Física archivos - Centre d'Estudis Edukat

Apèndix de cinemàtica

1. Cinemàtica relativista

En mecànica relativista, el temps i la distància depenen de l’observador que els mesuri.

1.1 Transformacions de Lorentz:

El 1881, els físics nord-americans Michelson i Morley mesuraren la velocitat de la llum en diferents direccions i, sorprenentment, trobaren que era sempre la mateixa. No obstant això, les transformacions de Galileu indiquen que cap objecte pot tenir la mateixa velocitat respecte a dos observadors que es mouen uniformement (MRU).

Einstein resolguí aquesta paradoxa el 1905 establint que la velocitat de la llum és la mateixa per a qualsevol observador. És a dir, que l’interval de temps que transcorre entre dos esdeveniments depèn de l’observador que el mesuri.

Per tant, s’han d’ajustar les transformacions de Galileu perquè la velocitat de la llum sigui invariant. Dos observadors (O i O’) que es mouen uniformement amb una velocitat relativa u respecte a l’eix X ajusten els rellotges perquè t=t’=0. Si en l’instant t=0, cada observador emet un raig de llum en direcció al punt A:

\begin{matrix} Per a cada observador es compleix que r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}, essent r = ct . Per tant, \\ {\begin{matrix} \begin{matrix} r = ct \to {(ct)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} (1) \\ r = ct' \to {(ct')}^{2} = x'^{2} + y'^{2} + z'^{2} (2) \end{matrix} \end{matrix} \\ Subtituint les equacions de les transformacions de Galileu en l'equació del segon observador: \\ x' = x - ut; y' = y; z' = z; t' = t \to x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 xut + u^{2} t^{2} \\ Per tant, les Transformacions de Galileu ara no funcionen perquè no es compleix la igualtat. \\ El terme 2 xut + u^{2} t^{2} conté temps i espai. Si ajustem x' i t' per fer que les equacions (1) i (2) coincideixin: \\ x' = k (x - ut) i t' = a (t - bx) : \\ k^{2} (x^{2} - 2 uxt + u^{2} t^{2}) + y^{2} + z^{2} = c^{2} a^{2} (t^{2} - 2 bxt + b^{2} x^{2}) \\ (k^{2} - b^{2} a^{2} c^{2}) x^{2} - 2 (k^{2} u - b a^{2} c^{2}) xt + y^{2} + z^{2} = (a^{2} - k^{2} \frac{u^{2}}{c^{2}}) c^{2} t^{2} \\ k^{2} \to b^{2} a^{2} c^{2} = 1, k^{2} u - b a^{2} c^{2} = 0, a^{2} - k^{2} \frac{u^{2}}{c^{2}} = 1 \\ Per tant, \\ k = a = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}}, b = u / c^{2} \\ {\begin{matrix} \begin{matrix} x' = k (x - ut) = \frac{x - ut}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} \end{matrix} \\ y' = y \\ z' = z \\ t' = a (t - bx) = \frac{t - ux / c^{2}}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} \end{matrix} \\ L'expressió \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} és el factor de Lorentz \\ Quan u ≪ c, s'obtenen les transformacions de Galileu. \end{matrix}

1. 2 Transformacions de velocitat

\begin{matrix} v_{x} = \frac{dx}{dt}, v_{y} = \frac{dy}{dt}, v_{z} = \frac{dz}{dt} \\ v'_{x} = \frac{dx'}{dt'}, v'_{y} = \frac{dy'}{dt'}, v'_{z} = \frac{dz}{dt'} \\ {\begin{matrix} \begin{matrix} dx' = \frac{dx - u dt}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} = \frac{v_{x} - u}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} dt \\ dy' = dy \\ dz' = dz \\ dt' = \frac{dt - u dx / c ²}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} \end{matrix} \end{matrix} \to {\begin{matrix} \begin{matrix} v'_{x} = \frac{dx'}{dt'} = \frac{v_{x} - u}{u - v_{x} / c^{2}} \\ v'_{y} = \frac{dy'}{dt'} = \frac{v_{y} \sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}}{1 - u v_{x} / c^{2}} \\ v'_{z} = \frac{dz'}{dt'} = \frac{v_{z} \sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}}{1 - u v_{x} / c^{2}} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}

Si considerem que el moviment sols és en la direcció de l’eix \[X \] i anomenem \[v\] a \[v_x\]

v ’ = \frac{v_{x} - u}{u - v_{x} / c^{2}}, v ’_{y} = v ’_{z} = 0

1. 3 Conseqüències de les Transformacions de Lorentz

1.3.1 Temps i espai propi

Anomenem longitud pròpia \[L_0\] a la longitud mesurada per l’observador que és en el mateix sistema de referència que l’objecte. En aquest cas, l’observador i l’objecte tindran una velocitat relativa \[u=0.\]

Anomenem temps propi \[\tau, t_0\] a l’interval de temps que mesura l’observador pel qual dos esdeveniments ocorren en la mateixa posició.

La longitud o temps no propis els indiquem per L’, t’.

1.3.2 Contracció de la longitud

Per a fer la mesura de la longitud d’un objecte que és en MRU, l’observador en repòs ha d’emetre els dos rajos de llum simultàniament.

Per a un observador \[O’\], la longitud de la barra serà \[L’=x’_b-x’_a\]

Però, per a l’observador \[O\] la longitud serà \[L_0=x_b-x_a\]

\begin{matrix} x'_{a} = \frac{x_{a} - ut}{\sqrt{1 - u ² / c ²}}, x'_{b} = \frac{x_{b} - ut}{\sqrt{1 - u ² / c ²}} \to L' = \frac{x_{b} - x_{a}}{\sqrt{1 - u ² / c ²}} = \frac{L_{0}}{\sqrt{1 - u ² / c ²}} \\ L_{0} γ = L' \\ (L_{0} és la longitud pròpia i u és la velocitat relativa entre els observadors i c és la velocitat de la llum) \end{matrix}

Com que \[γ<0\], la longitud mesurada per l’observador \[O\], que veu la barra en moviment, és més petita que la mesurada per l’observador \[O’\], que veu l’objecte en repòs. És a dir, que els objectes en moviment semblen més curts.

1.3.3 Dilatació temporal

Si dos observadors en moviment relatiu mesuren la separació temporal entre dos esdeveniments, trobaran valors diferents. Considerant que un dels dos observadors mesura ambdós esdeveniments sense moure’s:

\begin{matrix} Δ t' = \frac{Δ t_{0}}{\sqrt{1 - {(u / c)}^{2}}} = Δ t_{0} \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} \\ Δ t' = \frac{Δ t_{0}}{γ} \end{matrix}

Cinemàtica

Introducció

La cinemàtica és una branca de la física mecànica que estudia el moviment dels objectes i l’anàlisi de les trajectòries que formen. Si la dimensió de l’objecte és molt més petita que la de la trajectòria, el tractem com un punt o una partícula sense dimensions. Per exemple, considerarem una molècula com una partícula en moviment, però no seria adequat tractar les marees com a partícules si en volguéssim estudiar el moviment.

El moviment és un canvi de posició en el temps. Pot ser rectilini o circular (de translació, de rotació o de vibració) en una, dues o tres dimensions i és relatiu a l’observador. L’expressarem en coordenades cartesianes, esfèriques o cilíndriques (tot i que en mecànica relativista s’usa la geometria hiperbòlica) per tal que els càlculs siguin més senzills.

La trajectòria d’una partícula és el camí que segueix mentre es mou i està formada per moviments lineals i curvilinis.

En aquesta entrada estudiarem el moviment lineal i circular en una i dues dimensions fent ús del càlcul vectorial i escalar. Les magnituds del moviment lineal són: la posició, la velocitat, l’acceleració i el temps. Les tres primeres són magnituds vectorials, però la darrera és escalar.

En les equacions escalars, el signe de les magnituds vectorial indica el sentit del vector segons el criteri de signes dels eixos de coordenades (amunt, dreta: positiu, avall, esquerra: negatiu). Dos vectors de sentits diferents es resten, mentre que si tenen el mateix, se sumen. En conseqüència, si el vector velocitat i el vector acceleració tenen el mateix sentit, la partícula accelerarà, però si tenen sentit diferent, frenarà.

Per a resoldre un exercici de cinemàtica, cal escriure abans de res les equacions de cada partícula. A continuació, farem els càlculs que calguin per a respondre les qüestions de l’exercici.

2.1 Posició

La posició d’una partícula són les coordenades del punt (x,y) on és en un instant mesurades des de l’origen del sistema de referència triat.

Quan una partícula canvia de posició \[(\vec{x})\] diem que ha transcorregut un temps (”t”).

\[
\displaystyle{
\vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}\\
\Delta \vec {r}=\vec {{r}_{2}}-\vec {{r}_{1}}\\
}
\]

El canvi de posició d’una partícula és el ”desplaçament” \[(\Delta \vec{r}=\vec{x}_{2}-\vec{x}_{1})\] El mòdul d’aquest vector és la distància que ha recorregut (”d”).

Exemple:

\[
\displaystyle{
\vec{r_{1}}=\left(3\vec{i}-4\vec{j}+5\vec{k}\right)
\\
\vec{{r}_{2}}=\left(2\vec{i}+2\vec{j}-8\vec{k}\right)
\\
\mathrm{\Delta }\vec{r}=\vec{{r}_{2}}-\vec{{r}_{1}}=\left(2\vec{i}+2\vec{j}-8\vec{k}\right)-\left(3\vec{i}-4\vec{j}+5\vec{k}\right)=\left(-1\vec{i}+6\vec{j}-13\vec{k}\right)
\\
d=| \vec r|=\sqrt{(-1)^2+(+6)^2+(-13)^2}=\sqrt{206}
}
\]

2.2 Velocitat

La velocitat d’una partícula és el vector desplaçament dividit pel temps que triga a moure’s entre dos punts i ens indica la rapidesa amb la qual canvia de posició amb el temps. Per tant, és un vector que té la mateixa direcció i sentit que el vector desplaçament i sempre és tangent a la trajectòria en cada instant.

La velocitat mitjana és el desplaçament total que ha fet la partícula durant un període de temps, però no ens informa dels detalls del moviment. Per exemple, podria haver-se desplaçat a la mateixa velocitat durant tot el trajecte, o bé haver-se parat, frenat i accelerat.

\[\displaystyle{\vec{{v}_{m}}=\frac{\mathrm{\Delta }\vec{r}}{\mathrm{\Delta }t}}\]

Si aquesta partícula es mou amb una velocitat variable, ens caldrà determinar a quina velocitat es desplaça en cada instant de la trajectòria. Definim la velocitat instantània com el límit del vector desplaçament \[\mathrm{\Delta }\vec{r}\] en un interval de temps infinitament petit:

\[\displaystyle{\vec{{v}_{i}}=\underset{\mathrm{\Delta }\rightarrow 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\vec{r}}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }\rightarrow 0}{\lim }\frac{\vec{r}\left(t+\mathrm{\Delta }t\right)-\vec{r}\left(t\right)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathit{d \vec r}}{\mathit{dt}}}\]

El vector velocitat instantània és el pendent de la funció posició en un punt (vegeu gràfic de l’apartat 2.1).

Com que la velocitat és una magnitud vectorial, el canvi pot ser del mòdul, de la direcció o del sentit, però la direcció i sentit de \[\vec v_i\] serà la de \[ \Delta \vec r\] quan els dos punts de posició estiguin infinitament a prop.

Per tant, com que \[\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\]

\[
\displaystyle{
\vec{{v}_{i}}=\frac{d\vec{r}}{\mathit{dt}}=\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}\vec{i}+\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}\vec{j}+\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}}\vec{k}={v}_{x}\vec{i}+{v}_{y}\vec{j}+{v}_{z}\vec{k}
}
\]

2.3 Acceleració

L’acceleració és la rapidesa amb la qual canvia la velocitat (mòdul, direcció o sentit) d’una partícula amb el temps.

L’acceleració mitjana és la variació de velocitat de la partícula en un interval de temps. Consegüentment, té la mateixa direcció i sentit que la velocitat, però tampoc ens informa dels detalls del moviment durant el desplaçament.

\[\displaystyle{{a}_{m}=\frac{\mathrm{\Delta }\vec{v}}{\mathrm{\Delta }t}}\]

Però, quan l’acceleració és variable, per tal de determinar-la en un instant determinat del temps, definim l’acceleració instantània com el canvi de la velocitat en un instant infinitament petit de temps:

\[\displaystyle{\vec{a}=\underset{\mathrm{\Delta }t\rightarrow 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\vec{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{d\vec{v}}{\mathit{dt}}}\]

i, per tant,

\[\displaystyle{
\vec a=\frac{dv_x}{dt}\vec i+\frac{dv_y}{dt}\vec j+\frac{dv_z}{dt}\vec k=a_x \vec i+a_y \vec j+a_z \vec k
}
\]

Exemple:

\[
\displaystyle{
\text{L’equació vectorial de desplaçament d’una partícula és:}
\\[0.5cm]
\vec{r(t)}=(5+12{t}^{2}) \vec{i}-2t \vec{j}+({t}^{3}+8t) \vec{k}
\\[0.5cm]
\text{a) Quina és la posició en els instants t=2 i 5 segons i quin ha estat el desplaçament?}
\\[0.5cm]
\vec{r(2)}=(5+12{(2)}^{2})\vec{i}-2(2)\vec{j}+(t{(2)}^{3}+8(2))\vec{k}=
\\
53\vec{i}-4\vec{j}+24\vec{k}
\\
\vec{r(5)}=(5+12{(5)}^{2})\vec{i}-2(5)\vec{j}+({(5)}^{3}+8(5))\vec{k}=305\vec{i}-10\vec{j}+165\vec{k}\\
\mathrm{\Delta }\vec{r}=\vec{r}(5)-\vec{r}(2)=(305\vec{i}-10\vec{j}+165\vec{k})-(53\vec{i}-4\vec{j}+24\vec{k})=252\vec{i}-6\vec{j}+141\vec{k}
\\[0.5cm]
\text{b) Quina és la velocitat en els instants t=3 i 5 i quina és la velocitat mitjana?}
\\[0.5cm]
\vec{v(t)}=d\frac{\vec{r(t)}}{\mathit{dt}}=\frac{d}{\mathit{dt}}[(5+12{t}^{2})\vec{i}-2t\vec{j}+({t}^{3}+8t)\vec{k}]=
\\
24t\vec{i}-2\vec{j}+(3{t}^{2}+8)\vec{k}\\
\vec{v(3)}=24(3)\vec{i}-2\vec{j}+\lbrack 3{(3)}^{2}+8\rbrack \vec{k}=
\\
72\vec{i}-2\vec{j}+35\vec{k}\\
\vec{v(5)}=24(5)\vec{i}-2\vec{j}+\lbrack 3{(5)}^{2}+8\rbrack \vec{k}=
\\
120\vec{i}-2\vec{j}+83\vec{k}\\
\mathrm{\Delta }\vec{v}=(120\vec{i}-2\vec{j}+83\vec{k})-(72\vec{i}-2\vec{j}+35\vec{k})=
\\
48\vec{i}+48\vec{k}\\
\vec{{v}_{m}}=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{48\vec{i}+98\vec{k}}{5-3}=\frac{48}{5}\vec{i}+\frac{48}{3}\vec{k}
\\[1cm]
\text{c) Calculeu el vector acceleració:}
\\[0.5cm]
a(t)=\frac{{d}^{2}\lbrack \vec{r}(t)\rbrack }{\mathit{dt}^{2}}=d\frac{\vec{v}(t)}{\mathit{dt}}=24\vec{i}+6t\vec{k}
}
\]

2. Moviment lineal en una dimensió

2.1 Horitzontal

Si ”a=0”, la velocitat és constant i el moviment és anomenat MRU o moviment rectilini uniforme.

Si ”a ≠ 0” i és constant, el moviment és anomenat MRUA o moviment rectilini uniformement accelerat.

Si l’acceleració és constant, la velocitat mitjana \[\displaystyle{\bar{v}=\frac{v_f+v_0}{2}}\] en qualsevol interval també és constant.

\[
\displaystyle{
\text{Si substituïm } t=\frac{v_f-v_0}{a} \text{ a } x=x_o+\bar v t
\\
v_f^{2}-v_0^2=2a(x-x_0)
\\[1cm]
\text{I com que,}
\\[0.5cm]
\bar v= \frac {1}{2}(v_f+v_0) \text{ i }v_f=v_0+at
\\
x=x_0+\bar v t \rightarrow x=x_0+\frac {1}{2}(v_f+v_0)t
\\
x=x_0+\frac{1}{2}[(v_0+at)+v_0]t
\\
x=x_0+v_0t+\frac {1}{2}at^2
}
\]

Per tant, les equacions de moviment horitzontal són:

\[\displaystyle{\begin{array}{c}x={x}_{0}\pm {v}_{0}\cdot t\pm \frac{1}{2}\mathit{at}\mathrm{{^2}}\\
{v}_{f}={v}_{0}\pm \mathit{at}\end{array}}\]

Exemple:

En quina posició i temps es trobaran els mòbils següents?

\[
\displaystyle{
\text{1. Tranformem totes les dades SI:}
\\[0.5cm]
90\frac{{Km}}{h}\cdot \frac{1000\text{m}}{1\text{Km}}\cdot \frac{1\text{h}}{3600\text{s}}=25\text{m/s}
\\[0.5cm]
\text{1. Escrivim les equacions de moviment de cada partícula:}
\\[0.5cm]
{x}_{A}={x}_{0A}+{v}_{0A}t \rightarrow {x}_{A}=0+25t
\\
{v}_{{fA}}={v}_{0A}=25\text{m/s}
\\[0.5cm]
\text{Però, com que la partícula A haurà trigat en recórrer 100}m{\colon }
\\[0.5cm]
100=0+25t \rightarrow t=4\text{s}
\\[0.5cm]
\text{llavors,}
\\[0.5cm]
{x}_{A}=100+25(t-4)
\\
{x}_{B}={x}_{0B}+{v}_{0B}t+\frac{1}{2}{{at}}^{2}=0+0t+\frac{1}{2}3t{{^2}}=\frac{3}{2}{t}^{2}
\\
{v}_{{fB}}={v}_{0B}+{at}=0+3t=3t
\\[0.5cm]
\text{2. Com que la posició i el temps de trobada és el mateix per a ambdues:}
\\[0.5cm]
{x}_{A}={x}_{B} \rightarrow 100+25(t-4)=\frac{3}{2}{t}^{2} \rightarrow \frac{3}{2}{t}^{2}-25t=0
\\
t=16.\hat{6} \text{s} \rightarrow {x}_{A}={x}_{B}=\frac{3}{2}{(16.\hat{6})}^{2}={416.\hat 6}\text{m}
\\[0.5cm]
\text{I la velocitat de la moto serà: }{v}_{B}=3 \cdot (16.\hat{6})=3(16.\hat{6})={49.8}\text{m/s}
}
\]

La representació gràfica de la posició, la velocitat i l’acceleració en funció del temps de cada moviment és:

2.2 Vertical (caiguda lliure)

Les equacions de moviment de la caiguda lliure d’una partícula, són:

\[\displaystyle{
y={y}_{0}\pm {v}_{0}\cdot t-\frac{1}{2}g{t}^{2}
\\
{v}_{f}={v}_{0}-gt
}
\]

I, similarment al cas de moviment horitzontal:

\[\displaystyle{
{v}_f^{2}={v}_{0}^{2}+2a\cdot (y-y_0)}\]

Durant el camí de pujada i de baixada, canvia el mòdul i el sentit, però no pas la direcció del vector velocitat. La direcció, sentit i el mòdul del vector acceleració \[\vec{g}\] és sempre el mateix.

Exemples:

\[\displaystyle{
\text{1.Escrivim les equacions de moviment:}
\\[0.5cm]
y={y}_{0}+{v}_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}
\\
{v}_{f}={v}_{0}-gt
\\[0.5cm]
\text{2. Com que quan } t=2, {v}_{f}=+30\text{m/s}
\\[0.5cm]
{v}_{0}={v}_{f}+gt=30+9.8\cdot 2=49.6\text{m/s}
\\[0.5cm]
\text{i, quan arriba a dalt de tot:}
\\[0.5cm]
{v}_{f}=0={v}_{0}-gt=49.6-9.8t \rightarrow t=\frac{49.6.4}{9.8}=5.06\text{s}
\\[0.5cm]
\text{Per tant, l’alçada màxima que assoleix és:}
\\[0.5cm]
y={y}_{0}+{v}_{0}t-\frac{1}{2}9.8{t}^{2}=0+49.6 \cdot 5.06-4.9 \cdot {5.06}^{2}=125.52\text{m}
}
\]

Moviment en el pla (dues dimensions)

3.1 Moviment parabòlic

És un moviment en el qual el component horitzontal és un MRU (2.11) i el vertical un MRUA (2.1.2).

Hi ha tres punts de referència (A, B, C) que ens serviran per a plantejar les equacions de moviment i resoldre l’exercici:

\[\displaystyle{
A:
\\[0.5cm]
y=0,\\
{v}_{x}=v_0\cdot \cos \theta \enspace (\mathit{constant},\mathit{MRU}),\\
{v}_{y\mathit{m\grave{a}x}}={v}_{0}\cdot \sin \theta \enspace (\mathit{MRUA})
\\[0.5cm]
B\mathrm{\colon }
\\[0.5cm]
y_{\mathit{m\grave{a}x}}=h,\\
{v}_{x}={v}_{0}\cdot \cos \theta \enspace (\mathit{constant},\mathit{MRU}),\\
{v}_{y}=0(\mathit{MRUA})
\\[0.5cm]
C\mathrm{\colon }
\\[0.5cm]
y=0,\\
{v}_{x}=v\cdot \cos \theta (\mathit{constant},\mathit{MRU}),\\
{v_{y\mathit{m\grave{a}x}}}=-{v}_{0}\cdot \sin \theta \enspace (\mathit{MRUA})\\
R(\mathit{abast})={v}_{x}\cdot t
}
\]

Exemple:

\[\displaystyle{
\text{1. Les equacions de moviment, són:}
\\[0.5cm]
\text{a) Per al moviment vertical:}
\\[0.5cm]
y={y}_{0}\pm {v}_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}
\\
{v}_{\mathit{fy}}={v}_{0y}-gt
\\[0.5cm]
\text{b. Per al moviment horitzontal:}
\\[0.5cm]
x={x}_{0}\pm {v}_{0x}t
\\[0.5cm]
{v}_{f}={v}_{0}
\\[0.5cm]
\text{2. Subtituint amb les dades que tenim:}
\\[0.5cm]
(i) \enspace y=40+30\cdot \sin (35)t-\frac{1}{2}9.8{t}^{2}
\\
(\mathit{ii}) \enspace {v}_{fy}=30\cdot \sin (35)-9.8t
\\
(\mathit{iii}) \enspace 20=0+30\cdot \cos (35)t
\\
(\mathit{iv}) \enspace v_{fx}=30\cdot \cos (35)
\\[0.5cm]
\text{3. Resolem els sistema d’equacions:}
\\[0.5cm]
\text{de (iii): }t=\frac{20}{30\cdot \cos (35)}=0.814s\\
\text{i, substituint a (i): }y=40+30\sin (35)\cdot 0.814-4.9{(0.814)}^{2}=\mathrm{50.76}\text{m}
\\[0.5cm]
\text{Quan arribi al terra, hauran transcorregut:}
\\[0.5cm]
0=40+30\sin (35)t-4.9{t}^{2} \rightarrow t=6.27\text{s}
}
\]

3.2 Moviment circular

La trajectòria d’una partícula està formada de moviments lineals i circulars. Segons la llei d’inèrcia de la dinàmica de Newton, per tal de canviar-la, hi ha d’haver una força externa neta que hi actuï. Aquesta força modificarà la direcció o el sentit de la velocitat, però, si és perpendicular, farà que segueixi un camí circular.

Els vectors de velocitat i acceleració centrípeta sempre són tangent i perpendicular a la trajectòria respectivament (l’acceleració centrípeta sempre es dirigeix cap al centre de gir). El mòdul dels vectors és constant, però la direcció d’ambdós canvia constantment.

Quan la distància entre \[P\] i \[P’\] és molt petita, el vector velocitat apunta cap al centre de \[O\] Per tant, com que els triangles isòsceles de velocitats

\[
\displaystyle{
(v_t,v_t,\Delta v)
}
\]

i

\[(O, P, P’)\]

són semblants i, considerant que \[s\approx v \cdot \mathrm{\Delta }t\]

\[\displaystyle{
\frac{\mathrm{\Delta }v}{{v}_{t}}\approx \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}\rightarrow {a}_{c}=\frac{\mathrm{\Delta }v}{t}\approx \frac{{v}_{t}^{2}}{r}}\]

I, quan \[\mathrm{\Delta }t\rightarrow 0,\]aquesta expressió és exacta:

\[\displaystyle{{a}_{c}=\underset{\mathrm{\Delta }t\rightarrow 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}.}\]

Exemple:

\[
\displaystyle{
\text{Dades}
\\[0.5cm]
R=5\mathit{cm},\enspace {v}_{0}=0\text{m/s}, \enspace \alpha =10\text{rad/s},\enspace t=30\text{s}
\\[0.5cm]
\text{1. La velocitat angular, lineal, l’acceleració centrípeta i tangencial despreś de 30 s és:}
\\[0.5cm]
w={w}_{0}+\alpha t=0+10\cdot 30=300\text{rad/s}\rightarrow v=w \cdot R=300 \cdot \mathrm{0,05}=15\text{m/s}
\\
{a}_{c}=\frac{{v}^{2}}{R}=\frac{{15}^{2}}{0.05}=4500m/s\mathrm{{^2}},\alpha ={a}_{t}\cdot R\rightarrow {a}_{t}=\frac{10}{0.05}=200m/s\mathrm{{^2}}
\\[0.5cm]
\text{3. L’angle recorregut després de 30 s és:}
\\[0.5cm]
\theta ={\theta }_{0}+{w}_{0}t+\frac{1}{2}\alpha {t}^{2}=0+0+\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot {30}^{2}=4500\text{rad, és a dir,}
\\
4 500\text{rad}\cdot \frac{1\text{volta}}{2\pi \text{rad}}=716\text{ voltes senceres}
}
\]

3.3 Moviment relatiu

3.3.1 Transformacions de Galileu:

Si en un sistema de referència \[S’\] que es mou a velocitat constant respecte a un altre de fix (per exemple, la Terra), una partícula (per exemple un avió) es desplaça del punt \[A\] fins al punt \[B\]

\[
\displaystyle{
\vec{r}=\vec{r}\text{‘}+\vec{u}\cdot t
\\
\frac{d\vec{r}}{\mathit{dt}}=\frac{d\vec{r}\text{‘}}{\mathit{dt}}+\frac{d\vec{u}\cdot t}{\mathit{dt}}
\\
v=v\text{‘}+u
}
\]

\[\displaystyle{\frac{d\vec{r}}{\mathit{dt}}}\] és la velocitat instantània de la partícula mesurada en el sistema de referència \[S\] i \[\displaystyle{\frac{d\vec{r}\text{‘}}{\mathit{dt}}}\]la mesurada en el \[S’\] Per tant, la velocitat d’una partícula amb relació al sistema fix \[S\] és la suma vectorial de la velocitat respecte al \[S’ \]i la relativa de \[S’\] respecte a \[S\]

En mecànica clàssica, el canvi de la velocitat d’una partícula vist des de sistemes de referència diferents és el mateix per a tots els observadors i, en conseqüència, també mesuraran la mateixa acceleració (a=a’):

\[
\displaystyle{
\frac{d\vec{v}}{\mathit{dt}}=\frac{d\vec{v}}{\mathit{dt}}+\frac{d\vec{u}}{\mathit{dt}}
\\
\text{però, com que }\frac{d\vec{u}}{\mathit{dt}}=0\rightarrow \frac{d\vec{v}}{\mathit{dt}}=\frac{d\vec{v}}{\mathit{dt}}\left(a=a\text{‘}\right)
}
\]

Apèndix

Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons

$\begin{matrix} \end{matrix}$

Dinàmica

Instruccions abans de començar

Introducció

Les forces són les accions que causen el moviment i el canvi de moviment de les partícules. La dinàmica és l’estudi de les lleis que produeixen aquests canvis.

Primer, les estudiarem quan actuen sobre partícules. Després introduirem el concepte de centre de masses per tal de tractar l’efecte de les forces sobre un sòlid. Considerarem que són de magnitud i direcció constants.

La mecànica clàssica estudia l’efecte d’una força que actua sobre partícules o sòlids que es mouen a velocitats petites comparades amb la velocitat la llum (v<0.1 c). És a dir, que coneixent-ne les propietats (massa, càrrega, velocitat inicial, etc.) estudia com canviarà l’estat del moviment inicial de l’objecte.

Com que la força és una magnitud vectorial, és important conèixer bé el càlcul vectorial.

1. Lleis de la dinàmica (translacional)

Newton, que va néixer a Anglaterra el mateix any que morí Galileu, formulà les lleis de la mecànica clàssica a partir de les idees d’aquest i de físics anteriors. Les va presentar el 1686 en el Principia Philosophiae Naturalis (Principis de Filosofia Natural).

Galileu afirmà que cal una força externa per a canviar la velocitat d’un cos. Aquesta força farà que en canviï la velocitat i l’acceleració que, sent vectors, depenen del sistema de referència triat per a mesurar-les.

Les forces de la natura són de naturalesa electromagnètica, nuclear (feble i forta) i gravitacional.

La definició clàssica de matèria és la quantitat de matèria que conté un objecte, tot i que no és del tot correcta, perquè la matèria es forma sobretot a partir de fenòmens d’interacció quàntica.

1.1 Primera llei de Newton, la llei de la inèrcia:

”Si no actua cap força externa neta sobre un cos, es conservarà l’estat de moviment a causa de la inèrcia (a=0). “

La inèrcia és la resistència d’un cos a canviar el seu estat de moviment quan no hi actua cap força neta, per tant, es mantindrà en repòs o movent-se a velocitat constant (a=0). Com més massa tingui un objecte, més resistència (inèrcia) farà per què no canviï l’estat de moviment.

1.2 Segona llei de Newton, llei fonamental de la dinàmica:

”Quan apliquem una força sobre un objecte, aquest objecte s’accelera de forma directament proporcional a la força aplicada i inversament proporcional a la massa de l’objecte: \[\displaystyle{a=\frac{1}{m}\cdot F}\]

Si fem l’experiment d’aplicar una força de la mateixa magnitud i sentit sobre diferents cossos, observarem que es produeix una acceleració en cadascun que varia segons la massa. Per tant, la massa és una magnitud (escalar) directament relacionada amb la inèrcia. És a dir:

\begin{array}{c}F=\displaystyle{{m}_{1}\cdot {a}_{1}={m}_{2}\cdot {a}_{2}\mathrm{…}\rightarrow F=m\mathrm{.}a}\end{array}

El pes és la força d’atracció que fa la Terra sobre els objectes que són dins de l’atmosfera terrestre.

Com que la força també és una magnitud vectorial (és el resultat de multiplicar un escalar per un vector), per a usar-la escalarment l’haurem de descompondre en les seves components del pla o de l’espai fent ús de la trigonometria:

\begin{array}{c}{F}_{x}=m\cdot {a}_{x},{F}_{y}=m\cdot {a}_{y},{F}_{z}=m\cdot {a}_{z}\end{array}

1.3 Tercera llei de Newton, llei d’acció i reacció

”A tota força d’acció se li oposa sempre una força de reacció d’igual magnitud i de sentit contrari.”

L’acció mútua entre dos cossos en contacte és de la mateixa magnitud i de sentit contrari, però tant l’acció com la reacció actuen sobre cossos diferents i, per tant, la resultant és diferent de zero i el moviment pot ser accelerat:

1.4 Com es resolen els exercicis de dinàmica

Per a resoldre exercicis de dinàmica, seguirem en aquest ordre els següents passos:

Fer el diagrama de blocs o del sòlid lliure (dibuix)
Fer el diagrama de forces per a cada bloc o massa.
Plantejar el sistema d’equacions per a cada bloc o massa.

Exemple:

\begin{matrix} \sum F_{x} = T - P_{1 x} - f = m_{1} \cdot a \\ T - P \cdot \sin (α) - μ \cdot P \cdot \cos (α) = m_{1} \cdot a \\ T - m_{1} \cdot g \cdot \sin (α) - μ \cdot m_{1} \cdot g \cdot \cos (α) = m_{1} \cdot a \\ T - m_{1} \cdot g \cdot [\sin (α) - μ \cdot \cos (α)] = m_{1} \cdot a \\ T = m_{1} \cdot a + m_{1} \cdot g \cdot [\sin (α) - μ \cdot \cos (α)] \\ \sum F_{y} = N - P_{1 y} = 0 \\ N - m_{1} \cdot g \cdot \cos (α) = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} \sum F_{y} = T - P_{2} = - m_{2} \cdot a \\ T = m_{2} \cdot g - m_{2} \cdot a = m_{2} \cdot (g - a) \end{matrix} \\ Per tant, \\ m_{1} \cdot a + m_{1} \cdot g \cdot [\sin (θ) - μ \cos (θ)] = m_{2} \cdot (g - a) \\ a = \frac{- m_{1} \cdot g \cdot [\sin (θ) - μ \cos (θ)] + m_{2} \cdot g}{m_{2} + m_{1}} \end{matrix}

Dinàmica Newton, dinàmica moviment circular

\begin{matrix} Del  bloc 1: \\ F_{c} = m \cdot a_{c} = \frac{m \cdot v^{2}}{R} \\ Del bloc 2: \\ {\begin{matrix} F_{c} = T \\ P = T \end{matrix} \to T = \frac{m \cdot v^{2}}{R} = M \cdot g \to v = \sqrt{\frac{M \cdot g \cdot R}{m}} \end{matrix}

{\begin{matrix} P = F \cdot \cos θ \\ F_{c} = F \cdot \sin θ = \frac{m \cdot v^{2}}{R} \to v = \sqrt{\frac{F \cdot \sin θ \cdot R}{m}} = \sqrt{\frac{P \cdot \tan θ \cdot R}{m}} \\ \sin θ = \frac{R}{L} \to θ = \arcsin \frac{R}{L} \end{matrix}

2. Forces

Les forces poden ser de contacte o a distància:

a) De contacte: de fricció, tensions, forces normals, de resistència a l’aire, forces aplicades, de molles.

b) A distància: gravitacionals, electromagnètiques.

Les forces naturals són la gravitatòria, l’electromagnètica, la nuclear feble (responsable de la desintegració radioactiva) i la nuclear forta (que permet que els protons i els neutrons es mantinguin units dins el nucli. Apareixen a conseqüència de les interaccions entre partícules atòmiques elementals).

2.1 Llei de Hooke

La llei de Hooke és una força de contacte elàstica en la qual la força de recuperació d’una molla comprimida o estirada és proporcional a la distància de compressió o estirament.

És vàlida sempre que la distància de compressió o d’estirament sigui petita comparada amb la compressió o estirament total possible de la molla i que la força no superi un límit (límit elàstic, ”E”) de manera que la molla es deformi permanentment. De totes maneres, alguns materials no compleixen la llei de Hooke encara que no hagin arribat al límit elàstic.

Generalitzant la llei, direm que la deformació d’un objecte elàstic complex és proporcional a la tensió aplicada, és a dir, que considerem que es comporta com una molla sotmesa a tracció o compressió. En aquest cas, la llei de Hooke \[F=-k.Δx\] d’una molla es pot assimilar a l’elasticitat d’una barra de material elàstic de longitud \[L\] i àrea \[A\]

\begin{matrix} F = σ A = ε E A = \frac{Δ L}{L} E A \to F = k \cdot A, essent σ = ε E, ε = \frac{Δ L}{L} . \\ (ε: deformació unitària, E: mòdul de Young o coeficient d’elasticitat i σ : és la tensió.) \end{matrix}

El signe negatiu de la llei de Hooke ens indica que F és una força recuperadora. També ens diu que F és directament proporcional a la distància de compressió o d’allargament de la molla (Δx).

El treball que cal fer per a desplaçar la molla entre dos punts és:

W = | - \int_{x_{1}}^{x_{2}} F dx | = | - \int_{x_{1}}^{x_{2}} k \cdot x dx | = | {[\frac{1}{2} {kx}^{2}]}_{x_{1}}^{x_{2}} | = \frac{1}{2} k Δ x^{2}

És a dir, que l’energia potencial acumulada per la molla en l’estat de màxima compressió o estirament és:

\begin{array}{c}{{E}_{p}=\frac{1}{2}k\mathrm{\Delta }{x}^{2}.}\end{array}

Robert Hooke presentà aquesta llei empírica el 1678.

2.2 Forces de fregament

Les superfícies manifesten una força de sentit oposat a la força que es fa sobre l’objecte amb el qual estàn en contacte. És la força de fricció, de poca intensitat, que és deguda als enllaços moleculars que es formen en les superfícies en contacte.

La força de fricció és proporcional a la força normal que fa una superfície sobre l’altra i no depèn de l’àrea de contacte perquè és proporcional a la força per unitat d’àrea. Per tant, la força màxima de fricció estàtica (força de fregament entre dos cossos que estan en repòs) és proporcional a la força normal entre les superfícies: \[\displaystyle{{f}_{e,\mathit{m\grave{a}x}}⩽{\mu }_{e} \cdot N}\]

El coeficient de fricció estàtica \[{\mu }_{e}\]depèn del material de construcció de les superfícies en contacte.

Però, quan el bloc està en moviment, els enllaços moleculars entre les superfícies es formen i es destrueixen contínuament. En aquest cas, la intensitat de la fricció cinètica (força de fregament d’un cos en moviment) depèn de la velocitat relativa entre les superfícies i de la seva naturalesa, és a dir, que el coeficient de fricció cinètic serà més petit que l’estàtic:

\begin{array}{c}{f}_{c}={\mu }_{c}N,{\mu }_{c}< {\mu }_{e}\end{array}

2.3 Forces fictícies o pseudo-forces

Les lleis de Newton sols són vàlides per a sistemes de referència inercials, és a dir, que es mouen amb velocitat uniforme. Quan un sistema de referència accelerat (no inercial) es mou respecte a un altre d’inercial, la força resultant no és la massa per l’acceleració\[\mathrm{\Sigma }\vec{F}\ne m\cdot \vec{a}\]

Però si introduïm en el sistema accelerat una força fictícia (que no és produïda per cap agent), \[\displaystyle{\mathrm{\Sigma }\vec{F}=m\cdot \vec{a}}\] continuarà sent vàlid:\[\vec{a}\] és l’acceleració relativa del sistema no inercial respecte a l’inercial. Un exemple de pseudoforça és la centrífuga que apareix en sistemes no inercials en rotació o la força de Coriolis.

Exemple:

Si es deixa caure un objecte dins d’un vagó que accelera (sistema no inercial) respecte a un observador en repòs que és a l’andana (sistema inercial), el que està en repòs veurà que cau verticalment amb l’acceleració de la gravetat, però el del vagó veurà que cau allunyant-se de la seva dreta. Com que l’única força que actua sobre l’objecte és la del pes, \[\displaystyle{\vec{F}=m\cdot \vec{a}}\] no es compleix. No obstant això, si li apliquem una pseudoforça \[\displaystyle{\vec{{F}_{s}}=-m\cdot \vec{a}}\], sí que es complirà.

L’acceleració d’una pseudoforça és igual a l’acceleració relativa del sistema en sentit contrari.

Les forces fictícies, inercials o d’Alembert, les presentà Jean Le Rond d’Alembert el 1743 en el Tractat de dinàmica. Les defineix com el producte negatiu de la massa per l’acceleració. No s’han de confondre amb les forces de reacció de la tercera llei de Newton.

3. Quantitat de moviment (moment lineal)

Una conseqüència important de la tercera llei de Newton és que, si no actua cap força que no sigui les d’acció i reacció entre dos objectes en contacte, la variació de la quantitat de moviment és nul·la. Com que la força que actua sobre cada objecte és d’igual magnitud, però de sentit contrari a la que actua sobre l’altre, la suma de les respectives quantitats de moviments es manté constant en el temps:

\begin{array}{c}{F}_{1}=\displaystyle{\frac{{\mathit{dp}}_{1}}{\mathit{dt}}}\text{ i }{F}_{2}=\frac{{\mathit{dp}}_{2}}{\mathit{dt}}\\[0.5cm] \text{Com que, }{F}_{1}=-{F}_{2},\displaystyle{\frac{{\mathit{dp}}_{1}}{\mathit{dt}}}=\frac{-{\mathit{dp}}_{2}}{\mathit{dt}}\text{ i }\frac{{\mathit{dp}}_{1}}{\mathit{dt}}+\frac{{\mathit{dp}}_{2}}{\mathit{dt}}=\frac{d}{\mathit{dt}}\left(\vec{{p}_{1}}+\vec{{p}_{2}}\right)=0\end{array}

Per tant, la llei de la conservació de la quantitat de moviment o moment lineal és:

\begin{array}{c}\vec{{p}_{1}}+\vec{{p}_{2}}=\mathit{constant}\end{array}

De fet, Isaac Newton formulà la tercera llei estudiant la quantitat de moviment abans i després del xoc de dos cossos. Si actuen forces que són molt més petites que les de contacte en el xoc (normalment un xoc és força violent) es poden menysprear i la llei continua complint-se.

Perquè aquesta llei pogués funcionar en forces a distància, la transmissió de la quantitat de moviment entre els dos cossos hauria de ser instantània, concepte que viola altres lleis físiques. La tercera llei i la de la conservació del moviment sols són aproximades per a dos cossos separats, però aquesta dificultat es resol mitjançant l’aplicació d’un camp gravitatori que transporta la quantitat de moviment a la velocitat de la llum.

Per a velocitats \[v \geq 0,1 \cdot c\] la quantitat de moviment és \[p’=\gamma \cdot m_0 \cdot v\]

Definim l’impuls lineal com la força que actua durant un temps sobre una partícula. És la diferència de la quantitat de moviments entre dues posicions de la partícula:

\begin{array}\vec{I}=F\cdot \mathrm{\Delta }t=m\vec{{v}_{f}}-m\vec{{v}_{0}}\rightarrow \vec{I}=\mathrm{\Delta }p\end{array}

4. Dinàmica del moviment circular uniforme

La dinàmica rotacional estudia les causes de la cinètica rotacional o moviment circular.

Exemples:

Quina és la velocitat mínima en el punt més alt i en el punt més baix perquè el sistema estigui en equilibri?

En el punt més alt:

{\begin{matrix} T = P \\ P = F_{c} = \frac{m \cdot v^{2}}{R} \end{matrix} \to v = \sqrt{\frac{M \cdot g \cdot R}{m}}

En el punt més baix:

\begin{matrix} F_{c} = T + P \to \frac{m \cdot v^{2}}{R} = T + M \cdot g \\ Per a la velocitat mínima: \\ T = 0 \to v = \sqrt{\frac{MgR}{m}} \end{matrix}

Cinemàtica rotacional, pèndol punt més alt i punt mès baix

4.1 Moment d’una força

El moment d’una força («torque» en anglès, τ) del moviment rotacional és el concepte anàleg a la força \[F\] del moviment translacional. Si apliquem una força \[F\] sobre una partícula \[P\] que és a una distància \[R\] del punt de gir \[O\] el moment de força \[M\] crearà un moviment de rotació respecte a aquest punt (centre de rotació): \[{M}=\vec{R}\times \vec{F}\] el mòdul del qual és: \[M=F \cdot \sin \theta \cdot R=\mathit{F_y} \cdot R.\]

\[F_y\] és la força perpendicular al braç de palanca aplicada i \[R\] és la distància des del punt d’aplicació fins al centre de rotació \[O\] (braç de palanca). La força paral·lela al braç de palanca no la fa girar, sinó que tan sols l’estira o la comprimeix. És a dir, que les forces que passen pel centre de gir no creen moments de força \[M\]

El sentit del vector moment segueix la regla de la mà dreta i es calcula fent el determinant dels vectors radi i força. El producte vectorial no és commutatiu, per tant, s’ha de fer el determinant en l’odre indicat.

En el cas de dues forces paral·leles de sentit oposat es forma un parell de forces. Si les dues forces són de la mateixa magnitud però de sentit contrari: \[M=2FR\].

4.2 Moment cinètic o angular

El moment cinètic o angular \[\vec{L}\] de dinàmica rotacional és el concepte anàleg al moment lineal \[\vec{p}\] de la dinàmica translacional. És un vector perpendicular al pla format pels vectors moment lineal \[\displaystyle{\vec{p}}\] i radi \[\displaystyle{\vec{R}}:\]

\begin{array}\vec {L}=\vec {R} \times \vec {p}\end{array}

la magnitud del qual és:

\begin{matrix} L={R} \cdot {p} \sin(\theta).\end{matrix}

\[p \cdot \sin \left( \theta \right)\] és la component perpendicular del moment lineal i \[R\] el braç de palanca del moment. La component de la velocitat que travessi el centre de gir \[O\] no contribuirà a la formació del moment cinètic.

Per tant,

\begin{matrix} \vec{R} \times \vec{F} = \frac{\vec{R} \times d \vec{p}}{dt} \to \vec{M} = \frac{\vec{R} \times d \vec{p}}{dt} \\ I, com que \\ \vec{L} = \vec{R} \times \vec{p} i \frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt} \vec{R} \times \vec{p} \to \frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d \vec{R}}{dt} \times \vec{p} + \vec{R} \times \frac{d \vec{p}}{dt} = (\vec{v} \times m \vec{v}) + \vec{R} \times \frac{d \vec{p}}{dt} \\ Ja que el producte vectorial de dos vectors paral·lels és zero: \\ \frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{R} \times \frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{R} \times \vec{F} \\ \vec{M} = \frac{d \vec{L}}{dt} \end{matrix}

És a dir, que la velocitat de canvi del moment cinètic d’una partícula és igual al moment de la força que hi actua. Que equival a les equacions escalars:

\begin{array}{c}\displaystyle{{M}{x}=\frac{d \vec{{L}_{x}}}{\mathit{dt}}\\{M}{y}=\frac{d\vec{{L}{y}}}{\mathit{dt}}\\{M}{z}=\frac{d\vec{{L}{z}}}{\mathit{dt}}}\end{array}

Aquest resultat és anàleg al del canvi de la quantitat del moviment:

\begin{array}{c}\displaystyle{{\vec{F}=\frac{d \vec{p}}{dt}}} \end{array} del moviment translacional.

Quan una força o moment extern constant fa variar \[\vec{L}\] l’objecte en rotació fa un moviment de precessió.

4.3 Conservació del moment cinètic

Com que,

\begin{array}{c}\displaystyle{M=\frac{d\vec{L}}{\mathit{dt}}. \text{Si }M=0\text{, llavors, }\frac{d\vec{L}}{\mathit{dt}}=0}\end{array}

Per tant, si el moment de força extern que actua sobre una partícula és zero el moment cinètic roman invariable. Aquest és la llei de conservació del moment cinètic, anàleg a la de conservació del moment lineal.

5. Sistema de partícules

5.1 Centre de masses (CM)

Fins ara, hem fet suposicions per tal d’estudiar la dinàmica dels objectes com a partícules amb massa i sense dimensió, tant en el moviment de translació com en el de rotació. En el moviment de sistemes de partícules, cada partícula del sòlid o del sistema fa el mateix desplaçament en el mateix interval de temps.

Definim el ”centre de masses” d’un sòlid o d’un sistema de partícules com el punt que es mou de la mateixa manera que ho faria una única partícula.

\begin{matrix} En un sistema de dues partícules que es mouen per l’eix d’abcisses: \\ x_{cm} = \frac{m_{1} \cdot x_{1} + m_{2} \cdot x_{2}}{m_{1} + m_{2}} \to M \cdot x_{cm} = m_{1} \cdot x_{1} + m_{2} \cdot x_{2} \\ En conseqüència, en un sistema amb n partícules: \\ x_{cm} = \frac{m_{1} \cdot x_{1} + m_{2} \cdot x_{2} … m_{n} \cdot x_{n}}{m_{1} + m_{2} … m_{n}} \\ M \cdot x_{cm} = m_{1} \cdot x_{1} + m_{2} \cdot x_{2} … m_{n} \cdot x_{n} \\ \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \cdot x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}} \\ I, si el sistema de partícules es mou tridimensionalment: \\ x_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \cdot x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}}, y_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \cdot y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}}, z_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \cdot z_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}} \\ En notació vectorial: \\ {\vec{r}}_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \cdot \vec{r_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n} M} \\ En un sòlid rígid, com que el sistema de partícules és tan gran, \\ si considerem que té una distribució contínua: \\ x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int x dm}{M}, y_{cm} = \frac{\int y dm}{\int dm} = \frac{\int y dm}{M}, z_{cm} = \frac{\int z dm}{\int dm} = \frac{\int y dm}{M} \\ {\vec{r}}_{cm} = \frac{\int \vec{r} dm}{M} \end{matrix}

5.2 Moviment translacional del CM

Per a un sistema fix de partícules:

\begin{matrix} M {\vec{r}}_{cm} = m_{1} \vec{r_{1}} + m_{2} \vec{r_{2}} + … + m_{n} \vec{r_{n}} \\ \frac{d}{dt} (M {\vec{r}}_{cm}) = \frac{d}{dt} (m_{1} \vec{r_{1}} + m_{2} \vec{r_{2}} + … + m_{n} \vec{r_{n}}) \\ M {\vec{v}}_{cm} = m_{1} \vec{v_{1}} + m_{2} \vec{v_{2}} + … + m_{n} \vec{v_{n}} \\ \frac{d}{dt} (M {\vec{v}}_{cm}) = \frac{d}{dt} (m_{1} \vec{v_{1}} + m_{2} \vec{v_{2}} + … + m_{n} \vec{v_{n}}) \\ M {\vec{a}}_{cm} = m_{1} \vec{a_{1}} + m_{2} \vec{a_{2}} + … + m_{n} \vec{a_{n}} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} … \vec{F_{n}} \end{matrix}

Per tant,

\begin{array}\displaystyle{\vec M \cdot \vec{{a}_{cm}}=\mathrm{\Sigma }{\vec{F}_{externes}}}\end{array}

Les forces internes entre les partícules s’anul·len per la tercera llei de Newton i sols s’ha de tenir en compte les forces externes que actuen en el sòlid. És a dir, que el centre de masses del sistema de partícules es mou com si tota la massa i totes les forces estiguessin concentrades en aquest punt.

Per altra banda,

\begin{matrix} \vec{p} = M {\vec{v}}_{cm} \to M \frac{d \vec{p}}{dt} = M {\vec{a}}_{cm} = Σ {\vec{F}}_{externes} \\ i, si Σ {\vec{F}}_{externes} = 0 \to \frac{d \vec{p}}{dt} = 0 \end{matrix}

és a dir, que també es conserva la quantitat de moviment.

5.3 Moment cinètic i conservació M d’un sistema de partícules

El moment cinètic o angular d’un sistema de partícules respecte a un punt és:

\begin{matrix} \vec{L} = \vec{L_{1}} + \vec{L_{2}} + … \vec{L_{n}} = \sum_{i = 1}^{n} L_{i} \\ \frac{d \vec{L}}{dt} = {\vec{M}}_{externs} \end{matrix}

Com que, la suma de les forces internes entre les partícules és zero, la suma dels moments de força també ho serà.

5.4 Inèrcia rotacional i energia de rotació

Considerem un sistema discret de partícules que gira respecte a un eix fix d’un sistema de referència inercial (no accelerat). Cada partícula té una energia cinètica:

\begin{array}\displaystyle{{E}_{c}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{r}^{2}{w}^{2}}\end{array}

Si sumem l’energia de totes les partícules,

\begin{array}{c}\displaystyle{\mathrm{\Sigma }{E}_{c}=\frac{1}{2}\left({m}_{1}{r}_{1}^{2}+{m}_{2}{r}_{2}^{2}+\mathrm{…}+{m}_{n}{r}_{n}^{2}\right){w}^{2}\\ I=\sum\limits_ {i=1}^{n}{{m}_{i}{r}_{i}^{2}}\rightarrow {E}_{c}=\frac{1}{2}I{w}^{2}}\end{array}

La inèrcia rotacional \[I\] d’un sòlid és la magnitud anàloga a la inèrcia translacional d’una massa\[m\] És la resistència del sòlid a canviar el seu moviment de rotació.

Ara bé, per a un sòlid rígid (sòlid teòric indeformable), que podem considerar com un sistema continu i homogeni de matèria, el “teorema dels eixos paral·lels o de Steiner” diu que la relació entre la inèrcia rotacional d’un cos respecte a un eix que passa pel seu centre de masses i un eix paral·lel és: \begin{array}{c}\displaystyle{I={I}_{\mathit{cm}}+M{h}^{2}}\end{array}

Si considerem dos eixos de rotació perpendiculars al paper que passen pels punts ”CM” i ”P”:

la distància entre aquests dos eixos és ”h”
el quadrat de la distància des de la partícula \[\displaystyle{m_i \text{ fins a CM és :} {x}_{i}^{2}+{y}_{i}^{2}}\]
el quadrat de la distància entre \[\displaystyle{m_i \text{ i } P \text{ és :} {\left({x}_{i}-a\right)}^{2}+{\left({y}_{i}-b\right)}^{2}}\]

Per tant, el moment d’inèrcia de \[m_i\] respecte a \[P\] és:

\begin{matrix} I = Σ m_{i} {(x_{i} - a)}^{2} + {(y_{i} - b)}^{2} = Σ m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2}) - 2 a Σ m_{i} x_{i} - 2 b Σ m_{i} y_{i} + (a^{2} + b^{2}) Σ m_{i} \\ I,  com que, Σ m_{i} \cdot x_{i} = Σ m_{i} \cdot y_{i} = 0, Σ m_{i} = M i Σ m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2}) = I_{cm} (I  de m_{i} respecte  al  CM) \\ I = I_{cm} + M h^{2} \end{matrix}

Llavors, podem calcular i fer una taula amb els moments d’inèrcia respecte al CM de figures regulars per tal de calcular-lo respecte a un altre eix paral·lel usant el teorema anterior.

Exemple:

\begin{matrix} I_{cm} = \int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{2} dm = \int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{2} ρ 2 π r L dr = ρ 2 π L \int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{3} dr \\ ρ 2 π L \frac{R_{2}^{4} - R_{1}^{4}}{4} = \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) L} 2 π L \frac{R_{2}^{4} - R_{1}^{4}}{4} = \frac{(R_{2}^{2} + R_{1}^{2}) \cdot (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})}{2 (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})} M \\ I_{cm} = \frac{(R_{2}^{2} + R_{1}^{2})}{2} M \\ 2. Calculem I respecte a un eix paral·lel: \\ I = I_{cm} + {Mh}^{2} \end{matrix}

5.5 Dinàmica d’un sòlid rígid

Per a cada partícula del sòlid rígid es compleix que:

\begin{matrix} M = R \cdot F \sin (θ) \\ I com que: ds = R \cdot d θ \\ dW = \vec{F} \cdot d \vec{s} = F \cdot \sin θ \cdot ds = F \sin θ \cdot R d θ \\ Per tant: \\ dW = M \cdot d θ \\ \frac{dW}{dt} = M \frac{d θ}{dt} \\ En conseqüència: \\ P = Mw \end{matrix}

Per tant, el treball fet i la potència per a totes les partícules del sòlid és:

\begin{matrix} dW = F_{1} \cos ϕ_{1} r_{1} d θ + F_{2} \cos ϕ_{2} r_{2} d θ + … + F_{n} \cos ϕ_{n} r_{n} d θ \\ (M_{1} + M_{2} + … + M_{n}) d θ = M_{extern} d θ \\ \frac{dW}{dt} = M_{extern} \frac{d θ}{dt} \to P = M_{extern} w \\ I la velocitat de canvi de l'energia cinètica del sòlid és: \\ \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} {Iw}^{2}) = Iw \frac{dw}{dt} = I \cdot w \cdot α \\ I com que: Mw = I \cdot w \cdot α \\ M = I α \end{matrix}

Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons

Llista de paraules clau de física

Càlcul

Trigonometria Càlcul vectorial Càlcul diferencial Càlcul integral Escalar Vector lliure Vector fix Vectors equipolents Components d’un vector Producte escalar Producte vectorial Sistema generador Base Base canònica Base ortonormal Derivada en un punt Funció derivada Integral definida Integral indefinida Constant d’integració

Cinemàtica

Magnitud Sistema de referència Mecànica Cinemàtica Moviment rectilini Moviment circular Moviment rectilini uniforme Moviment rectilini uniforme accelerat Moviment circular uniforme Moviment circular uniforme accelerat

Dinàmica

Dinàmica Matèria Massa Inèrcia Acció Reacció Força Força de contacte Força a distància Força resultant Força normal Força centrípeta Força centrífuga Pseudo-força Acceleració normal Acceleració tangencial

Treball i Energia

Treball Energia Potència Treball motor Treball resistent Energia cinètica Energia potencial Energia mecànica

Dinàmica rotacional

Sistema de partícules Centre de masses Centre de gravetat Centre geomètric o de simetria Sòlid rígid Moment lineal o quantitat de moviment Impuls Xoc elàstic Xoc inelàstic Moment d’inèrcia Moment cinètic (o angular, en anglès)

Ones

Força recuperadora Període Freqüència Longitud d’ona Amplitud Pulsació o velocitat angular Elongació Centre d’oscil·lació Energia potencial elàstica Pèndol simple Moviment oscil·latori amortit Força d’amortiment Ressonància Pertorbació Ona longitudinal Ona transversal Tren d’ones Velocitat de propagació Funció d’ona Nombre d’ona Front d’ona Concordança de fase Oposició de fase Intensitat d’ona Atenuació d’una ona Absorció d’una ona Medi material elàstic Compressió Enrariment To greu To alt Ultrasò Superposició d’ones Interferència d’ones Interferència constructiva Interferència destructiva Difracció Reflexió Refracció Batement o pulsació Ona estacionària Ventre Node Efecte Doppler

Camps vectorials

Camp Camp de força Línies de camp Camp conservatiu Camp gravitatori Camp elèctric Camp magnètic Potencial gravitatori Potencial elèctric Superfícies equipotencials

Magnetisme

Magnetisme Pol magnètic inducció magnètica Línia d’inducció Circulació del camp magnètic Permeabilitat magnètica Força magnètica Ferromagnètica Diamagnètic Paramagnètic Inducció Flux magnètic Corrent induït Força electromotriu induïda Autoinducció Força contraelectromotriu Coeficient d’autoinducció o inductància Coeficient d’inducció mútua o Inducció mútua

Física quàntica

Física quàntica Cos negre quàntum ElectronVolt Model atòmic Efecte fotoelèctric Espectre atòmic Principi d’indeterminació de Heisenberg Dualitat ona-partícula Funció d’ona Orbital atòmic Moment angular intrínsec o espín.

Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons

Arxiu de categories Física

Apèndix de cinemàtica

1. Cinemàtica relativista

1.1 Transformacions de Lorentz:

1. 2 Transformacions de velocitat

1. 3 Conseqüències de les Transformacions de Lorentz

1.3.1 Temps i espai propi

1.3.2 Contracció de la longitud

1.3.3 Dilatació temporal

Cinemàtica

Introducció

2.1 Posició

2.2 Velocitat

2.3 Acceleració

2. Moviment lineal en una dimensió

2.1 Horitzontal

2.2 Vertical (caiguda lliure)

Moviment en el pla (dues dimensions)

3.1 Moviment parabòlic

3.2 Moviment circular

3.3 Moviment relatiu

3.3.1 Transformacions de Galileu:

Apèndix

Dinàmica

Instruccions abans de començar

Introducció

1. Lleis de la dinàmica (translacional)

1.1 Primera llei de Newton, la llei de la inèrcia:

1.2 Segona llei de Newton, llei fonamental de la dinàmica:

1.3 Tercera llei de Newton, llei d’acció i reacció

1.4 Com es resolen els exercicis de dinàmica

2. Forces

2.1 Llei de Hooke

2.2 Forces de fregament

2.3 Forces fictícies o pseudo-forces

3. Quantitat de moviment (moment lineal)

4. Dinàmica del moviment circular uniforme

4.1 Moment d’una força

4.2 Moment cinètic o angular

4.3 Conservació del moment cinètic

5. Sistema de partícules

5.1 Centre de masses (CM)

5.2 Moviment translacional del CM

5.3 Moment cinètic i conservació M d’un sistema de partícules

5.4 Inèrcia rotacional i energia de rotació

5.5 Dinàmica d’un sòlid rígid

Llista de paraules clau de física

Càlcul

Cinemàtica

Dinàmica

Treball i Energia

Dinàmica rotacional

Ones

Camps vectorials

Magnetisme

Física quàntica

Blog

Categories

Etiquetes

Subscriu-te al nostre canal

Enllaços

Clàusules legals

Certificat SSL