Dinàmica

Instruccions abans de començar

Introducció

Les forces són les accions que causen el moviment i el canvi de moviment de les partícules. La dinàmica és l’estudi de les lleis que produeixen aquests canvis.

Primer, les estudiarem quan actuen sobre partícules. Després introduirem el concepte de centre de masses per tal de tractar l’efecte de les forces sobre un sòlid. Considerarem que són de magnitud i direcció constants.

La mecànica clàssica estudia l’efecte d’una força que actua sobre partícules o sòlids que es mouen a velocitats petites comparades amb la velocitat la llum (v<0.1 c). És a dir, que coneixent-ne les propietats (massa, càrrega, velocitat inicial, etc.) estudia com canviarà l’estat del moviment inicial de l’objecte.

Com que la força és una magnitud vectorial, és important conèixer bé el càlcul vectorial.

1. Lleis de la dinàmica (translacional)

Newton, que va néixer a Anglaterra el mateix any que morí Galileu, formulà les lleis de la mecànica clàssica a partir de les idees d’aquest i de físics anteriors. Les va presentar el 1686 en el Principia Philosophiae Naturalis (Principis de Filosofia Natural).

Galileu afirmà que cal una força externa per a canviar la velocitat d’un cos. Aquesta força farà que en canviï la velocitat i l’acceleració que, sent vectors, depenen del sistema de referència triat per a mesurar-les.

Les forces de la natura són de naturalesa electromagnètica, nuclear (feble i forta) i gravitacional.

La definició clàssica de matèria és la quantitat de matèria que conté un objecte, tot i que no és del tot correcta, perquè la matèria es forma sobretot a partir de fenòmens d’interacció quàntica.

1.1 Primera llei de Newton, la llei de la inèrcia:

”Si no actua cap força externa neta sobre un cos, es conservarà l’estat de moviment a causa de la inèrcia (a=0). “

La inèrcia és la resistència d’un cos a canviar el seu estat de moviment quan no hi actua cap força neta, per tant, es mantindrà en repòs o movent-se a velocitat constant (a=0). Com més massa tingui un objecte, més resistència (inèrcia) farà per què no canviï l’estat de moviment.

1.2 Segona llei de Newton, llei fonamental de la dinàmica:

”Quan apliquem una força sobre un objecte, aquest objecte s’accelera de forma directament proporcional a la força aplicada i inversament proporcional a la massa de l’objecte: \[\displaystyle{a=\frac{1}{m}\cdot F}\]

Si fem l’experiment d’aplicar una força de la mateixa magnitud i sentit sobre diferents cossos, observarem que es produeix una acceleració en cadascun que varia segons la massa. Per tant, la massa és una magnitud (escalar) directament relacionada amb la inèrcia. És a dir:

\begin{array}{c}F=\displaystyle{{m}_{1}\cdot {a}_{1}={m}_{2}\cdot {a}_{2}\mathrm{…}\rightarrow F=m\mathrm{.}a}\end{array}

El pes és la força d’atracció que fa la Terra sobre els objectes que són dins de l’atmosfera terrestre.

Com que la força també és una magnitud vectorial (és el resultat de multiplicar un escalar per un vector), per a usar-la escalarment l’haurem de descompondre en les seves components del pla o de l’espai fent ús de la trigonometria:

\begin{array}{c}{F}_{x}=m\cdot {a}_{x},{F}_{y}=m\cdot {a}_{y},{F}_{z}=m\cdot {a}_{z}\end{array}

1.3 Tercera llei de Newton, llei d’acció i reacció

”A tota força d’acció se li oposa sempre una força de reacció d’igual magnitud i de sentit contrari.”

L’acció mútua entre dos cossos en contacte és de la mateixa magnitud i de sentit contrari, però tant l’acció com la reacció actuen sobre cossos diferents i, per tant, la resultant és diferent de zero i el moviment pot ser accelerat:

1.4 Com es resolen els exercicis de dinàmica

Per a resoldre exercicis de dinàmica, seguirem en aquest ordre els següents passos:

1. Fer el diagrama de blocs o del sòlid lliure (dibuix)
2. Fer el diagrama de forces per a cada bloc o massa.
3. Plantejar el sistema d’equacions per a cada bloc o massa.

Exemple:

$$\begin{array}{c}\sum F_x=T-P_{1x}-f=m_1\cdot a\\ T-P\cdot \sin (\alpha )-\mu \cdot P\cdot \cos (\alpha )=m_1\cdot a\\ T-m_1\cdot g\cdot \sin (\alpha )-\mu \cdot m_1\cdot g\cdot \cos (\alpha )=m_1\cdot a\\ T-m_1\cdot g\cdot [\sin (\alpha )-\mu \cdot \cos (\alpha )]=m_1\cdot a\\ T=m_1\cdot a+m_1\cdot g\cdot [\sin (\alpha )-\mu \cdot \cos (\alpha )]\\ \sum F_y=N-P_{1y}=0\\ N-m_1\cdot g\cdot \cos (\alpha )=0\end{array}$$ $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\sum F_y=T-P_2=-m_2\cdot a\\ T=m_2\cdot g-m_2\cdot a=m_2\cdot (g-a)\end{array}\\ \\ \text{Per tant,}\\ \\ m_1\cdot a+m_1\cdot g\cdot [\sin (\theta )-\mu \cos (\theta )]=m_2\cdot (g-a)\\ a=\frac{-m_1\cdot g\cdot [\sin (\theta )-\mu \cos (\theta )]+m_2\cdot g}{m_2+m_1}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}\text{Del bloc 1:}\\ \\ F_c=m\cdot a_c=\frac{m\cdot v^2}{R}\\ \\ \text{Del bloc 2:}\\ \\ \{\begin{array}{c}{F}_c=T\\ P=T\end{array}\to T=\frac{m\cdot v^2}{R}=M\cdot g\to v=\sqrt{\frac{M\cdot g\cdot R}{m}}\end{array}$$ $$\{\begin{array}{c}P=F\cdot \cos \theta \\ F_c=F\cdot \sin \theta =\frac{m\cdot v^2}{R}\to v=\sqrt{\frac{F\cdot \sin \theta \cdot R}{m}}=\sqrt{\frac{P\cdot \tan \theta \cdot R}{m}}\\ \sin \theta =\frac{R}{L}\to \theta =\arcsin \frac{R}{L}\end{array}$$

2. Forces

Les forces poden ser de contacte o a distància:

a) De contacte: de fricció, tensions, forces normals, de resistència a l’aire, forces aplicades, de molles.

b) A distància: gravitacionals, electromagnètiques.

Les forces naturals són la gravitatòria, l’electromagnètica, la nuclear feble (responsable de la desintegració radioactiva) i la nuclear forta (que permet que els protons i els neutrons es mantinguin units dins el nucli. Apareixen a conseqüència de les interaccions entre partícules atòmiques elementals).

2.1 Llei de Hooke

La llei de Hooke és una força de contacte elàstica en la qual la força de recuperació d’una molla comprimida o estirada és proporcional a la distància de compressió o estirament.

És vàlida sempre que la distància de compressió o d’estirament sigui petita comparada amb la compressió o estirament total possible de la molla i que la força no superi un límit (límit elàstic, ”E”) de manera que la molla es deformi permanentment. De totes maneres, alguns materials no compleixen la llei de Hooke encara que no hagin arribat al límit elàstic.

Generalitzant la llei, direm que la deformació d’un objecte elàstic complex és proporcional a la tensió aplicada, és a dir, que considerem que es comporta com una molla sotmesa a tracció o compressió. En aquest cas, la llei de Hooke \[F=-k.Δx\] d’una molla es pot assimilar a l’elasticitat d’una barra de material elàstic de longitud \[L\] i àrea \[A\]

$$\begin{array}{c}F=\sigma A=\epsilon EA=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}EA\to F=k\cdot A,\text{ essent }\sigma =\mathrm{ \epsilon }\mathrm{ E},\mathrm{ \epsilon }=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}\mathrm{.}\\ (\mathrm{\epsilon :}\text{ deformació unitària,}\mathrm{ E:}\text{ mòdul de Young o coeficient d’elasticitat i}\mathrm{ \sigma \; :}\text{ és la tensió.})\end{array}$$

El signe negatiu de la llei de Hooke ens indica que F és una força recuperadora. També ens diu que F és directament proporcional a la distància de compressió o d’allargament de la molla (Δx).

El treball que cal fer per a desplaçar la molla entre dos punts és:

$$W=\left|-\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}F\mathit{dx}\right|=\left|-\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}k\cdot x\mathit{dx}\right|=\left|{[\frac{1}{2}{\mathit{kx}}^2]}_{x_1}^{x_2}\right|=\frac{1}{2}k\mathrm{\Delta }{x}^2$$

És a dir, que l’energia potencial acumulada per la molla en l’estat de màxima compressió o estirament és:

\begin{array}{c}{{E}_{p}=\frac{1}{2}k\mathrm{\Delta }{x}^{2}.}\end{array}

Robert Hooke presentà aquesta llei empírica el 1678.

2.2 Forces de fregament

Les superfícies manifesten una força de sentit oposat a la força que es fa sobre l’objecte amb el qual estàn en contacte. És la força de fricció, de poca intensitat, que és deguda als enllaços moleculars que es formen en les superfícies en contacte.

La força de fricció és proporcional a la força normal que fa una superfície sobre l’altra i no depèn de l’àrea de contacte perquè és proporcional a la força per unitat d’àrea. Per tant, la força màxima de fricció estàtica (força de fregament entre dos cossos que estan en repòs) és proporcional a la força normal entre les superfícies: \[\displaystyle{{f}_{e,\mathit{m\grave{a}x}}⩽{\mu }_{e} \cdot N}\]

El coeficient de fricció estàtica \[{\mu }_{e}\]depèn del material de construcció de les superfícies en contacte.

Però, quan el bloc està en moviment, els enllaços moleculars entre les superfícies es formen i es destrueixen contínuament. En aquest cas, la intensitat de la fricció cinètica (força de fregament d’un cos en moviment) depèn de la velocitat relativa entre les superfícies i de la seva naturalesa, és a dir, que el coeficient de fricció cinètic serà més petit que l’estàtic:

\begin{array}{c}{f}_{c}={\mu }_{c}N,{\mu }_{c}< {\mu }_{e}\end{array}

2.3 Forces fictícies o pseudo-forces

Les lleis de Newton sols són vàlides per a sistemes de referència inercials, és a dir, que es mouen amb velocitat uniforme. Quan un sistema de referència accelerat (no inercial) es mou respecte a un altre d’inercial, la força resultant no és la massa per l’acceleració\[\mathrm{\Sigma }\vec{F}\ne m\cdot \vec{a}\]

Però si introduïm en el sistema accelerat una força fictícia (que no és produïda per cap agent), \[\displaystyle{\mathrm{\Sigma }\vec{F}=m\cdot \vec{a}}\] continuarà sent vàlid:\[\vec{a}\] és l’acceleració relativa del sistema no inercial respecte a l’inercial. Un exemple de pseudoforça és la centrífuga que apareix en sistemes no inercials en rotació o la força de Coriolis.

Exemple:

Si es deixa caure un objecte dins d’un vagó que accelera (sistema no inercial) respecte a un observador en repòs que és a l’andana (sistema inercial), el que està en repòs veurà que cau verticalment amb l’acceleració de la gravetat, però el del vagó veurà que cau allunyant-se de la seva dreta. Com que l’única força que actua sobre l’objecte és la del pes, \[\displaystyle{\vec{F}=m\cdot \vec{a}}\] no es compleix. No obstant això, si li apliquem una pseudoforça \[\displaystyle{\vec{{F}_{s}}=-m\cdot \vec{a}}\], sí que es complirà.

L’acceleració d’una pseudoforça és igual a l’acceleració relativa del sistema en sentit contrari.

Les forces fictícies, inercials o d’Alembert, les presentà Jean Le Rond d’Alembert el 1743 en el Tractat de dinàmica. Les defineix com el producte negatiu de la massa per l’acceleració. No s’han de confondre amb les forces de reacció de la tercera llei de Newton.

3. Quantitat de moviment (moment lineal)

Una conseqüència important de la tercera llei de Newton és que, si no actua cap força que no sigui les d’acció i reacció entre dos objectes en contacte, la variació de la quantitat de moviment és nul·la. Com que la força que actua sobre cada objecte és d’igual magnitud, però de sentit contrari a la que actua sobre l’altre, la suma de les respectives quantitats de moviments es manté constant en el temps:

\begin{array}{c}{F}_{1}=\displaystyle{\frac{{\mathit{dp}}_{1}}{\mathit{dt}}}\text{ i }{F}_{2}=\frac{{\mathit{dp}}_{2}}{\mathit{dt}}\\[0.5cm] \text{Com que, }{F}_{1}=-{F}_{2},\displaystyle{\frac{{\mathit{dp}}_{1}}{\mathit{dt}}}=\frac{-{\mathit{dp}}_{2}}{\mathit{dt}}\text{ i }\frac{{\mathit{dp}}_{1}}{\mathit{dt}}+\frac{{\mathit{dp}}_{2}}{\mathit{dt}}=\frac{d}{\mathit{dt}}\left(\vec{{p}_{1}}+\vec{{p}_{2}}\right)=0\end{array}

Per tant, la llei de la conservació de la quantitat de moviment o moment lineal és:

\begin{array}{c}\vec{{p}_{1}}+\vec{{p}_{2}}=\mathit{constant}\end{array}

De fet, Isaac Newton formulà la tercera llei estudiant la quantitat de moviment abans i després del xoc de dos cossos. Si actuen forces que són molt més petites que les de contacte en el xoc (normalment un xoc és força violent) es poden menysprear i la llei continua complint-se.

Perquè aquesta llei pogués funcionar en forces a distància, la transmissió de la quantitat de moviment entre els dos cossos hauria de ser instantània, concepte que viola altres lleis físiques. La tercera llei i la de la conservació del moviment sols són aproximades per a dos cossos separats, però aquesta dificultat es resol mitjançant l’aplicació d’un camp gravitatori que transporta la quantitat de moviment a la velocitat de la llum.

Per a velocitats \[v \geq 0,1 \cdot c\] la quantitat de moviment és \[p’=\gamma \cdot m_0 \cdot v\]

Definim l’impuls lineal com la força que actua durant un temps sobre una partícula. És la diferència de la quantitat de moviments entre dues posicions de la partícula:

\begin{array}\vec{I}=F\cdot \mathrm{\Delta }t=m\vec{{v}_{f}}-m\vec{{v}_{0}}\rightarrow \vec{I}=\mathrm{\Delta }p\end{array}

4. Dinàmica del moviment circular uniforme

La dinàmica rotacional estudia les causes de la cinètica rotacional o moviment circular.

Exemples:

Quina és la velocitat mínima en el punt més alt i en el punt més baix perquè el sistema estigui en equilibri?

En el punt més alt:

$$\{\begin{array}{c}T=P\\ P=F_c=\frac{m\cdot v^2}{R}\end{array}\to v=\sqrt{\frac{M\cdot g\cdot R}{m}}$$

En el punt més baix:

$$\begin{array}{c}{F}_c=T+P\to \frac{m\cdot v^2}{R}=T+M\cdot g\\ \\ \text{Per a la velocitat mínima:}\\ \\ T=0\to v=\sqrt{\frac{\mathit{MgR}}{m}}\end{array}$$

4.1 Moment d’una força

El moment d’una força («torque» en anglès, τ) del moviment rotacional és el concepte anàleg a la força \[F\] del moviment translacional. Si apliquem una força \[F\] sobre una partícula \[P\] que és a una distància \[R\] del punt de gir \[O\] el moment de força \[M\] crearà un moviment de rotació respecte a aquest punt (centre de rotació): \[{M}=\vec{R}\times \vec{F}\] el mòdul del qual és: \[M=F \cdot \sin \theta \cdot R=\mathit{F_y} \cdot R.\]

\[F_y\] és la força perpendicular al braç de palanca aplicada i \[R\] és la distància des del punt d’aplicació fins al centre de rotació \[O\] (braç de palanca). La força paral·lela al braç de palanca no la fa girar, sinó que tan sols l’estira o la comprimeix. És a dir, que les forces que passen pel centre de gir no creen moments de força \[M\]

El sentit del vector moment segueix la regla de la mà dreta i es calcula fent el determinant dels vectors radi i força. El producte vectorial no és commutatiu, per tant, s’ha de fer el determinant en l’odre indicat.

En el cas de dues forces paral·leles de sentit oposat es forma un parell de forces. Si les dues forces són de la mateixa magnitud però de sentit contrari: \[M=2FR\].

4.2 Moment cinètic o angular

El moment cinètic o angular \[\vec{L}\] de dinàmica rotacional és el concepte anàleg al moment lineal \[\vec{p}\] de la dinàmica translacional. És un vector perpendicular al pla format pels vectors moment lineal \[\displaystyle{\vec{p}}\] i radi \[\displaystyle{\vec{R}}:\]

\begin{array}\vec {L}=\vec {R} \times \vec {p}\end{array}

la magnitud del qual és:

\begin{matrix} L={R} \cdot {p} \sin(\theta).\end{matrix}

\[p \cdot \sin \left( \theta \right)\] és la component perpendicular del moment lineal i \[R\] el braç de palanca del moment. La component de la velocitat que travessi el centre de gir \[O\] no contribuirà a la formació del moment cinètic.

Per tant,

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\vec{R}\times \vec{F}=\frac{\vec{R}\times d\vec{p}}{\mathit{dt}}\to \vec{M}=\frac{\vec{R}\times d\vec{p}}{\mathit{dt}}\\ \\ \\ \text{I, com que }\\ \\ \\ \vec{L}=\vec{R}\times \vec{p}\text{ i }\frac{d\vec{L}}{\mathit{dt}}=\frac{d}{\mathit{dt}}\vec{R}\times \vec{p}\to \frac{d\vec{L}}{\mathit{dt}}=\frac{d\vec{R}}{\mathit{dt}}\times \vec{p}+\vec{R}\times \frac{d\vec{p}}{\mathit{dt}}=(\vec{v}\times m\vec{v})+\vec{R}\times \frac{d\vec{p}}{\mathit{dt}}\\ \\ \\ \\ \\ \text{Ja que el producte vectorial de dos vectors paral·lels és zero: }\\ \\ \\ \\ \\ \frac{d\vec{L}}{\mathit{dt}}=\vec{R}\times \frac{d\vec{p}}{\mathit{dt}}=\vec{R}\times \vec{F}\\ \vec{M}=\frac{d\vec{L}}{\mathit{dt}}\end{array} \end{gathered}$$

És a dir, que la velocitat de canvi del moment cinètic d’una partícula és igual al moment de la força que hi actua. Que equival a les equacions escalars:

\begin{array}{c}\displaystyle{{M}{x}=\frac{d \vec{{L}_{x}}}{\mathit{dt}}\\{M}{y}=\frac{d\vec{{L}{y}}}{\mathit{dt}}\\{M}{z}=\frac{d\vec{{L}{z}}}{\mathit{dt}}}\end{array}

Aquest resultat és anàleg al del canvi de la quantitat del moviment:

\begin{array}{c}\displaystyle{{\vec{F}=\frac{d \vec{p}}{dt}}} \end{array} del moviment translacional.

Quan una força o moment extern constant fa variar \[\vec{L}\] l’objecte en rotació fa un moviment de precessió.

4.3 Conservació del moment cinètic

Com que,

\begin{array}{c}\displaystyle{M=\frac{d\vec{L}}{\mathit{dt}}. \text{Si }M=0\text{, llavors, }\frac{d\vec{L}}{\mathit{dt}}=0}\end{array}

Per tant, si el moment de força extern que actua sobre una partícula és zero el moment cinètic roman invariable. Aquest és la llei de conservació del moment cinètic, anàleg a la de conservació del moment lineal.

5. Sistema de partícules

5.1 Centre de masses (CM)

Fins ara, hem fet suposicions per tal d’estudiar la dinàmica dels objectes com a partícules amb massa i sense dimensió, tant en el moviment de translació com en el de rotació. En el moviment de sistemes de partícules, cada partícula del sòlid o del sistema fa el mateix desplaçament en el mateix interval de temps.

Definim el ”centre de masses” d’un sòlid o d’un sistema de partícules com el punt que es mou de la mateixa manera que ho faria una única partícula.

$$\begin{array}{c}\text{En un sistema de dues partícules que es mouen per l’eix d’abcisses:}\\ \\ x_{\mathit{cm}}=\frac{m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2}{m_1+m_2}\to M\cdot x_{\mathit{cm}}=m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2\\ \\ \text{En conseqüència, en un sistema amb }n\text{ partícules:}\\ \\ x_{\mathit{cm}}=\frac{m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2\mathrm{\dots }{m}_n\cdot x_n}{m_1+m_2\mathrm{\dots }{m}_n}\\ M\cdot x_{\mathit{cm}}=m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2\mathrm{\dots }{m}_n\cdot x_n\\ \frac{\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot x_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}\\ \text{I, si el sistema de partícules es mou tridimensionalment:}\\ \\ x_{\mathit{cm}}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot x_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i},y_{\mathit{cm}}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot y_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i},z_{\mathit{cm}}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot z_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}\\ \\ \text{En notació vectorial:}\\ \\ {\vec{r}}_{\mathit{cm}}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot \overrightarrow{r_i}}{\sum _{i=1}^{n}M}\\ \\ \text{En un sòlid rígid, com que el sistema de partícules és tan gran,}\\ \text{si considerem que té una distribució contínua:}\\ \\ x_{\mathit{cm}}=\frac{\int x\mathit{dm}}{\int \mathit{dm}}=\frac{\int x\mathit{dm}}{M},y_{\mathit{cm}}=\frac{\int y\mathit{dm}}{\int \mathit{dm}}=\frac{\int y\mathit{dm}}{M},z_{\mathit{cm}}=\frac{\int z\mathit{dm}}{\int \mathit{dm}}=\frac{\int y\mathit{dm}}{M}\\ \\ {\vec{r}}_{\mathit{cm}}=\frac{\int \vec{r}\mathit{dm}}{M}\end{array}$$

5.2 Moviment translacional del CM

Per a un sistema fix de partícules:

$$\begin{array}{c}M{\vec{r}}_{\mathit{cm}}=m_1\overrightarrow{r_1}+m_2\overrightarrow{r_2}+\mathrm{\dots }+m_n\overrightarrow{r_n}\\ \frac{d}{\mathit{dt}}(M{\vec{r}}_{\mathit{cm}})=\frac{d}{\mathit{dt}}(m_1\overrightarrow{r_1}+m_2\overrightarrow{r_2}+\mathrm{\dots }+m_n\overrightarrow{r_n})\\ M{\vec{v}}_{\mathit{cm}}=m_1\overrightarrow{v_1}+m_2\overrightarrow{v_2}+\mathrm{\dots }+m_n\overrightarrow{v_n}\\ \frac{d}{\mathit{dt}}(M{\vec{v}}_{\mathit{cm}})=\frac{d}{\mathit{dt}}(m_1\overrightarrow{v_1}+m_2\overrightarrow{v_2}+\mathrm{\dots }+m_n\overrightarrow{v_n})\\ M{\vec{a}}_{\mathit{cm}}=m_1\overrightarrow{a_1}+m_2\overrightarrow{a_2}+\mathrm{\dots }+m_n\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\mathrm{\dots }\overrightarrow{F_n}\end{array}$$

Per tant,

\begin{array}\displaystyle{\vec M \cdot \vec{{a}_{cm}}=\mathrm{\Sigma }{\vec{F}_{externes}}}\end{array}

Les forces internes entre les partícules s’anul·len per la tercera llei de Newton i sols s’ha de tenir en compte les forces externes que actuen en el sòlid. És a dir, que el centre de masses del sistema de partícules es mou com si tota la massa i totes les forces estiguessin concentrades en aquest punt.

Per altra banda,

$$\begin{array}{c}\vec{p}=M{\vec{v}}_{\mathit{cm}}\to M\frac{d\vec{p}}{\mathit{dt}}=M{\vec{a}}_{\mathit{cm}}=\mathrm{\Sigma }{\vec{F}}_{\mathit{externes}}\\ \\ \text{i, si }\mathrm{\Sigma }{\vec{F}}_{\mathit{externes}}=0\to \frac{d\vec{p}}{\mathit{dt}}=0\end{array}$$

és a dir, que també es conserva la quantitat de moviment.

5.3 Moment cinètic i conservació M d’un sistema de partícules

El moment cinètic o angular d’un sistema de partícules respecte a un punt és:

Com que, la suma de les forces internes entre les partícules és zero, la suma dels moments de força també ho serà.

5.4 Inèrcia rotacional i energia de rotació

Considerem un sistema discret de partícules que gira respecte a un eix fix d’un sistema de referència inercial (no accelerat). Cada partícula té una energia cinètica:

\begin{array}\displaystyle{{E}_{c}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{r}^{2}{w}^{2}}\end{array}

Si sumem l’energia de totes les partícules,

\begin{array}{c}\displaystyle{\mathrm{\Sigma }{E}_{c}=\frac{1}{2}\left({m}_{1}{r}_{1}^{2}+{m}_{2}{r}_{2}^{2}+\mathrm{…}+{m}_{n}{r}_{n}^{2}\right){w}^{2}\\ I=\sum\limits_ {i=1}^{n}{{m}_{i}{r}_{i}^{2}}\rightarrow {E}_{c}=\frac{1}{2}I{w}^{2}}\end{array}

La inèrcia rotacional \[I\] d’un sòlid és la magnitud anàloga a la inèrcia translacional d’una massa\[m\] És la resistència del sòlid a canviar el seu moviment de rotació.

Ara bé, per a un sòlid rígid (sòlid teòric indeformable), que podem considerar com un sistema continu i homogeni de matèria, el “teorema dels eixos paral·lels o de Steiner” diu que la relació entre la inèrcia rotacional d’un cos respecte a un eix que passa pel seu centre de masses i un eix paral·lel és: \begin{array}{c}\displaystyle{I={I}_{\mathit{cm}}+M{h}^{2}}\end{array}

Si considerem dos eixos de rotació perpendiculars al paper que passen pels punts ”CM” i ”P”:

• la distància entre aquests dos eixos és ”h”
• el quadrat de la distància des de la partícula \[\displaystyle{m_i \text{ fins a CM és :} {x}_{i}^{2}+{y}_{i}^{2}}\]
• el quadrat de la distància entre \[\displaystyle{m_i \text{ i } P \text{ és :} {\left({x}_{i}-a\right)}^{2}+{\left({y}_{i}-b\right)}^{2}}\]

Per tant, el moment d’inèrcia de \[m_i\] respecte a \[P\] és:

$$\begin{array}{c}I=\mathrm{\Sigma }{m}_i{(x_i-a)}^2+{(y_i-b)}^2=\mathrm{\Sigma }{m}_i(x_i^2+y_i^2)-2a\mathrm{\Sigma }{m}_i{x}_i-2b\mathrm{\Sigma }{m}_i{y}_i+(a^2+b^2)\mathrm{\Sigma }{m}_i\\ \\ \text{I, com que, }\mathrm{\Sigma }{m}_i\cdot x_i=\mathrm{\Sigma }{m}_i\cdot y_i=0\mathrm{, }\mathrm{\Sigma }{m}_i=M\text{ i }\mathrm{\Sigma }{m}_i(x_i^2+y_i^2)=I_{\mathit{cm}}\text{(I de }{m}_i\text{respecte al CM)}\\ I=I_{\mathit{cm}}+M{h}^2\end{array}$$

Llavors, podem calcular i fer una taula amb els moments d’inèrcia respecte al CM de figures regulars per tal de calcular-lo respecte a un altre eix paral·lel usant el teorema anterior.

Exemple:

$$\begin{array}{c}{I}_{\mathit{cm}}=\underset{R_1}{\overset{R_2}{\int }}{r}^2\mathit{dm}=\underset{R_1}{\overset{R_2}{\int }}{r}^2\rho 2\pi rL\mathit{dr}=\rho 2\pi L\underset{R_1}{\overset{R_2}{\int }}{r}^3\mathit{dr}\\ \rho 2\pi L\frac{R_2^4-R_1^4}{4}=\frac{M}{\pi (R_2^2-R_1^2)L}2\pi L\frac{R_2^4-R_1^4}{4}=\frac{(R_2^2+R_1^2)\cdot (R_2^2-R_1^2)}{2(R_2^2-R_1^2)}M\\ \\ I_{\mathit{cm}}=\frac{(R_2^2+R_1^2)}{2}M\\ \\ \text{2. Calculem}I\text{respecte a un eix paral·lel:}\hfill \\ \\ I=I_{\mathit{cm}}+{\mathit{Mh}}^2\end{array}$$

5.5 Dinàmica d’un sòlid rígid

Per a cada partícula del sòlid rígid es compleix que:

$$\begin{array}{c}M=R\cdot F\sin (\theta )\\ \text{I com que:}\mathit{ds}=R\cdot d\theta \\ \mathit{dW}=\vec{F}\cdot d\vec{s}=F\cdot \sin \theta \cdot \mathit{ds}=F\sin \theta \cdot Rd\theta \\ \\ \text{Per tant:}\\ \\ \mathit{dW}=M\cdot d\theta \\ \\ \frac{\mathit{dW}}{\mathit{dt}}=M\frac{d\theta }{\mathit{dt}}\\ \\ \text{En conseqüència:}\\ \\ P=\mathit{Mw}\end{array}$$

Per tant, el treball fet i la potència per a totes les partícules del sòlid és:

$$\begin{array}{c}\mathit{dW}=F_1\cos {\varphi }_1{r}_{1}d\theta +F_2\cos {\varphi }_2{r}_{2}d\theta +\mathrm{\dots }+F_n\cos {\varphi }_n{r}_{n}d\theta \\ \\ (M_1+M_2+\mathrm{\dots }+M_n)d\theta =M_{\mathit{extern}}d\theta \\ \\ \frac{\mathit{dW}}{\mathit{dt}}=M_{\mathit{extern}}\frac{d\theta }{\mathit{dt}}\to P=M_{\mathit{extern}}w\\ \\ \text{I la velocitat de canvi de l'energia cinètica del sòlid és:}\\ \\ \frac{d}{\mathit{dt}}(\frac{1}{2}{\mathit{Iw}}^2)=\mathit{Iw}\frac{\mathit{dw}}{\mathit{dt}}=I\cdot w\cdot \alpha \\ \\ \text{I com que:}\mathit{Mw}=I\cdot w\cdot \alpha \\ \\ M=I\alpha \end{array}$$