Porceedukat
Altres mètodes de resolució de sistemes d’equacions
1. Gauss
El mètode de resolució de sistemes d’equacions per Gauss, segueix el mètode clàssic de resolució per reducció. La diferència és que eliminarem les incògnites ordenadament (primer la \(x\), després la \(y\) i finalment la \(z\)) i que farem servir matrius sols amb els coeficients en comptes de tota l’equació.
A tall d’exemple, resoldrem primer un sistema d’equacions amb tres incògnites pel mètode reducció ordenadament:
\(2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
7x-5y+2z=4
\\[1cm]
*-2)2x+3y-\enspace z=4
\\
\hspace{1.2cm}4x-2y+5z=7
\\
———————–
\\
\hspace{1.2cm}0x+8y-7z=1
\\[1cm]
\hspace{0.5cm}7*) 2x+3y-\enspace z=4
\\
-2*)7x-5y+2z=4
\\
————————–
\\
\hspace{1.9cm}31y-11z=20
\\[1cm]
\hspace{0.2cm}31*)\hspace{0.3cm}8y-\enspace 7z=1
\\
-8*)31y-11z=20
\\
———————
\\
\hspace{1.2cm}-129z=-129
\\
z=\frac{129}{129}=1
\\
y=\frac{1+7z}{8}=1
\\
x=\frac{4+z-3y}{2}=1
\)
Per a resoldre un sistema d’equacions per Gauss fem la triangulació superior de matriu ( fem zeros a la part inferior de la diagonal de la matriu).
Si el sistema resultant és compatible, el resoldrem. Si és incompatible, acabarem l’exercici.
Observeu que obtenim els mateixos resultats que fent-ho pel mètode anterior de reducció:
\(\left[ \begin{matrix} \color{red} 2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 4 & \hspace{0.3cm} -2 & \hspace{0.3cm} 5 & 7 &\\ 7 & \hspace{0.3cm} -5 & \hspace{0.3cm}2 & 4 \\ \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 2F_1-F_2
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \color{red} 2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 & \hspace{27px} 8 & \hspace{0.05cm} -7 &1\\ 7 & \hspace{0.3cm}-5 & \hspace{0.4cm} 2 & 4 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 7F1-2F_3
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 & \hspace{27px} \color{red}8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1\\ 0 & \hspace{0.5cm}31 & -11 & \hspace{5px} 20 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 31F_2-8F_3
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 &\hspace{27px} \color{red}8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1\\ 0 & \hspace{0.6cm}0 & -129 & \hspace{5px} -129 \end{matrix} \right]\)
La tercera fila d’aquesta matriu triangulada ens diu que \(-129z=-129\), i per tant,\( z=1.\)
De la segona fila, \(8y-7z=1,\, y=\frac{1+7z}{8}=1.\)
I de la primera, \(2x+3y-z=4, \,x=\frac{4-3y+z}{2}=1.\)
Quant a la resolució d’un sistema indeterminat:
\(2x+3y-z=4
\\4x-2y+5z=7
\\
6x+y+4z=11
\\[1cm]
\begin{bmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & -1 & 4 \\ 4 & \hspace{0.3cm}-2 & \hspace{0.3cm}5 & 7 \\ 6 & \hspace{0.7cm}1 & \hspace{0.3cm}4 & 11\end{bmatrix}
\\[1cm]
\begin{bmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & -1 & 4 \\0 & \hspace{0.6cm}8 & \hspace{0.05cm}-7 & 1 \\ 0 & \hspace{0.6cm}8 & \hspace{0.05cm}-7 & 1 \end{bmatrix}
\\\)
Sols les dues primeres equacions són linealment independents. El resolem, per tant, com un sistema indeterminat (SCI):
\(2x+3y-z=4
\\
8y-7z=1
\\
z=\lambda \\ y=\frac{1+7z}{8}=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}\lambda \\ x=\frac{4+z-3y}{2}=\frac{4+z-3y}{2}=\frac{29}{16}-\frac{13}{16}\lambda\)
2. Crammer
El mètode de Crammer usa els determinants per a calcular els resultats del sistema d’equacions. Consisteix en canviar la columna de coeficients de la incògnita que volem calcular per la dels termes independents:
\(\Delta x=\frac{\left| \begin{matrix}\hspace{4px} \color{red}4 & \hspace{27px} 3 & -1\\ \color{red}7 & \hspace{0.4cm} -2 & \hspace{0.2cm} 5 \\ 4 & \hspace{0.4cm} \color{red} -5 & \hspace{0.2cm} 2 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\\
\Delta y=\frac{\left| \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px}\color{red} 4 & -1\\ 4 & \hspace{27px}\color{red} 7 & \hspace{0.2cm}5 \\ \hspace{0.1cm}7 & \hspace{0.7cm}\color{red}4 & \hspace{0.2cm} 2 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\\
\Delta z=\frac{\left| \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & \hspace{10px}\color{red}4\\ 4 &\hspace{0.4cm} -2 & \hspace{15px}\color{red} 7 \\ 7 &\hspace{0.4cm}-5 &\hspace{15px} \color{red} 4 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1\)
Quan el determinant de la matriu és zero, \(|A|=0\), diem que el sistema no és de Cramer. En aquest cas, per a resoldre el sistema indeterminat farem servir sols les equacions que són linealment independents fent la substitució \(z=\lambda\) que ara formarà part del terme independent:
\(
\\
\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 &-\lambda&4 \\4 & -2 &\hspace{0.4cm}5\lambda&7 \end{vmatrix}
\\[1cm]
\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & 4+\lambda \\4 & -2 &\hspace{0.4cm} 7-5\lambda \end{vmatrix}
\\[1cm]
\Delta x=\frac{\begin{vmatrix}4+\lambda & \hspace{0.3cm}3 \\7-5\lambda & -2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.3cm}3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} }=\frac{29}{16}-\frac{13}{16}\lambda
\\[1cm]
\Delta y=\frac{\begin{vmatrix}2 & \hspace{0.3cm}4+\lambda\\4 & \hspace{0.3cm}7-5\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.3cm}3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} }=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}\lambda\)
3. Teorema de Rouché-Fröbenius
Sistema Compatible Determinat (SCD): \(Rang A=Rang A^*=3\)
Sistema Compatible Indeterminat (SCI): \(Rang A=Rang A^*=2\)
Sistema Incompatible (SI): \(Rang A=2, Rang A^*=3\)
Per a determinar els rangs de la matriu de coeficients \(A\) i de l’ampliada \(A^*\), farem la triangulació del sistema i analitzarem el nombre de files independents de cadascuna.
Si el determinant de la matriu de coeficients és zero, vol dir que el sistema no és determinat.
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Porceedukat
Sistemes d’equacions
1. Què és un sistema d'equacions
Un sistema d’equacions són dues o més equacions que compleixen certes igualtats per a uns valors determinats (solucions) de les incògnites.
Dues equacions són equivalents quan tenen les mateixes solucions.
El nombre de solucions d’un sistema és igual al grau de l’equació, tot i que en el conjunt dels nombres reals (\(\mathbb R\)) pot ser inferior quan apareixen arrels d’índex parell negatives com en aquest cas:
\(x^2-4x+8=0
\\
\Delta=\sqrt {b^2-4*a*c}
\\
=\sqrt {4^2-4*1*8}
\\
=\sqrt {16-32}=\sqrt{-16}\)
En aquest article, sols veurem la resolució de sistemes de dues equacions.
2. Classificació dels sistemes d'equacions
2.1 Segons el grau de les equacions
2.1.1.1 Lineals
Un sistema d’equacions és lineal quan tots els termes de les equacions són de grau u.
2.1.1.2 No lineals
Quan alguna o totes les equacions del sistema són de grau dos o superior, o bé són equacions no lineals, diem que és un sistema d’equacions no lineal.
2.2 Segons les soluciones del sistema
2.2.1 Sistema Compatible Determinat (SCD)
Un sistema és compatible determinat si té un nombre finit de solucions.
Per a què un sistema d’equacions sigui determinat, calen tantes equacions diferents com incògnites tingui el sistema.
Dues rectes del pla que formen un sistema compatible determinat es tallen en un punt.
\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
——————
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}
\)
2.2.2 Sistema Compatible Indeterminat
Un sistema compatible indeterminat és un sistema d’equacions que té infinites solucions.
Si un sistema té més incógnites que equacions diferents, serà un sistema indeterminat.
Si un sistema de dues funcions lineals del pla és indeterminat, les rectes que el formen són en realitat una mateixa recta.
\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
4x+6y=16
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +4x+6y=16
\\
-4x-6y=-16
\\
——————-
\\
\hspace{9pt} 0x+0y=0
\end {cases}\)
2.2.3 Sistema Incompatible
Un sistema és incompatible si no té solució.
Quan dues rectes del pla són paral·leles, formen un sistema incompatible.
\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x+3y=10
\\
————-
\\
0=-2
\end{cases}\)
(Per a saber-ne, vegeu Altres mètodes de resolució de sistemes d’equacions -Batxillerat).
3. Resolució del sistemes d'equacions
Al resoldre un sistema d’equacions determinem els punts secants (d’intersecció) de les equacions del sistema entre sí. Aquests són els punts que tenen en comú les equacions del sistema.
El nombre màxim de solucions serà el grau més gran de les equacions del sistema.
3.1 Lineals
3.1.1 Reducció o Eliminació
Consisteix en eliminar o reduir una de les incògnites del sistema d’equacions.
Per a eliminar-la, multiplicarem cada equació pel coeficient de la incógnita que volem eliminar de l’altre equació.
\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
4*)\,2x+3y=8
\\
3*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
8x+12y=32
\\
3x-12y=-21
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} 11x+0y=11
\\
x=\frac{11}{11}=1
\\[0.2cm]
y=\frac{8-2x}{3}=2
\end {cases}\)
\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
1*)\,2x+3y=8
\\
2*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x-8y=-14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
—————-
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}\)
3.1.2 Igualació
Per tal d’aplicar el mètode d’igualació, aillarem la mateixa incògnita de cada equació i després igualarem ambdues expressions.
\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}
\\
x={-7+4y}
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
\frac{8-3y}{2}={-7+4y}
\\[0.2cm]
(8-3y)=2*(-7+4y)
\\[0.2cm]
8-3y=-14+8y
\\[0.2cm]
-3y-8y=-14-8
\\[0.2cm]
-11y=-22
\\[0.2cm]
y=\frac{22}{11}=2
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}\)
3.1.3 Substitució
En el mètode de substitucío, aïllarem una de les incògnites i la substituirem al’altra equació.
\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
x-4*(\frac{8-2x}{3})=-7
\\[0.2cm]
x-\frac{32-8x}{3}=-7
\\[0.2cm]
\frac{3x-32+8x}{3}=\frac{-21}{3}
\\[0.2cm]
3x+8x=-21+32
\\[0.2cm]
11x=11
\\[0.2cm]
x=1
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
y=2
\end {cases}\)
3.1.4 Mètode gràfic
Aïllarem la \(y\) de cada equació i les representarem en un mateix gràfic.
Si el sistema és compatible determinat, el punt d’intersecció d’ambdues rectes serà la solució del sistema.
Si és indeterminat, ambdues rectes seran coincidents.
Si és incompatible, seran paral·leles.
3.2 No lineals
El millor mètode de resoldre sistemes d’equacions no lineals sol ser el mètode de substitució, tot i que s’ha d’analitzar en cada cas el sistema per a determinar quin és el millor métode de resolució.
Per a saber-me més, vegeu Altres mètodes de resolució d’equacions -Batxillerat).
\(\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x+y=5
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x=5-y
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\\(5-y)^2+y^2=25
\\
(25-10y+y^2)+y^2=25
\\
2y^2-10y=0
\\
y*(2y-10)=0
\\
y=5, 0
\\
x=0, 5
\end{cases}\)
4. De tres equacions amb tres incògnites
Per a resoldre un sistema de tres equacions amb tres incògnites, usarem el sistema de reducció entre la primera i la segona equació, després entre la primera i la tercera i finalment entres les dues equacions resultants:
\(2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
7x-5y+2z=4
\\[1cm]
*-2)2x+3y-\enspace z=4
\\
\hspace{1.2cm}4x-2y+5z=7
\\
———————–
\\
\hspace{1.2cm}0x+8y-7z=1
\\[1cm]
\hspace{0.5cm}7*) 2x+3y-\enspace z=4
\\
-2*)7x-5y+2z=4
\\
————————–
\\
\hspace{1.9cm}31y-11z=20
\\[1cm]
\hspace{0.2cm}31*)\hspace{0.3cm}8y-\enspace 7z=1
\\
-8*)31y-11z=20
\\
———————
\\
\hspace{1.2cm}-129z=-129
\\
z=\frac{129}{129}=1
\\
y=\frac{1+7z}{8}=1
\\
x=\frac{4+z-3y}{2}=1
\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
RSS CEEdukat
C/ Espanya, 11
08901- Hospitalet de Llobregat
933 371 980/ 653 876 603
centre.estudis.edukat@ceedukat.es
