Abans de començar…

Porceedukat

Abans de començar…

CEEdukat Online

CEEdukat Online (Hospitalet de Llobregat, Barcelona) és una acadèmia de professors particulars que fa tutories i classes online de reforç i repàs escolar. Les classes són individuals i adaptades a cada alumne.

A causa de les incerteses quant a la continuació d’aquest curs escolar i fins i tot el següent, a CEEdukat Online fem el seguiment i reforç de totes les matèries escolars seguint els currículums oficials establerts. L’objectiu és que l’estudiant no perdi aquest curs i també evitar-li dificultats l’any que ve.

Com són les classes de CEEdukat Online?

√ Fem totes les matèries i nivells del currículum escolar (matemàtiques, anglès, català, castellà, etc.) ara online.

√ Els horaris són flexibles i adaptats a cada estudiant.

√ Mateixa qualitat d’ensenyament que les classes presencials.

√ Paquets mensuals d’hores  econòmics.

√ Possibilitat de recuperació de classes.

√ Si encara no n’estàs convençut, fes una classe gratuïta de 15 minuts.

Queda’t a casa i fes les classes online i a distància!

Etiquetes: professor, tutor, classes online, acadèmia, tutories, repàs escolar, reforç escolar, queda’t a casa.

Per a fer una cerca al bloc

  1. Escriviu a la caixeta de cerca la paraula. (→)
  2. Us apareixeran diferents entrades que la contenen.
  3. Feu Ctrl+F per a cercar la paraula a la pàgina.
  4. Si s’ha trobat més d’una pàgina, feu Ctrl+F a cada pàgina.

Consells per a estudiar bé

  • Dorm i menja bé.
  • Manté al dia l’horari i l’agenda personal d’estudi i un sistema d’arxiu ordenat i pulcre.
  • Fes una planificació futura com a mínim amb dues setmanes d’antelació dels deures i exàmens.
  • No memoritzis amb la intenció de només aprovar exàmens i cerca paraules al diccionari per comprendre els materials d’estudi.
  • Memoritzar és duplicar la feina, tampoc garanteix l’aprovat i podria ser la causa de situacions catastròfiques en els teus estudis.
  • Si no has fet el nostre curs de tècnica d’estudi, fes-lo; si l’has fet, usa’l.
  • Fes els deures i estudia el que has fet a classe a diari. Si fas l’ESO o Batxillerat i no estudies cada dia, podries tenir dificultats importants en els teus estudis.
  • Presenta el treballs, llegeix els llibres que se t’assignen i no xerris a classe.
  • No estudiïs per treure només un cinc, estudia per treure un deu.
  • Fes els deures i els exàmens sense nervis i repassa els exercicis abans d’entregar-los.
  • Prepara les consultes i dubtes que tinguis abans de venir reforç per aprofitar-ne millor les hores.
  • Porta els teus propis llibres, ordinador portàtil, calculadora, bolígrafs, llapis, gomes d’esborrar i tot el material necessari per fer la classe i marca’ls amb el teu nom.
  • Desconnecta el mòbil o posa’l en mode avió abans d’entrar a classe.
  • Aixeca el braç cada vegada que tinguis un dubte i t’atendrem tan aviat com ens sigui possible.
  • Les classes de reforç són un ajut pels teus estudis i un premi per a tu … aprofita-les.
  • Els resultats depenen sobretot de la teva dedicació personal diària i de la teva capacitat personal i, per tant, no podem garantir-te l’aprovat, però si treballes com a un professional és molt probable que aprovis.
  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible:

Porceedukat

Present Simple

(EN CONSTRUCCIÓ)

Usos

Aquests són alguns dels usos més habituals del Present Simple.

  • Veritats generals i descripcions
    Water boils at 100º C (L’aigua bull a 100ºC)
  • Fets habituals
    I play football every day (Jugo a futbol cada dia)
  • Gustos
    I like chocolate (M’agrada la xocolata)
  • Opinions
    I think she is beautiful (Penso que és bonica)
  • Horaris
    The train leaves at 8 pm (El tren surt a les vuit)

Forma

AFIRMATIVA NEGATIVA INTERROGATIVA
I EAT I DON’T EAT DO I EAT?
YOU EAT YOU DON’T EAT DO YOU EAT?
HE/SHE/IT EATS HE/SHE/IT DOESN’T EAT DOES HE/SHE/IT EAT?
WE EAT WE DON’T EAT DO WE EAT?
YOU EAT YOU DON’T EAT DO YOU EAT?
THEY EAT THEY DON’T EAT DO THEY EAT?
(don’t = do not, doesn’t = does not)

Com veieu, a la tercera persona (he/she/it) hem d’afegir una essa (s) al verb.

Però:

  • Si el verb acaba en -o, afegim -es (go- goes)
  • Si el verb acaba en -x,-sh,-ch,-s, també hi afegim -es (watch-watches)
  • Si el verb acaba en -y, canviem la y per -ies (study- studies)

Exemples:

I eat a lot of fruit
(Menjo molta fruita)

I don’t go to school by bus
(No vaig al col·legi amb autobús)

You do your homework
(Fas els deures)

She gets up at half past seven
(S’aixeca a dos quarts de vuit)

We play football in the park
(Juguem a futbol al parc)

My mother doesn’t watch TV in her room
(La meva mare no mira la televisió a l’habitació)

Does she read the newspaper every day?
(Llegeix el diari cada dia)

Do they play tennis on Saturdays?
(Juguen a tennis els dissabtes?

Do you speak English?
(Parles anglès?)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible:

Porceedukat

Cossos de revolució

És un cos rodó que genera una figura plana. La figura plana és la generatriu del cos de revolució.

Els cossos de revolució més importants són: el con, l’esfera i el cilindre. COSSOS DE REVOLUCIO COSSOS DE REVOLUCIO 2

Per a calcular l'àrea i el volum del con, fem:

\(A_{con}=A_{base}+A_{lateral}=\pi^2+\pi*generatriu^2=\pi*r^2+\pi*g^2= \\ \pi*(r^2+g^2)\)

\(V_{con}=\frac{A_{base}*h}{3}\)

EL CON, COSSOS DE REVOLUCIO 2

L'àrea i el volum de l'esfera és:

\(A_{esfera}=4*\pi*r^2\)

\(V_{esfera}=\frac{4}{3}*\pi*r^3\)

EL CON, COSSOS DE REVOLUCIO 2

Calcularem l’àrea i el volum del cilindre de la següent manera:

\(A_{cilindre}=A_{base}+A_{lateral}=\pi+r^2+perímetre*alçària= \\ \pi*r^2+2\pi*r*h\)

EL CON, COSSOS DE REVOLUCIO 2
Porceedukat

Nombres complexos

Definició

Un nombre complex té la forma \(z=a+bi\). Diem que \(a\) és la part real del nombre i \(b\) és la part imaginària del nombre (per exemple, \(1 – i, 3 + \sqrt{5}i, -7 + 5i, -\frac{3}{4} – 4i, \sqrt{2} + i\)). \(a\) i \(b\) són nombres reals. \(i\) és part de la solució de l’equació \(x^2=-1=i^2\).

Els nombres complexos es van inventar per a poder calcular les arrels negatives d’exponent parell (\(\sqrt{-4}, \, \sqrt[6]{-100}\), etc.) que no tenen solució en el conjunt dels nombres reals \(\mathbb{R}\).

Però si definim un nombre nou de manera que el seu quadrat sigui negatiu haurem resolt el problema. Aquest nombre és \(i = \sqrt{-1}\) i el seu quadrat val \(-1\):

Veiem-ho amb un exemple:

\(
x^2 + x + 1 = 0:
\\
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\\
\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4*1*1}}{2*1}
\\
\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}
\\
\frac{-1 \pm \sqrt{3i^2}}{2}
\\
\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
\)

Representació gràfica

Per a representar els nombres reals fem servir la recta real, però per a representar gràficament els nombres complexos ens calen dues dimensions i hem de fer-ho al pla.

Situarem la part real d’un nombre complex (\(a\)) a l’eix d’abcisses i la part imaginària (\(b\)) a l’eix de ordenades.

Per exemple, si volem representar:
\(
\color{red}{z = 2 + 1i\, (a=2, b=1)}\\
\color{blue}{z = -2 + 1i\, (a=-2, b=1)}\\
\color{green}{z = -2 – 1i\, (a=-2, b=-1)}\\
\color{magenta}{z = 2 – 1i\, (a=2, b=1)}
\)

REPRESENTACIO GRAFICA D'UN NOMBRE COMPLEX

Notació

Binòmica

La forma binòmica (\(z = a + bi)\, a,b \in \mathbb{R}\)) és la forma més habitual de representar un nombre complex. Existeixen dos casos especials de nombres complexos:

  • Reals purs \(b = 0, \, z=a\): són els nombres reals \(\mathbb{R}\). Per tant, els nombres reals són un subconjunt dels nombres complexos \(\mathbb{C}\).

    Exemple: \(z=2+0i=2\)

  • Imaginaris \(a = 0, \, z=bi\): són els imaginaris purs.

    Exemple: \(z=0-3i=-3i\)

El conjugat d’un nombre complex \(z\) és \(\bar{z} = a – bi\). L’obtenim canviant el signe de la part imaginària.

Quan resolem equacions de segon grau de discriminant negatiu les solucions són sempre dos nombres complexos conjugats (\(z\) i \(\bar{z}\)). Diem que \(z\) i \(\bar z\) són les solucions conjugades de l’equació.

L’oposat d’un nombre complex \(z\) és aquest nombre canviat de signe, \(-z= -(a + bi) = -a – bi\).

Polar

La notació d’un nombre complex en forma polar és \(z=r_{\alpha}\).

  • El mòdul de \(z\) és la distància que hi ha entre el punt \(P(a,b)\) i l’origen de coordenades. Coincideix amb el radi de la circumferència: \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
  • L’argument de \(z\) és l’angle que forma el vector associat al punt \(z\) amb l’eix de les \(x\): \(\alpha=\arctan ( \frac{b}{a})\).

Tranformacions

Per a canviar entre la notació binòmica i la polar, fem el següent:

REPRESENTACIO GRAFICA NOMBRES COMPLEXOS

De binòmica a polar:

\(
r=\sqrt{a^2+b^2}\\
\alpha=arctan(\frac{b}{a})\)
REPRESENTACIO GRAFICA NOMBRES COMPLEXOS

De polar a binòmica:

\(
a=r*cos \alpha\\
b=r*sin \alpha
\)

Trigonomètrica

La notació trigonomètrica d’un nombre complex \([z=r*(\cos \alpha + i\sin \alpha)]\) s’obté substituint \(a\) i \(b\) per les expressions trigonomètriques respectives \(a=r*cos \alpha, \,b=r*sin \alpha\):

\(z =(a \pm bi)=(r*cos \alpha \pm r*sin \alpha)=r*(\cos \alpha \pm i\sin* \alpha)\).

Operacions (EN CONSTRUCCIÓ)

Porceedukat

Determinants

Definició

Un determinat és un valor associat a una matriu. Un determinant és únic per a cada matriu.

Els determinants van ser introduïts inicialment a l’àlgebra per a resoldre la determinació del nombre de solucions d’un sistema d’equacions lineals.

Un determinant és la suma dels productes de cada element d’una fila (o columna) pels de les altres files (o columnes). Cada producte sols pot tenir un element de cada fila (o columna).

Interpretació geomètrica

Les imatges dels vectors formen un paral·lelogram. El paral·lelogram definit per les files de la matriu anterior és el que té vèrtexs en \((0, 0), (a, b), (a + c, b + d), (c, d)\). El valor absolut \(ad-bc\) és l’àrea del paral·lelogram.

El valor absolut del determinant juntament amb el signe és l’àrea orientada al paral·lelogram. L’àrea orientada és la mateixa que l’àrea habitual, excepte que és negativa quan l’angle del primer al segon vector que defineix el paral·lelogram gira en sentit horari (regla de la mà dreta).

Els dos vectors d’una matriu \(u ≡ (a, b),v ≡ (c, d)\) representen els costats del paral·lelogram. L’àrea amb signe es pot expressar com \(\vec{| u |}.\vec{| v |}.sin θ\), que és l’alçària per la base del paral·lelogram o l’àrea del paral·lelogram.

Si representem aquesta expressió en funció de l’angle complementari de \(theta\): \(\vec{| u ⊥ |}.\vec{| v |}.cos θ ′\), que és el producte escalar dels vectors \(\vec{ u ⊥}, \vec{ v}\). És a dir,\( (− b, a).(c,d)=ad-bc.\)

DEERMINANT AREA PARAL·LELOGRAM

Propietats dels determinants

Les propietats dels determinants ens faciliten el seu càlcul. Aquestes propietats s’apliquen tant a les columnes com a les files de la matriu:

  • Si bescanviem dues files o columnes d’una matriu, el valor del determinant canvia de signe.

    \(\begin{vmatrix}1 & 6\\9 & 5\end{vmatrix}=5-54=-49\)
    \(\begin{vmatrix}9 & 5\\1 & 6\end{vmatrix}=54-5=+49\)
  • Quan multipliquem o dividim una fila o columna per un nombre, el resultat del determinant queda multiplicat o es dividit per aquest nombre.

    \(\begin{vmatrix}\color{red}3*1 & 6\\ \color{red}3*9 & 5\end{vmatrix}
    =
    \begin{vmatrix}\color{red}3 & 6\\ \color{red}{27} & 5\end{vmatrix}
    =
    5*3-27*6=-147\)
  • Quan a una fila (o columna) se li suma una combinació lineal d’una altra fila (o columna), el valor del determinant ni canvia.

    \(
    \begin{vmatrix}1 & 6\\9 & 5\end{vmatrix}
    \\
    C_2=C_2-2*C_1
    \\
    \begin{vmatrix}1 & \color {red}{6-2}\\ 9 & \color{red}{5-18}\end{vmatrix}
    =
    \begin{vmatrix}1 & \color {red}4\\ 9 & \color {red}{-13}\end{vmatrix}
    =
    -13-36=-49\)
  • Quan una fila (o columna) és nu·la, el valor del determinant serà zero.

    \(\begin{vmatrix}0 & 6\\ 0 & 5\end{vmatrix}
    =
    0*5-6*0=0\)
  • Quan una fila (o columna) és combinació lineal d’altres files (o columnes), el determinant val zero.

    \(\begin{vmatrix}1 & 6\\8 & 48\end{vmatrix}
    =
    48*1-6*8=0\)

Cálcul de determinants

Gauss-Jordan

L’algorisme de Gauss-Jordan aplicat a una matriu és el resultat de multiplicar-la per un nombre finit de matrius elementals. 

Un cop hem fet la triangulació de la matriu per aquest mètode, el determinant de la matriu és el producte dels elements de la diagonal de la matriu.

\(\begin{bmatrix} \color{red}1 & \color{red}{-3} & \color{red}{-1}\\ 1 & -4 & -3\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\ F_2=F_1-F_2 \\ \begin{bmatrix} 1 & -3 & -1\\ \color{red}0 & \color{red}1 & \color{red}2\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\ F_3=F_2-F_3 \\ \begin{bmatrix} 1 & -3 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ \color{green}0 & \color{green}0 & \color{green}1 \end{bmatrix} \\ F_2=2F_3-F_2 \\ \begin{bmatrix} 1 & -3 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \color{red}0 & \color{red}0 & \color{red}1 \end{bmatrix} \\ F_1=F_3+F_1 \\ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 0\\ \color{red}0 & \color{red}{-1} & \color{red}0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ F_1=3F_2-F_1 \\ \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

I per tant,

\(\begin{vmatrix} 1 & {-3} &{-1}\\ 1 & -4 & -3\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\)

Fórmula de Laplace

Segons el teorema de Laplace, el determinant d’una matriu és la suma dels determinants dels adjunts de qualsevol fila (o columna) de la matriu:

\(\begin{vmatrix} \color{red}1 & -3 & {-1}\\ \color{red}1 & -4 & -3\\ \color{red}0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \color{red}+1*\begin{vmatrix} -4 & {-3}\\ 1 & -1 \end{vmatrix} \color{red}-1*\begin{vmatrix} -3 & -1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} \color{red}+0*\begin{vmatrix} -3 & -1\\ -4 & -3 \end{vmatrix} = \\ \color{red}+1*\color{red}{-1}-1*-2+\color{red}0*5=1 \)

El signe de l’adjunt d’un element \(a_{ij}\) és \((-1)^{i+j}\):

\( sign(a_{11})=(-1)^{1+1}=+\\ sign(a_{12})=(-1)^{1+2}=-\\ sign(a_{13})=(-1)^{1+}=+\\ …\\ sign(a_{ij})=(-1)^{i+j} \)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible:

Porceedukat

Altres mètodes de resolució d’equacions

Equacions logarítmiques:

Són equacions que la incògnita és a l’argument d’un o més logaritmes \(2*log(x+6)\).

El logaritme és la funció inversa de les funcions exponencials (la inversa de les funcions potencials és la radicació): \(b^{exp}=n\) (potència), \( log_b(n)=exp\): \(2^3=8, \, log_2(8)=3\). El logaritme d’un nombre és l’exponent al qual hem d’elevar la base per obtenir el nombre. En aquest exemple el logaritme de vuit en base dos és tres. 

Els logaritmes foren inventats per  John Napier a principis del segle XVII. La utilitat dels logaritmes és simplificar el càlcul quan hem d’operar amb nombres molt grans o molt petits.

Els logaritmes més comuns són els decimals o de base 10  ( \(log_{10}\)  o \(log \)). Els logaritmes naturals o neperians ( \(log_e \) o \(Ln \))  tenen de base el nombre irracional \(e\).

Propietats dels logaritmes

Les propietats dels logaritmes són necessàries per a poder resoldre’n les equacions. Són les següents:

(Forma compacta = Forma desenvolupada)

\(log_b(x*y)= log_b (x) + log_b (y)
\\
log(2*3)=log(2)+log(3)
\\[1cm]
log_b (\frac{x}{y})= log_b (x) – log_b (y)
\\
log(2*3)=log(2)-log(3)
\\[1cm]
log_b (x^n)= n*log_b (x)
\\
log (2^3)=3*log(2)
\\[1cm]
log_b (x<=0) \notin \enspace \mathbb{R}
\\
log(0), log(-2) \notin \enspace \mathbb{R}.\)

Resolució d'equacions amb un sol logaritme

La incògnita del logaritme pot ser la base, l’exponent o el nombre, però per a resoldre’l sense calculadora sempre farem l’antilogaritme o potència. El mètode de resolució d’equacions logarítmiques és:

1. Descomponem les bases compostes
2. Apliquem l’antilogaritme
3. Resolem la igualtat
4. Comprovem el resultat.

\(log_2(16)=x
\\
2^x=16
\\
2^x=2^4
\\
x=4
\\[1cm]
log_x(16)=4
\\
x^4=16
\\
x^4=2^4
\\
x=2
\\[1cm]
log_2(x)=4
\\
2^4=x
\\
x^4=2^4
\\
x=16
\\[1cm]
log(3x+1)=4
\\
3x+10=10^4
\\
x=\frac{10^4-10}{3}
\\
x=3 330\)

Amb més d'un logaritme

Si hi ha més d’un logaritme, no es podrà usar el mètode anterior de resoldre l’antilogaritme. En aquest cas, farem servir les propietats dels logaritmes per a transformar l’equació en la forma compacta equivalent:

\(log(x+1)+log(x-3)=log(5x-13)
\\
log[(x+1)*(x-3)]=log(5x-13)
\\
(x+1)*(x-3)=5x-13
\\
x^2-2x-3=5x-13
\\
x^2-7x+10=0
\\
x_1=5
\\
x_2=2
\\[1cm]
log_5(x+2)^4-1=log_5(x+2)+5
\\
log_5(x+2)^4-log_5(x+2)=5+1
\\
4*log_5(x+2)-log_5(x+2)=6
\\
3*log_5(x+2)=6
\\
log_5(x+2)=2
\\
x+2=5^2
\\
x=25-2=23\)

Equacions exponencials

Una equació és exponencial quan la incògnita és a l’exponent. Per a resoldre una equació exponencial usarem les propietats de les potències.

Propietats de les potències

Per a resoldre una equació potencial farem servir les propietats de les potències (recordeu que podem operar potències si tenen la mateixa base o el mateix exponent).

\(a^n*a^m=a^{n+m}:
\\
2^6*2^9=2^15
\\[1cm]
a^n \div a^m=a^{n-m}
\\
2^{6} \div 2^9=2^{-3}
\\[1cm]
(a^n)^m=a^{n*m}
\\
(2^3)^9=2^{27}
\\[1cm]
a^0=1
\\
2^0=1,\, [(\sqrt{2})^{ 0}=1, \pi^0=1, (-2)^0=1]
\\[1cm]
a^1=a
\\
2^1=2\
\\[1cm]
a^{-n}=\frac{1}{a^n}
\\
2^{-6}=\frac{1}{2^6}\)

Resolució d'equacions exponencials

El mètode per a resolder equacions exponencials és el següent:

1. Descompondre les bases compostes en bases primeres
2. Trobar l’expressió potencial comuna a tots els termes
3. Fer el canvi d’aquesta expressió potencial comuna per t.
4. Resoldre l’equació resultant.
5. Desfer el canvi.

\(2^{(x+3)}+4^{(x+1)}-320=0
\\
2^{(x+3)}+(2^2)^{(x+1)}=64
\\
2^{(x+3)}+2^{(2x+2)}=2^6
\\
(x+3)+(2x+2)=6
\\
3x+5=6
x=\frac{1}{3}\)

Equacions trigonomètriques

Són equacions que tenen la incògnita en l’argument de funcions trigonomètriques. Per a resoldre-les, fem servir les identitats trigonomètriques.

Identitats trigonomètriques

Resolució d'equacions trigonomètriques

Tot i que no hi ha un mètode únic per a resoldre una equació trigonomètrica, en general es poden resoldre seguint el següent esquema:

1. Transformem les sumes en productes o els productes amb sumes per tal de convertir els arguments amb més d’un angle en arguments amb un sol angle.
2. Transformem les funcions trigonomètriques derivades en les funcions trigonomètriques fonamentals (sin, cos).
3. Transformem tots els angles no simples de l’equació en simples.
4. Transformem tots els sinus a cosinus o a l’inrevés fent servir la identitat trigonomètrica fonamental (\(sin^2+cos^2=1\)).
5. Resolem l’equació trigonomètrica resultant.

Però l’ordre a seguir pot ser diferent per a cada equació trigonomètrica. Haurem d’avaluar en cada cas, quin ordre s’ha de seguir per a resoldre l’equació de la millor manera.

Recordeu que el resultat d’una equació trigonomètrica es correspon amb dos angles i que també hi hem d’afegir els angles que es generen en cada volta completa a la circumferència (\(360*k, 2\pi*k\)). Per tant, la solució d’una equació trigonomètrica no és única, sinó que és una família de solucions:

\(tg(\frac{\alpha}{2})=2
\\
arctg(2)=\alpha
\\
\alpha=63.435º+360*k, k \in  \mathbb{N}\)

ANGLES MULTIPLES

En aquest cas, simplifiquem una equació trigonomètrica amb més d’una funció i angles compostos a una equació d’una sola funció:

\({cos(2\alpha)+cos(\alpha)}{sin(2\alpha)+sin(\alpha)}
\\
\frac{2cos(\frac{2\alpha+\alpha}{2})*cos(\frac{2\alpha-\alpha}{2})}{2cos(\frac{2\alpha+\alpha}{2})*sin(\frac{2\alpha-\alpha}{2})}
\\
ctg(\frac{2\alpha-\alpha}{2})
\\ctg(\frac{\alpha}{2})\)

Demostrem una igualtat trignomètrica reduint les expressions de cada banda de la igualtat amb més d’una funció i angles compostos a una sola funció amb un angle simple:

\(tg^2 \alpha-sin^2 \alpha=tg^2 \alpha*sin^2 \alpha
\\
\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}-sin^2\alpha=\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}*sin^2\alpha
\\
\frac{sin^2\alpha-sin^2\alpha*cos^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}
\\
sin^2\alpha-sin^2\alpha*(1-sin^2\alpha)=sin^4\alpha
\\
sin^2\alpha-sin^2\alpha+sin^4\alpha=sin^4\alpha
\\
sin^4\alpha=sin^4\alpha\)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible:

Porceedukat

Resolució d’equacions d’una incògnita

Una equació és una igualtat entre dues expressions matemàtiques que conté quantitats conegudes (coeficients) i quantitats desconegudes (incògnites).

Les equacions es classifiquen segons el grau de l’equació i el nombre d’incògnites que té. Si tenim més d’una equació, diem que és un sistema d’equacions.

De primer grau

Per a resoldre una equació de primer grau, farem el següents:

  1. Eliminarem els denominadors: per a eliminar els denominadors usarem el mètode del mínim comú múltiple.
  2. Resoldrem els parèntesis: aplicant la propietat distributiva \(a*(b+c)=a*b+a*c\).
  3. Passarem a una banda de la igualtat els termes sense \(x\) i a l’altra els termes independents. Recordeu que fem l’operació inversa al terme que volem moure per a passar-lo a l’altra banda de l’equació.
  4. Reagrupem termes després de cada moviment d’un terme.
  5. Finalment, aïllem la \(x\) passant a dividir el coeficient que la multiplica:

    \(2x+9=6+5x\)

    En aquest cas no hi ha ni denominadors ni parèntesis. Anem doncs al tercer pas i posaren les \(x\) a l’esquerra de la igualtat i el termes independents a la dreta.

    Movem el \(9\) de l’esquerra a la dreta restant-lo a cada banda de la igualtat:

    \(2x+9-9=6+5x-9\)

    Agrupem els monomis (termes) semblants

    \(2x=5x-3\)

    Ara canviem de banda el \(5x\) restant-lo a cada costat de l’equació:

    \(2x-5x=5x-5x-3\)

    Tornem a regrupar termes:

    \(-3x=-3\)

    I aïllem la \(x\) passant a divdir el coeficient que la multiplica:

    \(x=\frac{-3}{-3}=1\).

    Un altre exemple amb denominadors i parèntesis:

    \(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}=\frac{5x+35}{2}\)

    Multipliquem a cada banda pel mínim comú múltiple:

    \(6*[(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}]=6*(\frac{5x+35}{2})\)

    Eliminem els denominadors:

    \(12*(2x+5)+2*(x+2)-3*5*(x-3)=3*(5x+35)\)

    Reagrupem els monomis semblants:

    \((24x+60)+(2x+4)-(15x-45)=(15x+105)\)

    Movem les \(x\) a l’esquerre de la igualtat i els termes independents a la dreta:

    \(24x+2x-15x-15x=105-60-4-45\)

    I aïllem la \(x\):

    \(4x=-4
    \\
    x=\frac{-4}{-4}=1\)

De segon grau

Completa

Per a resoldre una equació de segon grau completa (o amb tots els termes: \(ax^2+bx+c=0\) amb una incògnita usarem la següent fórmula:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c}}{2*a}\), per exemple:

\(
x^2+5x+6=0 \quad a=1,\enspace b=5, \enspace c=6:
\\
x=\frac{-5\pm \sqrt{(5)^2-4*1*6}}{2*1}=
\\
\frac{-5\pm \sqrt{(5)^2-24}}{2}=
\\
\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{-5\pm 1}{2}
\\
x_1=\frac{-4}{2}=-2
\\
x_2=\frac{-6}{2}=-3\)

Incompleta (b=0)

\(ax^2+c=0
\\
x={\pm \sqrt\frac {-c}{a}}
\\
si \enspace 4 x^2-36=0
\\
x=\pm \sqrt{\frac{-(-36)}{4}}
\\
x=\pm 3\)

Incompleta (c=0)

\(ax^2+bx=0
\\
x(ax+b)=0
\\
x_1=0
\\
ax_2+b=0
\\
x_2=-\frac{-b}{a}
\\
si \enspace -3x^2-6x=0
\\
x_1=0
\\
x_2=-\frac{(-6)}{-3}=-2\)

Calcular el nombre de solucions

Per a determinar el nombre de solucions d’una equació de segon grau sense resoldre-la, en calcularem el discriminant: \(\Delta=b^2-4*a*c.\)

Dues solucions

\(
\Delta=b^2-4*a*c
\\
\Delta>0
\\
x^2+5x+6=0
\\
\Delta=5^2-4*1*6>0 \enspace (x_1= -2,x_2=-3).\)

Una solució doble

\(
\Delta=0
\\
x^2+4x+4=0
\\
\Delta=4^2-4*1*4=0 \enspace (x_1=+2,x_2=+2).\)

Cap solució

\(
\Delta<0
\\
x^2+5x+9=0
\\
\Delta=5^2-4*1*9<0\)

Biquadrades

Les equacions biquadrades (\(ax^{2n}+bx^n+c=0\)) es resolen fent un canvi de variable (\(x^n=t\))  que les transforma en una equació de segon grau:

\(
a*x^{2n}+b*x^n+c=0
\\
(x^n=t)
\\
a*t^2+b*t+c=0\)

Exemple:

\(x^4-5\color {red}{x^2}+4=0 \enspace (\color {red}{x^2=t})
\\
t^2-5t+4=0
\\
t=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4*1*4}}{2*1}
\\
t=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2}
\\
t_1=4
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{4}= \pm 2
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1\)

Un altre exemple: \(x^6-9x^3+8=0.\)

Fixeu-vos que això també és una equació biquadrada, perquè l’exponent del primer monomi és el doble de l’exponent del segon monomi i el tercer és el terme independent. 

La resolem de la mateixa manera:

\(x^6-9\color{red}{x^3}+8=0 \enspace (\color{red}{x^3=t})
\\
t^2-9t+8=0
\\
t=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2-4*1*8}}{2*1}
\\
t=\frac{9 \pm 7}{2}
\\
t_1=8
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{8}= \pm 2 \sqrt{2}
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1\)

Si algun dels resultats de la \(t\) és negatiu, no es podrà trobar la  \(x\) corresponent.

Irracionals

Són equacions en les quals la incògnita és sota una arrel, per exemple, \(\sqrt{x+1}=9\). Per simplificació, sols analitzarem la resolució d’equacions irracionals amb arrels quadrades.

Amb una arrel

Per a solucionar una equació irracional:

  1. Posarem el terme amb arrel a un costat de la igualtat i la resta de termes a l’altra,
  2. Elevarem cada terme al quadrat per tal d’eliminar l’arrel, i
  3. Resoldrem l’equació que en resulti de fer els passos anteriors:

\(\sqrt{2x-6}+2=4
\\
\sqrt{2x-6}=4-2
\\
\sqrt{2x-6}=2
\\
(\sqrt{2x-6})^2=2^2
\\
2x-6=4
\\
2x=4+6
\\
2x=10
\\
x=\frac{10}{2}=5\)

Amb dues arrels

És el mateix procediment de resolució, però quan hi ha dues arrels, el càlcul sol ser més fàcil posant una arrel a cada banda de la igualtat. Si hi ha dues arrels, haurem de repetir els passos \(1\) i \(2\) dues vegades per a eliminar totes:

\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{x+7}=4
\\
\sqrt{2x-3}=4+\sqrt{x+7}
\\
(\sqrt{2x-3})^2=(4+\sqrt{x+7})^2
\\
2x-3=16+2*4*\sqrt{x+7}+(\sqrt{x+7})^2\)

Ara que sols queda una arrel, continuarem el procés com en el cas anterior:

\(2x-3=16+8\sqrt{x+7}+(x+7)
\\
2x-3-16-(x+7)=8\sqrt{x+7}
\\
x-26=8\sqrt{x+7}
\\
(x-26)^2=(8\sqrt{x+7})^2
\\
x^2-52x+676=64(x+7)
\\
x^2-116x+228=0
\\
x=114,\, 2\)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible:

Porceedukat

Altres mètodes de resolució de sistemes d’equacions

Gauss

El mètode de resolució de sistemes d’equacions per Gauss, segueix el métode clàssic de resolució per reducció. La diferència és que eliminarem les incògnites ordenadament (primer la \(x\), després la \(y\) i finalment la \(z\)) i que farem servir matrius sols amb els coeficients en comptes de tota l’equació.

A tall d’exemple,  resoldrem primer un sistema d’equacions amb tres incògnites pel mètode reducció ordenadament:

\(2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
7x-5y+2z=4
\\[1cm]
*2)2x+3y-\enspace z=4
\\
\hspace{0.8cm}4x-2y+5z=7
\\
———————–
\\
\hspace{0.8cm}0x+8y-7z=1
\\[1cm]
\hspace{0.5cm}7*) 2x+3y-\enspace z=4
\\
-2*)7x-5y+2z=4
\\
————————–
\\
\hspace{1.9cm}31y-11z=20
\\[1cm]
\hspace{0.2cm}31*)\hspace{0.3cm}8y-\enspace 7z=1
\\
-8*)31y-11z=20
\\
———————
\\
\hspace{1.2cm}-129z=-129\)

Per a resoldre un sistema d’equacion per Gauss fem la triangulació superior de matriu ( fem zeros a la part inferior de la diagonal de la matriu).

Si el sistema resultant és compatible, el resoldrem. Si és incompatible, acabarem l’exercici.

Observeu que obtenim els mateixos resultats que fent-ho pel mètode anterior de reducció:

\(\left[ \begin{matrix} \color{red} 2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 4 & \hspace{0.3cm} -2 & \hspace{0.3cm} 5 & -1 &\\ 7 & \hspace{0.3cm} -5 & \hspace{0.3cm}2 & 4 \\ \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 2F_1-F_2
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \color{red} 2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 & \hspace{27px} 8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1\\ 7 & \hspace{0.3cm}-5 & \hspace{0.4cm} 2 & 4 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace F1-2F_3
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 & \hspace{27px} \color{red}8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1\\ 0 & \hspace{0.5cm}31 & -11 & \hspace{5px} 20 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 31F_2-8F_3
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 &\hspace{27px}  \color{red}8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1\\ 0 & \hspace{0.6cm}0 & -129 & \hspace{5px} -129 \end{matrix} \right]\)

La tercera fila d’aquesta matriu triangulada ens diu que \(-129z=-129\), i per tant,\( z=1.\)

De la segona fila, \(8y-7z=1,\,  y=\frac{1+7z}{8}=1.\)

I de la primera, \(2x+3y-z=4, \,x=\frac{4-3y+z}{2}=1.\)

Quant a la resolució d’un sistema indeterminat:

\(2x+3y-z=4
\\]x-2y+5z=7
\\
6x+y+4z=11
\\[1cm]
\begin{bmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & -1 & 4 \\ 4 & \hspace{0.3cm}-2 & \hspace{0.3cm}5 & 7 \\ 6 & \hspace{0.7cm}1 & \hspace{0.3cm}4 & 11\end{bmatrix}
\\[1cm]
\begin{bmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & -1 & 4 \\0 & \hspace{0.6cm}8 & \hspace{0.05cm}-7 & 1 \\ 0 & \hspace{0.6cm}8 & \hspace{0.05cm}-7 & 1 \end{bmatrix}
\\\)

Sols les dues primeres equacions són linealment independents. El resolem, per tant, com un sistema indeterminat (SCI):

\(2x+3y-z=4
\\
8y-7z=1
\\
z=\lambda \\ y=\frac{1+7z}{8}=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}\lambda \\ x=\frac{4+z-3y}{2}=\frac{4+z-3y}{2}=\frac{29}{16}-\frac{13}{16}\lambda\)

Crammer

El mètode de Crammer usa els determinants per a calcular els resultats del sistema d’equacions. Consisteix en canviar la columna de coeficients de la incògnita que volem calcular per la dels termes independents:

\(\Delta x=\frac{\left| \begin{matrix}\hspace{4px} \color{red}4 & \hspace{27px} 3 & -1\\ \color{red}7 & \hspace{0.4cm} -2 & \hspace{0.2cm} 5 \\ 4 & \hspace{0.4cm} \color{red} -5 & \hspace{0.2cm} 2 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\\
\Delta y=\frac{\left| \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px}\color{red} 4 & -1\\ 4 & \hspace{27px}\color{red} 7 & \hspace{0.2cm}5 \\ \hspace{0.1cm}7 & \hspace{0.7cm}\color{red}4 & \hspace{0.2cm} 2 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\\
\Delta z=\frac{\left| \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & \hspace{10px}\color{red}4\\ 4 &\hspace{0.4cm} -2 & \hspace{15px}\color{red} 7 \\ 7 &\hspace{0.4cm}-5 &\hspace{15px} \color{red} 4 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1\)

Quan el determinant de la matriu és zero, \(|A|=0\),  diem que el sistema no és de Cramer. En aquest cas, per a resoldre el sistema indeterminat farem servir sols les equacions que són linealment independents.

\(
\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & 4+\lambda \\4 & -2 &\hspace{0.4cm} 7-5\lambda \end{vmatrix}
\\[1cm]
\Delta x=\frac{\begin{vmatrix}4+\lambda & \hspace{0.3cm}3 \\7-5\lambda & -2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.3cm}3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} }=\frac{29}{16}-\frac{13}{16}\lambda
\\[1cm]
\Delta y=\frac{\begin{vmatrix}2 & \hspace{0.3cm}4+\lambda\\4 & \hspace{0.3cm}7-5\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.3cm}3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} }=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}\lambda\)

Teorema de Rouché-Fröbenius

Sistema Compatible Determinat (SCD): \(Rang A=Rang A^*=3\)

Sistema Compatible Indeterminat (SCI): \(Rang A=Rang A^*=2\)

Sistema Incompatible (SI): \(Rang A=2, Rang A^*=3\)

Per a determinar els rangs de la matriu de coeficients \(A\) i de l’ampliada \(A^*\), farem la triangulació del sistema i analitzarem el nombre de files independents de cadascuna. 

Si el determinant de la matriu de coeficients és zero, vol dir que el sistema no és determinat.

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible:

Porceedukat

Sistemes d’equacions

Què és un sistema d'equacions

Un sistema d’equacions són dues o més equacions que compleixen certes igualtats per a uns valors determinats (solucions) de les incògnites.

Dues equacions són equivalents quan tenen les mateixes solucions.

El nombre de solucions d’un sistema és igual al grau de l’equació, tot i que en el conjunt del nombre reals (\(\mathbb R\)) pot ser inferior quan apareixen arrels d’índex parell negatives:

\(x^2-4x+8=0
\\
\Delta=\sqrt {b^2-4*a*c}
\\
=\sqrt {4^2-4*1*8}
\\
=\sqrt {16-32}=\sqrt{-16}\)

En aquest article, sols veurem la resolució de sistemes de dues equacions. 

Classificació dels sistemes d'equacions

Segons el grau de les equacions

Lineals

Un sistema d’equacions és lineal quan tots els termes de les equacions són de grau u.

No lineals

Quan alguna o totes les equacions del sistema són de grau dos o superior, o bé són equacions no lineals, diem que és un sistema d’equacions no lineal.

Segons les soluciones del sistema

Sistema Compatible Determinat (SCD)

Un sistema és compatible determinat si té un nombre finit de solucions.

Per a què un sistema d’equacions sigui determinat, calen tantes equacions diferents com incògnites tingui el sistema.

Dues rectes del pla que formen un sistema compatible determinat es tallen en un punt.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
——–
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}
\)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT

Sistema Compatible Indeterminat

Un sistema compatible indeterminat és un sistema d’equacions que té infinites solucions.

Si un sistema té més incógnites que equacions diferents, serà un sistema indeterminat.

Si un sistema de dues funcions lineals del pla és indeterminat, les rectes que el formen són en realitat una mateixa recta.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
4x+6y=16
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +4x+6y=16
\\
-4x-6y=-16
\\
——–
\\
\hspace{9pt} 0x+0y=0
\end {cases}\)

 
SISTEM COMPATIBLE INDETERMINAT

Sistema Incompatible

Un sistema és incompatible si no té solució.

Quan dues rectes del pla són paral·leles, formen un sistema incompatible.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x+3y=10
\\
——
\\
0=-2
\end{cases}\)

SISTEMA INCOMPATIBL

(Per a saber-ne, vegeu Altres sistemes d’equacions -Batxillerat).

Resolució del sistemes d'equacions

En resoldre un sistema d’equacions determinem els punts secants (d’intersecció) de les equacions del sistema entre sí. Aquests són els punts que tenen en comú les equacions del sistema.

El nombre màxim de solucions serà el grau més gran de les equacions del sistema.

Lineals

Reducció o Eliminació

Consisteix en eliminar o reduir una de les incògnites del sistema d’equacions. 

Per a eliminar-la, multiplicarem cada equació pel coeficient de la incógnita que volem eliminar de l’altre equació.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
4*)\,2x+3y=8
\\
3*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
8x+12y=32
\\
3x-12y=-21
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} 11x+0y=11
\\
x=\frac{11}{11}=1
\\[0.2cm]
y=\frac{8-2x}{3}=2
\end {cases}\)

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
1*)\,2x+3y=8
\\
2*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x-8y=-14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
——–
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}\)

Igualació

Per tal d’aplicar el mètode d’igualació, aillarem la mateixa incògnita de cada equació i després igualarem ambdues expressions.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}
\\
x={-7+4y}
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
\frac{8-3y}{2}={-7+4y}
\\[0.2cm]
(8-3y)=2*(-7+4y)
\\[0.2cm]
8-3y=-14+8y
\\[0.2cm]
-3y-8y=-14-8
\\[0.2cm]
-11y=-22
\\[0.2cm]
y=\frac{22}{11}=2
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}\)

Substitució

En el mètode de substitucío, aïllarem una de les incògnites i la substituirem en l’altra equació.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
x-4*(\frac{8-2x}{3})=-7
\\[0.2cm]
x-\frac{32+8x}{3}=-7
\\[0.2cm]
\frac{3x-32+8x}{3}=\frac{-21}{3}
\\[0.2cm]
3x+8x=-21+32
\\[0.2cm]
11x=11
\\[0.2cm]
x=1
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
y=2
\end {cases}\)

Mètode gràfic

Aïllarem la \(y\) de cada equació i les representarem en un mateix gràfic.

Si el sistema és compatible determinat, el punt d’intersecció d’ambdues rectes serà la solució del sistema.

Si és indeterminat, ambdues rectes seran coincidents.

Si és incompatible, seran paral·leles.

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT

No lineals

El millor mètode de resoldre sistemes d’equacions no lineals sol ser el mètode de substitució, tot i que s’ha d’analitzar en cada cas el sistema per a determinar quin és el millor métode de resolució.

Per a saber-me  més, vegeu Altres mètodes de resolució d’equacions -Batxillerat).

\(\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x+y=5
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x=5-y
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\\(5-y)^2+y^2=25
\\
(25-10y+y^2)+y^2=25
\\
2y^2-10y=0
\\
y*(2y-10)=0
\\
y=0,5
\\
x=5,0
\end{cases}\)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible:

Porceedukat

Resolució d’un sistema de forces

Per a resoldre exercicis de dinàmica, seguirem en aquest ordre els següents passos:

1. Fer el diagrama de blocs (dibuix).

2. Fer el diagrama de forces per a cada bloc (massa).

3. Plantejar el sistema d’equacions per a cada bloc (massa):

Tenint en compte el diagrama de forces del punt 2, es plantejarà el sistema d’equacions de l’eix \(\sum F_x\), el de l’eix \(\sum F_y\) i dels moments de gir \(\sum M\). 

A dinámica, cada sistema d’equacions de force s’igualarà o bé a zero, o bé a m*a depenent de si el moviment resultant és accelarat o no. De la mateixa manera, l’equació del moments de gir s’igualarà a o bé a zero, o bé al moment resultant. 

És a dir: \(\begin {cases}
\sum F_x: 0, m*a \\
\sum F_y: 0, m*a \\
\sum M: M_{resultant}
\end {cases}\)

A estàtica, el sistema d’equacions és el d’una estructura sobre la qual i apliquem una o més càrregues, tant \(\sum F_x\), com \(\sum F_y\) i també \(\sum M\) s’igualaran a zero, perquè em aquest cas el sistema analitzat (l’estructura) ha d’estar en equilibri estàtic. 

És a dir: \(\begin {cases}
\sum F_x: 0 \\
\sum F_y: 0 \\
\sum M: 0
\end {cases}\)

4. Resoldre el sistema d’equacions.

D'un pla inclinat

Pas 1.

Pas 2

DIAGRAM DE FORCES
DIAGRAMA DE FORCES

Pas 3

Aquest pas consisteix en plantejar els sistemes d’equacions dels diagrames de forces:

\(\begin{cases}
\sum F_x=T-P_{1x}-f=m_1*a \\
T-P*sin(\alpha)-\mu*P*cos(\alpha)=m_1*a \\
T-m_1*g*sin(\alpha)-\mu*P*cos (\alpha)=m_1*a \\
T-m_1*g*[sin(\alpha)-\mu*cos(\alpha)]=m_1*a \\
T=m_1*a+m_1*g*[sin(\alpha)-\mu*cos(\alpha)]
\\
\\
\sum F_y=N-P_{1y}=0 \\
N-m_1*g*cos (\alpha)=0
\end{cases}
\\[1cm]
\begin{cases}
\sum F_y=T-P_2=-m_2*a \\
T=m_2*g-m_2*a= m_2*(g-a) \\
\end{cases}
\\[1cm]
\rightarrow m_1*a+m_1*g*[sin(\alpha)-\mu*cos (\alpha)]=m_2*(g+a) \\
a=\frac {m_2*g-g*[sin(\alpha)-\mu*cos (\alpha)]} {m_1+m_2}\)

Fixeu-vos que el dibuix ia a a els sistemes d’equacions plantejats són sempre ELS MATEIXOS amb petites variacions: si la \( a \) va en SENTIT contrari, \( (3.1) \, Fx = -m_1 * a, \enspace (3.2) \, Fy = + m_2 * a \enspace \) i la força de fricció \( f \) también canviarà de signe (la força de fricció sempre és oposada al sentit del desplaçament). L’eix de les \( x \) sempre és l’eix de desplaçament.

Si sols tenim el bloc del pla inclinat, la tensió \(T\) desapareixerà i la reemplaçarem per la força \(F\) que li dóna l’impuls inicial al bloc. 

Si en compte de pujar, el bloc baixa, canviaran els signe de l’acceleració \(a\) i de la força de fricció \(f\) .

D'un pèndol en un pla horitzontal

Per a què es produeixi un moviment circular hi ha d’haver una força en direcció al centre de gir (força centrípeta) que obligui al mòbil a girar.

Aquesta força és la resultant o força neta de les forces que actuen en el seu eix \(F_c=\, \sum F\). 

El sentit de la tensió \(T\) sempre és cap al centre de gir.

Pas 1

DIAGRAMA DE BLOCS PENDOL HORITZONTAL

Pas 2

PENDOL HORITZONTAL PAS 2.1
PENDOL HORITZONTAL PAS 2.2

\(1. \sum F_x=F_c=T
\\
T=m_1*\frac{v^2}{R}
\\[1cm]
2. \sum F_y=T-P=0
\\
T=P=m_2*g
\\
m_1*\frac{v^2}{R}=m_2*g
\\
v=\sqrt{\frac{m_2*g*R}{m_1}}\)

D'un pèndol en un pla vertical

Punt més baix

Pas 1

PENDOL VERTICAL PUNT MES BAIX

Pas 2

El diagrama de forces és sols el de l’eix vertical i en aquest cas és força evident.

Pas 3

\(\sum F_y=F_c=T-P \\
T=F_c+P=m_1*\frac{v^2}{R}+m_1*g=
\\
m_1*(\frac{v^2}{R}+g)\)

D'un pèndol en el punt més alt

Pas 1

pendol vertical punt mes alt

Pas 2

També en aquest cas el diagrama de forces és evident.

Pas 3

\(\sum F_y=F_c=T+P
\\
T=F_c-P=
\\
m_1*\frac{v^2}{R}-m_1*g=
\\
m_1*(\frac{v^2}{R}-g)
\)

La velocitat mínima que ha de tenir l’objecte \(m\) en el punt més alt perquè no caigui és \((T=0)\):

\(\sum F_y=F_c=T+P
\\
F_c=P
\\
m_1*\frac{v^2}{R}=m_1*g
\\
v=\sqrt{g*r}
\)

Punt del mig

Pas 1

PENDOL VERTICAL PUNT DEL MIG

Pas 2

Una altre vegada, el diagrama de forces és molt evident, però aquesta vegada és sobre les abcises.

Pas 3

\(\sum F_x=F_c=T
\\
T=m_1*\frac{v^2}{R}\)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible:

CEEdukat Online! Ara també obrim a l'estiu!Primària - ESO - Batxillerat - Provés d'accés

A CEEdukat ara també fem classes online amb la mateixa qualitat i professionalitat que les presencials. També obrim els mesos de juliol i agost.