CEEdukat Online (Hospitalet de Llobregat, Barcelona) és una acadèmia de professors particulars que fa tutories i classes online de reforç i repàs escolar. Les classes són individuals i adaptades a cada alumne.
A causa de les incerteses quant a la continuació d’aquest curs escolar 2019-2020 i fins i tot el següent, a CEEdukat Online fem el seguiment i reforç de totes les matèries escolars seguint els currículums oficials establerts. L’objectiu és que l’estudiant no perdi aquest curs i també evitar-li dificultats l’any que ve.
Com són les classes de CEEdukat Online?
√ Fem totes les matèries i nivells del currículum escolar (matemàtiques, anglès, català, castellà, etc.) ara online.
√ Els horaris són flexibles i adaptats a cada estudiant.
√ Mateixa qualitat d’ensenyament que les classes presencials.
√ Paquets mensuals d’hores econòmics.
√ Possibilitat de recuperació de classes.
√ Si encara no n’estàs convençut, fes una classe gratuïta de 15 minuts.
Queda’t a casa i fes les classes online i a distància!
Etiquetes: professor, tutor, classes online, acadèmia, tutories, repàs escolar, reforç escolar, queda’t a casa.
Per a fer una cerca al bloc
Escriviu a la caixeta de cerca la paraula. (→)
Us apareixeran diferents entrades que la contenen.
Feu Ctrl+F per a cercar la paraula a la pàgina.
Si s’ha trobat més d’una pàgina, feu Ctrl+F a cada pàgina.
Consells per a estudiar bé
Dorm i menja bé.
Manté al dia l’horari i l’agenda personal d’estudi i un sistema d’arxiu ordenat i pulcre.
Fes una planificació futura com a mínim amb dues setmanes d’antelació dels deures i exàmens.
No memoritzis amb la intenció de només aprovar exàmens i cerca paraules al diccionari per comprendre els materials d’estudi.
Memoritzar és duplicar la feina, tampoc garanteix l’aprovat i podria ser la causa de situacions catastròfiques en els teus estudis.
Si no has fet el nostre curs de tècnica d’estudi, fes-lo; si l’has fet, usa’l.
Fes els deures i estudia el que has fet a classe a diari. Si fas l’ESO o Batxillerat i no estudies cada dia, podries tenir dificultats importants en els teus estudis.
Presenta el treballs, llegeix els llibres que se t’assignen i no xerris a classe.
No estudiïs per treure només un cinc, estudia per treure un deu.
Fes els deures i els exàmens sense nervis i repassa els exercicis abans d’entregar-los.
Prepara les consultes i dubtes que tinguis abans de venir reforç per aprofitar-ne millor les hores.
Porta els teus propis llibres, ordinador portàtil, calculadora, bolígrafs, llapis, gomes d’esborrar i tot el material necessari per fer la classe i marca’ls amb el teu nom.
Desconnecta el mòbil o posa’l en mode avió abans d’entrar a classe.
Aixeca el braç cada vegada que tinguis un dubte i t’atendrem tan aviat com ens sigui possible.
Les classes de reforç són un ajut pels teus estudis i un premi per a tu … aprofita-les.
Els resultats depenen sobretot de la teva dedicació personal diària i de la teva capacitat personal i, per tant, no podem garantir-te l’aprovat, però si treballes com a un professional és molt probable que aprovis.
Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.
Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:
A CEEdukat et preparem per a les proves d’accés dels cicles formatius de grau superior (CFGS), grau mig (CFGM), de la ESO (GESO), Selectivitat/ PAU (Prova d’accés a la Universitat) i PAP (Prova d’aptitud Personal).
Horaris flexibles de matí, tarda i dissabtes.
Classes individuals PRESENCIALS i ONLINE en grups reduïts.
En CEEdukat te preparamos para las pruebas de acceso a los ciclos formativos de grado superior (CFGS), grau medio(CFGM), de la ESO (GESO), Selectividad/ PAU (Prueba de Acceso a la Universidad) i PAP (Prueba de aptitud Personal).
Horarios flexibles de mañana, tardes y sábados.
Clases individuales PRESENCIALES i ONLINE en grupos reducidos.
Soliciten más información enviando este formulario:
El límit d’una funció \(f(x)\) en un punt \(x=a\) és el valor al qual s’aproxima la funció quan \(x\) s’aproxima al valor \(a: \, \lim_{x \to a} f(x)= \, L\).
Exemple:
\(y=\lim_{x \to 2}2*x+6=2*2+6=10\)
x
y=2*x+6
1.9
9.8
1.99
9.98
1.9999
9.9998
1.99999
9.99998
1.999999
9.999998
Quan \(L\) és un valor real o infinit (\(\pm \infty\)) diem que el límit és determinat.
\( \frac{0}{0}\) es un resultat indeterminat perquè té moltes solucions.
Les indeterminacions (resultat indeterminats) que podem trobar quan resolem el límit d’una funció en un punt són: \(\frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty}, \, \infty-\infty, \, 1^{\infty}, \, 0*\infty, \, 0^0 \, i \, \infty^0\).
1.1 Límits laterals d’una funció
Per a determinar quin és el límit d’una funció en un punt hem de deteminar el límit d’aquesta funció quan ens hi aproximem per l’esquerra o per la dreta. Si el límits laterals no coincideixen, el límit serà indefinit i per tant la funció no tindrà límit.
Exemple:
\( f(x) \begin{cases} x^2-2 \enspace si \enspace-\infty \lt x \lt 2\\ 4 \hspace{1.3cm} si \enspace 2 \leq x \lt 4 \end{cases} \\[1cm] \lim_{x \to +2^-} f(x)=\lim_{x \to +2^-}x^2-2=2\\ \lim_{x \to +2^+} f(x)=\lim_{x \to +2^+}4=4 \)
La funció anterior és una funció a trossos formada per les funcions \(y=x^2-2\) i la funció \(y=4\). Quan ens aproximem a \(x=2, \, f(x)\) té valors diferents. Els límits laterals no coindeixen, per tant, la funciò no té un límit definit.
2. Propietats dels límits
Si el límit d’una funció existeix, es compleixen les següents propietats:
i) El límit d’una suma de funcions és igual a la suma dels límits de cada funció:
Però la manera més fàcil de resoldre les indeterminacions \(\frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty}\) és pel mètode de l’Hôpital. Aquest métode consisteix en derivar el numerador i el denominador fins obtenir un limit determinat:
Quan no podem concloure quín és el límit de la funció si la indeterminació és \(\infty-\infty\), resoldrem el límit multiplicant pel conjugat si apareixen arrels a la funció o resolent la suma/ resta de les fraccions algebraiques:
Per a resoldre aquesta indeterminació, primer la transformarem en una altra del tipus \(\frac{0}{0}\), o bé del tipus \(\frac{\infty}{\infty}\) i després resoldrem aquesta indeterminació per l’Hôpital:
Una funció \(f(x)\) és continua en un punt si \(f(x_o)=\lim_{x \to x_o} {f(x)}\). Per tant, la funció ha de tenir limit i els límits laterals de la funció han de coincidir.
En l’exemple anterior, la funció té imatge en el punt on hi pot haver una possible disconitnuïtat \(x=-2\), però els límits laterals no coincideixen. Per tant, la funció és discontinua.
Un altre exemple:
\( f(x) \begin{cases} 4x+6 \enspace si\enspace -\infty\leq x \leq -5 \\ \frac{x^2+3}{-2} \enspace si\enspace -5 \lt x \lt 5 \\ \end{cases} \\[1cm] i. \, 4*(-5)+6=-14 \\ ii. \, \lim_{x \to -5}{4x+6}\,=-14\\ \lim_{x \to -5}\frac{x^2+3}{-2}\,=\frac{(-5)^2+3}{-2}=-14 \)
En aquest exemple, la funció també té imatge en el punt frontera entre les dues funcions \(x=-5\) i els límits laterals coincideixen. Per tant, la funció és continua.
i) Teorema de Bolzano
Si una funció \(f(x)\) és continua en un interval tancat \([a,b]\) i \(f(a)\) i \(f(b)\) són de signes diferents, existeix almenys un punt \(c \in (a,b)\) tal que \(f(c)=0\).
Exemple:
Volem saber si la funció \(f(x)=x^2-2\) té almenys una arrel en l’interval tancat \([1,2]\).
Com que és una funció polinómica, és continua en tot \(\mathbb{R}\).
Aixó vol dir que la funció SÍ té almenys una solució en aquest interval.
ii) Teorema dels valors intermitjos
Si una funció \(f(x)\) és continua en un interval tancat \([a,b]\) i \(y_0\) és un valor comprès entre \(f(a), f(b)\), \(f(x)\) té el valor \(y_0\) almenys una vegada en aquest interval.
Aquest teorema és una conseqüència del teorema de Bozano: que \(f(x)=x^2-2\) sigui \(0.25\) en l’interval tancat \([1,2]\), és el mateix que dir que la funció s’anul·la en el punt \(x=1.5\) d’aquest interval , per exemple:
\( f(x)=x^2-2-0.25=0 f(1.5)=(1.5)^2-2-0.25=0 \)
iii) Teorema de Weierstrass
Si una funció \(f(x)\) és continua en un interval tancat \([a,b]\), la funció tindrà com a mínim un màxim i un mínim absolut en aquest interval.
3.1 Discontinuïtats
3.1.1 Discontinuïtat de 1a. espècie de salt determinat
i) La funció té imatge.
ii) Els límits laterals no coincideixen i són finits.
3.1.2 Discontinuïtat de 1a. espècies de salt infinit
i) La funció té imatge.
ii) Algun dels límits laterals és infinit.
3.1.3 Discontinuitat de 2a. espècie o esencial
i) La funció té imatge.
ii) Algun dels límits laterals no existeix.
3.1.4 Discontinuïtat evitable
i) La funció no té imatge, o bé
ii) la funció té imatge però no coincideix amb el límit de la funció.
Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.
Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:
Una potència és una multiplicació repetida d’un mateix nombre: \(a^n: a*a*…a, \, n\) vegades. \(a\) és la base i \(n\) és l’exponent.
Exemple:
\(3^5= \, 3*3*3*3*3= \, 243\)
2. Propietats de les potències
2.1 Amb la mateixa base
Propietat
Exemple
\(a^n*a^m=a^{n+m}\)
\(3^5*3^{-2}=3^3\)
\(a^n \div a^m=a^{n-m}\)
\(3^5 \div 3^{-2}=3^7\)
\((a^n)^m=a^{n*m}\)
\((3^5)^{-2}=3^{-10}\)
\(a^0=1\)
\(3^0=1\)
\(a^1=a\)
\(3^1=3\)
\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)
\(3^{-2}=\frac{1}{3^2}\)
2.2 Amb el mateix exponent
Propietat
Exemple
\(a^n*b^n=(a*b)^n\)
\(3^5*2^{5}=(3*2)^5=6^5\)
\(a^n \div b^n=(a \div b)^n\)
\(3^5 \div 2^{5}=(\frac{3}{2})^5\)
Per a calcular fraccions de potències, farem:
1. Descompondrem les bases compostes en factors primers. 2. Multiplicarem les potències amb la mateixa base del numerador i del denominador tenint en compte les propietats anteriors. 3. Dividirem les potències resultants de la mateix base:
Un vector (\(\vec{v}\)) és un segment orientat. Per a definir un vector ens calen dos punts: un punt d’origen i i el punt de l’extrem. Un vector del pla té dos components, l’horitzontal i el vertical, que representen les unitats que s’han de desplaçar per anar de l’origen a l’extrem del vector.
A diferència d’un escalar (un nombre), un vector té quatre característiques:
(i) Mòdul (\(\left|\vec{v}\right|\)): és la longitud del segment. Per a calcular el módul d’un vector fem: \(\left|\vec{v} \right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\) unitats.
(ii) Direcció (\(\theta\)): és la inclinació o el pendent de la recta sobre la qual està situat el vector. Dos vectors tenen la mateixa direcció si estan sobre rectes paral·leles o coincidents.
La direcció o inclinació d’un vector és l’arc tangent del component vertical del vector dividit per l’horitzontal: \(\arctan \frac{y}{x}\)-.
El component horitzontal del vector gris és de dues unitats i el vertical d’una. Al multiplicar-lo per dos, el component horitzontal del vector resultant és quatre i el vertical de dos.
2.2.2 Producte escalar de dos vectors
El producte escalar o producte punt de dos vectors és una multiplicació entre dos vectors que dóna com a resultat un escalar (nombre):
El producte escalar de dos vectors perpendiculars és zero perquè \(\cos{\, 90º} =0\).
El producte escalar compleix les següents propietats:
(i) Commutativa: \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\). (ii)Distributiva:\(\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = \vec{w}\cdot\vec{u} + \vec{w}\cdot\vec{v}\) (iii)El producte escalar d’un vector per ell mateix és el seu mòdul al quadrat: \(\vec{v}\cdot\vec{v} = \left|\vec{v} \right|*\left|\vec{v} \right|*\cos0 = |\vec{v}|^2\).
3. Combinació lineal de vectors
Si un vector \(\vec{w}\) és combinació lineal d’un altre són dos vectors proporcionals: \(\vec{w} = k*\vec{v}\). Un vector \(\vec{w}\) és combinació lineal de dos vectors diferents si \(\vec{w} = \mu*\vec{u} + \lambda*\vec{v}\).
Quan en un conjunt de vectors cap vectors es pot obtenir com a combinació lineal d’altres vectors diem que aquests vectors són linealment independents. La condició perquè un conjunt de vectors siguin linealment independents és:
\(\lambda_1*\vec{v_1}+\lambda_2*\vec{v_2}+…\lambda_n*\vec{v_n}=0\), sols si tots els coeficients \(\lambda\) són zero.
4. Bases
Una base són un conjunt de vectors linealment independents que poden generar tots els altres vectors del pla o de l’espai. És a dir, que qualsevol altre vector és una combinació lineal d’aquests vectors.
Al pla, dos vectors \(\vec{v_1},\vec{v_2}\) si són linealment independents i poden generar tots els altres vectors del pla ( \(B ={\vec{v_1},\vec{v_2}}\)):
Quan els vectors de la base són ortogonals i normals, és una base ortonormal.
Els vectors \((1,0)\) i \((0,1)\) formen la base ortonormal del pla \(B={\vec{e_1}(1,0),\, \vec{e_2}(0,1)}\).
Qualsevol vector del pla és una combinació lineal d’aquests dos vectors: \(\vec{w_1}=\lambda_1*\vec{e_1}+4\lambda_2*\vec{e_2}\)
Exemple:
\((3,2)=3*\vec{e_1}+2*\vec{e_2}\)
3.3 Coordenades d’un vector
Les coordenades d’un vector en una base són els coeficients \(\lambda_n\) del vector expressat en aquesta base.
En l’exemple anterior, les coordenades del vector (3,2) en base ortonormal expressat en la base \(B=\left\{ (5,7), (6,2) \right\}\) és el vector \((\frac{3}{16}, \, \frac{11}{32})\):
Un sistema de referència és el conjut format per una base de vectors \(\vec{u},\vec{v}\) i un origen de coordenades \(O\): \(R = {O,[\vec{u},\vec{v}]}\).
En un sistema de referència a cada punt \(P\) del pla se li associa un vector de posició \(OP\).
Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.
Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:
És el conjunt dels nombres naturals positius, negatius i el 0: \(…-3,-2,-1,0,1,2,3,…\). El conjunt de nombres enters es representa per \(\mathbb{Z}\).
Els nombres naturals són part dels nombres enters (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)).
3. Nombres racionals
Són els nombres decimals generats per una fracció que anomenem fracció generatriu\( \frac{a}{b}\). \(a,b\) són nombres enters i \(b \neq 0\). Els conjunt de nombres racionals es representa per \(\mathbb{Q}\).
Exemple:
\(\frac{21}{10}=2.1, \, \frac{3}{2}=1.5\).
Els nombres enters també són racionals perquè els podem expressar en forma de fracció: \(2 = \frac{2}{1}\). Per tant, els nombres enters són un subconjunt dels racionals (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)).
Els nombres decimals dels quals en podem trobar una fracció generatriu són:
3.1 Decimals exactes
Els decimals exactes són els nombres decimals que tenen una quantitat exacta de decimals.
Exemple:
\(2.345\), té tres decimals \(0.9\), té un decimal \(5.129837\), té sis decimals
Per a calcular la fracció generatriu d’un decimal exacte (\(2.345\)), fem el següent:
i) Escrivim el nombre sense comes al numerador: \(2\, 345\)
ii) El dividim per \(10 \) elevat al nombre de decimals que tingui: \(\frac{2\, 345}{10^3}=\frac{2\, 345}{1\, 000}\).
iii) Calculem la fracció irreductible: \(\frac{469}{200}…\)
Exemple:
\(1.75= \frac{175}{10^ 2} = \frac{7}{4}\).
3.2 Decimals periòdics purs
Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.
Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.
En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \(10\) elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(123\), el període és \(\widehat{23}\), el nombre fins al període és l’\(1\) i el període té dos decimals.
3.3 Decimals periòdics mixts
Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.
Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \(10\) elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(1578\), l’avantperíode és \(5\) i el període és \(\widehat 78\) i el nombre fins al període és l’\(1\). L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.
4. Nombres irracionals
Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \(\mathbb{I}\).
Exemple:
\(\pi, e\), qualsevol arrel no exacta com \(\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\).
5. Nombres reals
És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \(\mathbb{R}\).
i) Per a representar un nombre enter (\(\mathbb{Z}\)) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\(\mathbb{N}\)) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\(\mathbb{Q}\)), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \(0\) i \(1\) (p.e: \(\frac{4}{5}=0.8\)).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \(\frac{5}{2}=2.5)\). Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\(\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\)).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\( 0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4} \)
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \( 0-1\) en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\(-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\). En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \((- \infty \lt x \leq +2]\)).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\(\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\). \( ]n , n[\) o bé \((n , n)\) significa que l’extrem és obert i \( [n , n] \) vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \((-\infty, +2]\)).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \(N*10^a\). \(N\) és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \(a\) és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \(10^{-12}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \(10^{+12}\).
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \(10^{+9}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \(10^{-9}\).
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Els angles tenen diferents unitats de mesura. La més coneguda és el grau sexagesimal. En una circumferència divida en graus sexagesimals cada quart de circumferència són 90º i una volta sencera són 360º.
El radià és la unitat d’angle del SI. Un radià és l’angle que té un arc de circumferència igual al radi \(s=r\).
Com que la longitud de qualsevol circumferència és \(L=2\pi*r \Rightarrow \, 2\pi=\frac{L}{r}\).
Això vol dir que la longitud de qualsevol circumferència conté \(2\pi\) vegades el radi.
Cada partició d’un radi de la longitud d’una circumferència és un radià.
Quan mesurem els angles en radians, cada quart de circumferència són \(\frac{\pi}{2}\) radians (escrit \(rad\)). Una volta sencera són \(2\pi \enspace rad\) o simplement \(2\pi\).
Per passar de graus sexagesimals a radians usem el factor de conversió \(360º = 2\pi \, rad\).
Una raó o proporció trigonomètrica és el quocient de la longitud de dos costats d’un triangle rectangle.
Definim les raons trigonomètriques fonamentals o bàsiques per a un angle qualsevol de la circumferència goniomètrica (la circumferència per a mesurar angles) com:
I la taula de relacions trigonomètriques notables és:
\(0º (0 \, rad)\)
\(30º (\frac{\pi}{6} \, rad)\)
\(45º (\frac{\pi}{4} \, rad)\)
\(60º (\frac{\pi}{3} \, rad)\)
\(45º (\frac{\pi}{2} \, rad)\)
\(\\sin \, \alpha\)
\(0\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt2}{2}\)
\(\frac{\sqrt3}{2}\)
\(1\)
\(\\cos \, \alpha\)
\(1\)
\(\frac{\sqrt3}{2}\)
\(\frac{\sqrt2}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(0\)
\(\\tan \, \alpha\)
\(0\)
\(\frac{1}{\sqrt3}\)
\(1\)
\({\sqrt3}\)
\(\infty\)
Reducció d’angles al primer quadrant
Reducció d’angles al primer quadrant
La reducció d’un angle al primer quadrant consisteix en transformar un angle de més de 90º a un altre del primer quadrant que tingui la mateixa obertura.
Un angle més gran de 360º es pot transformar en un angle de la primera volta de la següent manera:
Si \(\alpha= 1 285º\): el quocient de \(1 285 \div 360= 3\) i el residu és \(205º\). Això vol dir que \(1 285º\) equivalen a 3 voltes senceres a la circumferència més 205º addicionals a la quarta volta.
Un cop hem determinat quan val l’angle de la darrera volta incompleta, fem la reducció d’aquest angle al primer quadrant. Observant el gràfic superior, veiem que:
Per a un angle de segon quadrant: \(\theta_{q2}=180º – \theta_{q1}\\\) Per a un angle de tercer quadrant: \(\theta_{q3}= 180º+\theta_{q1}\\\) Per a un angle de quart quadrant: \(\theta_{q4}= 360º – \theta_{q1} \).
Ailant \(\theta_1\), tenim la reducció de l’angle al primer quadrant.
I els signes de les relacions trigonomètriques de cada quadrant són:
\(sin \, \theta_{q1}: +, \, cos \, \theta_{q1}: +, \, tan \, \theta_{q1}: +\) \(sin \, \theta_{q2}: +, \, cos \, \theta_{q2}: -, \, tan \, \theta_{q2}: \, –\) \(sin \, \theta_{q3}: -, \, cos \, \theta_{q3}: -, \, tan \, \theta_{q3}: +\\ sin \, \theta_{q4}: -, \, cos \, \theta_{q4}: +, \, tan \, \theta_{q4}: \, –\)
Resolució de triangles
Semblança de triangles
Dos triangles són semblants quan es compleix que:
1. Els seus angles són iguals: \(\hat{A} = \hat{A’}, \hat{B} = \hat{B’}, \hat{C} = \hat{C’}\), i que 2. Els seus costats són proporcionals: \(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\).
Triangles semblants
Resoldre un triangle consisteix a trobar el valor de tots els seus costats i angles. Els diferents triangles que haurem de resoldre són:
i) Un triangle rectangle, ii) un triangle inscrit en un altre triangle iii) un triangle obtusangle.
Per a resoldre els triangles anteriors farem servir la trigonometria i la semblança de triangles:
i) Un triangle rectangle:
Per a resoldre un triangle rectangle ens calen, o bé dos costats, o bé un costat i un angle. Farem servir les relacions trigonomètriques sinus, cosinus, tangent i el teorema de Pitàgores:
Fem servir el teorema del cosinus si coneixem tres costats o dos costats i l’angle que els separa. També el podem usar per a calcular l’angle que els separa si coneixem dos costats adjacents.
Qualsevol triangle d’angles \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\) i costats \(a, b, c\) compleix que (teorema del cosinus):
Usem el teorema del sinus quan coneixem, o bé dos costats i l’angle oposat d’un dels costats coneguts, o bé dos angles i un costat oposat d’un dels angles coneguts del triangle.
Exemple:
Coneguts un costat i dos angles: \(\hat{A} = 62º, \hat{B} = 47º, c = 9\)
Trobem l’angle que falta sabent que tots tres sumen 180:
\(\hat{C} = 180 – 62 – 47 = 71º\)
Apliquem el teorema del sinus per trobar els altres dos costats:
Abans de fer res més, descompondrem el radicand en factors primers.
Extracció de factors de l’arrel:
Per a extreure factors de l’arrel, l’exponent del factor del radicand ha de ser més gran o igual que l’índex de l’arrel.
Quan dividim l’exponent del radicand entre l’índex de l’arrel, el residu indica l’exponent del factor del radicand queda dins l’arrel i el quocient és l’exponent del factor que queda fora de l’arrel.
Si no tenen el mateix índex ( \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}, \,\sqrt[n]{a}*\sqrt[m]{b}\)):
Quan les arrels no tenen el mateix índex, per a poder operar-les hem de transformar-les en les arrels equivalents aplicant la propietat fonamental de manera que tinguin el mateix índex.
En aquest cas, també podríem transformar les arrels a potències i operar-les, però aquesta és una entrada per aprendre a operar arrels.
Suma/Resta de radicals
Per a sumar i restar radicals cal que cada terme de la suma (o resta) tingui el mateix índex i el mateix radicand , és a dir, han de ser radicals semblants.
Els radicals semblants tenen el mateix índex i el mateix radicand, però els coeficient que els multiplica són diferents. \(2\sqrt[5]{9}\) i \( 8\sqrt[5]{9}\) són radicals semblants.
Dos o més radicals són equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. \(\sqrt[5]{9^2}\) i \( 8\sqrt[10]{9^4}\) són radicals equivalents.
Per exemple, podem sumar o restar \(3\sqrt{5}\) i \(9\sqrt{5}\) però no podem sumar o restar \(\sqrt{5}\) i \(\sqrt{3}\) o \(\sqrt[3]{5}\) i\(\sqrt{5}\).
De fet, no sabem sumar ni restar arrels. Però, si és possible, podem treure factor comú dels radicands semblants i sumar o restar-ne els coeficients després de fer l’extracció de factors de cada arrel.
Quan el denominador és un binomi [\((b + \sqrt{c})\), o bé \((\sqrt{b} – \sqrt{c})\)], multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel conjugat del denominador. El conjugat d’un binomi \((a+b)\) és \((a-b)\), i el conjugat de \((a-b)\) és \((a+b)\).
Multiplicant el denominador pel seu conjugat el transformen en un nombre real \((\mathbb{R})\). Recordeu la identitat notable dels polinomis \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\).
Per a resoldre exercicis de dinàmica, seguirem els següents passos en aquest ordre:
1. Fer el diagrama de blocs (dibuix).
2. Fer el diagrama de forces per a cada bloc (massa).
3. Plantejar el sistema d’equacions per a cada bloc (massa):
4. Resoldre el sistema d’equacions
Tenint en compte el diagrama de forces del punt 2, es plantejarà el sistema d’equacions de l’eix \(\sum F_x\), de l’eix \(\sum F_y\) i dels moments de gir \(\sum M\).
A dinámica, cada sistema d’equacions de forces s’igualarà o bé a zero, o bé a \(m*a\) depenent de si el moviment resultant és accelerat o no. De la mateixa manera, l’equació del moments de gir s’igualarà a o bé a zero, o bé al moment resultant.
A estàtica, el sistema d’equacions és el d’una estructura sobre la qual apliquem una o més càrregues. En aquest cas, tant \(\sum F_x\), com \(\sum F_y\) com \(\sum M\) s’igualaran a zero perquè el sistema analitzat (l’estructura) ha d’estar en equilibri estàtic.
Fixeu-vos que el dibuix ia a a els sistemes d’equacions plantejats són sempre els mateixos amb petites variacions
Si en compte de pujar, el bloc baixa, canviaran els signe de l’acceleració \(a\) i de la força de fricció \(f\):
Si l’acceleració resultant és en sentit contrari \(-a\)\, llavors \( (3.1)\, \sum F_x = -m_1 * a, \enspace (3.2)\, \sum F_y = + m_2 * a \enspace \)
La força de fricció \( f \) també canviarà de signe (la força de fricció sempre és oposada al sentit del desplaçament). L’eix de les \( x \) sempre és l’eix de desplaçament.
Si sols tenim el bloc del pla inclinat, la tensió \(T\) desapareixerà i la reemplaçarem per una força \(F\).
D’un pèndol en un pla horitzontal
Per a què es produeixi un moviment circular hi ha d’haver una força en direcció al centre de gir (força centrípeta) que obligui al mòbil a girar.
Aquesta força és la resultant o força neta de les forces que actuen en el seu eix \(F_c=\sum F\).
El sentit de la tensió \(T\) sempre és cap al centre de gir.
Usem galetes per oferir una experiència més relevant al recordar les vostres preferències y visites. Polsant ACCEPTAR, consentiu l'ús de TOTES les galetes..
Aquest lloc web utilitza cookies per millorar la vostra experiència mentre navegueu pel lloc web. D’aquestes, les cookies que es classifiquen com a necessàries s’emmagatzemen al vostre navegador, ja que són essencials per al funcionament de les funcionalitats bàsiques del lloc web.
També fem servir cookies de tercers que ens ajuden a analitzar i entendre com utilitzeu aquest lloc web. Aquestes cookies s’emmagatzemaran al vostre navegador només amb el vostre consentiment. Teniu l’opció de desactivar aquestes cookies, però això pot afectar la vostra experiència de navegació.
Les galetes necessàries són absolutament essencials perquè el lloc web funcioni correctament. Aquesta categoria només inclou galetes que garanteixen funcionalitats bàsiques i funcions de seguretat del lloc web. Aquestes galetes no emmagatzemen cap informació personal.
Les galetes que no siguin especialment necessàries perquè el lloc web funcioni i s'utilitzi específicament per recopilar dades personals de l'usuari a través d'analítiques, anuncis, altres continguts incrustats es desmenten com a galetes no necessàries. És obligatori obtenir el consentiment de l'usuari abans d'executar aquestes galetes al seu lloc web.
CEEdukat Online!
Primària – ESO – Batxillerat – Provés d’accés
A CEEdukat ara també fem classes online amb la mateixa qualitat i professionalitat que les presencials. També obrim els mesos de juliol i agost.
RSS CEEdukat
