Què diferencia les classes de reforç de CEEdukat de les classes particulars a domicili?
Tot i que les classes particulars a domicili són populars, anar a una acadèmia a fer classes de reforç té algunes avantatges que no poden oferir les particulars a domicili.
És per això, que volem exposar les característiques principals de les classes de reforç de CEEdukat:
A CEEdukat fa onze anys que ajudem als estudiants de primària, ESO i batxillerat i a gent adulta a comprendre i superar els reptes d’estudi de l’ensenyament actual.
Som especialistes en reforç escolar!
Ambient d’estudi sense distraccions per a l’estudiant L’experiència ens ha ensenyat que, en les classes particulars a domicili, l’estudiant té moltes distraccions i no es concentra en l’estudi. L’aula de CEEdukat, en canvi, és un ambient d’estudi que permet la concentració de l’estudiant sense distraccions.
Les classes de reforç de CEEdukat són en grups reduïts i s’atén a cada estudiant de forma individual i personalitzada.
A més, respectem les disposicions legals i mesures de seguretat vigents.
Horaris amplis i flexibles:
Obrim els matins, les tardes i dissabtes al matí perquè pugueu triar l’horari més adequat. També obrim per Nadal i Setmana Santa.
Recuperació de classes:
Si un dia no podeu venir a classe de reforç, podeu recuperar-la el dia del mes que us vagi més bé i no haureu de perdre mai hores.
Preus ajustats:
Tenim paquets mensuals d’hores de reforç amb tarifes ajustades i variables perquè pugueu estudiar i planificar-vos l’estudi al vostre ritme.
Els preus de CEEdukat solen ser més ajustats que els de les classes particulars a domicili perquè no hem cobrar el desplaçament i els professors poden atendre més estudiants per hora.
Classes presencials i en línia:
Les restriccions imposades a les acadèmies a causa de la pandèmia del COVID-19 ens han fet desenvolupar mètodes d’ensenyament en línia de la mateixa qualitat i eficiència que les classes presencials. No notaríeu la diferència entre un mètode d’ensenyament i l’altre.
A CEEdukat sentim passió per l’ensenyament!
Demaneu-nos més informació enviant aquest formulari:
La derivada d’una funció en un punt és el valor del pendent de la recta tangent en aquest punt.
El pendent o la inclinació (\[\varphi\]) de la línia de color blau (taxa de variació mitjana) és \[\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\].
Però aquesta inclinació no coincideix amb la inclinació de la recta tangent en el punt de tangència \[x_1\] (línia de color carabassa). Les inclinacions coincidiran quan la diferència entre \[x_2\] i \[x_1 \enspace (h)\] sigui infinitament petita.
Ara bé, si introduïm cadascuna de les funcions elementals en el la fórmula de la definició de derivada anterior i fem els càlculs necessaris, el resultat que obtenim és la funció derivada. La funció derivada és la funció que ens informa del pendent de la funció primitiva o sense derivar en qualsevol punt.
D’aquesta manera, obtenim la taula de derivades de les funcions elementals:
\[f(x)\]
\[f'(x)\]
\[y=k\]
\[y’=0\]
\[y=x\]
\[y’=1\]
\[y=kx\]
\[y’=k\]
\[y=x^n\]
\[y’=nx^{(n-1)}\]
\[y=\ln x\]
\[y’=\frac{1}{x}\]
\[y=e^x\]
\[y=e^x\]
\[y=\log_a x\]
\[y’=\frac{1}{x.ln a}\]
\[y=a^x\]
\[y=a^x. \ln a\]
\[y=\sin x\]
\[y’=\cos x\]
\[y=\cos x\]
\[y’=-\sin x\]
\[y=\tan x\]
\[y’=sec²x\]
\[y=\arcsin x\]
\[y’=\frac{1}{\sqrt{1-x²}}\]
\[y=\arccos x\]
\[y’=-\frac{1}{\sqrt{1-x²}}\]
\[y=\arctan x\]
\[y’=\frac{1}{1+x²}\]
2. Propietats de les derivades:
Les propietats de les derivades són:
a) Derivada d’una suma/ diferència de funcions: \[[f(x)+g(x)]’=f'(x)+g'(x)\]
b) Derivada d’un producte de funcions: \[[f(x) \cdot g(x)]’=f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)\]
c) Derivada d’un quocient de funcions: \[[\frac{f(x)}{g(x)}]’=\frac{f'(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{[g'(x)]²}\]
3. Regla de la cadena
Si \[f(x)\] i \[g(x)\] són dues funcions derivables i \[h(x)\] és la funció composta d’aquestes dues funcions, la derivada d’ \[h(x)=f(x) ∘ g(x)= f[g(x)]\] és \[h'(x)=f'[g(x)] \cdot g'(x)\].
Per tant, la taula de derivades d’una funció composta és:
\[h(x)\]
\[h'(x)\]
\[y=k\]
\[y’=0\]
\[y=k \cdot h(x)\]
\[y’=k \cdot h'(x)\]
\[y=h(x)^n\]
\[y’=n \cdot h(x)^{n-1} \cdot h'(x)\]
\[y=\ln h(x)\]
\[y’=\frac{h'(x)}{h(x)}\]
\[y=e^{h(x)}\]
\[y=e^{h(x)} \cdot h'(x)\]
\[y=\log_a h(x)\]
\[y’=\frac{h'(x)}{h(x).ln a}\]
\[y=a^{h(x)}\]
\[y=a^{h(x)} \cdot \ln a \cdot h'(x)\]
\[y=\sin h(x)\]
\[y’=\cos h(x) \cdot h'(x)\]
\[y=\cos h(x)\]
\[y’=-\sin h(x) \cdot h'(x)\]
\[y=\tan h(x)\]
\[y’=sec²h(x) \cdot h'(x)\]
\[y=\arcsin h(x)\]
\[y’=\frac{h'(x)}{\sqrt{1-h²(x)}}\]
\[y=\arccos h(x)\]
\[y’=-\frac{h'(x)}{\sqrt{1-h²(x)}}\]
\[y=\arctan h(x)\]
\[y’=\frac{h'(x)}{1+h²(x)}\]
4. Aplicacions de les derivades
4.1 Monotonia i punts crítics d’una funció
La monotonia d’una funció es refereix al creixement i decreixement de la funció en cada interval del domini.
Els punts crítics d’una funció són els punts que anul·len la primera derivada (\[y’=0\]). Aquests punts són els possibles màxims, mínims i punts d’inflexió de la funció.
4.1.1 Monotonia, màxims i mínims
Els màxims i mínims són els punts en els quals canvia la monotonia o creixement de la funció.
El punt en el qual la monotonia de la funció canvia de decreixent a creixent, és un mínim. En aquest punt, la inclinació o pendent és zero, abans d’aquest punt és negativa i després és positiva.
El punt en el qual la monotonia de la funció canvia de creixent a decreixent, és un màxim. En aquest punt, la inclinació o pendent és zero, abans d’aquest punt és positiva i després és negativa.
Els punts d’inflexió són els punts en els quals canvia la curvatura de la funció. La curvatura indica el canvi de direcció de les tangents d’una funció entre dos punts de tangència.
La curvatura en un interval és positiva si la la gràfica de la funció està per sobre la de la recta tangent.
La curvatura en un interval és negativa quan la gràfica de la funció està per sota de la recta tangent.
Si una funció té curvatura positiva en un interval, tindrà un punt mínim en aquest interval. Si una funció té curvatura negativa en un interval, tindrà un màxim en aquest interval.
Per a determinar els punts d’inflexió, farem la segona derivada igual a zero \[y”=0\]. Si hi ha un canvi de signe (concavitat) en un punt, aquest punts és un punt d’inflexió.
Una altra manera de determinar si un punt singular és un màxim o un mínim, es fent la segona derivada i determinant el signe en aquest punt: si és positiu serà un mínim i si és negatiu serà un màxim.
És trobar els valors de les variables de la funció objectiu (funció que es vol maximitzar o minimitzar) tenint en compte les restriccions (limitació dels valors de les variables).
Per a resoldre els exercicis d’optimització farem:
Analitzant la geometria plantejarem l’equació de la funció objectiu i de la restricció.
Aïllarem una de les incògnites de la restricció (la que faci els càlculs posteriors més senzills) i la substituïrem a la función objectiu.
Farem la primera derivada de la funció objetiu i la igualarem a zero.
Resoldrem l’equació que en resulti.
Substituint el resultat a la restricció trobarem el valor de la segona incògnita.
Calcularem el valor de la funció objectiu.
Determinarem si és un màxim o un mínim.
Exemple:
Hem de determinar quins valors de la longitud dels catets d’un triangle rectangle fan que l’àrea sigui màxima tenint en compte que la hipotenusa ha de fer 12 unitats de longitud:
L’anàlisi matemàtic és la part de les matemàtiques que estudia les funcions.
Una funció és una una aplicació o correspondència \[f\] entre dos conjunts numèrics \[(X,Y) (f: X \mapsto Y)\].
Per a determinar el comportament d’una funció, analitzem de \[-\infty\] fins a \[+\infty\] diverses característiques que un cop interpretades conjuntament ens mostraran aquest comportament.
2. Característiques
2.1 Domini i recorregut
El domini són tots els punts del conjunt inicial \[X\] als quals els correspon un o més valors del conjunts d’arribada \[Y\] (codomini o recorregut). Quan a un punt del conjunt \[X\] no li correspon cap punt del conjunt \[Y\], aquest punt no pertany al domini de la funció (la fletxa puntejada del diagrama de Venn anterior és un punt que no pertany al domini de la funció \[f(x)\]).
Per a determinar el domini d’una funció hem d’analitzar-la per tal de esbrinar si hi ha algun punt \[x\] al qual no li correspongui cap imatge (\[y\]).
Polinòmiques: el domini de les funcions polinòmiques són tots els nombres reals \[Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R}\}\]
Racionals \[y=\frac{N(x)}{D(x)}\]: el domini de les funcions racionals son tots els nombre reals excepte els que fan el polinomi del denominador zero \[Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / (D(x) \neq 0)\}\].
Irracionals \[y=\sqrt[2n]{P(x)}\]: el domini de les funcions irracionals d’index de l’arrel parell, són tots els nombres reals excepte el que fan que el radicand sigui més petit que zero \[Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / (P(x) \geq 0)\}\].
Quan haguem resolt l’equació que resulta d’igualar el radicand a zero, haurem de determinar quin o quins dels intervals que divideixen la recta real són solució substituint un punt de cada interval: si la solució és negativa, l’interval no pertany al domini.
Exemples:
\[y= 4x³-2x²+8x-9\]
\[ y= \frac{x²+1}{x²-1}\\ x²-1=0\\ x=\pm1\\ Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / x²-1 \neq 0)\}, \text {o bé}\\ Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / x \neq \pm1\} \]
\[ y= \sqrt{x²-9}\\ x²-9=0\\ x=\pm3\\ y(-10)=\sqrt{(-10)²-9}>0\\ y(0)=\sqrt{(0)²-9}<0\\ y(+10)=\sqrt{(+10)²-9}>0\\ Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / x²-9 > 0)\}, \text {o bé}\\ Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} – (x \geq -3, x \geq 3)\} \]
Per a determinar el recorregut calcularem la funció inversa, tot i que de vegades no es pot calcular. En aquest cas, s’ha de dibuixar la funció per a poder de determinar-lo.
Per a que la funció \[x=f(y)\] existeixi, s’ha de complir que el radicand de l’arrel sigui posItiu i el denominador diferent de zero: \[\frac{1+y}{y-1} \geq 0, y-1 \neq 0\]
Per tant, la funció no té imatge en \[-1 \leq y<+1\].
Una asímptota és una recta a la qual la funció s’aproxima infinitesimalment (“infinitesimal: quantitat infinitament petita”) sense arribar a tallar-la mai. La funció i l’asímptota són tangents a l’infinit.
Quan calculem les asímptotes verticals d’una funció, haurem de calcular-ne també els límits laterals per tal de d’esbrinar el sentit de la corba (\[+\infty, -\infty)\] a cada banda de l’asímptota.
Una funció \[f(x)\] és una aplicació o correspondència entre dos conjunts numèrics: un conjunt de sortida o inicial i un conjunt d’arribada a final.
Per a què una aplicació o correspondència sigui una funció, a cada element del conjunt inicial li ha de correspondre un únic element del conjunt final:
Els elements del conjunt inicial són el domini de la funció i els elements del conjunt final són el recorregut de la funció.
Els elements del domini són la variable independent (\[x\]) i els del recorregut són la variable independent (\[y\]) de la funció.
La correspondència entre els elements del domini i el recorregut del diagrama de Venn anterior és una funció.
En canvi, la correspondència entre els elements del diagrama anterior no és una funció perquè alguns dels elements del domini no tenen imatge i hi ha almenys un element d’aquest conjunt que té dues imatges.
\[\color{red}{y=x^2}\] és una funció, però \[\color{blue}{y=\pm \sqrt x}\] no és una funció.
1.2 Funció elemental
Una funció elemental és una funció formada per funcions simples d’una variable amb operacions aritmètiques.
Les funcions elementals més simples són les irracionals (arrels), potències, exponencials, logarítmiques, polinòmiques, trigonomètriques i les trigonomètriques inverses. Simplificant, podem dir que són les funcions habituals que coneixem.
Exemple:
\[ y= 4 \\ y= x^3 \\ y= ln x \\ y= e^x \\ y= \sqrt {x} \\ y= x^2-9x+3 \\ y= \frac{x^2+2x+3}{x^2+1} \\ y= sin x \\ y= arcsin x \\ y= \frac{xe^x-\log_2(1+x^2)}{\sqrt{\arctan(3x)}} \]
No hi ha una definició de funció no elemental però, per exclusió, diem que una funció no és elemental si no és una funció elemental. Una funció amb factorials, per exemple, no sería una funció elemental.
1.3 Funció composta
Una funció composta és una operació de dues funcions \[f(x), \, g(x)\] que genera una nova funció \[h(x)\]: \[h(x)=f(x)∘g(x)=f[g(x)]\].
La funció \[h(x)\] és la funció resultant d’aplicar la funció \[g(x)\] a la funció \[f(x)\].
Una funció lineal \[y=m*x+n\] és una funció polinòmica de grau u, o bé zero. La gràfica de les funcions lineals és una recta. (\[a_1x+a_2x^{n-1}+a_3x^{n-2}…a_nx⁰, n \in \mathbb{R}\])
La \[m\] és el pendent o la inclinació de la recta. Si és positiva, la recta serà creixent, si és negativa serà decreixent i si és zero serà horitzontal.
La \[n\] és l’ordenada a l’origen (punt de tall amb l’eix de les \[y\] quan la \[x=0\]). L’ordenada a l’origen és el desplaçament vertical de la funció. Si és un valor positiu, estarà desplaçada cap amunt i si és negatiu cap avall.
Exemple:
\[y=2x+3, \, y= -3x, \, y=4\]
3.1.1 Propietats
El domini de la funció són tots el nombres reals (\[\mathbb{R}\].
La funció, o bé sempre creix, o bé sempre decreix o té un valor constant.
No tenen ni màxims, ni mínims, ni punts d’inflexió.
No tenen asímptotes.
No tenen ni simetria parella ni senars.
No són funcions periòdiques.
3.2 Funció proporcional
Una funció \[y=m*x+n\] és proporcional quan \[n=0\].
Exemples:
\[y=2x, \, y=-3x\]
y=2x
x
y
0
0
1
2
2
4
La variació dels valors de la variable dependent \[y\] són proporcionals a la variació de la variable independent \[x\]. És per això que diem que és una funció lineal proporcional.
Les funcions lineals proporcionals sempre passen per l’origen de coordenades \[(0,0)\].
3.1.2 Funció afí
En una funció lineal afí \[n \neq 0\]. Per tant, no passa per l’eix de coordenades. El valor de \[n\] indica el desplaçament vertical de la funció respecte a la funció proporcional del mateix pendent.
Exemples:
\[y=2x+3, \, y=-5x-8, \, y=6x-2 \]
y=2x+3
x
y
0
3
1
5
-1
1
3.1.3 Funció constant
En una funció lineal constant \[m=0\] i \[n \neq 0\]. Són funcions lineals de pendent zero.
Exemple:
\[y=-1\]
y=-1
x
y
0
-1
1
-1
2
-1
3.2 Funció recíproca
Les funcions recíproques \[y=\frac{\pm k}{x}\] són hipèrboles.
Un sistema d’equacions són dues o més equacions que compleixen certes igualtats per a uns valors determinats (solucions) de les incògnites.
Dues equacions són equivalents quan tenen les mateixes solucions.
El nombre de solucions d’un sistema és igual al grau de l’equació, tot i que en el conjunt dels nombres reals (\[\mathbb R\]) pot ser inferior quan apareixen arrels d’índex parell negatives com en aquest cas:
Al resoldre un sistema d’equacions determinem els punts secants (d’intersecció) de les equacions del sistema entre sí. Aquests són els punts que tenen en comú les equacions del sistema.
El nombre màxim de solucions serà el grau més gran de les equacions del sistema.
3.1 Lineals
3.1.1 Reducció o Eliminació
Consisteix en eliminar o reduir una de les incògnites del sistema d’equacions.
Per a eliminar-la, multiplicarem cada equació pel coeficient de la incògnita que volem eliminar de l’altre equació.
Aïllarem la \[y\] de cada equació i les representarem en un mateix gràfic.
Si el sistema és compatible determinat, el punt d’intersecció d’ambdues rectes serà la solució del sistema.
Si és indeterminat, ambdues rectes seran coincidents.
Si és incompatible, seran paral·leles.
3.2 No lineals
El millor mètode de resoldre sistemes d’equacions no lineals sol ser el mètode de substitució, tot i que s’ha d’analitzar en cada cas el sistema per a determinar quin és el millor métode de resolució.
Per a resoldre un sistema de tres equacions amb tres incògnites, usarem el sistema de reducció entre la primera i la segona equació, després entre la primera i la tercera i finalment entres les dues equacions resultants:
El mètode de resolució de sistemes d’equacions per Gauss, segueix el mètode clàssic de resolució per reducció. La diferència és que eliminarem les incògnites ordenadament (primer la \[x\], després la \[y\] i finalment la \[z\]) i que farem servir matrius sols amb els coeficients en comptes de tota l’equació.
El mètode de Crammer usa els determinants per a calcular els resultats del sistema d’equacions. Consisteix en canviar la columna de coeficients de la incògnita que volem calcular per la dels termes independents:
Quan el determinant de la matriu és zero, \[|A|=0\], diem que el sistema no és de Cramer. En aquest cas, per a resoldre el sistema indeterminat farem servir sols les equacions que són linealment independents fent la substitució \[z=\lambda\] que ara formarà part del terme independent:
Per a determinar els rangs de la matriu de coeficients \[A\] i de l’ampliada \[A^*\], farem la triangulació del sistema i analitzarem el nombre de files independents de cadascuna.
Si el determinant de la matriu de coeficients és zero, vol dir que el sistema no és determinat.
Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.
Una equació és una igualtat entre dues expressions matemàtiques que conté quantitats conegudes (coeficients) i quantitats desconegudes (incògnites). Resoldre una equació és trobar totes les solucions de l’equació.
Per a resoldre una equació de primer grau, farem el següents:
Eliminarem els denominadors: per a eliminar els denominadors usarem el mètode del mínim comú múltiple.
Resoldrem els parèntesis: aplicant la propietat distributiva \[a*(b+c)=a*b+a*c\].
Passarem a una banda de la igualtat els monomis sense \[x\] i a l’altra els termes independents. Recordeu que fem l’operació inversa al terme que volem moure per a passar-lo a l’altra banda de l’equació.
Reagrupem els monomis després de cada moviment.
Finalment, aïllem la \[x\] passant a dividir el coeficient que la multiplica:
\[2x+9=6+5x\]
En aquest cas no hi ha ni denominadors ni parèntesis, anem doncs al tercer pas. Posem les \[x\] a l’esquerra de la igualtat i el termes independents a la dreta.
Movem el \[9\] de l’esquerra a la dreta restant-lo a cada banda de la igualtat:
Fixeu-vos que això també és una equació biquadrada, perquè l’exponent del primer monomi és el doble de l’exponent del segon monomi i el tercer és el terme independent.
Si algun dels resultats de la \[t\] és negatiu, no es podrà trobar la \[x\] corresponent.
5. Irracionals
Són equacions en les quals la incògnita és sota una arrel, per exemple, \[\sqrt{x+1}=9\]. Per simplificació, sols analitzarem la resolució d’equacions irracionals amb arrels quadrades.
5.1 Amb una arrel
Per a solucionar una equació irracional:
Posarem el terme amb arrel a un costat de la igualtat i la resta de termes a l’altra,
Elevarem cada terme al quadrat per tal d’eliminar l’arrel, i
Resoldrem l’equació que resulti de fer els passos anteriors:
És el mateix procediment de resolució, però quan hi ha dues arrels, el càlcul sol ser més fàcil posant una arrel a cada banda de la igualtat. Si hi ha dues arrels, haurem de repetir els passos \[1\] i \[2\] dues vegades per a eliminar-les totes:
Són equacions que la incògnita és a l’argument d’un o més logaritmes (p.e:\[2*log(x+6)\]).
El logaritme és la funció inversa de les funcions exponencials (la inversa de les funcions potencials és la radicació): \[b^{exp}=n\] (potència), \[ log_b(n)=exp\]; \[2^3=8, , log_2(8)=3\].
El logaritme d’un nombre és l’exponent al qual hem d’elevar la base per obtenir el nombre. En aquest exemple, el logaritme de vuit en base dos és tres.
Els logaritmes foren inventats per John Napier a principis del segle XVII. La utilitat dels logaritmes és simplificar el càlcul quan hem d’operar amb nombres molt grans o molt petits.
Els logaritmes més comuns són els decimals o de base 10 ( \[log_{10}\] o \[log \]). Els logaritmes naturals o neperians ( \[log_e \] o \[Ln \]) tenen de base el nombre irracional \[e\].
1.1 Propietats dels logaritmes
Les propietats dels logaritmes són necessàries per a poder resoldre’n les equacions. Són les següents:
La incògnita del logaritme pot ser la base, l’exponent o el nombre, però per a resoldre’l sense calculadora sempre farem l’antilogaritme o potència. El mètode de resolució d’equacions logarítmiques és:
1. Descomponem les bases compostes (que no són primeres) 2. Fem l’antilogaritme 3. Resolem l’equació 4. Comprovem el resultat.
Si hi ha més d’un logaritme, no es podrà usar el mètode anterior de resoldre fent l’antilogaritme. En aquest cas, farem servir les propietats dels logaritmes per a transformar l’equació en la forma compacta equivalent i quan l’hagem transformat amb un sol logaritme, farem l’antilogaritme:
En el primer exemple, \[x=2\] no és cap solució perquè l’argument de \[log(x-3), log(5x-13)\] és negatiu.
2. Equacions exponencials
Una equació és exponencial quan la incògnita és a l’exponent. Per a resoldre una equació exponencial usarem les propietats de les potències.
2.1 Propietats de les potències
Per a resoldre una equació potencial farem servir les propietats de les potències (recordeu que podem operar potències si tenen la mateixa base o el mateix exponent).
El mètode per a resolder equacions exponencials és el següent:
1. Descompondre les bases compostes en bases primeres 2. Trobar l’expressió potencial comuna a tots els termes 3. Fer el canvi d’aquesta expressió potencial comuna per t. 4. Resoldre l’equació resultant. 5. Desfer el canvi.
Tot i que no hi ha un mètode únic per a resoldre una equació trigonomètrica, en general es poden resoldre seguint el següent esquema:
1. Transformem les sumes en productes o els productes en sumes per tal de convertir els arguments amb més d’un angle en arguments amb un sol angle. 2. Transformem les funcions trigonomètriques derivades en les funcions trigonomètriques fonamentals (sin, cos). 3. Transformem tots els angles no simples de l’equació en simples. 4. Transformem tots els sinus a cosinus o a l’inrevés fent servir la identitat trigonomètrica fonamental (\[sin^2+cos^2=1\]). 5. Resolem l’equació trigonomètrica resultant.
Però l’ordre a seguir pot ser diferent per a cada equació trigonomètrica. Haurem d’avaluar en cada cas quin ordre s’ha de seguir per a resoldre l’equació de la millor manera.
Recordeu que el resultat d’una equació trigonomètrica es correspon amb dos angles i que també hi hem d’afegir els angles que es generen en cada volta completa a la circumferència (\[360*k, 2\pi*k\]). Per tant, la solució d’una equació trigonomètrica no és única, sinó que és una família de solucions:
\[
tg(\frac{\alpha}{2})=2
\\
arctg(2)=\alpha
\\
alpha=63.435º+360*k, k \in \mathbb{N}
\]
En aquest cas, simplifiquem una equació trigonomètrica amb més d’una funció i angles compostos en una equació d’una sola funció:
La tercera solució \[sin^{-1}(\frac{-2-\sqrt 2}{2})\] no és possible perquè \[\frac{-2-\sqrt 2}{2}=-1.707.\]
Demostrem una igualtat trignomètrica reduint les expressions de cada banda de la igualtat amb més d’una funció i angles compostos a una sola funció amb un angle simple:
A CEEdukat et preparem per a les proves d’accés dels cicles formatius de grau superior (CFGS), grau mig (CFGM), de la ESO (GESO), Selectivitat/ PAU (Prova d’accés a la Universitat) i PAP (Prova d’aptitud Personal).
Horaris flexibles de matí, tarda i dissabtes.
Classes individuals PRESENCIALS i ONLINE en grups reduïts.
En CEEdukat te preparamos para las pruebas de acceso a los ciclos formativos de grado superior (CFGS), grau medio(CFGM), de la ESO (GESO), Selectividad/ PAU (Prueba de Acceso a la Universidad) i PAP (Prueba de aptitud Personal).
Horarios flexibles de mañana, tardes y sábados.
Clases individuales PRESENCIALES i ONLINE en grupos reducidos.
Soliciten más información enviando este formulario:
Usem galetes per oferir una experiència més relevant al recordar les vostres preferències y visites. Polsant ACCEPTAR, consentiu l'ús de TOTES les galetes..
Aquest lloc web utilitza cookies per millorar la vostra experiència mentre navegueu pel lloc web. D’aquestes, les cookies que es classifiquen com a necessàries s’emmagatzemen al vostre navegador, ja que són essencials per al funcionament de les funcionalitats bàsiques del lloc web.
També fem servir cookies de tercers que ens ajuden a analitzar i entendre com utilitzeu aquest lloc web. Aquestes cookies s’emmagatzemaran al vostre navegador només amb el vostre consentiment. Teniu l’opció de desactivar aquestes cookies, però això pot afectar la vostra experiència de navegació.
Les galetes necessàries són absolutament essencials perquè el lloc web funcioni correctament. Aquesta categoria només inclou galetes que garanteixen funcionalitats bàsiques i funcions de seguretat del lloc web. Aquestes galetes no emmagatzemen cap informació personal.
Les galetes que no siguin especialment necessàries perquè el lloc web funcioni i s\'utilitzi específicament per recopilar dades personals de l\'usuari a través d\'analítiques, anuncis, altres continguts incrustats es desmenten com a galetes no necessàries. És obligatori obtenir el consentiment de l\'usuari abans d\'executar aquestes galetes al seu lloc web.
RSS CEEdukat
