraules al diccionari per comprendre els materials d’estudi.
  • Memoritzar és duplicar la feina, tampoc garanteix l’aprovat i podria ser la causa de situacions catastròfiques en els teus estudis.
  • Si no has fet el nostre curs de tècnica d’estudi, fes-lo; si l’has fet, usa’l.
  • Fes els deures i estudia el que has fet a classe a diari. Si fas l’ESO o Batxillerat i no estudies cada dia, podries tenir dificultats importants en els teus estudis.
  • Presenta el treballs, llegeix els llibres que se t’assignen i no xerris a classe.
  • No estudiïs per treure només un cinc, estudia per treure un deu.
  • Fes els deures i els exàmens sense nervis i repassa els exercicis abans d’entregar-los.
  • Prepara les consultes i dubtes que tinguis abans de venir reforç per aprofitar-ne millor les hores.
  • Porta els teus propis llibres, ordinador portàtil, calculadora, bolígrafs, llapis, gomes d’esborrar i tot el material necessari per fer la classe i marca’ls amb el teu nom.
  • Desconnecta el mòbil o posa’l en mode avió abans d’entrar a classe.
  • Aixeca el braç cada vegada que tinguis un dubte i t’atendrem tan aviat com ens sigui possible.
  • Les classes de reforç són un ajut pels teus estudis i un premi per a tu … aprofita-les.
  • Els resultats depenen sobretot de la teva dedicació personal diària i de la teva capacitat personal i, per tant, no podem garantir-te l’aprovat, però si treballes com a un professional és molt probable que aprovis.

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Porceedukat

Derivades

PÀGINA EN CONSTRUCCIÓ

Porceedukat

Anàlisi funcional

PÀGINA EN CONSTRUCCIÓ

Porceedukat

Funcions elementals

PÀGINA EN CONSTRUCCCIÓ

1. Definicions

1.1 Funció

Una funció \(f(x)\) és una aplicació o correspondència entre dos conjunts numèrics: un conjunt de sortida o inicial i un conjunt d’arribada a final.

Per a què una aplicació o correspondència sigui una funció, a cada element del conjunt inicial li ha de correspondre un únic element del conjunt final:

Els elements del conjunt inicial són el domini de la funció i els elements del conjunt final són el recorregut de la funció.

Els elements del domini són la variable independent (\(x\)) i els del recorregut són la variable independent (\(y\)) de la funció.

La correspondència entre els elements del domini i el recorregut del diagrama de Venn anterior és una funció.

En canvi, la correspondència entre els elements del diagrama anterior no és una funció perquè alguns dels elements del domini no tenen imatge i hi ha almenys un element d’aquest conjunt que té dues imatges.

\(\color{red}{y=x^2}\) és una funció, però \(\color{blue}{y=\pm \sqrt x}\) no és una funció.

1.2 Funció elemental

Una funció elemental és una funció formada per funcions simples d’una variable amb operacions aritmètiques.

Les funcions elementals més simples són les irracionals (arrels), potències, exponencials, logarítmiques, polinòmiques, trigonomètriques i les trigonomètriques inverses. Simplificant, podem dir que són les funcions habituals que coneixem.

Exemple:

\(
y= 4 \\
y= x^3 \\
y= ln x \\
y= e^x \\
y= \sqrt {x} \\
y= x^2-9x+3 \\
y= \frac{x^2+2x+3}{x^2+1} \\
y= sin x \\
y= arcsin x \\
y= \frac{xe^x-\log_2(1+x^2)}{\sqrt{\arctan(3x)}}
\)

No hi ha una definició de funció no elemental però, per exclusió, diem que una funció no és elemental si no és una funció elemental. Una funció amb factorials, per exemple, no sería una funció elemental.

1.3 Funció composta

Una funció composta és una operació de dues funcions \(f(x), \, g(x)\) que genera una nova funció \(h(x)\): \(h(x)=f(x)∘g(x)=f[g(x)]\).

La funció \(h(x)\) és la funció resultant d’aplicar la funció \(g(x)\) a la funció \(f(x)\).

Exemple:

\(
f(x)=sin (x^3+1), \, g(x)=log (x+1) \\
h(x)=f(x)∘g(x)=f[g(x)]=
sin[log^3(x+1)+1]
\)

2. Operacions amb funcions

Si la funció suma, diferència, producte i quocient pertany alhora al domini de les funcións \(f(x), \, g(x)\), es compleix que:

\(
(f+g)(x)=f(x)+g(x) \\
(f-g)(x)=f(x)-g(x) \\
(f*g)(x)=f(x)*g(x) \\
(f \div g)(x)=f(x) \div g(x), \enspace g(x) \neq 0
\)

3. Funcions elementals

3.1 Funcions lineals

Una funció lineal \(y=m*x+n\) és una funció polinomial de grau u, o bé zero. La gràfica de les funcions lineals és una recta.

La \(m\) és el pendent o la inclinació de la recta. Si és positiva, la recta serà creixent, si és negativa serà decreixent i si és zero serà horitzontal.

La \(n\) és l’ordenada a l’origen (punt de tall amb l’eix de les \(y\) quan la \(x=0\)). L’ordenada a l’origen és el desplaçament vertical de la funció. Si és un valor positiu, estarà desplaçada cap amunt i si és negatiu cap avall.

Exemple:

\(y=2x+3, \, y= -3x, \, y=4\)

3.1.1 Propietats

El domini de la funció són tots el nombres reals (\(\mathbb{R}\).

La funció, o bé sempre creix, o bé sempre decreix o té un valor constant.

No tenen ni màxims, ni mínims, ni punts d’inflexió.

No tenen asímptotes.

No tenen ni simetria parella ni senars.

No són funcions periòdiques.

3.2 Funció proporcional

Una funció \(y=m*x+n\) és proporcional quan \(n=0\).

Exemples:

\(y=2x, \, y=-3x\)

y=2x

xy
00
12
24

La variació dels valors de la variable dependent \(y\) són proporcionals a la variació de la variable independent \(x\). És per això que diem que és una funció lineal proporcional.

Les funcions lineals proporcionals sempre passen per l’origen de coordenades \((0,0)\).

3.1.2 Funció afí

En una funció lineal afí \(n \neq 0\). Per tant, no passa per l’eix de coordenades. El valor de \(n\) indica el desplaçament vertical de la funció respecte a la funció proporcional del mateix pendent.

Exemples:

\(y=2x+3, \, y=-5x-8, \, y=6x-2 \)

y=2x+3

xy
03
15
-11

3.1.3 Funció constant

En una funció lineal constant \(m=0\) i \(n \neq 0\). Són funcions lineals de pendent zero.

Exemple:

\(y=-1\)

y=-1

xy
0-1
1-1
2-1

3.2 Funció recíproca

Les funcions recíproques \(y=\frac{\pm k}{x}\) són hipèrboles.

Exemple:

\(y=\frac{1}{x}, \, \frac{-2}{x}, \, \frac{5}{x}\)

y=1/x

xy
10000.001
1000.01
100.1
0.01100
0.0011 000
0.0000011000 000

y= -1/x

xy
1 000-0.001
100-0.001
10-0.1
0.01-100
0.0001-1000
0.000001-1 000 000

3.2.1 Propietats:

El domini de la funció són tots el nombres reals (\(\mathbb{R}\) ) excepte el zero.

La funció sempre creix en una branca i decreix en l’altra.

No tenen ni màxims, ni mínims, ni punts d’inflexió.

Tenen asímptotes verticals i horitzontals.

Tenen simetria senars.

No són funcions periòdiques.

3.3 Funció quadràtica

És una funció polinòmica de la forma: \(ax²+bx+c=0\).

Les funcions de segon grau són paràboles. Si el coeficient \(a\) és positiu, té forma de U i si és negatiu té forma de U invertida.

Exemple:

\(3x²-5x-7=0\)

y=x²

xy
00
\(\pm 1\)1
\(\pm 2\)4
\(\pm 3\)9

y=-x²

xy
00
\(\pm 1\)-1
\(\pm 2\)-4
\(\pm 3\)-9

3.3.1 Propietats

El domini de la funció són tots el nombres reals (\(\mathbb{R}\) ).

La funció sempre creix en una branca i decreix en l’altra.

Tenen un màxim o un mínims. No tenen punts d’inflexió.

No tenen asímptotes.

Tenen simetria parella.

No són funcions periòdiques.

3. Funció racional

Són funcions de la forma \(\frac{N(x)}{D(x)}\).

Exemple:

\(\frac{x+1}{x-3}\)

\(y=\frac{x+1}{x-3}\)

El domini de la funció són tots el nombres reals excepte els que fan zero el denominador.

No són funcions periòdiques.

3.5 Funció exponencial

Són funcions de la forma \(y=a^x\) (\(a\) és una constant).

Si la \(a\) és un nombre fraccionari, la funció rotarà 180º sobre l’eix de les \(x\). Passen pel punt \((0,1)\).

Exemples:

\(y=2^x, \, y=(-3)^x, \, ({\frac{1}{2}^)x}\)

\(y=2^x\)

xy
01
22
38
416

\(y=\frac{1}{2}^x\)

xy
01
1\(\frac{1}{2}\)
2\(\frac{1}{4}\)
3\(\frac{1}{8}\)

El domini de la funció són tots el nombres reals (\(\mathbb{R}\) ).

La funció, o bé sempre creix, o bé sempre decreix.

No tenen ni màxims ni mínims. No tenen punts d’inflexió.

Tenen una asímptota horitzontal en \(x=0\).

No tenen simetria.

No són funcions periòdiques.

3.6 Funció logarítmica

3.7 Funcions trigonomètriques

3.7.1 Funció sinus

3.7.2 Funció cosinus

3.7.3 Funció tangent

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Porceedukat

Sistemes d’equacions

Instruccions abans de començar

1. Què és un sistema d’equacions

Un sistema d’equacions són dues o més equacions que compleixen certes igualtats per a uns valors determinats (solucions) de les incògnites.

Dues equacions són equivalents quan tenen les mateixes solucions.

El nombre de solucions d’un sistema és igual al grau de l’equació, tot i que en el conjunt dels nombres reals (\(\mathbb R\)) pot ser inferior quan apareixen arrels d’índex parell negatives com en aquest cas:

\(
x^2-4x+8=0
\\
\Delta=\sqrt {b^2-4*a*c}
\\
\sqrt {4^2-4*1*8}
\\
\sqrt {16-32}
\\
\sqrt{-16}
\)

En aquest article, sols veurem la resolució de sistemes de dues equacions. 

2. Classificació dels sistemes d’equacions

2.1 Segons el grau de les equacions

2.1.1.1 Lineals

Un sistema d’equacions és lineal quan tots els termes de les equacions són de grau u.

2.1.1.2 No lineals

Quan alguna o totes les equacions del sistema són de grau dos o superior, o bé són equacions no lineals, diem que és un sistema d’equacions no lineal.

2.2 Segons les soluciones del sistema

2.2.1 Sistema Compatible Determinat (SCD)

Un sistema és compatible determinat si té un nombre finit de solucions.

Per a què un sistema d’equacions sigui determinat, calen tantes equacions diferents com incògnites tingui el sistema.

Dues rectes del pla que formen un sistema compatible determinat es tallen en un punt.

\(
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
——————
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}
\)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT

2.2.2 Sistema Compatible Indeterminat

Un sistema compatible indeterminat és un sistema d’equacions que té infinites solucions.

Si un sistema té més incógnites que equacions diferents, serà un sistema indeterminat.

Si un sistema de dues funcions lineals del pla és indeterminat, les rectes que el formen són en realitat una mateixa recta.

\(
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
4x+6y=16
\\
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +4x+6y=16
\\
-4x-6y=-16
\\
——————-
\\
\hspace{9pt} 0x+0y=0
\end {cases}
\)
SISTEM COMPATIBLE INDETERMINAT

2.2.3 Sistema Incompatible

Un sistema és incompatible si no té solució.

Quan dues rectes del pla són paral·leles, formen un sistema incompatible.

\(
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x+3y=10
\\
————-
\\
0=-2
\end{cases}
\)
SISTEMA INCOMPATIBL

(Per a saber-ne, vegeu Altres mètodes de resolució de sistemes d’equacions -Batxillerat).

3. Resolució del sistemes d’equacions

Al resoldre un sistema d’equacions determinem els punts secants (d’intersecció) de les equacions del sistema entre sí. Aquests són els punts que tenen en comú les equacions del sistema.

El nombre màxim de solucions serà el grau més gran de les equacions del sistema.

3.1 Lineals

3.1.1 Reducció o Eliminació

Consisteix en eliminar o reduir una de les incògnites del sistema d’equacions. 

Per a eliminar-la, multiplicarem cada equació pel coeficient de la incógnita que volem eliminar de l’altre equació.

\(
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
4*)\,2x+3y=8
\\
3*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
8x+12y=32
\\
3x-12y=-21
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} 11x+0y=11
\\
x=\frac{11}{11}=1
\\[0.2cm]
y=\frac{8-2x}{3}=2
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
1*)\,2x+3y=8
\\
2*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x-8y=-14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
—————-
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}
\)

3.1.2 Igualació

Per tal d’aplicar el mètode d’igualació, aillarem la mateixa incògnita de cada equació i després igualarem ambdues expressions.

\(
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}
\\
x={-7+4y}
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
\frac{8-3y}{2}={-7+4y}
\\[0.2cm]
(8-3y)=2*(-7+4y)
\\[0.2cm]
8-3y=-14+8y
\\[0.2cm]
-3y-8y=-14-8
\\[0.2cm]
-11y=-22
\\[0.2cm]
y=\frac{22}{11}=2
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}
\)

3.1.3 Substitució

En el mètode de substitucío, aïllarem una de les incògnites i la substituirem al’altra equació.

\(
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
x-4*(\frac{8-2x}{3})=-7
\\[0.2cm]
x-\frac{32-8x}{3}=-7
\\[0.2cm]
\frac{3x-32+8x}{3}=\frac{-21}{3}
\\[0.2cm]
3x+8x=-21+32
\\[0.2cm]
11x=11
\\[0.2cm]
x=1
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
y=2
\end {cases}
\)

3.1.4 Mètode gràfic

Aïllarem la \(y\) de cada equació i les representarem en un mateix gràfic.

Si el sistema és compatible determinat, el punt d’intersecció d’ambdues rectes serà la solució del sistema.

Si és indeterminat, ambdues rectes seran coincidents.

Si és incompatible, seran paral·leles.

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT

3.2 No lineals

El millor mètode de resoldre sistemes d’equacions no lineals sol ser el mètode de substitució, tot i que s’ha d’analitzar en cada cas el sistema per a determinar quin és el millor métode de resolució.

Per a saber-me  més, vegeu Altres mètodes de resolució d’equacions -Batxillerat).

\(
\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x+y=5
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x=5-y
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
(5-y)^2+y^2=25
\\
(25-10y+y^2)+y^2=25
\\
2y^2-10y=0
\\
y*(2y-10)=0
\\
y=5, 0
\\
x=0, 5
\end{cases}
\)

4. De tres equacions amb tres incògnites

Per a resoldre un sistema de tres equacions amb tres incògnites, usarem el sistema de reducció entre la primera i la segona equació, després entre la primera i la tercera i finalment entres les dues equacions resultants:

\(
2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
7x-5y+2z=4
\\[1cm]
*-2)2x+3y-\enspace z=4
\\
\hspace{1.2cm}4x-2y+5z=7
\\
———————–
\\
\hspace{1.2cm}0x+8y-7z=1
\\[1cm]
\hspace{0.5cm}7*) 2x+3y-\enspace z=4
\\
-2*)7x-5y+2z=4
\\
————————–
\\
\hspace{1.9cm}31y-11z=20
\\[1cm]
\hspace{0.2cm}31*) \hspace{0.3cm}8y-\enspace 7z=1
\\
-8*)31y-11z=20
\\
———————
\\
\hspace{1.2cm}-129z=-129
\\[1cm]
z=\frac{129}{129}=1
\\
y=\frac{1+7z}{8}=1
\\
x=\frac{4+z-3y}{2}=1
\)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Porceedukat

Altres mètodes de resolució de sistemes d’equacions

Instruccions abans de començar

1. Gauss

El mètode de resolució de sistemes d’equacions per Gauss, segueix el mètode clàssic de resolució per reducció. La diferència és que eliminarem les incògnites ordenadament (primer la \(x\), després la \(y\) i finalment la \(z\)) i que farem servir matrius sols amb els coeficients en comptes de tota l’equació.

A tall d’exemple,  resoldrem primer un sistema d’equacions amb tres incògnites pel mètode reducció ordenadament:

\(
2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
7x-5y+2z=4
\\[1cm]
*-2)2x+3y-\enspace z=4
\\
\hspace{1.2cm}4x-2y+5z=7
\\
———————–
\\
\hspace{1.2cm}0x+8y-7z=1
\\[1cm]
\hspace{0.5cm}7*) 2x+3y-\enspace z=4
\\
-2*)7x-5y+2z=4
\\
————————–
\\
\hspace{1.9cm}31y-11z=20
\\[1cm]
\hspace{0.2cm}31*)\hspace{0.3cm}8y-\enspace 7z=1
\\
-8*)31y-11z=20
\\
———————
\\
\hspace{1.2cm}-129z=-129
\\
z=\frac{129}{129}=1
\\
y=\frac{1+7z}{8}=1
\\
x=\frac{4+z-3y}{2}=1
\)

Per a resoldre un sistema d’equacions per Gauss fem la triangulació superior de matriu ( fem zeros a la part inferior de la diagonal de la matriu).

Si el sistema resultant és compatible, el resoldrem. Si és incompatible, acabarem l’exercici.

Observeu que obtenim els mateixos resultats que fent-ho pel mètode anterior de reducció:

\(
\left[ \begin{matrix} \color{red} 2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 4 & \hspace{0.3cm} -2 & \hspace{0.3cm} 5 & 7 & \\ 7 & \hspace{0.3cm} -5 & \hspace{0.3cm}2 & 4 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm}\downarrow \enspace 2F_1-F_2
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \color{red} 2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 & \hspace{27px} 8 & \hspace{0.05cm} -7 &1 \\ 7 & \hspace{0.3cm}-5 & \hspace{0.4cm} 2 & 4 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 7F1-2F_3
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 & \hspace{27px} \color{red}8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1 \\ 0 & \hspace{0.5cm}31 & -11 & \hspace{5px} 20 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 31F_2-8F_3
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 &\hspace{27px}  \color{red}8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1 \\ 0 & \hspace{0.6cm}0 & -129 & \hspace{5px} -129 \end{matrix} \right]
\)

La tercera fila d’aquesta matriu triangulada ens diu que \(-129z=-129\), i per tant,\( z=1.\)

De la segona fila, \(8y-7z=1,,  y=\frac{1+7z}{8}=1.\)

I de la primera, \(2x+3y-z=4, ,x=\frac{4-3y+z}{2}=1.\)

Quant a la resolució d’un sistema indeterminat:

\(
2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
6x+y+4z=11
\\[1cm]
\begin{bmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & -1 & 4 \\ 4 & \hspace{0.3cm}-2 & \hspace{0.3cm}5 & 7\\ 6 & \hspace{0.7cm}1 & \hspace{0.3cm}4 & 11 \end{bmatrix}
\\[1cm]
\begin{bmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & -1 & 4 \\0 & \hspace{0.6cm}8 & \hspace{0.05cm}-7 & 1\\ 0 & \hspace{0.6cm} 0& \hspace{0.05cm} 0 & 0 \end{bmatrix}
\)

Sols les dues primeres equacions són linealment independents. El resolem, per tant, com un sistema indeterminat (SCI):

\(2x+3y-z=4
\\
8y-7z=1
\\[1cm]
z=\lambda
\\
y=\frac{1+7z}{8}=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}\lambda
\\
x=\frac{4+z-3y}{2}=\frac{29}{16}-\frac{13}{16}\lambda
\)

2. Crammer

El mètode de Crammer usa els determinants per a calcular els resultats del sistema d’equacions. Consisteix en canviar la columna de coeficients de la incògnita que volem calcular per la dels termes independents:

\(
\Delta x=\frac{\left| \begin{matrix}\hspace{4px} \color{red}4 & \hspace{27px} 3 & -1 \\ \color{red}7 & \hspace{0.4cm} -2 \hspace{0.2cm} 5 \\\color{red}4 & \hspace{0.4cm} -5 & \hspace{0.2cm} 2 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\\
\Delta y=\frac{\left| \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} \color{red} 4& -1 \\ 4 & \hspace{27px} \color{red} 7 & \hspace{0.2cm}5 \\ \hspace{0.1cm}7 & \hspace{0.7cm} \color{red}4 & \hspace{0.2cm} 2 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\\
\Delta z=\frac{\left| \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & \hspace{10px} \color{red}4 \\ 4 & \hspace{0.4cm} -2 & \hspace{15px} \color{red} 7 \\ 7 & \hspace{0.4cm}-5 & \hspace{15px} \color{red} 4 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\)

Quan el determinant de la matriu és zero, \(|A|=0\),  diem que el sistema no és de Cramer. En aquest cas, per a resoldre el sistema indeterminat farem servir sols les equacions que són linealment independents fent la substitució \(z=\lambda\) que ara formarà part del terme independent:

\(
\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 &-\lambda &4 \\ 4 & -2 &\hspace{0.4cm}5\lambda &7 \end{vmatrix}
\\[1cm]
\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & 4+\lambda \\ 4 & -2 & \hspace{0.4cm} 7-5\lambda \end{vmatrix}
\\[1cm]
\Delta x=\frac{\begin{vmatrix}4+\lambda & \hspace{0.3cm}3 \\ 7-5\lambda & -2 \end{vmatrix}}
{{\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.3cm}3 4 & -2 \end{vmatrix} }}=\frac{29}{16}-\frac{13}{16}\lambda
\\
\Delta y=\frac{\begin{vmatrix}2 & \hspace{0.3cm}4+\lambda \\ 4 & \hspace{0.3cm}7-5\lambda \end{vmatrix}}
{{\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.3cm}3 4 & -2 \end{vmatrix} }}=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}\lambda
\)

3. Teorema de Rouché-Fröbenius

Sistema Compatible Determinat (SCD): \(Rang A=Rang A^*=3\)

Sistema Compatible Indeterminat (SCI): \(Rang A=Rang A^*=2\)

Sistema Incompatible (SI): \(Rang A=2, Rang A^*=3\)

Per a determinar els rangs de la matriu de coeficients \(A\) i de l’ampliada \(A^*\), farem la triangulació del sistema i analitzarem el nombre de files independents de cadascuna. 

Si el determinant de la matriu de coeficients és zero, vol dir que el sistema no és determinat.

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Porceedukat

Resolució d’equacions d’una incògnita

Instruccions abans de començar

Una equació és una igualtat entre dues expressions matemàtiques que conté quantitats conegudes (coeficients) i quantitats desconegudes (incògnites). Resoldre una equació és trobar totes les solucions de l’equació.

Les equacions es poden classificar segons el nombre de solucions i el grau de l’equació. Si tenim més d’una equació, diem que és un sistema d’equacions.

1. De primer grau

Per a resoldre una equació de primer grau, farem el següents:

  1. Eliminarem els denominadors: per a eliminar els denominadors usarem el mètode del mínim comú múltiple.
  2. Resoldrem els parèntesis: aplicant la propietat distributiva \(a*(b+c)=a*b+a*c\).
  3. Passarem a una banda de la igualtat els monomis sense \(x\) i a l’altra els termes independents. Recordeu que fem l’operació inversa al terme que volem moure per a passar-lo a l’altra banda de l’equació.
  4. Reagrupem els monomis després de cada moviment.
  5. Finalment, aïllem la \(x\) passant a dividir el coeficient que la multiplica:

\(2x+9=6+5x\)

En aquest cas no hi ha ni denominadors ni parèntesis, anem doncs al tercer pas. Posem les \(x\) a l’esquerra de la igualtat i el termes independents a la dreta.

Movem el \(9\) de l’esquerra a la dreta restant-lo a cada banda de la igualtat:

\(2x+9-9=6+5x-9\)

Agrupem els monomis (termes) semblants

\(2x=5x-3\)

Ara canviem de banda el \(5x\) restant-lo a cada costat de l’equació:

\(2x-5x=5x-5x-3\)

Tornem a regrupar termes:

\(-3x=-3\)

I aïllem la \(x\) passant a divdir el coeficient que la multiplica:

\(x=\frac{-3}{-3}=1\).

Un altre exemple amb denominadors i parèntesis:

\(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}=\frac{5x+35}{2}\)

Multipliquem a cada banda pel mínim comú múltiple:

\(6*[(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}]=6*(\frac{5x+35}{2})\)

Eliminem els denominadors:

\(12*(2x+5)+2*(x+2)-15*(x-3)=3*(5x+35)\)

Reagrupem els monomis semblants:

\((24x+60)+(2x+4)-(15x-45)=(15x+105)\)

Movem les \(x\) a l’esquerre de la igualtat i els termes independents a la dreta:

\(24x+2x-15x-15x=105-60-4-45\)

I aïllem la \(x\):

\(
-4x=-4
\\
x=\frac{-4}{-4}=1
\)

2. De segon grau

2.1 Completa

Per a resoldre una equació de segon grau completa (amb tots els termes,  \(ax^2+bx+c=0\))  usarem la següent fórmula:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c}}{2*a}\), per exemple

\(
x^2+5x+6=0 \enspace a=1,\enspace b=5, \enspace c=6:
\\
x=\frac{-5\pm \sqrt{(5)^2-4*1*6}}{2*1}=
\\
\frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2-24}}{2}=
\\
\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{-5\pm 1}{2}
\\
x_1=\frac{-4}{2}=-2
\\
x_2=\frac{-6}{2}=-3
\)

2.2 Incompleta (b=0)

\(
ax^2+c=0
\\
x=\pm \sqrt{\frac {-c}{a}}
\)

Exemple:​

\(4 x^2-36=0
\\
x=\pm \sqrt{\frac{-(-36)}{4}}
\\
x=\pm 3
\)

2.3 Incompleta (c=0)

\(ax^2+bx=0
x(ax+b)=0
\\
x_1=0
\\
ax_2+b=0
\\
x_2=-\frac{b}{a}
\)

Exemple:

\(
3x^2+6x=0
\\
x(3x+6)=0
\\
x_1=0
\\
x_2=-\frac{6}{3}=-2
\)

3. Calcular el nombre de solucions

Per a determinar el nombre de solucions d’una equació de segon grau sense resoldre-la, en calcularem el discriminant: \(\Delta=b^2-4*a*c.\)

3.1 Dues solucions

\(
\Delta>0
\\
x^2+5x+6=0
\\
\Delta=5^2-4*1*6>0 \enspace (x_1= -2,x_2=-3)
\)

3.2 Una solució doble

\(
\Delta=0
\\
x^2+4x+4=0
\\
\Delta=4^2-4*1*4=0 \enspace (x_1=+2,x_2=+2)
\)

3.3 Cap solució

\(
\Delta<0
\\
x^2+5x+9=0
\\
\Delta=5^2-4*1*9<0
\)

4. Biquadrades

Les equacions biquadrades (\(ax^{2n}+bx^n+c=0\)) es resolen fent un canvi de variable (\(x^n=t\))  que les transforma en una equació de segon grau:

\(
a*x^{2n}+b*x^n+c=0
\\
(x^n=t)
\\
a*t^2+b*t+c=0\)

Exemple:

\(
x^4-5 \color {red}{x^2}+4=0 \enspace (\color {red}{x^2=t})
\\
t^2-5t+4=0
\\
t=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4*1*4}}{2*1}
\\
t=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2}
\\
t_1=4
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{4}= \pm 2
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1
\)

Un altre exemple: \(x^6-9x^3+8=0.\)

Fixeu-vos que això també és una equació biquadrada, perquè l’exponent del primer monomi és el doble de l’exponent del segon monomi i el tercer és el terme independent. 

La resolem de la mateixa manera:

\(
x^6-9 \color{red}{x^3}+8=0 \enspace (\color{red}{x^3=t})
\\
t^2-9t+8=0
\\
t=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2-4*1*8}}{2*1}
\\
t=\frac{9 \pm 7}{2}
\\
t_1=8
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{8}= \pm 2 \sqrt{2}
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1
\)

Si algun dels resultats de la \(t\) és negatiu, no es podrà trobar la  \(x\) corresponent.

5. Irracionals

Són equacions en les quals la incògnita és sota una arrel, per exemple, \(sqrt{x+1}=9\). Per simplificació, sols analitzarem la resolució d’equacions irracionals amb arrels quadrades.

5.1 Amb una arrel

Per a solucionar una equació irracional:

  1. Posarem el terme amb arrel a un costat de la igualtat i la resta de termes a l’altra,
  2. Elevarem cada terme al quadrat per tal d’eliminar l’arrel, i
  3. Resoldrem l’equació que resulti de fer els passos anteriors:
\(
\sqrt{2x-6}+2=4
\\
\sqrt{2x-6}=4-2
\\
\sqrt{2x-6}=2
\\
(\sqrt{2x-6})^2=2^2
\\
2x-6=4
\\
2x=4+6
\\
2x=10
\\
x=\frac{10}{2}=5
\)

5.2 Amb dues arrels

És el mateix procediment de resolució, però quan hi ha dues arrels, el càlcul sol ser més fàcil posant una arrel a cada banda de la igualtat. Si hi ha dues arrels, haurem de repetir els passos \(1\) i \(2\) dues vegades per a eliminar-les totes:

\(
\sqrt{2x-3}+\sqrt{x+7}=4
\\
\sqrt{2x-3}=4-\sqrt{x+7}
\\
\sqrt{2x-3})^2=(4-\sqrt{x+7})^2
\\
2x-3=16-2*4*\sqrt{x+7}+(\sqrt{x+7})^2
\)

Ara que sols queda una arrel, continuarem el procés com en el cas anterior:

\(
2x-3=16-8\sqrt{x+7}+(x+7)
\\
2x-3-16-(x+7)=-8\sqrt{x+7}
\\
x-26=-8\sqrt{x+7}
\\
(x-26)^2=(-8\sqrt{x+7})^2
\\
x^2-52x+676=64(x+7)
\\
x^2-116x+228=0
\\
x_1=114
\\
x_2=2
\)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Porceedukat

Altres mètodes de resolució d’equacions

Instruccions abans de començar

1. Equacions logarítmiques:

Són equacions que la incògnita és a l’argument d’un o més logaritmes (p.e:\(2*log(x+6)\)).

El logaritme és la funció inversa de les funcions exponencials (la inversa de les funcions potencials és la radicació): \(b^{exp}=n\) (potència), \( log_b(n)=exp\); \(2^3=8, , log_2(8)=3\).

El logaritme d’un nombre és l’exponent al qual hem d’elevar la base per obtenir el nombre. En aquest exemple, el logaritme de vuit en base dos és tres. 

Els logaritmes foren inventats per  John Napier a principis del segle XVII. La utilitat dels logaritmes és simplificar el càlcul quan hem d’operar amb nombres molt grans o molt petits.

Els logaritmes més comuns són els decimals o de base 10  ( \(log_{10}\)  o \(log \)). Els logaritmes naturals o neperians ( \(log_e \) o \(Ln \))  tenen de base el nombre irracional \(e\).

1.1 Propietats dels logaritmes

Les propietats dels logaritmes són necessàries per a poder resoldre’n les equacions. Són les següents:

(Forma compacta = Forma desenvolupada)

\(
log_b(x*y)= log_b (x) + log_b (y)\\
log(2*3)=log(2)+log(3)\\
\\[1cm]
log_b (\frac{x}{y})= log_b (x) – log_b (y)\\
log(2*3)=log(2)-log(3)[1cm]
log_b (x^n)= n*log_b (x)\\
log (2^3)=3*log(2)\\
\\[1cm]
log_b (x<=0) \notin \enspace \mathbb{R}\\
log(0), log(-2) \notin \enspace \mathbb{R}.\\
\)

1.2 Resolució d’equacions amb un sol logaritme

La incògnita del logaritme pot ser la base, l’exponent o el nombre, però per a resoldre’l sense calculadora sempre farem l’antilogaritme o potència. El mètode de resolució d’equacions logarítmiques és:

1. Descomponem les bases compostes (que no són primeres)
2. Fem l’antilogaritme
3. Resolem l’equació
4. Comprovem el resultat.

\(
log_2(16)=x
\\
2^x=16
\\
2^x=2^4
\\
x=4
\\[1cm]
log_x(16)=4
\\
x^4=16
\\
x^4=2^4
\\
x=2
\\[1cm]
log_2(x)=4
\\
2^4=x
\\
x=16
\\[1cm]
log(3x+10)=4
\\
3x+10=10^4
\\
x=\frac{10^4-10}{3}
\\
x=3 330
\)

1.3 Amb més d’un logaritme

Si hi ha més d’un logaritme, no es podrà usar el mètode anterior de resoldre fent l’antilogaritme. En aquest cas, farem servir les propietats dels logaritmes per a transformar l’equació en la forma compacta equivalent i quan l’hagem transformat amb un sol logaritme, farem l’antilogaritme:

\(
log(x+1)+log(x-3)=log(5x-13)
\\
log[(x+1)*(x-3)]=log(5x-13)
\\
(x+1)*(x-3)=5x-13
\\
x^2-2x-3=5x-13
\\
x^2-7x+10=0
\\
x_1=5
\\
x_2=2
\\[1cm]
log_5(x+2)^4-1=log_5(x+2)+5
\\
log_5(x+2)^4-log_5(x+2)=5+1
\\
4*log_5(x+2)-log_5(x+2)=6
\\
3*log_5(x+2)=6
\\
log_5(x+2)=2
\\
x+2=5^2
\\
x=25-2=23
\)

En el primer exemple, \(x=2\) no és cap solució perquè l’argument de \(log(x-3), log(5x-13)\) és negatiu.

2. Equacions exponencials

Una equació és exponencial quan la incògnita és a l’exponent. Per a resoldre una equació exponencial usarem les propietats de les potències.

2.1 Propietats de les potències

Per a resoldre una equació potencial farem servir les propietats de les potències (recordeu que podem operar potències si tenen la mateixa base o el mateix exponent).

\(
a^n*a^m=a^{n+m}:
\\
2^6*2^9=2^{15}
\\[1cm]
a^n \div a^m=a^{n-m}
\\
2^{6} \div 2^9=2^{-3}
\\[1cm]
(a^n)^m=a^{n*m}
\\
(2^3)^9=2^{27}
\\[1cm]
a^0=1
\\
2^0=1,(\sqrt{2})^{ 0}=1, \pi^0=1, (-2)^0=1
\\[1cm]
a^1=a
\\
2^1=2
\\[1cm]
a^{-n}=\frac{1}{a^n}
\\
2^{-6}=\frac{1}{2^6}
\)

2.2 Resolució d’equacions exponencials

El mètode per a resolder equacions exponencials és el següent:

1. Descompondre les bases compostes en bases primeres
2. Trobar l’expressió potencial comuna a tots els termes
3. Fer el canvi d’aquesta expressió potencial comuna per t.
4. Resoldre l’equació resultant.
5. Desfer el canvi.

\(
2^{(x+3)}+4^{(x+1)}-320=0
\\
2^{(x+3)}+(2^2)^{(x+1)}-320=0
\\
2^{(x+3)}+2^{(2x+2)}-320=0
\\
2^x*2^3+(2^x)^2*2^2-320=0
\\
2^x=t
\\
4t^2+8t-320=0
\\
t=8, -10
\\
2^x=8
\\
x=3
\)

(Hem ignorat la solució \(t=-10\) perquè \(-10=2^x\) no es pot resoldre.)

3. Equacions trigonomètriques

Són equacions que tenen la incògnita en l’argument de funcions trigonomètriques. Per a resoldre-les, fem servir les identitats trigonomètriques.

3.1 Identitats trigonomètriques

IDENTITATS-TRIGONOMETRIQUES

3.2 Resolució d’equacions trigonomètriques

Tot i que no hi ha un mètode únic per a resoldre una equació trigonomètrica, en general es poden resoldre seguint el següent esquema:

1. Transformem les sumes en productes o els productes en sumes per tal de convertir els arguments amb més d’un angle en arguments amb un sol angle.
2. Transformem les funcions trigonomètriques derivades en les funcions trigonomètriques fonamentals (sin, cos).
3. Transformem tots els angles no simples de l’equació en simples.
4. Transformem tots els sinus a cosinus o a l’inrevés fent servir la identitat trigonomètrica fonamental (\(sin^2+cos^2=1\)).
5. Resolem l’equació trigonomètrica resultant.

Però l’ordre a seguir pot ser diferent per a cada equació trigonomètrica. Haurem d’avaluar en cada cas quin ordre s’ha de seguir per a resoldre l’equació de la millor manera.

Recordeu que el resultat d’una equació trigonomètrica es correspon amb dos angles i que també hi hem d’afegir els angles que es generen en cada volta completa a la circumferència (\(360*k, 2\pi*k\)). Per tant, la solució d’una equació trigonomètrica no és única, sinó que és una família de solucions:

\(
tg(\frac{\alpha}{2})=2
\\
arctg(2)=\alpha
\\
alpha=63.435º+360*k, k \in  \mathbb{N}
\)
ANGLES MULTIPLES

En aquest cas, simplifiquem una equació trigonomètrica amb més d’una funció i angles compostos en una equació d’una sola funció:

\(
{cos(2\alpha)+cos(\alpha)}*{sin(2\alpha)+sin(\alpha)}=0
\\
2cos^2{\alpha}-1+cos{\alpha}*2sin{\alpha}*cos{\alpha}+sin{\alpha}=0
\\
2*(1-sin^2{\alpha})-1+2sin{\alpha}*(1-sin^2{\alpha})+sin{\alpha}=0
\\
2-2sin^2{\alpha}-1+2sin{\alpha}-2sin^3{\alpha}+sin{\alpha}=0
\\
-2sin^3{\alpha}-2sin^2{\alpha}+3sin{\alpha}+1=0
\\
t=sin{\alpha}
\\
2t^3+2t^2-3t-1=0
\\
t=1,\frac{-2+\sqrt{2}}{2},\frac{-2-\sqrt{2}}{2}
\\
x=arcsin(t)=90º,-17.03º\\
\)

La tercera solució \(sin^{-1}(\frac{-2-\sqrt 2}{2})\) no és possible perquè \(\frac{-2-\sqrt 2}{2}=-1.707.\)

Demostrem una igualtat trignomètrica reduint les expressions de cada banda de la igualtat amb més d’una funció i angles compostos a una sola funció amb un angle simple:

\(
tg^2 \alpha-sin^2 \alpha=tg^2 \alpha*sin^2 \alpha
\\
\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}-sin^2\alpha=\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}*sin^2\alpha
\\
\frac{sin^2\alpha-sin^2\alpha*cos^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}
\\
sin^2\alpha-sin^2\alpha*(1-sin^2\alpha)=sin^4\alpha
\\
sin^2\alpha-sin^2\alpha+sin^4\alpha=sin^4\alpha
\\
sin^4\alpha=sin^4\alpha
\)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Porceedukat

Proves d’accés a CFGM, CFGS, GESO, Selectivitat/ PAU i PAP

Vols fer un cicle formatiu?

T’agradaria tornar a estudiar?

A CEEdukat et preparem per a les proves d’accés dels cicles formatius de grau superior (CFGS), grau mig (CFGM), de la ESO (GESO), Selectivitat/ PAU (Prova d’accés a la Universitat) i PAP (Prova d’aptitud Personal).

Horaris flexibles de matí, tarda i dissabtes.

Classes individuals PRESENCIALS i ONLINE en grups reduïts.

Demaneu més informació enviant aquest formulari

Formulari de contacte
Serveis
Obligatori
Obligatori
Porceedukat

Pruebas de acceso a CFGM, CFGS, GESO, Selectividad/ PAU y PAP

¿Quieres hacer un ciclo formativo?

¿Te gustaría volver a estudiar?

En CEEdukat te preparamos para las pruebas de acceso a los ciclos formativos de grado superior (CFGS), grau medio(CFGM), de la ESO (GESO), Selectividad/ PAU (Prueba de Acceso a la Universidad) i PAP (Prueba de aptitud Personal).

Horarios flexibles de mañana, tardes y sábados.

Clases individuales PRESENCIALES i ONLINE en grupos reducidos.

Soliciten más información enviando este formulario:

Formulario de contacto
Servicios *
INFORMACIÓN PROTECCIÓN DE DATOS DE XAVIER MAS i RAMóN (CENTRE D'ESTUDIS EDUKAT)

Finalidades: Responder a sus solicitudes y remitirle información comercial de nuestros productos y servicios, incluso por correo electrónico. Legitimación: Consentimiento del interesado. Destinatarios: No están previstas cesiones de datos. Derechos: Puede retirar su consentimiento en cualquier momento, así como acceder, rectificar, suprimir sus datos y otros derechos a centre.estudis.edukat@ceedukat.es. Información Adicional: Puede ampliar la información en el enlace de Avisos Legales.

Obligatorio
Obligatorio
Porceedukat

Límits i continuïtat

Abans de començar

1. Límit d’una funció en un punt

El límit d’una funció \(f(x)\) en un punt \(x=a\) és el valor al qual s’aproxima la funció quan \(x\) s’aproxima al valor \(a: \, \lim_{x \to a} f(x)= \, L\).

Exemple:

\(y=\lim_{x \to 2}2*x+6=2*2+6=10\)

xy=2*x+6
1.99.8
1.999.98
1.99999.9998
1.999999.99998
1.9999999.999998

Quan \(L\) és un valor real o infinit (\(\pm \infty\)) diem que el límit és determinat.

Exemple:

\(
\lim_{x \to 3} x^3-5= \,22 \\
\lim_{x \to \infty} x^3-5= \, \infty
\)

El límit d’una funció és indeterminat quan és un valor indefinit.

Exemple:

\(\lim_{x \to 5}\frac{x-5}{x^2-25}= \, \frac{0}{0}\).

\( \frac{0}{0}\) es un resultat indeterminat perquè té moltes solucions.

Les indeterminacions (resultat indeterminats) que podem trobar quan resolem el límit d’una funció en un punt són: \(\frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty}, \, \infty-\infty, \, 1^{\infty}, \, 0*\infty, \, 0^0 \, i \, \infty^0\).

1.1 Límits laterals d’una funció

Per a determinar quin és el límit d’una funció en un punt hem de deteminar el límit d’aquesta funció quan ens hi aproximem per l’esquerra o per la dreta. Si el límits laterals no coincideixen, el límit serà indefinit i per tant la funció no tindrà límit.

Exemple:

\(
f(x)
\begin{cases}
x^2-2 \enspace si \enspace-\infty \lt x \lt 2\\
4 \hspace{1.3cm} si \enspace 2 \leq x \lt 4
\end{cases}
\\[1cm]
\lim_{x \to +2^-} f(x)=\lim_{x \to +2^-}x^2-2=2\\
\lim_{x \to +2^+} f(x)=\lim_{x \to +2^+}4=4
\)

La funció anterior és una funció a trossos formada per les funcions \(y=x^2-2\) i la funció \(y=4\). Quan ens aproximem a \(x=2, \, f(x)\) té valors diferents. Els límits laterals no coindeixen, per tant, la funciò no té un límit definit.

2. Propietats dels límits

Si el límit d’una funció existeix, es compleixen les següents propietats:

i) El límit d’una suma de funcions és igual a la suma dels límits de cada funció:

\(\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=\lim_{x \to \infty}f(x)+\lim_{x \to \infty}g(x)\)

ii) El límit d’un producte de funcions és igual al límit d’una funció multiplicat pel límit de l’altra:

\(\lim_{x \to a}[{f(x)}*{g(x)}]=\lim_{x \to a}f(x)*\lim_{x \to a}g(x)\)

iii) El límit d’un quocient de funcions és igual al límit de la funció dividend dividit pel límit de la funció divisor:

\(\lim_{x \to a}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}\)

iv) El límit d’una funció base elevada a una funció exponent és igual al límit de la funció base elevat al límit de la funció exponent:

\(\lim_{x \to a}[{f(x}^{g(x)}]={\lim_{x \to a}f(x)}^{\lim_{x \to a}g(x)}\)

v) El límit del logaritme d’una funció és igual al logaritme del límit de la funció:

\(\lim_{x \to a}{log_a{f(x)}}=log_a[{\lim_{x \to a}f(x)}]\)

2. Càlcul de límits indeterminats

Segons el tipus d’indeterminació que resulti resolent el límit d’una funció, farem servir un mètode diferent per a determinar-ne el valor:

2.1 \((\frac{0}{0})\)

Per a resoldre aquesta indeteminació factoritzarem el numerador i el denominador, simplificarem la fracció algebraica i tornarem a fer el límit:

Exemple:

\(
\lim_{x \to 5}\frac{x-5}{x^2-25}= \, \frac{0}{0} \\
\lim_{x \to 5}\frac{x-5}{(x+5)*(x-5)}= \\
\lim_{x \to 5}\frac{1}{(x+5)}=\frac{1}{10}
\)

2.2 \((\frac{\infty}{\infty})\)

Per a resoldre aquesta indeterminació, dividim cada monomi del numerador i del denominador pel monomi de grau més gran de la funció:

\(
lim_{x \to \infty}\frac{5x^2-3x+8}{x+2}= \, \frac{\infty}{\infty} \\
lim_{x \to \infty}\frac{(5x^2-3x+8) \div x^2}{(x+2) \div x^2}= \\
lim_{x \to \infty}\frac{5x^2/x^2-3x/x^2+8/x^2}{(x/x^2+2 \div x^2)}= \\
lim_{x \to \infty}\frac{5-3/x+8/x^2}{(1/x+2/ x^2))}= \\
\frac{5+0+0}{(0+0)}= \\
\frac{5}{(0)}=\infty
\)

Però la manera més fàcil de resoldre les indeterminacions \(\frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty}\) és pel mètode de l’Hôpital. Aquest métode consisteix en derivar el numerador i el denominador fins obtenir un limit determinat:

\(
lim_{x \to 5}\frac{x-5}{x^2-25}= \, \frac{0}{0} \\
lim_{x \to 5}
\frac
{\frac{d}{dx}(x-5)}
{\frac{d}{dx}(x^2-5)}= \\
lim_{x \to 5}(\frac{1}{2x})=\frac{1}{10}
\\[1cm]
lim_{x \to \infty}(\frac{5x^2-3x+8}{x+2})= \, \frac{\infty}{\infty} \\
lim_{x \to \infty}
\frac
{
\frac{d}{dx}5x^2-3x+8
}
{
\frac{d}{dx}x+2
}= \\
lim_{x \to \infty}[\frac{10x-3}{1})]= {\infty}
\)

2.3 \((\infty-\infty)\)

Quan no podem concloure quín és el límit de la funció si la indeterminació és \(\infty-\infty\), resoldrem el límit multiplicant pel conjugat si apareixen arrels a la funció o resolent la suma/ resta de les fraccions algebraiques:

\(
\lim_{x \to \infty}{\sqrt{(6x^2+8x)}-(x+4)}= \, \infty-\infty \\
\lim_{x \to \infty}{\sqrt{6x^2+8x}-(x+4)}\frac{\sqrt{6x^2+8x}+(x+4)}{\sqrt{6x^2+8x}+(x+4)}= \\
\lim_{x \to \infty}\frac{(6x^2+8x)-(x+4)^2}{\sqrt{6x^2+8x}+(x+4)}= \frac{\infty}{\infty}\\
\lim_{x \to \infty}\frac{(5x^2/x^2-16/x^2)}{\sqrt{\frac{(6x^2+8x)}{x^4}}+(x/x^2+4/x^2))}= \\
\lim_{x \to \infty}\frac{(5)}{0}= \infty
\) \(
\lim_{x \to 3}\frac{1}{x^2-2}-\frac{4x}{x+5}=\frac{\infty}{\infty}\\
\lim_{x \to 3}\frac{x+5-4x(x^2-2)}{(x+5)(x^2+2)}\\
\lim_{x \to 3}\frac{-4x^3+9x+5}{x^3+5x^2+2x+10}=-4
\)

2.4 \((1^{\infty})\)

El mètode més senzill per a resoldre aquesta indeterminació és: \(\lim_{x \to \infty}{f(x)}^{g(x)}=e^{\lim_{x \to \infty}{[f(x)-1]}*g(x)}\)

Exemple:

\(
\lim_{x \to \infty}{(\frac{x^2+5x}{x^3}+2)}^\frac{1}{x+1}=\\
e^{\lim_{x \to \infty}}[{(\frac{x^2+5x+2x^3}{x^3}-1)}^\frac{1}{x+1}]=\\
e^{\lim_{x \to \infty}}{(\frac{x^3+x^2+5x}{x^3})}^{\frac{1}{x+1}}=\\
e^{1}=e
\)

2.5 \((0*\infty)\)

Per a resoldre aquesta indeterminació, primer la transformarem en una altra del tipus \(\frac{0}{0}\), o bé del tipus \(\frac{\infty}{\infty}\) i després resoldrem aquesta indeterminació per l’Hôpital:

Exemple:

\(
lim_{x \to 0}[\sin x*{\frac{1}{x^2}}]\\
lim_{x \to 0}[\frac{1}{\frac{1}{\sin x}}*{\frac{1}{x^2}}]=\\
lim_{x \to 0}[\frac{1}{\frac{x^2}{\sin x}}]=\\
lim_{x \to 0}[\frac{\sin x}{x^2}]=\frac{0}{0}\\
lim_{x \to 0}[\frac{\cos x}{2x}]=\\
\frac{1}{0}=\infty
\)

2.5 \((0^0)\)

Quan tenim una funció elevada a una altra funció, usarem logaritmes per a resoldre el la indeterminació:

\(
lim_{x \to 0}{({x+5})}^{x+1}=0^0\\
lim_{x \to 0}[\ln (x+5)^{x+1}]=\\
lim_{x \to 0}[(x+1)*\ln (x+5)]=\\
lim_{x \to 0}(x+1)*lim_{x \to 0}[\ln (x+5)]=\\
1*\ln{5}=ln{5}\\
lim_{x \to 0}{({x+5})}^{x+1}=e^{\ ln 5}=5
\)

2.6 \(( \infty^0)\)

Com en el cas anterior:

\(
lim_{x \to \infty}[\ln (x+5)^{\frac{1}{x}}]=\\
lim_{x \to \infty}[(\frac{1}{x})\ln (x+5)]=0*\infty\\
lim_{x \to \infty}(\frac{1}{x})*\frac{1}{\frac{1}{\ln (x+5)}}=\\
lim_{x \to \infty}(\frac{\ln (x+5)}{x})=\frac{\infty}{\infty}\\
lim_{x \to \infty}[\frac{d}{dx} {(\frac{\ln (x+5)}{x})}]=\\
lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{(x+5)}}{1}=\\
lim_{x \to \infty}\frac{1}{(x+5)}=0
\)

3. Continuïtat d’una funció

Una funció \(f(x)\) és continua en un punt si \(f(x_o)=\lim_{x \to x_o} {f(x)}\). Per tant, la funció ha de tenir limit i els límits laterals de la funció han de coincidir.

Exemple:

\(
f(x)
\begin{cases}
e^x \enspace si\enspace -\infty\leq x \lt -2 \\
x^2 \enspace si\enspace -2 \leq x \leq 2 \\
\end{cases}
\\[1cm]
i)\, x^2=4
\\
ii) \, \lim_{x \to -2}{e^x}\,=e^{-2}\\
\lim_{x \to -2}{x^2}\,=(-2)^2=4
\)

En l’exemple anterior, la funció té imatge en el punt on hi pot haver una possible disconitnuïtat \(x=-2\), però els límits laterals no coincideixen. Per tant, la funció és discontinua.

Un altre exemple:

\(
f(x)
\begin{cases}
4x+6 \enspace si\enspace -\infty\leq x \leq -5 \\
\frac{x^2+3}{-2} \enspace si\enspace -5 \lt x \lt 5 \\
\end{cases}
\\[1cm]
i. \, 4*(-5)+6=-14
\\
ii. \, \lim_{x \to -5}{4x+6}\,=-14\\
\lim_{x \to -5}\frac{x^2+3}{-2}\,=\frac{(-5)^2+3}{-2}=-14
\)

En aquest exemple, la funció també té imatge en el punt frontera entre les dues funcions \(x=-5\) i els límits laterals coincideixen. Per tant, la funció és continua.

i) Teorema de Bolzano

Si una funció \(f(x)\) és continua en un interval tancat \([a,b]\) i \(f(a)\) i \(f(b)\) són de signes diferents, existeix almenys un punt \(c \in (a,b)\) tal que \(f(c)=0\).

Exemple:

Volem saber si la funció \(f(x)=x^2-2\) té almenys una arrel en l’interval tancat \([1,2]\).

Com que és una funció polinómica, és continua en tot \(\mathbb{R}\).

\(
f(x)=x^2-2\\
f(1)=1^2-2=-1\\
f(2)=2^2-2=2\\
signf(1) \neq signf(2)
\)

Aixó vol dir que la funció SÍ té almenys una solució en aquest interval.

ii) Teorema dels valors intermitjos

Si una funció \(f(x)\) és continua en un interval tancat \([a,b]\) i \(y_0\) és un valor comprès entre \(f(a), f(b)\), \(f(x)\) té el valor \(y_0\) almenys una vegada en aquest interval.

Aquest teorema és una conseqüència del teorema de Bozano: que \(f(x)=x^2-2\) sigui \(0.25\) en l’interval tancat \([1,2]\), és el mateix que dir que la funció s’anul·la en el punt \(x=1.5\) d’aquest interval , per exemple:

\(
f(x)=x^2-2-0.25=0
f(1.5)=(1.5)^2-2-0.25=0
\)

iii) Teorema de Weierstrass

Si una funció \(f(x)\) és continua en un interval tancat \([a,b]\), la funció tindrà com a mínim un màxim i un mínim absolut en aquest interval.

3.1 Discontinuïtats

3.1.1 Discontinuïtat de 1a. espècie de salt determinat

i) La funció té imatge.

ii) Els límits laterals no coincideixen i són finits.

3.1.2 Discontinuïtat de 1a. espècies de salt infinit

i) La funció té imatge.

ii) Algun dels límits laterals és infinit.

3.1.3 Discontinuitat de 2a. espècie o esencial

i) La funció té imatge.

ii) Algun dels límits laterals no existeix.

3.1.4 Discontinuïtat evitable

i) La funció no té imatge, o bé

ii) la funció té imatge però no coincideix amb el límit de la funció.

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari: