Nombres reals

Porceedukat

Nombres reals

Instruccions abans de començar

Els nombres reals és el conjunt de nombres format pel conjunt dels nombres racionals i el conjunt dels nombres irracionals.

El nombres reals són un subconjunt de nombres complexos.

1. Nombres Naturals

Són els nombres que usem per a comptar: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, … \). El conjunt dels nombres naturals es representa per \(\mathbb{N}\).

1.1 Nombres primers

Són els nombres naturals que sols són divisibles per ells mateixos i per la unitat.

Exemple:

\(2, 3, 5, 7, 11…\)

2. Nombres enters

És el conjunt dels nombres naturals positius, negatius i el 0: \(…-3,-2,-1,0,1,2,3,…\). El conjunt de nombres enters es representa per \(\mathbb{Z}\).

Els nombres naturals són part dels nombres enters (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)).

3. Nombres racionals

Són els nombres decimals generats per una fracció que anomenem fracció generatriu\( \frac{a}{b}\). \(a,b\) són nombres enters i \(b \neq 0\). Els conjunt de nombres racionals es representa per \(\mathbb{Q}\).

Exemple:

\(\frac{21}{10}=2.1, \, \frac{3}{2}=1.5\).

Els nombres enters també són racionals perquè els podem expressar en forma de fracció: \(2 = \frac{2}{1}\). Per tant, els nombres enters són un subconjunt dels racionals (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)).

Els nombres decimals dels quals en podem trobar una fracció generatriu són:

3.1 Decimals exactes

Els decimals exactes són els nombres decimals que tenen una quantitat exacta de decimals.

Exemple:

\(2.345\), té tres decimals
\(0.9\), té un decimal
\(5.129837\), té sis decimals

Per a calcular la fracció generatriu d’un decimal exacte (\(2.345\)), fem el següent:

i) Escrivim el nombre sense comes al numerador: \(2\, 345\)

ii) El dividim per \(10 \) elevat al nombre de decimals que tingui: \(\frac{2\, 345}{10^3}=\frac{2\, 345}{1\, 000}\).

iii) Calculem la fracció irreductible: \(\frac{469}{200}…\)

Exemple:

\(1.75= \frac{175}{10^ 2} = \frac{7}{4}\).

3.2 Decimals periòdics purs

Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.

Exemple:

\(
2.33333… \rightarrow 2. \hat 3 \\
0.66666… \rightarrow 0. \hat 6 \\
8.97979… \rightarrow 8. \widehat {97} \\
\)

Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.

En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \(10\) elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:

Exemple:

\(
n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\
n \hspace{1cm}= \hspace{0.8cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm}56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\)

La forma ràpida de calcular la fracció generatriu és:

i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \(56\, 987-56=56\, 931\)

ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període: \(999\)

iii) Calculem al fracció irreductible: \(\frac{56\, 931}{999}=\frac{56\, 931}{999}\)

Exemple:

\(
1.23232323…= 1.\widehat {23} \\
\frac{123 – 1}{99} = \\
\frac{122}{99}
\)

En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(123\), el període és \(\widehat{23}\), el nombre fins al període és l’\(1\) i el període té dos decimals.

3.3 Decimals periòdics mixts

Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.

Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \(10\) elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:

Exemple

\(
n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\

n \hspace{1cm}= \hspace{0.7cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\, 56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\)

Per a calcular la fracció generatriu, fem:

i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \(56\, 987-569=56\, 418\)

ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període i tants zeros com decimals tingui l’avantperíode: \(990\)

iii) Calculem al fracció irreductible: \(\frac{56\, 418}{900}=\frac{9\, 403}{150}\)

Exemple:

\(1.5787878…= 1.5\widehat{78} = \\
\frac{157 – 15}{900} =\\
\frac{142}{900} = \\
\frac{71}{450}
\)

En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(1578\), l’avantperíode és \(5\) i el període és \(\widehat 78\) i el nombre fins al període és l’\(1\). L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.

4. Nombres irracionals

Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \(\mathbb{I}\).

Exemple:

\(\pi, e\), qualsevol arrel no exacta com \(\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\).

5. Nombres reals

És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \(\mathbb{R}\).

Per tant, \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\).

Els nombres reals es representen a la recta real.

6. Intervals

És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.

Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.

Exemple:

Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:

\(-3\leq x\leq +2,\, -3\lt x\leq +2,\, -3\lt x\lt +2\). En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \(– \infty \lt x \leq +2]\)).

Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:

\(\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right]\). \( ]n , n[\) o bé \((n , n)\) significa que l’extrem és obert i \( [n , n] \) vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta: \((-\infty, +2]\)).

7. Notació científica

És un nombre expressat segons la notació \(N*10^a\). \(N\) és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \(a\) és un nombre enter.

Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.

Exemple:

\(
1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\)

En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \(10^{-12}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \(10^{+12}\).

En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \(10^{+9}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \(10^{-9}\).

7.1 Operacions

Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.

Exemple:

\(
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\)

Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.

Exemple:

\(
2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\)

Sobre el autor

ceedukat administrator

CEEdukat Online! Primària - ESO - Batxillerat - Provés d'accés

A CEEdukat ara també fem classes online amb la mateixa qualitat i professionalitat que les presencials. També obrim els mesos de juliol i agost.