En Centre d’Estudis Edukat te ayudamos a estudiar las asignaturas de los ciclos técnicos de formación profesional (FPro) de química, electricidad, electrónica, etc.
Estamos en Hospitalet de Llobregat.
Las clases son personalizadas en grupos reducidos de 4 ó 5 personas.
Solicitad más información enviando el siguiente formulario:
A Centre d’Estudis Edukat t’ajudem a estudiar les assignatures dels cicles tècnics de formació professional (química, electricitat, electrònica…).
Som a l’Hospitalet de Llobregat.
Les classes són personalitzades en grups reduïts de quatre o cinc alumnes.
Demaneu més informació enviant el següent formulari:
Les còniques són les corbes del pla que s’obtenen quan es talla una superfície cònica amb un pla.
L’equació general d’una cònica amb els eixos paral·lels als eixos de coordenades és:
\[Ax²+By²+Cx+Dy+E=0\]Si \[A=B\], és una circumferència (\[x²+y²+Ax+By+C=0\]).
Si \[A \neq B\] i són del mateix signe, és una el·lipse (\[Ax²+By²+Cx+Dy+E=0\]).
Si \[A \neq B\] i són de signe diferent, és una hipèrbola
\[Si \[A\] o \[B\] són zero, és una paràbola
\[Si \[A\] i \[B\] són zero, és una recta (\[Cx+Dy+E=0\]).
Per a calcular la intersecció d’una cònica amb els eixos o amb altres funcions es farà el sistema d’equacions que en resulta.
Una circumferència és el conjunt de tots els punts d’un pla la distància dels quals al centre és constant.
\[(x-a)²+(y-b)²=r²\]Es genera quan una superfície cònica és tallada per un pla horitzontal paral·lel a la base de la superfície cònica.
Els elements d’una circumferència són el centre i el radi.
Podem dibuixar una circumferència amb un centre i un radi o bé amb tres punts.
Per a calcular \[A,B,C\] a partir de l ‘equació reduïda:
\[(x-a)²+(y-b)²=r²\\Per tal que la circumferència existeixi a \[\mathbb{R}\] s’ha de complir que \[(\frac{A}{2})²+(\frac{B²}{2})²-C>0\].
Exemple:
\[Per a calcular l’equació reduïda a partir de la general, fem:
La potència d’un punt P respecte a una circumferència és: \[\overline{PA} \cdot \overline{PB}=d²-r²\]. El punt pot ser exterior, interior o de la circumferència.
Si ens donen un punt i l’equació d’una circumferència, per a calcular al distància d haurem de trobar l’equació de la recta i els punts d’intersecció amb la circumferència fent un sistema d’equacions no lineals. També haurem de recordar els coneixements de vectors en el pla per a calcular les distàncies.
El procediment que hem de seguir és:
L’eix radical de dues circumferències és el lloc geomètric dels punts que tenen la mateixa potència respecte a cada circumferència. És una recta perpendicular a la recta que uneix el centres de cada circumferència.
L’equació de l’eix radical és:
\[És el lloc geomètric del punts del pla que la suma de les distàncies a dos punts fixos (focus) és constant.
Si \[\overline{PF},\overline{PF’}\] són el radis vectors:
\[Una el·lipse es genera quan una superfície cònica és tallada per un pla que no és paral·lel a la generatriu de la superfície cònica.
Per a calcular els radis vectors fem:
\[\overline{PF}=a-ex, \; \overline{PF’}=a+ex\]Per a calcular l’eix secundari fem:
\[b=\sqrt{a²-c²}\]Per a calcular els vèrtexs d’una el·lipse centrada al \[(0,0)\] fem la intersecció de l’equació de l’el·lipse amb els eixos \[(x=0,\; y=0)\].
Per a obtenir l’equació reduïda a partir de la general i extreure’n els elements de l’el·lipse, fem:
Segons la posició i el centre de l’el·lipse, els focus, els vèrtexs i l’equació reduïda seran:
És el lloc geomètric dels punts del pla que fan que la diferència de les distàncies a dos punts fixos (focus) sigui constant \[2a\].
\[\overline{PF}-\overline{PF’}=2a\]S’obté una hipèrbola quan un pla talla verticalment dues superfícies còniques oposades pel vèrtex:
A l’eix principal l’anomenem eix real i a l’eix secundari eix imaginari.
Per a calcular els radis vectors d’una hipèrbola, fem:
\[\overline{PF}=\left|ex-a\right|, \; \overline{PF’}=\left|ex-a\right|\]Els vèrtexs d’una hipèrbola amb \[C(0,0)\] es calculen fent la intersecció del eixos amb la hipèrbola \[x=0, \; y=0\].
Les asímptotes es calculen fent:
\[y=\pm \frac{b}{a}x\]Per a calcular l’equació reduïda d’una hipèrbola a partir de la general, fem:
Segons la posició i el centre de la hipèrbola, els focus, els vèrtexs i l’equació reduïda seran:
Una paràbola és el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten del focus i de la directriu:
\[y²=2px\] \[Una paràbola s’obté tallant de forma obliqua una superfície cònica.
La distància del focus a la directriu s’anomena paràmetre.
L’eix és la recta que passa pel focus i és perpendicular a la directriu.
El vèrtex és el punt d’intersecció de la paràbola amb l’eix.
Segons si la paràbola té el vèrtex a \[V(0,0)\] i si la posició és vertical o horitzontal, la posició del focus, del vèrtex i l’equació reduïda serà:
La geometria (del grec, “mesura de la Terra) és la parts de les matemàtiques que estudia les relacions entre els elements que la formen (punt, recta, pla, angles i figures) i la manera de calcular-les.
Els elements de la geometria analítica a l’espai són el punt, la recta i el pla i els angles.
Vegeu Vectors en el pla per a saber-ne més.
El producte vectorial de dos vectors és un altre vector perpendicular al pla que formen aquests dos vectors. El sentit del vector del producte vectorial es pot determinar amb la regla de la mà dreta.
El mòdul del vector resultant del producte vectorial de dos vectors representa l’àrea tancada per aquests vectors.
El producte vectorial no és commutatiu.
Per a calcular el producte vectorial de dos vectors farem el següent determinant:
\[Exemple:
\[
El producte mixt de tres vectors \[[u,v,w]\] s’obté multiplicant escalarment el primer vector pel producte vectorial del segon i el tercer. També es pot calcular fent el determinat dels tres vectors. Representa el volum tancat per aquests tres vectors.
Exemple:
\[(Vegeu Equacions de la recta de Geometria en el pla per a saber-ne més).
Per a definir tots els punts d’un pla ens calen tres punts o dos vectors i un punt.
Si \[O\] és l’origen de coordenades del sistema de referència, \[\vec u_1, \vec u_2\] són els dos vectors del pla de referència, \[P\] és un punt del pla de referència i \[X\] és el punt que volem definir, l’equació vectorial del pla amb dos vectors i un punt és: \[\vec {OX}=\vec{OP}+\vec{PX}\].
El vector \[(A,B,C)\] de l’equació general és el vector normal de pla (vector lliure perpendicular a una recta, pla, o a un corba qualsevol):
\[\vec n(A,B,C)\]Exemple:
\[Si tenim tres punts, \[A,B,C\], calcularem dos vectors (\[\vec{AB}, \vec{AC}\], per exemple) i l’equació general del pla serà :
\[Definim un feix de plans a partir de dos plans que formen la recta d’intersecció comuna de tot els plans del feix (aresta del feix):
\[És a dir que, l’equació del feix de plans és la combinació lineal dels dos plans que determinen la recta \[r\].
Si \[\alpha\] és zero, tenim l’equació del segon pla, i si \[\beta\] és zero tenim la del primer pla.
També es pot definir l’equació del feix com:
\[Exemple:
\[
Podem estudiar la posició relativa de rectes i plans comparant-ne, o bé els punts i vectors, o bé comparant els rangs de les matrius formades amb les equacions generals de les rectes.
Si tenim l’equació general d’una recta però ens cal un vector i un punt, haurem de calcular-ne les equacions vectorial, paramètrica o continua.
Per a calcular l’equació paramètrica d’una recta si en tenim la general, farem:
Per a calcular l’equació general d’una recta si en tenim la paramètrica o continua farem com en l’exemple anterior els passos habituals per obtenir les diferents equacions d’una recta:
\[Per a calcular sols el vector d’una recta si en tenim l’equació general farem el producte vectorial del vectors normals de les equacions generals dels plans:
\[Si usem un vector \[\vec v\] i un punt de cada recta (\[P_r,P_s\]):
| Posició relativa | Comparació punts i vectors |
|---|---|
| Coincidents | \[\frac{\vec u_1}{\vec v_1}=\frac{\vec u_2}{\vec v_2}=\frac{\vec u_3}{\vec v_3} \; i \; P_r=P_s\] |
| Paral·leles | \[\frac{\vec u_1}{\vec v_1}=\frac{\vec u_2}{\vec v_2}=\frac{\vec u_3}{\vec v_3} \; i \; P_r \neq P_s\] |
| Secants | \[\frac{\vec u_1}{\vec v_1} \neq \frac{\vec u_2}{\vec v_2} \neq \frac{\vec u_3}{\vec v_3}\] i \[det(D)=0\] |
| S’encreuen | \[\frac{\vec u_1}{\vec v_1} \neq \frac{\vec u_2}{\vec v_2} \neq \frac{\vec u_3}{\vec v_3}\] i \[det(D) \neq 0\] |
Farem servir les equacions vectorial, paramètrica o continua per a determinar el vector i el punt de cada recta.
\[Si les rectes són coincidents, els vectors directors seran paral·lels i tindran els mateixos punts.
Si són paral·leles, els vectors directors seran paral·lels però tindran punts diferents.
Si les rectes són secants, els vectors directors no seran paral·lels i el determinant \[D\] dels dos vectors i el vector \[(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\] serà zero.
Si les rectes s’encreuen, els vectors directors no seran paral·lels i el determinant \[D\] dels dos vectors i el vector \[(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\] serà diferent de zero:
Exemple:
\[Per a analitzar la posició relativa comparant els rangs de les matrius de coeficients i ampliada hem d’usar les equacions generals de les dues rectes:
| Posició relativa | Rang matriu coeficients(*) | Rang matriu ampliada(*) |
|---|---|---|
| Coincidents | 3 | 4 |
| Paral·leles | 2 | 3 |
| Secants | 3 | 3 |
| S’encreuen | 3 | 4 |
Per a calcular la projecció d’una recta sobre un pla, fem:
El procediment és:
És la recta formada per cada un dels dos plans \[\pi_1,\pi_2\] que contenen a \[r,s\] respectivament i que passa per \[P\]. Per a calcular l’equació d’aquesta recta hem de trobar les equacions dels plans que contenen a \[r:, s:, \; i \; P\]:
Per a determinar la posició relativa d’una recta i un pla comparant punts i vectors usarem les equacions vectorial, paramètrica o continua de la recta i l’equació general del pla. Per fer-ho amb rangs, ens calen les equacions generals de la recta i del pla.
\[| Posició relativa | Comparació punts i vectors |
|---|---|
| Recta continguda en el pla | \[\vec v_r \cdot \vec n=0\; i \; P_r \in \pi\] |
| Recta i pla paral·lels | \[\vec v_r \cdot \vec n=0\; i \; P_r \notin \pi\] |
| Recta i pla secants | \[\vec v_r \cdot \vec n \neq 0\] |
| Posició relativa | Rang matriu coeficients(*) | Rang matriu ampliada(*) |
|---|---|---|
| Recta continguda en el pla | 2 | 2 |
| Recta i pla paral·lels | 2 | 3 |
| Recta i pla secants | 3 | 3 |
Si la recta està continguda en el pla, el producte escalar del vector de la recta i el normal del pla serà zero i els punts de la recta són punts del pla. Per a saber si un punt de la recta és també un punt del pla el substituirem a l’equació del pla:
Exemple:
\[Si la recta i el pla són paral·lels, el producte escalar dels dos vectors serà zero, però els punts de la recta i del pla són diferents:
Si el pla i la recta són secants , la recta tallarà el pla en un punt (Q). Q serà el punt que resulta de fer el sistema d’equacions generals de la recta i el pla.
Per a determinar la posició relativa de dos plans determinarem els rangs de les equacions generals del plans, o bé compararem els vectors i els punts de cada pla:
| Posició relativa | Comparació punts i vectors |
|---|---|
| Coincidents | \[\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}\] |
| Paral·lels | \[\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}\] |
| Secants | \[\frac{A_1}{B_1} \neq \frac{A_2}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\] |
| Posició relativa | Rang matriu coeficients(*) | Rang matriu ampliada(*) |
|---|---|---|
| Coincidents | 1 | 1 |
| Paral·lels | 1 | 2 |
| Secants | 2 | 2 |
Un pla bisector és un pla que passa per l’aresta d’un angle dièdric i el divideix en dos angles iguals. Un angle dièdric és una regió de l’espai compresa entre dos semiplans que tenen la mateixa recta, anomenada aresta de l’angle dièdric.
Per a calcular els dos plans bisectors que formen l’angle dièdric, farem:
\[Exemple:
\[
La distància \[d\] mínima o perpendicular d’un punt \[P\] a un pla (o a una recta) és el mòdul del vector projecció entre un punt del pla (origen) i el punt P (extrem).
El signe del vector distància és positiu si el sentit d’aquest vector és el mateix que el del vector normal del pla, i és negatiu si els sentits d’ambdós vectors són contraris.
Per a determinar la posició relativa de tres plans hem d’usar les equacions generals dels plans i calcular el rang de la matriu de coeficients i de l’ampliada. En alguns casos, també hem de tenir en compte els vectors directors dels plans per tal de no confondre dues posicions relatives amb el mateix resultat quan comparem els rangs:
\[| Posició relativa | Comparació vectors directores | Rang matriu coeficients(*) | Rang matriu ampliada(*) |
|---|---|---|---|
| Coincidents | 1 | 1 | |
| Paral·lels dos a dos | 1 | 2 | |
| Paral·lels i dos de coincidents | \[\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}\] | 1 | 2 |
| Secants i diferents | 2 | 2 | |
| Dos de coincidents i un de secant | \[\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}\] | 2 | 2 |
| Secants dos a dos | 2 | 3 | |
| Dos de paral·lels i un de secant | \[\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}\] | 2 | 3 |
| Secants en un punt | 3 | 3 |
La distància mínima és la distància perpendicular entre el punt i la recta.
El procediment que usarem és el següent:
\[Exemple:
\[
També podem calcular la distància de la següent manera (més complicada):
El vector normal \[\vec n\] del pla perpendicular a la recta és el vector de la recta \[\vec v_r\].
La distància d’un punt a un pla es calcula fent \[d(P,\pi)=\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A²+B²+C²}}\]. L’equació del pla ha d’estar en forma general.
Exemple:
\[
Per a calcular la distància entre dos punts hem de calcular el mòdul del vector entre els dos punts.
Exemple:
\[
Es determina calculant la distància d’un punt d’una recta a l’altra recta.
Es determina calculant la distància d’un punt de la recta al pla.
Es determina calculant la distància d’un punt d’un pla a l’altre pla.
Per a calcular l’angle entre dos vectors fem:
\[\cos \theta=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\left| u \right| \cdot \left| v \right|}\]Exemple:
\[
L’angle entre la recta i el pla és \[90-\theta\]. Aquest angle també es pot calcular directament fent \[\sin \theta=\frac {\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|}\].
Es calcula de la mateixa manera que l’angle entre dues rectes l’angle_entre dues rectes fent servir els vectors normals dels plans.
(Vegeu Vectors en el pla per a saber-ne més.)
Una recta és un conjunt de punt infinits en línia. Podem definir una recta amb dos punts o amb un punt i un pendent.
L’equació d’una recta es pot expressar de diferents maneres. Farem sevir l’equació que més ens convingui per tal de fer els càlculs més fàcilment o segons les dades disponibles.
L’equació vectorial de la recta es dedueix de la definició d’una recta amb dos punts: si a un punt d’origen de la recta que volem definir li sumem un nombre determinat de vegades (\[t\]) un dels vectors directors de la recta podem trobar-ne qualsevol altre punt.
\[(x,y)=(x_0,y_0) + t \cdot (u,v)\]Igualant els components \[x\] i \[y\] de l’equació vectorial:
\[Aïllant el paràmetre \[t\] de cadascuna de les equacions paramètriques anteriors:
\[Surt de fer el producte d’extrems i de mitjos de l’equació contínua:
\[El vector \[\vec{n}=(A,B)\] és un dels dos vectors perpendiculars de la recta. Per a calcular el vector perpendicular d’una recta tan sols hem de permutar els components del vector i canviar-ne un de signe.
Els vectors perpendiculars de dues rectes formen el mateix angle que els vectors directors.
Exemple:
\[\vec{v}=(9,-6) \rightarrow \vec{n_1}=(6,9), \enspace \vec{n_2}=(-6,-9)\].
Aïllant la \[y\] de l’equació general:
\[Es dedueix de la definició de la recta amb un punt i un pendent:
\[Els denominadores de l’equació canònica són les coordenades \[x\] i \[y\] del punts de tall amb els eixos de coordenades \[(a,0)\] i \[(0,b)\]:
\[Exemple:
\[O bé dues rectes són paral·leles, o bé són secants. Per a determinar si dues rectes son paral·leles o coincidents (paral·lelisme) o secants (amb un angle qualsevol o perpendiculars) resoldrem el sistema d’equacions lineals.
(Vegeu Classificació dels sistemes d’equacions per a saber-ne més.)
Calcularem la distància mínima o perpendicular entre un punt i una recta usant la fórmula següent:
Exemple:
\[Calcularem l’angle entre dues rectes secants amb la fórmula següent:
\[Exemple:
\[La integració (antiderivada) és el càlcul de la funció primitiva \[F(x)\] d’una funció \[f(x)\] . Si \[f(x)=F'(x) \Rightarrow \int f(x) \; dx=F(x)\].
La integració i la derivació són funcions inverses.
Si \[ f(x)\] és la funció derivada d’una funció primitiva \[ F(x)\]:
1.1.1 \[\int {k \cdot f(x) \;dx}= k \cdot \int{f(x) \;dx}\]
1.1.2 \[\int {f(x)+g(x)\;dx}= \int{f(x) \;dx+\int{g(x) \;dx}}\]
1.1.3 \[\int {d[f(x)]}= f(x)\]
Una integral indefinida són totes les funcions primitives \[F(x)\] d’una funció \[f(x):\] \[\int f(x) \enspace dx=F(x)+C\]. Les diferents funcions es diferencien una de l ‘altra tan sols per un paràmetre \[C\].
Exemple:
\[A la integral d’una funció derivada (primitiva) li hem d’afegir una constant \[C\] perquè la derivada d’una constant és zero, i quan derivem la primitiva aquesta constant es perd. Aquest paràmetre és el deplaçament vertical de la funció.
Són les integrals que s’obtenen de les regles de derivació invertides:
Exemple:
\[Les integrals obtingudes d’aquesta manera formen la taula d’integrals.
| f (x) | f(u) | F(x) | F(u) |
| \[\int dx\enspace\] | \[\int du\] | \[x+C\] | \[u+C\] |
| \[\int k \enspace dx\] | \[\int k \enspace du\] | \[kx+C\] | \[ku+C\] |
| \[\int {\frac{dx}{x}} \enspace dx\] | \[\int {\frac{du}{u}} \enspace dx\] | \[\ln x+C\] | \[\ln u+C\] |
| \[\int e^x \enspace dx\] | \[\int e^u \enspace du\] | \[e^x+C\] | \[e^u+C\] |
| \[\int a^x \enspace dx\] | \[\int a^u \enspace du\] | \[\frac{a^x}{\ln a}+C\] | \[\frac{a^u}{\ln a}+C\] |
| \[\int \sin x \enspace dx\] | \[\int \sin u \enspace du\] | \[-\cos x+C\] | \[-\cos u+C\] |
| \[\int \cos x \enspace dx\] | \[\int \cos u \enspace du\] | \[\sin x+C\] | \[\sin u+C\] |
| \[\int \tan x \enspace dx\] | \[\int \tan u \enspace du\] | \[-\ln |\cos x |+C\] | \[-\ln |\cos u |+C\] |
| \[\int \frac{1}{\sqrt{1-x²}} \enspace dx\] | \[\int \frac{1}{\sqrt{1-u²}} \enspace du\] | \[\arcsin x+C\] | \[\arcsin u+C\] |
| \[\int \frac{-1}{\sqrt{1-x²}} \enspace dx\] | \[\int \frac{-1}{\sqrt{1-u²}} \enspace du\] | \[\arccos x+C\] | \[\arccos u+C\] |
| \[\int \frac{1}{1+x²} \enspace dx\] | \[\int \frac{1}{1+u²} \enspace du\] | \[\arctan x+C\] | \[\arctan u+C\] |
La resolució és immediata, la integral d’una de les funcions derivades de la columna esquerra és la funció primitiva que li correspon de la columna de la dreta.
Per la regla de la cadena de derivació de funcions compostes, la integral ha d’encloure \[du\] la derivada d’ \[u\]:
\[Si hem de resoldre una integral que no és immediata, haurem de descompondre-la en una o més integrals que sí són immediates i després resoldre cadascuna d’aquestes intergrals.
Els procediments de descompondre la integral original en integrals de la taula d’integrals immediates són els mètodes d’integració.
La tria del mètode d’integració dependrà de la funció que volem integrar. L’ordre de verificació del mètode d’integració més adient, és:
En aquesta entrada veurem com es fan sobretot els mètodes \[1,2,3,4\].
Són integrals que no són immediates però que es poden transformar fàcilment en immediates fent algunes transformacions simples. Es resolen usant la taula d’integrals i les propietats de les integrals. De fet, es resolen per mètodes de susbstitució molt senzills.
Exemple:
\[En aquest exemple, hem usat la tercera integral immediata de la taula d’integrals i la primera propietat de les integrals per a resoldre la integral de l’exemple.
Quan la funció que volem integrar és el producte de dues funcions i no es una integral immediata o quasi immediata, intentarem resoldre-la per parts.
La fórmula que usarem per a aplicar aquest mètode és \[\int {u \; dv}=u \cdot v – \int {v \; du}\]. El perquè d’aquesta fórmula és:
\[La integral \[\int v \; du\] ha de ser més fàcil de resoldre que la integral original \[\int u \; dv\] i el terme de susbstitució \[dv\] ha d’incloure sempre el terme \[dx\] de la integral original.
Exemple:
\[De vegades, quan la integral està formada per les funcions \[e^u, \; \sin x/ \cos x\], haurem d’integrar per parts dues o més vegades:
\[La descomposició en fraccions simples és el procediment invers de l’operació de suma de fraccions algebraiques.
Quan la funció que volem integrar és una funció racional \[f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}\] i la integral no es pot resoldre més fàcilment per cap dels mètode anteriors, farem servir aquest mètode, tenint em compte que:
\[\[N(x)\] és el polinomi del numerador, \[D(x)\] és el polinomi del denominador, \[q(x)\] és el polinomi del quocient i \[r(x)\] és el polinomi residu de la divisió polinòmica.
Per a resoldre la integral, farem el següents passos:
Exemple:
\[Com que no és possible fer la divisió polinòmica, farem la descomposició en fraccions parcials. Recordeu que la descomposició en fraccions parcials és el procediment invers de l’addició de fraccions.
La seqüència del procediment és la següent:
Exemple:
1.Factoritzarem el denominador de la funció racional fins a obtenir-ne polinomis irreductibles. Els factors seran, o bé binomis lineals (x+a), o bé polinomis quadràtics irreductibles (ax²+bx+c).
2.Transformarem la funció racional en diferents fraccions de la següent manera: la fracció que correspon a cada factor lineal (x+a) és \[\ \frac{A}{(x+a)}\] (A és un valor constant).
La fracció que correspon a cada factor quadràtic (ax²+bx+c) és \[\frac{Ax+B}{(ax²+bx+c)}\]. En ambdós casos, a cada factor li corresponen tantes fraccions com multiplicitat o nombre de solucions múltiples tingui el factor.
Exemple:
\[
1.\frac{2x²+5}{x⁷+6x⁶+14x⁵+20x⁴+25x³+22x²+12x+8}\\
\frac{2x²+5}{(x+2)³ (x²+1)²}\\[0.5cm]
\text{Factor lineal: (x+2), multiplicitat 3}\\
\text{Factor quadràtic: (x²+1), multiplicitat 2}\\[0.5cm]
2.\frac{2x²+5}{(x+2)³ (x²+1)²}=\frac{A}{(x+2)³}+\frac{B}{(x+2)² }+\frac{C}{(x+2)¹}+\frac{Dx+E}{(x²+1)²}+\frac{Fx+G}{(x²+1)¹}
\]]
3.Farem l’addició de fraccions i eliminarem els denominadors.
4.Igualarem els coeficients de cada monomi del numerador amb els coeficients dels monomis semblants del denominador.
5.Resoldrem el sistema d’equacions obtingut.
6.Un cop feta la descomposició de la funció racional en fraccions més simples, farem les integrals de cada fracció.
Exemple:
\[En aquest mètode es modifica la funció \[f(x)\] substituint-ne una part per una expressió algebraica perquè la funció resultant sigui més fàcil d’integrar. Aquests expressió es funció d’una nova variable independent \[g(t)\].
El mètode de substitució o de canvi de variable per a calcular primitives té el seu origen en la regla de la cadena per a derivades.
El procediment per a aquest mètode és:
1.Trobar el canvi de variable adient que transformi la funció \[f(x)\] en una altra de més senzilla.
2.Calculem la funció \[g(t)\] que resulta de fer el canvi de variable i substituim \[f(x)\] per aquesta funció.
3.Fent servir el canvi de variable, calculem i substituim \[dx\].
4.Resolem la integral \[\int {g(t) \; dt}\].
5.Desfem el canvi.
Exemple:
\[| \[ \int f(ax+b) \ dx = \frac {1}{a} \int f(u) \ du\] | \[u=ax+b\] |
| \[ \int f(\sqrt{ax+b} \ dx = \frac{2}{a} \int u\cdot f(u) \ du\] | \[u=\sqrt{=ax+b}\] |
| \[ \int f(\sqrt[n]{ax+b}) \ dx= \frac{n}{a} \int u^{n-1} f(u) \ du\] | \[u=\sqrt[n]{ax+b}\] |
| \[ \int f(\sqrt{a^2+b^2}) \ dx= a \int f(a\cdot \cos u ) \ du\] | \[u=a\cdot\sin u\] |
| \[ \int f(e^{ax}) \ dx = \frac{1}{a} \int \frac{f(u)}{u} \ du\] | \[u=e^{ax}\] |
| \[ \int f(\ln x) \ dx=\int f(u) e^u du\] | \[u=\ln x\] |
Una integral definida és la integració d’una funció \[f(x)\] en un interval del seu domini: \[A=\int_{a}^{b}{f(x)\; dx}\].
\[a,b\] són els límits inferior i superior de l’interval.
El valor \[A\] de la integral representa l’àrea tancada per la funció entre els límits \[a,b\] i l’eix \[OX\].
Si calculem l’àrea que hi ha dessota de la funció (línia carabassa) aproximant-la a la del rectangle verd, podríem fer un error important. Però si dividim l’àrea en rectangles petits, calculem l’àrea de cadascun, i en fem la suma, el resultat serà més aproximat i l’error més petit. El cálcul serà més precís com més estrets siguin els rectangles. Si l’amplada dels rectangles és infinitesimal (infinitament petita), el resultat serà pràcticament exacte ( \[dx=\Delta x \rightarrow 0\]).
Per fer el cálcul d’una intergral definida usem la regla de Barrow (el segon teorema fonamental del càlcul:
\[A=\int_{a}^{b}{f(x) \; dx}=F(b)-F(a)\]Exemple:
\[El procediment per a calcular l’àrea tancada per dues o meś funcions entre els límits \[a, b\] i l’eix \[OX\], és el següent:
El càlcul de la integral es fa amb valor absolut per evitar que l’àrea sigui negativa.
Exemple:
La programació lineal és la part de les matemàtiques que determina el valor de les variables restringides \[x, y\] d’una funció \[f(x,y)\] que es vol maximitzar o minimitzar. La funció i les restriccions són funcions lineals.
A batxillerat, també s’estudia com fer l’optimització de funcions no lineals de dues variables.
(Vegeu també l’entrada Inequacions per a saber-ne més)
Els passos per a resoldre els exercicis de programació lineal són:
Exemple (PAU juny 2001):
2.
Nombre de vestits A: \[x\]
Nombre vestits B: \[y\]
Funció objectiu: \[f(x,y)=30x+30y\]
Taula de restriccions:
| A | B | m² | |
|---|---|---|---|
| Llana | \[3x\] | \[2y\] | \[\leq 120\] |
| Cotó | \[1x\] | \[2y\] | \[\leq 80\] |
3.
Per a delimitar la regió factible, dibuixarem la funció lineal de cada inequació.
Cada funció divideix el pla en dos semiplans. Per a determinar quin és el semiplà solució, substituirem un punt qualsevol del pla en la inequació. El punt que triem no ha de ser un punt de les rectes de les inequacions. Normalment agafem el (0,0) per comoditat de càlcul.
Si es compleix la inequació, el semiplà solució és el pla al qual pertany el punt anterior, sinó és l’altre.
Farem el mateix procediment per a cada inequació. La regió comuna als semiplans és la regió factible.
Exemple:
\[
4.
Per a calcular el vèrtex de color blau, fem el sistema d’equacions:
\[
y=\frac{80-x}{2}=\frac{120-3x}{2}\\
2(80-x)=2(120-3x)\\
80-120=-3x+x\\
2x=40\\
x=20\\[1cm]
y=\frac{80-x}{2}\\
y=30
\]
5.
\[6. El punt que maximitza la funció és el \[\textbf {(20,30).}\]
La solució de l’apartat b) és:
\[6. El punt que maximitza la funció és també el \[\textbf {(20,30).}\]
A pesar que las clases particulars a domicilio son populares, ir a una academia para hacer clases de refuerzo tiene algunas ventajas que las clases particulares a domicilio no pueden ofrecer.
Por esta razón, queremos exponer las principales características de las clases de refuerzo de CEEdukat:
En CEEdukat sentimos pasión por la enseñanza!
Soliciten más información enviando este formulario:
Tot i que les classes particulars a domicili són populars, anar a una acadèmia a fer classes de reforç té algunes avantatges que no poden oferir les particulars a domicili.
És per això, que volem exposar les característiques principals de les classes de reforç de CEEdukat:
A CEEdukat sentim passió per l’ensenyament!
Demaneu-nos més informació enviant aquest formulari:
La derivada d’una funció en un punt és el valor del pendent de la recta tangent en aquest punt.
El pendent o la inclinació (\[\varphi\]) de la línia de color blau (taxa de variació mitjana) és \[\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\].
Però aquesta inclinació no coincideix amb la inclinació de la recta tangent en el punt de tangència \[x_1\] (línia de color carabassa). Les inclinacions coincidiran quan la diferència entre \[x_2\] i \[x_1 \enspace (h)\] sigui infinitament petita.
Ara bé, si introduïm cadascuna de les funcions elementals en el la fórmula de la definició de derivada anterior i fem els càlculs necessaris, el resultat que obtenim és la funció derivada. La funció derivada és la funció que ens informa del pendent de la funció primitiva o sense derivar en qualsevol punt.
Exemple:
\[D’aquesta manera, obtenim la taula de derivades de les funcions elementals:
| \[f(x)\] | \[f'(x)\] |
|---|---|
| \[y=k\] | \[y’=0\] |
| \[y=x\] | \[y’=1\] |
| \[y=kx\] | \[y’=k\] |
| \[y=x^n\] | \[y’=nx^{(n-1)}\] |
| \[y=\ln x\] | \[y’=\frac{1}{x}\] |
| \[y=e^x\] | \[y=e^x\] |
| \[y=\log_a x\] | \[y’=\frac{1}{x.ln a}\] |
| \[y=a^x\] | \[y=a^x. \ln a\] |
| \[y=\sin x\] | \[y’=\cos x\] |
| \[y=\cos x\] | \[y’=-\sin x\] |
| \[y=\tan x\] | \[y’=sec²x\] |
| \[y=\arcsin x\] | \[y’=\frac{1}{\sqrt{1-x²}}\] |
| \[y=\arccos x\] | \[y’=-\frac{1}{\sqrt{1-x²}}\] |
| \[y=\arctan x\] | \[y’=\frac{1}{1+x²}\] |
Les propietats de les derivades són:
a) Derivada d’una suma/ diferència de funcions: \[[f(x)+g(x)]’=f'(x)+g'(x)\]
b) Derivada d’un producte de funcions: \[[f(x) \cdot g(x)]’=f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)\]
c) Derivada d’un quocient de funcions: \[[\frac{f(x)}{g(x)}]’=\frac{f'(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{[g'(x)]²}\]
Si \[f(x)\] i \[g(x)\] són dues funcions derivables i \[h(x)\] és la funció composta d’aquestes dues funcions, la derivada d’ \[h(x)=f(x) ∘ g(x)= f[g(x)]\] és \[h'(x)=f'[g(x)] \cdot g'(x)\].
Exemple:
\[Per tant, la taula de derivades d’una funció composta és:
| \[h(x)\] | \[h'(x)\] |
|---|---|
| \[y=k\] | \[y’=0\] |
| \[y=k \cdot h(x)\] | \[y’=k \cdot h'(x)\] |
| \[y=h(x)^n\] | \[y’=n \cdot h(x)^{n-1} \cdot h'(x)\] |
| \[y=\ln h(x)\] | \[y’=\frac{h'(x)}{h(x)}\] |
| \[y=e^{h(x)}\] | \[y=e^{h(x)} \cdot h'(x)\] |
| \[y=\log_a h(x)\] | \[y’=\frac{h'(x)}{h(x).ln a}\] |
| \[y=a^{h(x)}\] | \[y=a^{h(x)} \cdot \ln a \cdot h'(x)\] |
| \[y=\sin h(x)\] | \[y’=\cos h(x) \cdot h'(x)\] |
| \[y=\cos h(x)\] | \[y’=-\sin h(x) \cdot h'(x)\] |
| \[y=\tan h(x)\] | \[y’=sec²h(x) \cdot h'(x)\] |
| \[y=\arcsin h(x)\] | \[y’=\frac{h'(x)}{\sqrt{1-h²(x)}}\] |
| \[y=\arccos h(x)\] | \[y’=-\frac{h'(x)}{\sqrt{1-h²(x)}}\] |
| \[y=\arctan h(x)\] | \[y’=\frac{h'(x)}{1+h²(x)}\] |
La monotonia d’una funció es refereix al creixement i decreixement de la funció en cada interval del domini.
Els punts crítics d’una funció són els punts que anul·len la primera derivada (\[y’=0\]). Aquests punts són els possibles màxims, mínims i punts d’inflexió de la funció.
Els màxims i mínims són els punts en els quals canvia la monotonia o creixement de la funció.
El punt en el qual la monotonia de la funció canvia de decreixent a creixent, és un mínim. En aquest punt, la inclinació o pendent és zero, abans d’aquest punt és negativa i després és positiva.
Exemple:
El punt en el qual la monotonia de la funció canvia de creixent a decreixent, és un màxim. En aquest punt, la inclinació o pendent és zero, abans d’aquest punt és positiva i després és negativa.
Els punts d’inflexió són els punts en els quals canvia la curvatura de la funció. La curvatura indica el canvi de direcció de les tangents d’una funció entre dos punts de tangència.
La curvatura en un interval és positiva si la la gràfica de la funció està per sobre la de la recta tangent.
La curvatura en un interval és negativa quan la gràfica de la funció està per sota de la recta tangent.
Si una funció té curvatura positiva en un interval, tindrà un punt mínim en aquest interval. Si una funció té curvatura negativa en un interval, tindrà un màxim en aquest interval.
Per a determinar els punts d’inflexió, farem la segona derivada igual a zero \[y”=0\]. Si hi ha un canvi de signe (concavitat) en un punt, aquest punts és un punt d’inflexió.
Exemple:
\[
Una altra manera de determinar si un punt singular és un màxim o un mínim, es fent la segona derivada i determinant el signe en aquest punt: si és positiu serà un mínim i si és negatiu serà un màxim.
Exemple:
\[Una altra aplicació de les derivades és trobar l’equació de la recta tangent en un punt.
Per a resoldre exercicis de la recta tangent farem:
Exemple:
\[És trobar els valors de les variables de la funció objectiu (funció que es vol maximitzar o minimitzar) tenint en compte les restriccions (limitació dels valors de les variables).
Per a resoldre els exercicis d’optimització farem:
Exemple:
Hem de determinar quins valors de la longitud dels catets d’un triangle rectangle fan que l’àrea sigui màxima tenint en compte que la hipotenusa ha de fer 12 unitats de longitud:
RSS CEEdukat