Arxiu de categories Primària

La descomposició en factors primers és el procediment per a descompondre un nombre compost en els seus factors primers.

Factor: Cadascun dels elements que formen una cosa (en el producte $2*3=6$, els factors que formen el sis són el dos i el tres).

Nombre primer: És un nombre que solament es pot descompondre en la unitat i en ell mateix. Per exemple: $5=5*1, 17=17*1, 23=23*1$. $5, 17$ i $23$ són nombres primers perquè sols es poden descompondre en el mateix nombre multiplicat per u.

Nombre compost: És un nombre que es pot descompondre en factors primers. Per exemple, $12=2²*3, 15=5*3, 75=5²*3, 49=7²$. $12, 15, 75$ i $49$ són nombres compostos perquè es poden descompondre en factors primers.

Per a descompondre un nombre compost en els seus nombre o factors primers, hem de conèixer els criteris de divisibilitat per tal de saber per a quin nombre primer és divisible un nombre compost:

$\enspace 48 \div 2=24 \\ \enspace 24 \div 2=12 \\ \enspace 12 \div 2=6 \\ \enspace 6 \div 2=3 \\ \enspace 3 \div 3=1$ $\enspace 36 \div  2=18 \\ \enspace 18 \div  2=9 \\ \enspace 9 \div  3=3 \\ \enspace 3 \div  3=1$ $\enspace 180 \div 2=90 \\ \enspace 90 \div 2=45 \\ \enspace 45 \div 3=15 \\ \enspace 15 \div 5=5 \\ \enspace 5 \div 5=1$

(Vegeu l’entrada criteris de divisibilitat per a saber-ne més.)

Els criteris de divisibilitat són mètodes per a reconèixer ràpidament per a quin nombre és divisible un nombre compost. Conèixer els criteris de divisibilitat ens ajudarà a agilitzar els càlculs de la descomposició factorial.

Els criteris de divisibilitat més útils són:

* Un nombre compost és divisible per $2$ si acaba en nombre parell $(0,2,4,6,8).$

$1; 256; 498, 256; 890, 563; 974$ són nombre divisibles per $2$, però $126; 597, 32; 685, 23; 695; 281$ no són divisibles per $2$.

* Un nombre compost és divisible per $3$ si la suma de les seves xifres és un nombre divisible per $3$.

$526→5+2+6→13→1+3→4$. Quatre no és divisible per $3$, per tant, $526$ tampoc ho és (comprova-ho amb la calculadora).

$17; 568 → 1+7+5+6+8 → 27→2+7→9$. Nou es divisible per $3$, per tant, $17; 568$ també ho és (comprova-ho amb la calculadora).

* Un nombre és divisible per $5$ si acaba en zero o en cinc $(0,5,10,15,20,25…)$.

Per a calcular el màxim comú divisor de dos o més nombres, primer farem la descomposició en factors primers de cada nombre. A continuació, agafarem de cada factor primer comú el factor que estigui elevat a l’exponent més petit.

En els exemples següents, mostrem en color vermell els factors primers comuns i en color blau el factors primers no comuns de cada nombre. Adoneu-vos que un factor és comú sols si apareix en la descomposició de tots els nombres:

$a) \enspace 100 , 375: \\ \hspace{11pt}100=\color {red} {5^2}* \color {blue} {2^2} \\ \hspace{14pt}375=\color {blue} 3*\color {red} {5^3} \\[0.5cm] \hspace{13pt}MCD( 100,375)=5^2=25 \\[1cm] b) \enspace 36,25,48: \\ \hspace{11pt}36=\color {blue}{2^2}* \color {red} {3^2} \\ \hspace{13pt}135=\color {blue} 5*\color {red} {3^3} \\ \hspace{13pt}48=\color {blue} {2^4}*\color {red} 3 \\[0.5cm] \hspace{12pt}MCD(136,25,48 )={3^1}=3 \\[1cm] c) \enspace 100 , 375, 27: \\ \hspace{11pt}100=\color {blue} {5^2*2^2} \\ \hspace{14pt}375=\color {blue} {3*5^3} \\ \hspace{14pt}27=\color {blue} {3^3} \\[0.5cm] \hspace{14pt} MCD( 100,375,27)=1$

En aquest cas, l’únic factor comú que hi ha és l’u.

(Vegeu les entrades mínim comú múltiple i descomposició factorial per a saber-ne més.)

Per a calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres, primer farem la descomposició en factors primers de cada nombre. A continuació, agafarem de cada factor primer el factor que estigui elevat a l’exponent més gran.

En els exemples següents, mostrem en color vermell els factors primers comuns i en color blau el factors primers no comuns de cada nombre. Adoneu-vos que un factor és comú sols si apareix en la descomposició de tots els nombres:

$a) \enspace 100 , 375: \\ \hspace{12pt} 100=\color {red} 5^2* \color{blue} 2^2 \\ \hspace{15pt} 375=\color {blue} 3*\color {red} 5^3 \\[0.5cm] \hspace{12pt} mcm( 100,375)=2^2*3*5^3=1 500 \\[1cm] b)  \enspace 36,25,48: \\ \hspace{10pt}36=\color{blue} 2^2* \color {red} 3^2 \\ \hspace{13pt}135=\color{blue} 5*\color {red} 3^3 \\ \hspace{13pt}48=\color{blue} 2^4*\color {red} 3 \\[0.5cm] \hspace{13pt}mcm(136,25,48 )=2^4*3^3*5=2 160$

(Vegeu les entrades màxim comú divisor i descomposició factorial per a saber-ne més.)