Porceedukat
Resolució d’un sistema de forces
Per a resoldre exercicis de dinàmica, seguirem en aquest ordre els següents passos:
1. Fer el diagrama de blocs (dibuix).
2. Fer el diagrama de forces per a cada bloc (massa).
3. Plantejar el sistema d’equacions per a cada bloc (massa):
Tenint en compte el diagrama de forces del punt 2, es plantejarà el sistema d’equacions de l’eix \(\sum F_x\), el de l’eix \(\sum F_y\) i dels moments de gir \(\sum M\).
A dinámica, cada sistema d’equacions de force s’igualarà o bé a zero, o bé a m*a depenent de si el moviment resultant és accelarat o no. De la mateixa manera, l’equació del moments de gir s’igualarà a o bé a zero, o bé al moment resultant.
És a dir: \(\begin {cases}
\sum F_x: 0, m*a \\
\sum F_y: 0, m*a \\
\sum M: M_{resultant}
\end {cases}\)
A estàtica, el sistema d’equacions és el d’una estructura sobre la qual i apliquem una o més càrregues, tant \(\sum F_x\), com \(\sum F_y\) i també \(\sum M\) s’igualaran a zero, perquè em aquest cas el sistema analitzat (l’estructura) ha d’estar en equilibri estàtic.
És a dir: \(\begin {cases}
\sum F_x: 0 \\
\sum F_y: 0 \\
\sum M: 0
\end {cases}\)
4. Resoldre el sistema d’equacions.
D'un pla inclinat
Pas 1.
Pas 2
Pas 3
Aquest pas consisteix en plantejar els sistemes d’equacions dels diagrmames de forces:
\(\begin{cases}
\sum F_x=T-P_{1x}-f=m_1*a \\
T-P*sin(\alpha)-\mu*P*cos(\alpha)=m_1*a \\
T-m_1*g*sin(\alpha)-\mu*P*cos (\alpha)=m_1*a \\
T-m_1*g*[sin(\alpha)-\mu*cos(\alpha)]=m_1*a \\
T=m_1*a+m_1*g*[sin(\alpha)-\mu*cos(\alpha)]
\\
\\
\sum F_y=N-P_{1y}=0 \\
N-m_1*g*cos (\alpha)=0
\end{cases}
\\[1cm]
\begin{cases}
\sum F_y=T-P_2=-m_2*a \\
T=m_2*g-m_2*a= m_2*(g-a) \\
\end{cases}
\\[1cm]
\rightarrow m_1*a+m_1*g*[sin(\alpha)-\mu*cos (\alpha)]=m_2*(g+a) \\
a=\frac {m_2*g-g*[sin(\alpha)-\mu*cos (\alpha)]} {m_1+m_2}\)
Fixeu-vos que el dibuix ia a a els sistemes d’equacions plantejats són sempre ELS MATEIXOS amb petites variacions: si la \( a \) va en SENTIT contrari, \( (3.1) \, Fx = -m_1 * a, \enspace (3.2) \, Fy = + m_2 * a \enspace \) i la força de fricció \( f \) también canviarà de signe (la força de fricció sempre és oposada al sentit del desplaçament). L’eix de les \( x \) sempre és l’eix de desplaçament.
D'un pèndol en un pla horitzontal
Pas 1
Pas 2
\(1. \sum F_x=T-F_c=0
\\
\rightarrow T=F_c=m_1*\frac{v^2}{R}
\\[1cm]
2. \sum F_y=T-P=0
\\
\rightarrow T=P=m_2*g
\\[1cm]
m_1*\frac{v^2}{R}=m_2*g
\\
v=\sqrt{\frac{m_2*g*R}{m_1}}\)
D'un pèndol en un pla vertical
Punt més baix
Pas 1
Pas 2
Pas 3
\(\sum F_y=0=F_c-T-P \\
T=F_c-P=m_1*\frac{v^2}{R}-m_1*g\)
D'un pèndol en el punt més alt
Pas 1
Pas 2
Pas 3
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Porceedukat
Moment de gir
Si apliquem una força sobre un objecte que està fix per un punt es crearà un moviment de rotació respecte a aquest punt (centre de rotació) que anomenem moment de gir.
Per a calcular el moment de gir que produeix una força, fem; M= F*r, F és la força perpendicular aplicada al braç de palanca i r és la distància fins al centre de rotació. La força parale·la al braç de palanca no fa girar la palanca, sinó que l’estira o la comprimeix. És a dir, que sols la forces perpendiculars creen moment de gir sobre la palanca:
En el cas de dues forces iguals de sentit oposat l’anomenem parell de forces. És el cas d’un volant:
El sentit del vector moment de gir segueix la regla de la mà dreta.
Porceedukat
Les lleis de Newton de la dinàmica
1) Principi d’inèrcia:
INÈRCIA és la resistència d’un cos a canviar el seu estat de moviment quan no hi actua cap força neta.
2) Llei fonamental de la dinámica:
Quan apliquem una força sobre un objecte, aquest objecte s’accelera de forma directament proporcional a la força aplicada i inversament proporcional a la massa de l’objecte:
\(a=1/m*F → F=m*a\)
3) Principi d’acció i reacció:
Quan es fa força sobre un cos, aquest reacciona fent una força de igual magnitud però de sentir contrari. Aquestes dues forces, tot i ser de igual magnitud i de sentit contrari, no s’anul·len entre sí perquè tenen punts d’aplicació diferents
Porceedukat
Àrees i volums
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Porceedukat
Càlcul de l’àrea i el volum d’un poliedre
Els poliedres es classifiquen en PRISMES, PIRÀMIDES I COSSOS DE REVOLUCIÓ:
PRISMES: Un prisma és un poliedre amb dues bases poligonals (té un polígon en cada base). Les cares laterals són paral·lelograms (quadrilàters amb els costats oposats paral·lels).
Per a calcular l’àrea lateral d’un prisma, fem:
\(A_{prisma}=Perímetre*alçària=n*c*h\)
L’àrea de la base es calcula mitjançant les fórmules per a calcular l’àrea d’un polígon:
\(A_{base}=\frac{2*n*ap}{2}=n*c*ap\)
Si el costat del prisma és 8 cm, l’apotema fa 3 cm i l’alçària del prisma són 10 cm, l’àrea del prisma serà:
\(A_{prisma}=n*c*h+n*c*ap=5*8*10+5*8*3=520 \, cm^2\)
Per a calcular el volum del prisma fem:
\(V_{prisma}=A_{base}*alçària=n*c*ap*h=5*8*3*10= 1 \, 200 \, cm^3\)
PIRÀMIDES: una piràmide és un poliedre que té un base poligonal i cares triangulars. Les cares convergeixen en un vèrtex.
Per a calcular l’àrea de la base d’una piràmide, fem: \(A_{base}=n*c*ap\)
I per a calcular l'àrea lateral, fem: \(A_{lateral}=n*àrea_{triangle}\) Per a calcular l’àrea de cada triangle de l’àrea lateral de la piràmide, fem:
\(A_{triangle}=base*alçària=\frac{{c \div 2}*h}{2}\)
I l'àrea lateral és:
\(A_{lateral}=base*alçària*n=\frac{{c \div 2}*h*n}{2}\)
Per tant, l'àrea de la piràmide és:
\(A_{piràmide}=A_{base}+A_{lateral}=n*c*ap+\frac{{c \div 2}*h*n}{2}\)
El volum d’una piràmide és un terç de l’àrea del volum del prisma d’igual base i alçària:
\(V{pirámide}=\frac{A_{base}*h}{3}\)
COSSOS DE REVOLUCIÓ: és el cos rodó que genera una figura plana. La figura plana és la generatriu del cos de revolució.
Els cossos de revolució més importants són: el con, l’esfera i el cilindre.
Per a calcular l'àrea i el volum del con, fem:
\(A_{con}=A_{base}+A_{lateral}=\pi^2+\pi*generatriu^2=\pi*r^2+\pi*g^2= \\ \pi*(r^2+g^2)\)
\(V_{con}=\frac{A_{base}*h}{3}\)
L'àrea i el volum de l'esfera és:
\(A_{esfera}=4*\pi*r^2\)
\(V_{esfera}=\frac{4}{3}*\pi*r^3\)
Calcularem l’àrea i el volum del cilindre de la següent manera:
\(A_{cilindre}=A_{base}+A_{lateral}=\pi+r^2+perímetre*alçària= \\ \pi*r^2+2\pi*r*h\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Porceedukat
Càlcul de l’àrea d’un polígon
A continuació, veurem com calcular l’àrea i el perímetre dels polígons. Per a poder tancar una línia poligonal cal que el polígon tingui tres costats. Per tant, els polígons més senzills són els triangles.
TRIANGLES:
Classifiquem els triangles segons els seus angles en: ACUTANGLES, OBTUSANGLES I RECTANGLES.
Recordeu que un angle acutangle és menor de 90º, un de rectangle fa exactament 90º i un d’obtusangle fa més de 90º. Un angle pla fa exactament 180º
Un triangle acutangle té tots els seus angles aguts. Un de rectangle té un angle de 90º. I un triangle obtusangle té un angle de més de 90º:
Classifiquem els triangle segons els seus costats com :
La fórmula per a calcular l’àrea de qualsevol triangle és:
\(A=\frac{b*h}{2}\)
QUADRILÀTERS: són polígons de quatre arestes.
Polígons regulars: són els polígons que tenen tots els costats i tots els angles interiors iguals.
La fórmula per a calcular-ne l’àrea és: \(A=\frac{Perímetre*Apotema}{2}\)
De fet, tot i que diem polígons regulars als polígons de més de quatre costats, un quadrat o un triangle equilàter també són polígons regulars i podem calcular-ne l’àrea fent servir la fórmula anterior.
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Porceedukat
Volum d’un poliedre
Volum: és l’extensió de l’espai que ocupa un objecte.
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Porceedukat
Perímetre
Perímetre: és la longitud total del costats d’un polígon. En la figura de sota, el perímetre és la suma de la longitud de tots els costats.
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Porceedukat
Àrea (d’un polígon)
Àrea o superfície: és l’extensió del pla que ocupa un objecte.
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Porceedukat
Polígon inscrit
Polígon inscrit: és un polígon els vèrtexs del qual estan situats sobre la circumferència. Si el polígon és regular, els radis de la circumferència i el polígon coincideixen.
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
RSS CEEdukat
C/ Espanya, 11
08901- Hospitalet de Llobregat
933 371 980/ 653 876 603
centre.estudis.edukat@ceedukat.es
