Un vector (\[\vec{v}\]) és un segment orientat. Per a definir un vector ens calen dos punts: un punt d’origen i i el punt de l’extrem. Un vector del pla té dos components, l’horitzontal i el vertical, que representen les unitats que s’han de desplaçar per anar de l’origen a l’extrem del vector.
A diferència d’un escalar (un nombre), un vector té quatre característiques:
(i) Mòdul (\[\left|\vec{v}\right|\]): és la longitud del segment. Per a calcular el módul d’un vector fem: \[\left|\vec{v} \right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\] unitats.
(ii) Direcció (\[\theta\]): és la inclinació o el pendent de la recta sobre la qual està situat el vector. Dos vectors tenen la mateixa direcció si estan sobre rectes paral·leles o coincidents.
La direcció o inclinació d’un vector és l’arc tangent del component vertical del vector dividit per l’horitzontal: \[\arctan \frac{y}{x}\]-.
El component horitzontal del vector gris és de dues unitats i el vertical d’una. Al multiplicar-lo per dos, el component horitzontal del vector resultant és quatre i el vertical de dos.
2.2.2 Producte escalar de dos vectors
El producte escalar o producte punt de dos vectors és una multiplicació entre dos vectors que dóna com a resultat un escalar (nombre):
El producte escalar de dos vectors perpendiculars és zero perquè \[\cos{\, 90º} =0\].
El producte escalar compleix les següents propietats:
(i) Commutativa: \[\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\]. (ii)Distributiva:\[\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = \vec{w}\cdot\vec{u} + \vec{w}\cdot\vec{v}\] (iii)El producte escalar d’un vector per ell mateix és el seu mòdul al quadrat: \[\vec{v}\cdot\vec{v} = \left|\vec{v} \right|*\left|\vec{v} \right|*\cos0 = |\vec{v}|^2\].
3. Combinació lineal de vectors
Si un vector \[\vec{w}\] és combinació lineal d’un altre són dos vectors proporcionals: \[\vec{w} = k*\vec{v}\]. Un vector \[\vec{w}\] és combinació lineal de dos vectors diferents si \[\vec{w} = \mu*\vec{u} + \lambda*\vec{v}\].
Quan en un conjunt de vectors cap vectors es pot obtenir com a combinació lineal d’altres vectors diem que aquests vectors són linealment independents. La condició perquè un conjunt de vectors siguin linealment independents és:
\[\lambda_1*\vec{v_1}+\lambda_2*\vec{v_2}+…\lambda_n*\vec{v_n}=0\], sols si tots els coeficients \[\lambda\] són zero.
4. Bases
Una base són un conjunt de vectors linealment independents que poden generar tots els altres vectors del pla o de l’espai. És a dir, que qualsevol altre vector és una combinació lineal d’aquests vectors.
Al pla, dos vectors \[\vec{v_1},\vec{v_2}\] si són linealment independents i poden generar tots els altres vectors del pla ( \[B ={\vec{v_1},\vec{v_2}}\]):
Quan els vectors de la base són ortogonals i normals, és una base ortonormal.
Els vectors \[(1,0)\] i \[(0,1)\] formen la base ortonormal del pla \[B={\vec{e_1}(1,0),\, \vec{e_2}(0,1)}\].
Qualsevol vector del pla és una combinació lineal d’aquests dos vectors: \[\vec{w_1}=\lambda_1*\vec{e_1}+4\lambda_2*\vec{e_2}\]
Exemple:
\[(3,2)=3*\vec{e_1}+2*\vec{e_2}\]
3.3 Coordenades d’un vector
Les coordenades d’un vector en una base són els coeficients \[\lambda_n\] del vector expressat en aquesta base.
En l’exemple anterior, les coordenades del vector (3,2) en base ortonormal expressat en la base \[B=\left\{ (5,7), (6,2) \right\}\] és el vector \[(\frac{3}{16}, \, \frac{11}{32})\]:
Un sistema de referència és el conjut format per una base de vectors \[\vec{u},\vec{v}\] i un origen de coordenades \[O\]: \[R = {O,[\vec{u},\vec{v}]}\].
En un sistema de referència a cada punt \[P\] del pla se li associa un vector de posició \[OP\].
La cinemàtica és una branca de la física mecànica que estudia el moviment dels objectes i l’anàlisi de les trajectòries que formen. Si la dimensió de l’objecte és molt més petita que la de la trajectòria, el tractem com un punt o una partícula sense dimensions. Per exemple, considerarem una molècula com una partícula en moviment, però no seria adequat tractar les marees com a partícules si en volguéssim estudiar el moviment.
El moviment és un canvi de posició en el temps. Pot ser rectilini o circular (de translació, de rotació o de vibració) en una, dues o tres dimensions i és relatiu a l’observador. L’expressarem en coordenades cartesianes, esfèriques o cilíndriques (tot i que en mecànica relativista s’usa la geometria hiperbòlica) per tal que els càlculs siguin més senzills.
La trajectòria d’una partícula és el camí que segueix mentre es mou i està formada per moviments lineals i curvilinis.
En aquesta entrada estudiarem el moviment lineal i circular en una i dues dimensions fent ús del càlcul vectorial i escalar. Les magnituds del moviment lineal són: la posició, la velocitat, l’acceleració i el temps. Les tres primeres són magnituds vectorials, però la darrera és escalar.
En les equacions escalars, el signe de les magnituds vectorial indica el sentit del vector segons el criteri de signes dels eixos de coordenades (amunt, dreta: positiu, avall, esquerra: negatiu). Dos vectors de sentits diferents es resten, mentre que si tenen el mateix, se sumen. En conseqüència, si el vector velocitat i el vector acceleració tenen el mateix sentit, la partícula accelerarà, però si tenen sentit diferent, frenarà.
Per a resoldre un exercici de cinemàtica, cal escriure abans de res les equacions de cada partícula. A continuació, farem els càlculs que calguin per a respondre les qüestions de l’exercici.
2.1 Posició
La posició d’una partícula són les coordenades del punt (x,y) on és en un instant mesurades des de l’origen del sistema de referència triat.
Quan una partícula canvia de posició \[(\vec{x})\] diem que ha transcorregut un temps (”t”).
El canvi de posició d’una partícula és el ”desplaçament” \[(\Delta \vec{r}=\vec{x}_{2}-\vec{x}_{1})\] El mòdul d’aquest vector és la distància que ha recorregut (”d”).
La velocitat d’una partícula és el vector desplaçament dividit pel temps que triga a moure’s entre dos punts i ens indica la rapidesa amb la qual canvia de posició amb el temps. Per tant, és un vector que té la mateixa direcció i sentit que el vector desplaçament i sempre és tangent a la trajectòria en cada instant.
La velocitat mitjana és el desplaçament total que ha fet la partícula durant un període de temps, però no ens informa dels detalls del moviment. Per exemple, podria haver-se desplaçat a la mateixa velocitat durant tot el trajecte, o bé haver-se parat, frenat i accelerat.
Si aquesta partícula es mou amb una velocitat variable, ens caldrà determinar a quina velocitat es desplaça en cada instant de la trajectòria. Definim la velocitat instantània com el límit del vector desplaçament \[\mathrm{\Delta }\vec{r}\] en un interval de temps infinitament petit:
El vector velocitat instantània és el pendent de la funció posició en un punt (vegeu gràfic de l’apartat 2.1).
Com que la velocitat és una magnitud vectorial, el canvi pot ser del mòdul, de la direcció o del sentit, però la direcció i sentit de \[\vec v_i\] serà la de \[ \Delta \vec r\] quan els dos punts de posició estiguin infinitament a prop.
Per tant, com que \[\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\]
L’acceleració és la rapidesa amb la qual canvia la velocitat (mòdul, direcció o sentit) d’una partícula amb el temps.
L’acceleració mitjana és la variació de velocitat de la partícula en un interval de temps. Consegüentment, té la mateixa direcció i sentit que la velocitat, però tampoc ens informa dels detalls del moviment durant el desplaçament.
Però, quan l’acceleració és variable, per tal de determinar-la en un instant determinat del temps, definim l’acceleració instantània com el canvi de la velocitat en un instant infinitament petit de temps:
\[
\displaystyle{
\text{L’equació vectorial de desplaçament d’una partícula és:}
\\[0.5cm]
\vec{r(t)}=(5+12{t}^{2}) \vec{i}-2t \vec{j}+({t}^{3}+8t) \vec{k}
\\[0.5cm]
\text{a) Quina és la posició en els instants t=2 i 5 segons i quin ha estat el desplaçament?}
\\[0.5cm]
\vec{r(2)}=(5+12{(2)}^{2})\vec{i}-2(2)\vec{j}+(t{(2)}^{3}+8(2))\vec{k}=
\\
53\vec{i}-4\vec{j}+24\vec{k}
\\
\vec{r(5)}=(5+12{(5)}^{2})\vec{i}-2(5)\vec{j}+({(5)}^{3}+8(5))\vec{k}=305\vec{i}-10\vec{j}+165\vec{k}\\
\mathrm{\Delta }\vec{r}=\vec{r}(5)-\vec{r}(2)=(305\vec{i}-10\vec{j}+165\vec{k})-(53\vec{i}-4\vec{j}+24\vec{k})=252\vec{i}-6\vec{j}+141\vec{k}
\\[0.5cm]
\text{b) Quina és la velocitat en els instants t=3 i 5 i quina és la velocitat mitjana?}
\\[0.5cm]
\vec{v(t)}=d\frac{\vec{r(t)}}{\mathit{dt}}=\frac{d}{\mathit{dt}}[(5+12{t}^{2})\vec{i}-2t\vec{j}+({t}^{3}+8t)\vec{k}]=
\\
24t\vec{i}-2\vec{j}+(3{t}^{2}+8)\vec{k}\\
\vec{v(3)}=24(3)\vec{i}-2\vec{j}+\lbrack 3{(3)}^{2}+8\rbrack \vec{k}=
\\
72\vec{i}-2\vec{j}+35\vec{k}\\
\vec{v(5)}=24(5)\vec{i}-2\vec{j}+\lbrack 3{(5)}^{2}+8\rbrack \vec{k}=
\\
120\vec{i}-2\vec{j}+83\vec{k}\\
\mathrm{\Delta }\vec{v}=(120\vec{i}-2\vec{j}+83\vec{k})-(72\vec{i}-2\vec{j}+35\vec{k})=
\\
48\vec{i}+48\vec{k}\\
\vec{{v}_{m}}=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{48\vec{i}+98\vec{k}}{5-3}=\frac{48}{5}\vec{i}+\frac{48}{3}\vec{k}
\\[1cm]
\text{c) Calculeu el vector acceleració:}
\\[0.5cm]
a(t)=\frac{{d}^{2}\lbrack \vec{r}(t)\rbrack }{\mathit{dt}^{2}}=d\frac{\vec{v}(t)}{\mathit{dt}}=24\vec{i}+6t\vec{k}
}
\]
2. Moviment lineal en una dimensió
2.1 Horitzontal
Si ”a=0”, la velocitat és constant i el moviment és anomenat MRU o moviment rectilini uniforme.
Si ”a ≠ 0” i és constant, el moviment és anomenat MRUA o moviment rectilini uniformement accelerat.
Si l’acceleració és constant, la velocitat mitjana \[\displaystyle{\bar{v}=\frac{v_f+v_0}{2}}\] en qualsevol interval també és constant.
\[
\displaystyle{
\text{Si substituïm } t=\frac{v_f-v_0}{a} \text{ a } x=x_o+\bar v t
\\
v_f^{2}-v_0^2=2a(x-x_0)
\\[1cm]
\text{I com que,}
\\[0.5cm]
\bar v= \frac {1}{2}(v_f+v_0) \text{ i }v_f=v_0+at
\\
x=x_0+\bar v t \rightarrow x=x_0+\frac {1}{2}(v_f+v_0)t
\\
x=x_0+\frac{1}{2}[(v_0+at)+v_0]t
\\
x=x_0+v_0t+\frac {1}{2}at^2
}
\]
Per tant, les equacions de moviment horitzontal són:
En quina posició i temps es trobaran els mòbils següents?
\[
\displaystyle{
\text{1. Tranformem totes les dades SI:}
\\[0.5cm]
90\frac{{Km}}{h}\cdot \frac{1000\text{m}}{1\text{Km}}\cdot \frac{1\text{h}}{3600\text{s}}=25\text{m/s}
\\[0.5cm]
\text{1. Escrivim les equacions de moviment de cada partícula:}
\\[0.5cm]
{x}_{A}={x}_{0A}+{v}_{0A}t \rightarrow {x}_{A}=0+25t
\\
{v}_{{fA}}={v}_{0A}=25\text{m/s}
\\[0.5cm]
\text{Però, com que la partícula A haurà trigat en recórrer 100}m{\colon }
\\[0.5cm]
100=0+25t \rightarrow t=4\text{s}
\\[0.5cm]
\text{llavors,}
\\[0.5cm]
{x}_{A}=100+25(t-4)
\\
{x}_{B}={x}_{0B}+{v}_{0B}t+\frac{1}{2}{{at}}^{2}=0+0t+\frac{1}{2}3t{{^2}}=\frac{3}{2}{t}^{2}
\\
{v}_{{fB}}={v}_{0B}+{at}=0+3t=3t
\\[0.5cm]
\text{2. Com que la posició i el temps de trobada és el mateix per a ambdues:}
\\[0.5cm]
{x}_{A}={x}_{B} \rightarrow 100+25(t-4)=\frac{3}{2}{t}^{2} \rightarrow \frac{3}{2}{t}^{2}-25t=0
\\
t=16.\hat{6} \text{s} \rightarrow {x}_{A}={x}_{B}=\frac{3}{2}{(16.\hat{6})}^{2}={416.\hat 6}\text{m}
\\[0.5cm]
\text{I la velocitat de la moto serà: }{v}_{B}=3 \cdot (16.\hat{6})=3(16.\hat{6})={49.8}\text{m/s}
}
\]
La representació gràfica de la posició, la velocitat i l’acceleració en funció del temps de cada moviment és:
2.2 Vertical (caiguda lliure)
Les equacions de moviment de la caiguda lliure d’una partícula, són:
Durant el camí de pujada i de baixada, canvia el mòdul i el sentit, però no pas la direcció del vector velocitat. La direcció, sentit i el mòdul del vector acceleració \[\vec{g}\] és sempre el mateix.
Exemples:
\[\displaystyle{
\text{1.Escrivim les equacions de moviment:}
\\[0.5cm]
y={y}_{0}+{v}_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}
\\
{v}_{f}={v}_{0}-gt
\\[0.5cm]
\text{2. Com que quan } t=2, {v}_{f}=+30\text{m/s}
\\[0.5cm]
{v}_{0}={v}_{f}+gt=30+9.8\cdot 2=49.6\text{m/s}
\\[0.5cm]
\text{i, quan arriba a dalt de tot:}
\\[0.5cm]
{v}_{f}=0={v}_{0}-gt=49.6-9.8t \rightarrow t=\frac{49.6.4}{9.8}=5.06\text{s}
\\[0.5cm]
\text{Per tant, l’alçada màxima que assoleix és:}
\\[0.5cm]
y={y}_{0}+{v}_{0}t-\frac{1}{2}9.8{t}^{2}=0+49.6 \cdot 5.06-4.9 \cdot {5.06}^{2}=125.52\text{m}
}
\]
Moviment en el pla (dues dimensions)
3.1 Moviment parabòlic
És un moviment en el qual el component horitzontal és un MRU (2.11) i el vertical un MRUA (2.1.2).
Hi ha tres punts de referència (A, B, C) que ens serviran per a plantejar les equacions de moviment i resoldre l’exercici:
\[\displaystyle{
\text{1. Les equacions de moviment, són:}
\\[0.5cm]
\text{a) Per al moviment vertical:}
\\[0.5cm]
y={y}_{0}\pm {v}_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}
\\
{v}_{\mathit{fy}}={v}_{0y}-gt
\\[0.5cm]
\text{b. Per al moviment horitzontal:}
\\[0.5cm]
x={x}_{0}\pm {v}_{0x}t
\\[0.5cm]
{v}_{f}={v}_{0}
\\[0.5cm]
\text{2. Subtituint amb les dades que tenim:}
\\[0.5cm]
(i) \enspace y=40+30\cdot \sin (35)t-\frac{1}{2}9.8{t}^{2}
\\
(\mathit{ii}) \enspace {v}_{fy}=30\cdot \sin (35)-9.8t
\\
(\mathit{iii}) \enspace 20=0+30\cdot \cos (35)t
\\
(\mathit{iv}) \enspace v_{fx}=30\cdot \cos (35)
\\[0.5cm]
\text{3. Resolem els sistema d’equacions:}
\\[0.5cm]
\text{de (iii): }t=\frac{20}{30\cdot \cos (35)}=0.814s\\
\text{i, substituint a (i): }y=40+30\sin (35)\cdot 0.814-4.9{(0.814)}^{2}=\mathrm{50.76}\text{m}
\\[0.5cm]
\text{Quan arribi al terra, hauran transcorregut:}
\\[0.5cm]
0=40+30\sin (35)t-4.9{t}^{2} \rightarrow t=6.27\text{s}
}
\]
3.2 Moviment circular
La trajectòria d’una partícula està formada de moviments lineals i circulars. Segons la llei d’inèrcia de la dinàmica de Newton, per tal de canviar-la, hi ha d’haver una força externa neta que hi actuï. Aquesta força modificarà la direcció o el sentit de la velocitat, però, si és perpendicular, farà que segueixi un camí circular.
Els vectors de velocitat i acceleració centrípeta sempre són tangent i perpendicular a la trajectòria respectivament (l’acceleració centrípeta sempre es dirigeix cap al centre de gir). El mòdul dels vectors és constant, però la direcció d’ambdós canvia constantment.
Quan la distància entre \[P\] i \[P’\] és molt petita, el vector velocitat apunta cap al centre de \[O\] Per tant, com que els triangles isòsceles de velocitats
\[
\displaystyle{
(v_t,v_t,\Delta v)
}
\]
i
\[(O, P, P’)\]
són semblants i, considerant que \[s\approx v \cdot \mathrm{\Delta }t\]
\[
\displaystyle{
\text{Dades}
\\[0.5cm]
R=5\mathit{cm},\enspace {v}_{0}=0\text{m/s}, \enspace \alpha =10\text{rad/s},\enspace t=30\text{s}
\\[0.5cm]
\text{1. La velocitat angular, lineal, l’acceleració centrípeta i tangencial despreś de 30 s és:}
\\[0.5cm]
w={w}_{0}+\alpha t=0+10\cdot 30=300\text{rad/s}\rightarrow v=w \cdot R=300 \cdot \mathrm{0,05}=15\text{m/s}
\\
{a}_{c}=\frac{{v}^{2}}{R}=\frac{{15}^{2}}{0.05}=4500m/s\mathrm{{^2}},\alpha ={a}_{t}\cdot R\rightarrow {a}_{t}=\frac{10}{0.05}=200m/s\mathrm{{^2}}
\\[0.5cm]
\text{3. L’angle recorregut després de 30 s és:}
\\[0.5cm]
\theta ={\theta }_{0}+{w}_{0}t+\frac{1}{2}\alpha {t}^{2}=0+0+\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot {30}^{2}=4500\text{rad, és a dir,}
\\
4 500\text{rad}\cdot \frac{1\text{volta}}{2\pi \text{rad}}=716\text{ voltes senceres}
}
\]
3.3 Moviment relatiu
3.3.1 Transformacions de Galileu:
Si en un sistema de referència \[S’\] que es mou a velocitat constant respecte a un altre de fix (per exemple, la Terra), una partícula (per exemple un avió) es desplaça del punt \[A\] fins al punt \[B\]
\[\displaystyle{\frac{d\vec{r}}{\mathit{dt}}}\] és la velocitat instantània de la partícula mesurada en el sistema de referència \[S\] i \[\displaystyle{\frac{d\vec{r}\text{‘}}{\mathit{dt}}}\]la mesurada en el \[S’\] Per tant, la velocitat d’una partícula amb relació al sistema fix \[S\] és la suma vectorial de la velocitat respecte al \[S’ \]i la relativa de \[S’\] respecte a \[S\]
En mecànica clàssica, el canvi de la velocitat d’una partícula vist des de sistemes de referència diferents és el mateix per a tots els observadors i, en conseqüència, també mesuraran la mateixa acceleració (a=a’):
\[
\displaystyle{
\frac{d\vec{v}}{\mathit{dt}}=\frac{d\vec{v}}{\mathit{dt}}+\frac{d\vec{u}}{\mathit{dt}}
\\
\text{però, com que }\frac{d\vec{u}}{\mathit{dt}}=0\rightarrow \frac{d\vec{v}}{\mathit{dt}}=\frac{d\vec{v}}{\mathit{dt}}\left(a=a\text{‘}\right)
}
\]
Les forces són les accions que causen el moviment i el canvi de moviment de les partícules. La dinàmica és l’estudi de les lleis que produeixen aquests canvis.
Primer, les estudiarem quan actuen sobre partícules. Després introduirem el concepte de centre de masses per tal de tractar l’efecte de les forces sobre un sòlid. Considerarem que són de magnitud i direcció constants.
La mecànica clàssica estudia l’efecte d’una força que actua sobre partícules o sòlids que es mouen a velocitats petites comparades amb la velocitat la llum (v<0.1 c). És a dir, que coneixent-ne les propietats (massa, càrrega, velocitat inicial, etc.) estudia com canviarà l’estat del moviment inicial de l’objecte.
Com que la força és una magnitud vectorial, és important conèixer bé el càlcul vectorial.
1. Lleis de la dinàmica (translacional)
Newton, que va néixer a Anglaterra el mateix any que morí Galileu, formulà les lleis de la mecànica clàssica a partir de les idees d’aquest i de físics anteriors. Les va presentar el 1686 en el Principia Philosophiae Naturalis (Principis de Filosofia Natural).
Galileu afirmà que cal una força externa per a canviar la velocitat d’un cos. Aquesta força farà que en canviï la velocitat i l’acceleració que, sent vectors, depenen del sistema de referència triat per a mesurar-les.
Les forces de la natura són de naturalesa electromagnètica, nuclear (feble i forta) i gravitacional.
La definició clàssica de matèria és la quantitat de matèria que conté un objecte, tot i que no és del tot correcta, perquè la matèria es forma sobretot a partir de fenòmens d’interacció quàntica.
1.1 Primera llei de Newton, la llei de la inèrcia:
”Si no actua cap força externa neta sobre un cos, es conservarà l’estat de moviment a causa de la inèrcia (a=0). “
La inèrcia és la resistència d’un cos a canviar el seu estat de moviment quan no hi actua cap força neta, per tant, es mantindrà en repòs o movent-se a velocitat constant (a=0). Com més massa tingui un objecte, més resistència (inèrcia) farà per què no canviï l’estat de moviment.
1.2 Segona llei de Newton, llei fonamental de la dinàmica:
”Quan apliquem una força sobre un objecte, aquest objecte s’accelera de forma directament proporcional a la força aplicada i inversament proporcional a la massa de l’objecte: \[\displaystyle{a=\frac{1}{m}\cdot F}\]
Si fem l’experiment d’aplicar una força de la mateixa magnitud i sentit sobre diferents cossos, observarem que es produeix una acceleració en cadascun que varia segons la massa. Per tant, la massa és una magnitud (escalar) directament relacionada amb la inèrcia. És a dir:
El pes és la força d’atracció que fa la Terra sobre els objectes que són dins de l’atmosfera terrestre.
Com que la força també és una magnitud vectorial (és el resultat de multiplicar un escalar per un vector), per a usar-la escalarment l’haurem de descompondre en les seves components del pla o de l’espai fent ús de la trigonometria:
1.3 Tercera llei de Newton, llei d’acció i reacció
”A tota força d’acció se li oposa sempre una força de reacció d’igual magnitud i de sentit contrari.”
L’acció mútua entre dos cossos en contacte és de la mateixa magnitud i de sentit contrari, però tant l’acció com la reacció actuen sobre cossos diferents i, per tant, la resultant és diferent de zero i el moviment pot ser accelerat:
1.4 Com es resolen els exercicis de dinàmica
Per a resoldre exercicis de dinàmica, seguirem en aquest ordre els següents passos:
Fer el diagrama de blocs o del sòlid lliure (dibuix)
Fer el diagrama de forces per a cada bloc o massa.
Plantejar el sistema d’equacions per a cada bloc o massa.
Exemple:
2. Forces
Les forces poden ser de contacte o a distància:
a) De contacte: de fricció, tensions, forces normals, de resistència a l’aire, forces aplicades, de molles.
b) A distància: gravitacionals, electromagnètiques.
Les forces naturals són la gravitatòria, l’electromagnètica, la nuclear feble (responsable de la desintegració radioactiva) i la nuclear forta (que permet que els protons i els neutrons es mantinguin units dins el nucli. Apareixen a conseqüència de les interaccions entre partícules atòmiques elementals).
2.1 Llei de Hooke
La llei de Hooke és una força de contacte elàstica en la qual la força de recuperació d’una molla comprimida o estirada és proporcional a la distància de compressió o estirament.
És vàlida sempre que la distància de compressió o d’estirament sigui petita comparada amb la compressió o estirament total possible de la molla i que la força no superi un límit (límit elàstic, ”E”) de manera que la molla es deformi permanentment. De totes maneres, alguns materials no compleixen la llei de Hooke encara que no hagin arribat al límit elàstic.
Generalitzant la llei, direm que la deformació d’un objecte elàstic complex és proporcional a la tensió aplicada, és a dir, que considerem que es comporta com una molla sotmesa a tracció o compressió. En aquest cas, la llei de Hooke \[F=-k.Δx\] d’una molla es pot assimilar a l’elasticitat d’una barra de material elàstic de longitud \[L\] i àrea \[A\]
El signe negatiu de la llei de Hooke ens indica que F és una força recuperadora. També ens diu que F és directament proporcional a la distància de compressió o d’allargament de la molla (Δx).
El treball que cal fer per a desplaçar la molla entre dos punts és:
És a dir, que l’energia potencial acumulada per la molla en l’estat de màxima compressió o estirament és:
Robert Hooke presentà aquesta llei empírica el 1678.
2.2 Forces de fregament
Les superfícies manifesten una força de sentit oposat a la força que es fa sobre l’objecte amb el qual estàn en contacte. És la força de fricció, de poca intensitat, que és deguda als enllaços moleculars que es formen en les superfícies en contacte.
La força de fricció és proporcional a la força normal que fa una superfície sobre l’altra i no depèn de l’àrea de contacte perquè és proporcional a la força per unitat d’àrea. Per tant, la força màxima de fricció estàtica (força de fregament entre dos cossos que estan en repòs) és proporcional a la força normal entre les superfícies: \[\displaystyle{{f}_{e,\mathit{m\grave{a}x}}⩽{\mu }_{e} \cdot N}\]
El coeficient de fricció estàtica \[{\mu }_{e}\]depèn del material de construcció de les superfícies en contacte.
Però, quan el bloc està en moviment, els enllaços moleculars entre les superfícies es formen i es destrueixen contínuament. En aquest cas, la intensitat de la fricció cinètica (força de fregament d’un cos en moviment) depèn de la velocitat relativa entre les superfícies i de la seva naturalesa, és a dir, que el coeficient de fricció cinètic serà més petit que l’estàtic:
Les lleis de Newton sols són vàlides per a sistemes de referència inercials, és a dir, que es mouen amb velocitat uniforme. Quan un sistema de referència accelerat (no inercial) es mou respecte a un altre d’inercial, la força resultant no és la massa per l’acceleració\[\mathrm{\Sigma }\vec{F}\ne m\cdot \vec{a}\]
Però si introduïm en el sistema accelerat una força fictícia (que no és produïda per cap agent), \[\displaystyle{\mathrm{\Sigma }\vec{F}=m\cdot \vec{a}}\] continuarà sent vàlid:\[\vec{a}\] és l’acceleració relativa del sistema no inercial respecte a l’inercial. Un exemple de pseudoforça és la centrífuga que apareix en sistemes no inercials en rotació o la força de Coriolis.
Exemple:
Si es deixa caure un objecte dins d’un vagó que accelera (sistema no inercial) respecte a un observador en repòs que és a l’andana (sistema inercial), el que està en repòs veurà que cau verticalment amb l’acceleració de la gravetat, però el del vagó veurà que cau allunyant-se de la seva dreta. Com que l’única força que actua sobre l’objecte és la del pes, \[\displaystyle{\vec{F}=m\cdot \vec{a}}\] no es compleix. No obstant això, si li apliquem una pseudoforça \[\displaystyle{\vec{{F}_{s}}=-m\cdot \vec{a}}\], sí que es complirà.
L’acceleració d’una pseudoforça és igual a l’acceleració relativa del sistema en sentit contrari.
Les forces fictícies, inercials o d’Alembert, les presentà Jean Le Rond d’Alembert el 1743 en el Tractat de dinàmica. Les defineix com el producte negatiu de la massa per l’acceleració. No s’han de confondre amb les forces de reacció de la tercera llei de Newton.
3. Quantitat de moviment (moment lineal)
Una conseqüència important de la tercera llei de Newton és que, si no actua cap força que no sigui les d’acció i reacció entre dos objectes en contacte, la variació de la quantitat de moviment és nul·la. Com que la força que actua sobre cada objecte és d’igual magnitud, però de sentit contrari a la que actua sobre l’altre, la suma de les respectives quantitats de moviments es manté constant en el temps:
\begin{array}{c}{F}_{1}=\displaystyle{\frac{{\mathit{dp}}_{1}}{\mathit{dt}}}\text{ i }{F}_{2}=\frac{{\mathit{dp}}_{2}}{\mathit{dt}}\\[0.5cm] \text{Com que, }{F}_{1}=-{F}_{2},\displaystyle{\frac{{\mathit{dp}}_{1}}{\mathit{dt}}}=\frac{-{\mathit{dp}}_{2}}{\mathit{dt}}\text{ i }\frac{{\mathit{dp}}_{1}}{\mathit{dt}}+\frac{{\mathit{dp}}_{2}}{\mathit{dt}}=\frac{d}{\mathit{dt}}\left(\vec{{p}_{1}}+\vec{{p}_{2}}\right)=0\end{array}
Per tant, la llei de la conservació de la quantitat de moviment o moment lineal és:
De fet, Isaac Newton formulà la tercera llei estudiant la quantitat de moviment abans i després del xoc de dos cossos. Si actuen forces que són molt més petites que les de contacte en el xoc (normalment un xoc és força violent) es poden menysprear i la llei continua complint-se.
Perquè aquesta llei pogués funcionar en forces a distància, la transmissió de la quantitat de moviment entre els dos cossos hauria de ser instantània, concepte que viola altres lleis físiques. La tercera llei i la de la conservació del moviment sols són aproximades per a dos cossos separats, però aquesta dificultat es resol mitjançant l’aplicació d’un camp gravitatori que transporta la quantitat de moviment a la velocitat de la llum.
Per a velocitats \[v \geq 0,1 \cdot c\] la quantitat de moviment és \[p’=\gamma \cdot m_0 \cdot v\]
Definim l’impuls lineal com la força que actua durant un temps sobre una partícula. És la diferència de la quantitat de moviments entre dues posicions de la partícula:
La dinàmica rotacional estudia les causes de la cinètica rotacional o moviment circular.
Exemples:
Quina és la velocitat mínima en el punt més alt i en el punt més baix perquè el sistema estigui en equilibri?
En el punt més alt:
En el punt més baix:
4.1 Moment d’una força
El moment d’una força («torque» en anglès, τ) del moviment rotacional és el concepte anàleg a la força \[F\] del moviment translacional. Si apliquem una força \[F\]sobre una partícula \[P\] que és a una distància \[R\] del punt de gir \[O\] el moment de força \[M\] crearà un moviment de rotació respecte a aquest punt (centre de rotació): \[{M}=\vec{R}\times \vec{F}\] el mòdul del qual és: \[M=F \cdot \sin \theta \cdot R=\mathit{F_y} \cdot R.\]
\[F_y\] és la força perpendicular al braç de palanca aplicada i \[R\] és la distància des del punt d’aplicació fins al centre de rotació \[O\] (braç de palanca). La força paral·lela al braç de palanca no la fa girar, sinó que tan sols l’estira o la comprimeix. És a dir, que les forces que passen pel centre de gir no creen moments de força \[M\]
El sentit del vector moment segueix la regla de la mà dreta i es calcula fent el determinant dels vectors radi i força. El producte vectorial no és commutatiu, per tant, s’ha de fer el determinant en l’odre indicat.
En el cas de dues forces paral·leles de sentit oposat es forma un parell de forces. Si les dues forces són de la mateixa magnitud però de sentit contrari: \[M=2FR\].
4.2 Moment cinètic o angular
El moment cinètic o angular \[\vec{L}\] de dinàmica rotacional és el concepte anàleg al moment lineal \[\vec{p}\] de la dinàmica translacional. És un vector perpendicular al pla format pels vectors moment lineal \[\displaystyle{\vec{p}}\] i radi \[\displaystyle{\vec{R}}:\]
\[p \cdot \sin \left( \theta \right)\] és la component perpendicular del moment lineal i \[R\] el braç de palanca del moment. La component de la velocitat que travessi el centre de gir \[O\] no contribuirà a la formació del moment cinètic.
Per tant,
És a dir, que la velocitat de canvi del moment cinètic d’una partícula és igual al moment de la força que hi actua. Que equival a les equacions escalars:
Per tant, si el moment de força extern que actua sobre una partícula és zero el moment cinètic roman invariable. Aquest és la llei de conservació del moment cinètic, anàleg a la de conservació del moment lineal.
5. Sistema de partícules
5.1 Centre de masses (CM)
Fins ara, hem fet suposicions per tal d’estudiar la dinàmica dels objectes com a partícules amb massa i sense dimensió, tant en el moviment de translació com en el de rotació. En el moviment de sistemes de partícules, cada partícula del sòlid o del sistema fa el mateix desplaçament en el mateix interval de temps.
Definim el ”centre de masses” d’un sòlid o d’un sistema de partícules com el punt que es mou de la mateixa manera que ho faria una única partícula.
5.2 Moviment translacional del CM
Per a un sistema fix de partícules:
Per tant,
\begin{array}\displaystyle{\vec M \cdot \vec{{a}_{cm}}=\mathrm{\Sigma }{\vec{F}_{externes}}}\end{array}
Les forces internes entre les partícules s’anul·len per la tercera llei de Newton i sols s’ha de tenir en compte les forces externes que actuen en el sòlid. És a dir, que el centre de masses del sistema de partícules es mou com si tota la massa i totes les forces estiguessin concentrades en aquest punt.
Per altra banda,
és a dir, que també es conserva la quantitat de moviment.
5.3 Moment cinètic i conservació M d’un sistema de partícules
El moment cinètic o angular d’un sistema de partícules respecte a un punt és:
Com que, la suma de les forces internes entre les partícules és zero, la suma dels moments de força també ho serà.
5.4 Inèrcia rotacional i energia de rotació
Considerem un sistema discret de partícules que gira respecte a un eix fix d’un sistema de referència inercial (no accelerat). Cada partícula té una energia cinètica:
La inèrcia rotacional \[I\] d’un sòlid és la magnitud anàloga a la inèrcia translacional d’una massa\[m\] És la resistència del sòlid a canviar el seu moviment de rotació.
Ara bé, per a un sòlid rígid (sòlid teòric indeformable), que podem considerar com un sistema continu i homogeni de matèria, el “teorema dels eixos paral·lels o de Steiner” diu que la relació entre la inèrcia rotacional d’un cos respecte a un eix que passa pel seu centre de masses i un eix paral·lel és: \begin{array}{c}\displaystyle{I={I}_{\mathit{cm}}+M{h}^{2}}\end{array}
Si considerem dos eixos de rotació perpendiculars al paper que passen pels punts ”CM” i ”P”:
la distància entre aquests dos eixos és ”h”
el quadrat de la distància des de la partícula \[\displaystyle{m_i \text{ fins a CM és :} {x}_{i}^{2}+{y}_{i}^{2}}\]
el quadrat de la distància entre \[\displaystyle{m_i \text{ i } P \text{ és :} {\left({x}_{i}-a\right)}^{2}+{\left({y}_{i}-b\right)}^{2}}\]
Per tant, el moment d’inèrcia de \[m_i\] respecte a \[P\] és:
Llavors, podem calcular i fer una taula amb els moments d’inèrcia respecte al CM de figures regulars per tal de calcular-lo respecte a un altre eix paral·lel usant el teorema anterior.
Exemple:
5.5 Dinàmica d’un sòlid rígid
Per a cada partícula del sòlid rígid es compleix que:
Per tant, el treball fet i la potència per a totes les partícules del sòlid és:
Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.
La potència d’un punt P respecte a una circumferència és: \[\overline{PA} \cdot \overline{PB}=d²-r²\]. El punt pot ser exterior, interior o de la circumferència.
Si ens donen un punt i l’equació d’una circumferència, per a calcular al distància d haurem de trobar l’equació de la recta i els punts d’intersecció amb la circumferència fent un sistema d’equacions no lineals. També haurem de recordar els coneixements de vectors en el pla per a calcular les distàncies.
El procediment que hem de seguir és:
Trobem el centre i el radi de la circumferència i determinem si el punt és exterior, interior o de la circumferència.
Calculem l’equació de la recta que passa pel punt P i el punt del centre de la circumferència.
Trobem els punts d’intersecció de la circumferència i la recta.
Calculem la distància d i la potència de P a la circumferència.
L’eix radical de dues circumferències és el lloc geomètric dels punts que tenen la mateixa potència respecte a cada circumferència. És una recta perpendicular a la recta que uneix el centres de cada circumferència.
Una paràbola s’obté tallant de forma obliqua una superfície cònica.
5.1 Elements de la paràbola
La distància del focus a la directriu s’anomena paràmetre.
L’eix és la recta que passa pel focus i és perpendicular a la directriu.
El vèrtex és el punt d’intersecció de la paràbola amb l’eix.
5.2 Equació general
\[
Ax²+Bx+Cy+D=0\\
Ay²+Bx+Cy+D=0
\]
Separarem els termes amb \[x\] dels termes amb \[y\] i dividirem tota l’equació pel coeficient del terme quadrat.
Farem el quadrat perfecte del terme quadrat i susbstituirem l’expressió calculada a l’equació anterior.
Calcularem l’equació de la paràbola transformant l’expressió del punt anterior en una la forma \[(y-y_0)²=\pm 2p(x-x_0)\], o bé de la forma \[(x-x_0)²=\pm 2p(y-y_0)\] extraent el factor comú del coeficient \[ x\] o \[y\] de primer grau de la dreta de la igualtat.
Si l’equació té un terme \[y²\], la transformarem en una de la primera forma. Si té un terme \[x²\], la transformarem en una equació de la segona forma.
Definirem els elements de la paràbola i en calcularem un parell de punts per a poder dibuixar-la.
La geometria (del grec, “mesura de la Terra) és la parts de les matemàtiques que estudia les relacions entre els elements que la formen (punt, recta, pla, angles i figures) i la manera de calcular-les.
Els elements de la geometria analítica a l’espai són el punt, la recta i el pla i els angles.
El producte vectorial de dos vectors és un altre vector perpendicular al pla que formen aquests dos vectors. El sentit del vector del producte vectorial es pot determinar amb la regla de la mà dreta.
El mòdul del vector resultant del producte vectorial de dos vectors representa l’àrea tancada per aquests vectors.
El producte vectorial no és commutatiu.
Per a calcular el producte vectorial de dos vectors farem el següent determinant:
El producte mixt de tres vectors \[[u,v,w]\] s’obté multiplicant escalarment el primer vector pel producte vectorial del segon i el tercer. També es pot calcular fent el determinat dels tres vectors. Representa el volum tancat per aquests tres vectors.
Per a definir tots els punts d’un pla ens calen tres punts o dos vectors i un punt.
Si \[O\] és l’origen de coordenades del sistema de referència, \[\vec u_1, \vec u_2\] són els dos vectors del pla de referència, \[P\] és un punt del pla de referència i \[X\] és el punt que volem definir, l’equació vectorial del pla amb dos vectors i un punt és: \[\vec {OX}=\vec{OP}+\vec{PX}\].
Podem estudiar la posició relativa de rectes i plans comparant-ne, o bé els punts i vectors, o bé comparant els rangs de les matrius formades amb les equacions generals de les rectes.
Si tenim l’equació general d’una recta però ens cal un vector i un punt, haurem de calcular-ne les equacions vectorial, paramètrica o continua.
Per a calcular l’equació paramètrica d’una recta si en tenim la general, farem:
Assignarem a alguna de les variables, per exemple la zeta, el paràmetre \[\lambda\]. Aquesta variable (o el paràmetre \[\lambda\]) serà la variable independent del sistema d’equacions indeterminat.
Resoldrem el sistema d’equacions indeterminat eliminant la \[y\] per a obtenir \[x\] en funció de \[z\]. També podem resoldre els passos 2 i 3 resolent el sistema d’equacions per Gauss o Crammer.
Agruparem les equacions resultants i obtenim l’equació paramètrica de la recta. Fent les operacions habituals de l’apartat 3 podem obtenir qualsevol altre equació de la recta.
Per a calcular l’equació general d’una recta si en tenim la paramètrica o continua farem com en l’exemple anterior els passos habituals per obtenir les diferents equacions d’una recta:
Per a calcular sols el vector d’una recta si en tenim l’equació general farem el producte vectorial del vectors normals de les equacions generals dels plans:
Si les rectes són coincidents, els vectors directors seran paral·lels i tindran els mateixos punts.
Si són paral·leles, els vectors directors seran paral·lels però tindran punts diferents.
Si les rectes són secants, els vectors directors no seran paral·lels i el determinant \[D\] dels dos vectors i el vector \[(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\] serà zero.
Si les rectes s’encreuen, els vectors directors no seran paral·lels i el determinant \[D\] dels dos vectors i el vector \[(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\] serà diferent de zero:
Per a calcular la projecció d’una recta sobre un pla, fem:
Calculem el vector normal del pla que conté la recta (\[\pi_2\]) fent el producte vectorial del vector de la recta i el vector normal del pla de projecció (tots dos són vectors del pla que conté la recta).
Calculem el terme independent \[D\] de \[\pi_2\] usant el punt de la recta que també és un punt d’aquest pla.
L’equació de la recta projectada és la formada per les equacions generals dels dos plans.
5.2.2 Recta perpendicular a dues rectes que s’encreuen
El procediment és:
Expressem genèricament un punt de cada recta (\[P_r,P_s\]) i calculem el vector entre aquests dos punts (\[\vec {P_rP_s}\]).
Aquest vector ha de ser perpendicular a les rectes que s’encreuen, per tant el producte escalar amb els vectors de les rectes ha de ser zero.
Resolent el sistema d’equacions trobem el valor dels paràmetres de cada recta que fan que la recta \[t:\] sigui perpendicular i en calculem un vector perpendicular.
Fem passar la recta perpendicular \[t:\] per un dels punts del vector \[P_r,P_s\] i tenim l’equació de la recta perpendicular a dues rectes que s’encreuen.
5.2.3 Recta que passa per un punt que talla a dues rectes
És la recta formada per cada un dels dos plans \[\pi_1,\pi_2\] que contenen a \[r,s\] respectivament i que passa per \[P\]. Per a calcular l’equació d’aquesta recta hem de trobar les equacions dels plans que contenen a \[r:, s:, \; i \; P\]:
Calculem el vector normal de \[\pi_1\] fent el producte vectorial del vector de la recta \[r:\] i el vector \[\vec {PP_r}\].
Calculem el vector normal de \[\pi_2\] fent el producte vectorial del vector de la recta \[s:\] i el vector \[\vec {PP_s}\].
Calculem els plans \[\pi_1,\pi_2\] amb les vectors normals i el punt \[P\].
L’equació de la recta és la formada per les equacions generals dels dos plans.
Per a determinar la posició relativa d’una recta i un pla comparant punts i vectors usarem les equacions vectorial, paramètrica o continua de la recta i l’equació general del pla. Per fer-ho amb rangs, ens calen les equacions generals de la recta i del pla.
Si la recta està continguda en el pla, el producte escalar del vector de la recta i el normal del pla serà zero i els punts de la recta són punts del pla. Per a saber si un punt de la recta és també un punt del pla el substituirem a l’equació del pla:
Exemple:
\[
r:
\begin{cases}
x=2-5\lambda\\
y=3+3\lambda\\
z=1+\lambda
\end{cases}\\
v_r(-5,3,1), \; P_r(2,3,1)\\[1cm]
\pi:2x+4y-2z-14=0\\
\vec n(2,4,-2)\\[1cm]
\vec v_r \cdot \vec n=(-5,3,1) \cdot (2,4,-2)=-5 \cdot 2+3 \cdot 4-1 \cdot 2=-10+12-2=0\\
\pi(2,3,1)=2 \cdot 2+4 \cdot 3 -2 \cdot 1-14=4+12-2-14=0\\[1cm]
\text{El pla i la recta són paral·lels i la recta està continguda en el pla.}
\]
Si la recta i el pla són paral·lels, el producte escalar dels dos vectors serà zero, però els punts de la recta i del pla són diferents:
\[
r:
\begin{cases}
x=2-5\lambda\\
y=4+3\lambda\\
z=3+\lambda
\end{cases}
\Rightarrow r:
\begin{cases}
3x+5y-26=0\\
x+5z-17=0
\end{cases}\\
\pi:4x+6y+2z-28=0\\[1cm]
\vec v_r(-5,3,1), \; P_r(2,4,3)\\
\vec n_\pi(4,6,2)\\[1cm]
\vec v_r \cdot \vec n_\pi=(-5,3,1) \cdot (4,6,2)=-20+18+2=0 \text{ (Recta i pla són paral·lels)}\\
\pi(2,4,3):4 \cdot 2+6 \cdot 4+2 \cdot 3-28=10 \text{ (Els punts de la recta no śon del pla)}\\[1cm]
\text{Per tant, la recta i el pla són paral·lels}\\[1cm]
\text{Matriu A}=\begin{bmatrix}3 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}\\
\text{Matriu A*}=\begin{bmatrix}3 & 5 & 0 & 26 \\ 1 & 0 & 5 & 17 \\ 4 & 6 & 2 & 28\end{bmatrix}\\
\text{Rang A}=2 \\
\text{Rang A*}=3 \\
\text{Per tant, la recta i el pla són paral·lels}
\]
Si el pla i la recta són secants , la recta tallarà el pla en un punt (Q). Q serà el punt que resulta de fer el sistema d’equacions generals de la recta i el pla.
Per a determinar la posició relativa de dos plans determinarem els rangs de les equacions generals del plans, o bé compararem els vectors i els punts de cada pla:
Un pla bisector és un pla que passa per l’aresta d’un angle dièdric i el divideix en dos angles iguals. Un angle dièdric és una regió de l’espai compresa entre dos semiplans que tenen la mateixa recta, anomenada aresta de l’angle dièdric.
Per a calcular els dos plans bisectors que formen l’angle dièdric, farem:
La distància \[d\] mínima o perpendicular d’un punt \[P\] a un pla (o a una recta) és el mòdul del vector projecció entre un punt del pla (origen) i el punt P (extrem).
El signe del vector distància és positiu si el sentit d’aquest vector és el mateix que el del vector normal del pla, i és negatiu si els sentits d’ambdós vectors són contraris.
5.5 Tres plans
Per a determinar la posició relativa de tres plans hem d’usar les equacions generals dels plans i calcular el rang de la matriu de coeficients i de l’ampliada. En alguns casos, també hem de tenir en compte els vectors directors dels plans per tal de no confondre dues posicions relatives amb el mateix resultat quan comparem els rangs:
Tres plan coincidentsParal·lels dos a dosSecants i diferentsDos de coincidents i un de secantParal·lels i dos de coincidentsSecants dos a dosDos de paral·lels i un de secantSecants en un punt
6. Distàncies i angles
6.1 Distàncies
6.1.1 Punt-recta
La distància mínima és la distància perpendicular entre el punt i la recta.
L’angle entre la recta i el pla és \[90-\theta\]. Aquest angle també es pot calcular directament fent \[\sin \theta=\frac {\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|}\].
6.2.3 Pla-pla
Es calcula de la mateixa manera que l’angle entre dues rectes l’angle_entre dues rectes fent servir els vectors normals dels plans.
Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.
Una recta és un conjunt de punt infinits en línia. Podem definir una recta amb dos punts o amb un punt i un pendent.
punt-punt
punt -pendent
1.2 Equacions de la recta
L’equació d’una recta es pot expressar de diferents maneres. Farem sevir l’equació que més ens convingui per tal de fer els càlculs més fàcilment o segons les dades disponibles.
1.3 Equació vectorial
L’equació vectorial de la recta es dedueix de la definició d’una recta amb dos punts: si a un punt d’origen de la recta que volem definir li sumem un nombre determinat de vegades (\[t\]) un dels vectors directors de la recta podem trobar-ne qualsevol altre punt.
\[(x,y)=(x_0,y_0) + t \cdot (u,v)\]
1.4 Equació paramètrica
Igualant els components \[x\] i \[y\] de l’equació vectorial:
\[
x=x_0+t \cdot u\\
y=y_0+ t \cdot v
\]
1.5 Equació contínua
Aïllant el paràmetre \[t\] de cadascuna de les equacions paramètriques anteriors:
\[
t=\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}
\]
1.6 Equació general o implícita
Surt de fer el producte d’extrems i de mitjos de l’equació contínua:
El vector \[\vec{n}=(A,B)\] és un dels dos vectors perpendiculars de la recta. Per a calcular el vector perpendicular d’una recta tan sols hem de permutar els components del vector i canviar-ne un de signe.
Els vectors perpendiculars de dues rectes formen el mateix angle que els vectors directors.
O bé dues rectes són paral·leles, o bé són secants. Per a determinar si dues rectes son paral·leles o coincidents (paral·lelisme) o secants (amb un angle qualsevol o perpendiculars) resoldrem el sistema d’equacions lineals.
rectes perpendiculars (t:, s:) o secants amb un angle diferent de 90º (r:,s:).Rectes parale·les (r:, s:) o coincidents (r:, t:)
El mètode de resolució de sistemes d’equacions per Gauss, segueix el mètode clàssic de resolució per reducció. La diferència és que eliminarem les incògnites ordenadament (primer la \[x\], després la \[y\] i finalment la \[z\]) i que farem servir matrius sols amb els coeficients en comptes de tota l’equació.
El mètode de Crammer usa els determinants per a calcular els resultats del sistema d’equacions. Consisteix en canviar la columna de coeficients de la incògnita que volem calcular per la dels termes independents:
Quan el determinant de la matriu és zero, \[|A|=0\], diem que el sistema no és de Cramer. En aquest cas, per a resoldre el sistema indeterminat farem servir sols les equacions que són linealment independents fent la substitució \[z=\lambda\] que ara formarà part del terme independent:
Per a determinar els rangs de la matriu de coeficients \[A\] i de l’ampliada \[A^*\], farem la triangulació del sistema i analitzarem el nombre de files independents de cadascuna.
Si el determinant de la matriu de coeficients és zero, vol dir que el sistema no és determinat.
Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.
És un arranjament de nombres o expressions en files i columnes. Cada nombre (o expressió) té una posició que es determina per la fila \[ i\] i la columna \[ j\] que ocupa.
\[
A
=
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}…&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}…&a_{2n}\\
…\\
a_{m1}&a_{m2}…&a_{mn}
\end{bmatrix}
\]
Matriu adjunta
S’obté substituint cada element pel seu adjunt.
L’adjunt \[A_{ij}\]d’un element \[a_{ij}\] és el valor del menor complementari de l’element multiplicat per signe que correspon a la seva posició.
El menor complementari d’un element \[(M_{ij})\] és el valor del determinant que resulta d’eliminar la fila i la columna de l’element.
El signe atribuït a a l’element d’acord a la seva posició és \[(-1)^{i+j}\].
Per tant, l’adjunt d’un element \[a_{ij}\] és \[(-1)^{i+j}*M_{ij}\].
Exemple:
Els signes que corresponen a cada element d’una matriu quadrada de dimensió tres, són:
Una matriu elemental és qualsevol matriu obtinguda fent una transformació elemental sobre la matriu identitat \[(I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix})\]
Les matrius elementals són de primer, segon o tercer tipus segons la mena d’operació elemental que les genera:
De primer tipus: és la matriu que resulta de permutar dues files de la matriu identitat.
1) Calculem el determinant de la matriu per a assegurar-nos que la matriu és invertible:
\[\left|A\right|=53 \neq 0\]
2) Calculem la matriu inversa per Gauss-Jordan
El mètode de Gauss transforma la matriu de coeficients en una matriu triangular superior. El mètode de Gauss-Jordan la transforma en una matriu diagonal fent triangulació superior i inferior de la matriu.
Són transformacions elementals en una matriu les següents operacions:
(PF) Permutar dues files d’una matriu (PC) Permutar dues columnes d’una matriu (MF) Multiplicar alguna de les files per un nombre real diferent de zero (MC) Multiplicar alguna de les columnes per un nombre real diferent de zero (SF) Sumar a una fila de la matriu una altra fila multiplicada per un nombre real (SC) Sumar a una columna de la matriu una altra columna multiplicada per un nombre real
Operacions amb matrius
Suma/ resta
Per a sumar o restar matrius dues matrius \[A\] i \[B\] hem de sumar o restar els elements de les matrius que ocupen la mateixa posició (\[a_{ij}+b{ij}\]). Les matrius han de tenir la mateixa dimensió.
Un nombre complex té la forma \[z=a+bi\]. Diem que \[a\] és la part real del nombre i \[b\] és la part imaginària del nombre (per exemple, \[1 – i, 3 + \sqrt{5}i, -7 + 5i, -\frac{3}{4} – 4i, \sqrt{2} + i\]). \[a\] i \[b\] són nombres reals. \[i\] és part de la solució de l’equació \[x^2=-1=i^2\].
Els nombres complexos es van inventar per a poder calcular les arrels negatives d’exponent parell (\[\sqrt{-4}, \, \sqrt[6]{-100}\], etc.) que no tenen solució en el conjunt dels nombres reals \[\mathbb{R}\].
Però si definim un nombre nou de manera que el seu quadrat sigui negatiu haurem resolt el problema. Aquest nombre és \[i = \sqrt{-1}\] i el seu quadrat val \[-1\]:
Per a representar els nombres reals fem servir la recta real, però per a representar gràficament els nombres complexos ens calen dues dimensions i hem de fer-ho al pla.
Situarem la part real d’un nombre complex (\[a\]) a l’eix d’abcisses i la part imaginària (\[b\]) a l’eix de ordenades.
La forma binòmica (\[z = a + bi \, ( a,b \in \mathbb{R}\]) és la forma més habitual de representar un nombre complex. Existeixen dos casos especials de nombres complexos:
Reals purs \[b = 0, \, z=a\]: són els nombres reals \[\mathbb{R}\]. Per tant, els nombres reals són un subconjunt dels nombres complexos \[\mathbb{C}\].
Exemple: \[z=2+0i=2\]
Imaginaris \[a = 0, \, z=bi\]: són els imaginaris purs.
Exemple: \[z=0-3i=-3i\]
El conjugat d’un nombre complex \[z\] és \[\bar{z} = a – bi\]. L’obtenim canviant el signe de la part imaginària.
Quan resolem equacions de segon grau de discriminant negatiu les solucions són sempre dos nombres complexos conjugats (\[z\] i \[\bar{z}\]). Diem que \[z\] i \[\bar z\] són les solucions conjugades de l’equació.
L’oposat d’un nombre complex \[z\] és aquest nombre canviat de signe, \[-z= -(a + bi) = -a – bi\].
Polar
La notació d’un nombre complex en forma polar és \[z=r_{\alpha}\].
El mòdul de \[z\] és la distància que hi ha entre el punt \[P(a,b)\] i l’origen de coordenades. Coincideix amb el radi de la circumferència: \[r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\].
L’argument de \[z\] és l’angle que forma el vector associat al punt \[z\] amb l’eix de les \[x\]: \[\alpha=\arctan ( \frac{b}{a})\].
Tranformacions
Per a canviar entre la notació binòmica i la polar, fem el següent:
La notació trigonomètrica d’un nombre complex \[[z=r*(\cos \alpha \pm i\sin \alpha)]\] s’obté substituint \[a\] i \[b\] per les expressions trigonomètriques respectives \[a=r*cos \alpha, \,b=r*sin \alpha\]:
Com en el cas dels radicals o dels vectors, tampoc sabem dividir dos nombres complexos. Per a convertir el denominador en un nombre real i poder fer la divisió, fem servir la identitat notable \[(x-a)*(x+a)=(x)^2-(a)^2\] :
Per a fer la radicació d’un nombre complex primer el transformarem a la forma polar: \[r=\sqrt{a^2+b^2} \, \alpha=arctan(\frac{b}{a})\]. A continuació, farem la radiació de la següent manera:
Si les representem, es forma un triangle regular (equilàter). Aquesta és una propietat general de les arrels, Les solucions formen polígons regulars de \[n\] costats:
Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.
Un determinant és la suma dels productes de cada element d’una fila (o columna) pels de les altres files (o columnes). Cada producte sols pot tenir un element de cada fila (o columna).
Per a entendre millor aquesta definició, vegeu com es fa el càlcul de determinants per Sarrus d’una matriu \[A_{3*3}\].
Un determinat és un valor associat a una matriu quadrada. Un determinant és únic per a cada matriu.
Els determinants van ser introduïts inicialment a l’àlgebra per a resoldre la determinació del nombre de solucions d’un sistema d’equacions lineals.
Interpretació geomètrica
Les imatges dels vectors formen un paral·lelogram. El paral·lelogram definit per les files de la matriu anterior és el que té vèrtexs en \[(0, 0), (a, b), (a + c, b + d), (c, d)\]. El valor absolut \[ad-bc\] és l’àrea del paral·lelogram.
El valor absolut del determinant juntament amb el signe és l’àrea orientada al paral·lelogram. L’àrea orientada és la mateixa que l’àrea habitual, excepte que és negativa quan l’angle del primer al segon vector que defineix el paral·lelogram gira en sentit horari (regla de la mà dreta).
Els dos vectors d’una matriu \[u ≡ (a, b),v ≡ (c, d)\] representen els costats del paral·lelogram. L’àrea amb signe es pot expressar com \[\vec{| u |}.\vec{| v |}.sin θ\], que és l’alçària per la base del paral·lelogram o l’àrea del paral·lelogram.
Si representem aquesta expressió en funció de l’angle complementari de \[theta\]: \[\vec{| u ⊥ |}.\vec{| v |}.cos θ ′\], que és el producte escalar dels vectors \[\vec{ u ⊥}, \vec{ v}\]. És a dir,\[ (− b, a).(c,d)=ad-bc.\]
Propietats dels determinants
Les propietats dels determinants ens faciliten el seu càlcul. Aquestes propietats s’apliquen tant a les columnes com a les files de la matriu:
Si bescanviem dues files o columnes d’una matriu, el valor del determinant canvia de signe.
Usem galetes per oferir una experiència més relevant al recordar les vostres preferències y visites. Polsant ACCEPTAR, consentiu l'ús de TOTES les galetes..
Aquest lloc web utilitza cookies per millorar la vostra experiència mentre navegueu pel lloc web. D’aquestes, les cookies que es classifiquen com a necessàries s’emmagatzemen al vostre navegador, ja que són essencials per al funcionament de les funcionalitats bàsiques del lloc web.
També fem servir cookies de tercers que ens ajuden a analitzar i entendre com utilitzeu aquest lloc web. Aquestes cookies s’emmagatzemaran al vostre navegador només amb el vostre consentiment. Teniu l’opció de desactivar aquestes cookies, però això pot afectar la vostra experiència de navegació.
Les galetes necessàries són absolutament essencials perquè el lloc web funcioni correctament. Aquesta categoria només inclou galetes que garanteixen funcionalitats bàsiques i funcions de seguretat del lloc web. Aquestes galetes no emmagatzemen cap informació personal.
Les galetes que no siguin especialment necessàries perquè el lloc web funcioni i s\'utilitzi específicament per recopilar dades personals de l\'usuari a través d\'analítiques, anuncis, altres continguts incrustats es desmenten com a galetes no necessàries. És obligatori obtenir el consentiment de l\'usuari abans d\'executar aquestes galetes al seu lloc web.
RSS CEEdukat
