Una funció \(f(x)\) és una aplicació o correspondència entre dos conjunts numèrics: un conjunt de sortida o inicial i un conjunt d’arribada a final.
Per a què una aplicació o correspondència sigui una funció, a cada element del conjunt inicial li ha de correspondre un únic element del conjunt final:
Els elements del conjunt inicial són el domini de la funció i els elements del conjunt final són el recorregut de la funció.
Els elements del domini són la variable independent (\(x\)) i els del recorregut són la variable independent (\(y\)) de la funció.
La correspondència entre els elements del domini i el recorregut del diagrama de Venn anterior és una funció.
En canvi, la correspondència entre els elements del diagrama anterior no és una funció perquè alguns dels elements del domini no tenen imatge i hi ha almenys un element d’aquest conjunt que té dues imatges.
\(\color{red}{y=x^2}\) és una funció, però \(\color{blue}{y=\pm \sqrt x}\) no és una funció.
1.2 Funció elemental
Una funció elemental és una funció formada per funcions simples d’una variable amb operacions aritmètiques.
Les funcions elementals més simples són les irracionals (arrels), potències, exponencials, logarítmiques, polinòmiques, trigonomètriques i les trigonomètriques inverses. Simplificant, podem dir que són les funcions habituals que coneixem.
Exemple:
\( y= 4 \\ y= x^3 \\ y= ln x \\ y= e^x \\ y= \sqrt {x} \\ y= x^2-9x+3 \\ y= \frac{x^2+2x+3}{x^2+1} \\ y= sin x \\ y= arcsin x \\ y= \frac{xe^x-\log_2(1+x^2)}{\sqrt{\arctan(3x)}} \)
No hi ha una definició de funció no elemental però, per exclusió, diem que una funció no és elemental si no és una funció elemental. Una funció amb factorials, per exemple, no sería una funció elemental.
1.3 Funció composta
Una funció composta és una operació de dues funcions \(f(x), \, g(x)\) que genera una nova funció \(h(x)\): \(h(x)=f(x)∘g(x)=f[g(x)]\).
La funció \(h(x)\) és la funció resultant d’aplicar la funció \(g(x)\) a la funció \(f(x)\).
Una funció lineal \(y=m*x+n\) és una funció polinòmica de grau u, o bé zero. La gràfica de les funcions lineals és una recta. (\(a_1x+a_2x^{n-1}+a_3x^{n-2}…a_nx⁰, n \in \mathbb{R}\))
La \(m\) és el pendent o la inclinació de la recta. Si és positiva, la recta serà creixent, si és negativa serà decreixent i si és zero serà horitzontal.
La \(n\) és l’ordenada a l’origen (punt de tall amb l’eix de les \(y\) quan la \(x=0\)). L’ordenada a l’origen és el desplaçament vertical de la funció. Si és un valor positiu, estarà desplaçada cap amunt i si és negatiu cap avall.
Exemple:
\(y=2x+3, \, y= -3x, \, y=4\)
3.1.1 Propietats
El domini de la funció són tots el nombres reals (\(\mathbb{R}\).
La funció, o bé sempre creix, o bé sempre decreix o té un valor constant.
No tenen ni màxims, ni mínims, ni punts d’inflexió.
No tenen asímptotes.
No tenen ni simetria parella ni senars.
No són funcions periòdiques.
3.2 Funció proporcional
Una funció \(y=m*x+n\) és proporcional quan \(n=0\).
Exemples:
\(y=2x, \, y=-3x\)
y=2x
x
y
0
0
1
2
2
4
La variació dels valors de la variable dependent \(y\) són proporcionals a la variació de la variable independent \(x\). És per això que diem que és una funció lineal proporcional.
Les funcions lineals proporcionals sempre passen per l’origen de coordenades \((0,0)\).
3.1.2 Funció afí
En una funció lineal afí \(n \neq 0\). Per tant, no passa per l’eix de coordenades. El valor de \(n\) indica el desplaçament vertical de la funció respecte a la funció proporcional del mateix pendent.
Exemples:
\(y=2x+3, \, y=-5x-8, \, y=6x-2 \)
y=2x+3
x
y
0
3
1
5
-1
1
3.1.3 Funció constant
En una funció lineal constant \(m=0\) i \(n \neq 0\). Són funcions lineals de pendent zero.
Exemple:
\(y=-1\)
y=-1
x
y
0
-1
1
-1
2
-1
3.2 Funció recíproca
Les funcions recíproques \(y=\frac{\pm k}{x}\) són hipèrboles.
El mètode de resolució de sistemes d’equacions per Gauss, segueix el mètode clàssic de resolució per reducció. La diferència és que eliminarem les incògnites ordenadament (primer la \(x\), després la \(y\) i finalment la \(z\)) i que farem servir matrius sols amb els coeficients en comptes de tota l’equació.
El mètode de Crammer usa els determinants per a calcular els resultats del sistema d’equacions. Consisteix en canviar la columna de coeficients de la incògnita que volem calcular per la dels termes independents:
Quan el determinant de la matriu és zero, \(|A|=0\), diem que el sistema no és de Cramer. En aquest cas, per a resoldre el sistema indeterminat farem servir sols les equacions que són linealment independents fent la substitució \(z=\lambda\) que ara formarà part del terme independent:
Per a determinar els rangs de la matriu de coeficients \(A\) i de l’ampliada \(A^*\), farem la triangulació del sistema i analitzarem el nombre de files independents de cadascuna.
Si el determinant de la matriu de coeficients és zero, vol dir que el sistema no és determinat.
Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.
Són equacions que la incògnita és a l’argument d’un o més logaritmes (p.e:\(2*log(x+6)\)).
El logaritme és la funció inversa de les funcions exponencials (la inversa de les funcions potencials és la radicació): \(b^{exp}=n\) (potència), \( log_b(n)=exp\); \(2^3=8, , log_2(8)=3\).
El logaritme d’un nombre és l’exponent al qual hem d’elevar la base per obtenir el nombre. En aquest exemple, el logaritme de vuit en base dos és tres.
Els logaritmes foren inventats per John Napier a principis del segle XVII. La utilitat dels logaritmes és simplificar el càlcul quan hem d’operar amb nombres molt grans o molt petits.
Els logaritmes més comuns són els decimals o de base 10 ( \(log_{10}\) o \(log \)). Els logaritmes naturals o neperians ( \(log_e \) o \(Ln \)) tenen de base el nombre irracional \(e\).
1.1 Propietats dels logaritmes
Les propietats dels logaritmes són necessàries per a poder resoldre’n les equacions. Són les següents:
La incògnita del logaritme pot ser la base, l’exponent o el nombre, però per a resoldre’l sense calculadora sempre farem l’antilogaritme o potència. El mètode de resolució d’equacions logarítmiques és:
1. Descomponem les bases compostes (que no són primeres) 2. Fem l’antilogaritme 3. Resolem l’equació 4. Comprovem el resultat.
Si hi ha més d’un logaritme, no es podrà usar el mètode anterior de resoldre fent l’antilogaritme. En aquest cas, farem servir les propietats dels logaritmes per a transformar l’equació en la forma compacta equivalent i quan l’hagem transformat amb un sol logaritme, farem l’antilogaritme:
En el primer exemple, \(x=2\) no és cap solució perquè l’argument de \(log(x-3), log(5x-13)\) és negatiu.
2. Equacions exponencials
Una equació és exponencial quan la incògnita és a l’exponent. Per a resoldre una equació exponencial usarem les propietats de les potències.
2.1 Propietats de les potències
Per a resoldre una equació potencial farem servir les propietats de les potències (recordeu que podem operar potències si tenen la mateixa base o el mateix exponent).
El mètode per a resolder equacions exponencials és el següent:
1. Descompondre les bases compostes en bases primeres 2. Trobar l’expressió potencial comuna a tots els termes 3. Fer el canvi d’aquesta expressió potencial comuna per t. 4. Resoldre l’equació resultant. 5. Desfer el canvi.
Tot i que no hi ha un mètode únic per a resoldre una equació trigonomètrica, en general es poden resoldre seguint el següent esquema:
1. Transformem les sumes en productes o els productes en sumes per tal de convertir els arguments amb més d’un angle en arguments amb un sol angle. 2. Transformem les funcions trigonomètriques derivades en les funcions trigonomètriques fonamentals (sin, cos). 3. Transformem tots els angles no simples de l’equació en simples. 4. Transformem tots els sinus a cosinus o a l’inrevés fent servir la identitat trigonomètrica fonamental (\(sin^2+cos^2=1\)). 5. Resolem l’equació trigonomètrica resultant.
Però l’ordre a seguir pot ser diferent per a cada equació trigonomètrica. Haurem d’avaluar en cada cas quin ordre s’ha de seguir per a resoldre l’equació de la millor manera.
Recordeu que el resultat d’una equació trigonomètrica es correspon amb dos angles i que també hi hem d’afegir els angles que es generen en cada volta completa a la circumferència (\(360*k, 2\pi*k\)). Per tant, la solució d’una equació trigonomètrica no és única, sinó que és una família de solucions:
\(
tg(\frac{\alpha}{2})=2
\\
arctg(2)=\alpha
\\
alpha=63.435º+360*k, k \in \mathbb{N}
\)
En aquest cas, simplifiquem una equació trigonomètrica amb més d’una funció i angles compostos en una equació d’una sola funció:
La tercera solució \(sin^{-1}(\frac{-2-\sqrt 2}{2})\) no és possible perquè \(\frac{-2-\sqrt 2}{2}=-1.707.\)
Demostrem una igualtat trignomètrica reduint les expressions de cada banda de la igualtat amb més d’una funció i angles compostos a una sola funció amb un angle simple:
El límit d’una funció \(f(x)\) en un punt \(x=a\) és el valor al qual s’aproxima la funció quan \(x\) s’aproxima al valor \(a: \, \lim_{x \to a} f(x)= \, L\).
Exemple:
\(y=\lim_{x \to 2}2*x+6=2*2+6=10\)
x
y=2*x+6
1.9
9.8
1.99
9.98
1.9999
9.9998
1.99999
9.99998
1.999999
9.999998
Quan \(L\) és un valor real o infinit (\(\pm \infty\)) diem que el límit és determinat.
\( \frac{0}{0}\) es un resultat indeterminat perquè té moltes solucions.
Les indeterminacions (resultat indeterminats) que podem trobar quan resolem el límit d’una funció en un punt són: \(\frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty}, \, \infty-\infty, \, 1^{\infty}, \, 0*\infty, \, 0^0 \, i \, \infty^0\).
1.1 Límits laterals d’una funció
Per a determinar quin és el límit d’una funció en un punt hem de determinar el límit d’aquesta funció quan ens hi aproximem per l’esquerra o per la dreta. Si el límits laterals no coincideixen, el límit serà indefinit i per tant la funció no tindrà límit.
Exemple:
\( f(x) \begin{cases} x^2-2 \enspace si \enspace-\infty \lt x \lt 2\\ 4 \hspace{1.3cm} si \enspace 2 \leq x \lt 4 \end{cases} \\[1cm] \lim_{x \to +2^-} f(x)=\lim_{x \to +2^-}x^2-2=2\\ \lim_{x \to +2^+} f(x)=\lim_{x \to +2^+}4=4 \)
La funció anterior és una funció a trossos formada per les funcions \(y=x^2-2\) i la funció \(y=4\). Quan ens aproximem a \(x=2, \, f(x)\) té valors diferents. Els límits laterals no coindeixen, per tant, la funciò no té un límit definit.
2. Propietats dels límits
Si el límit d’una funció existeix, es compleixen les següents propietats:
i) El límit d’una suma de funcions és igual a la suma dels límits de cada funció:
Però la manera més fàcil de resoldre les indeterminacions \(\frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty}\) és pel mètode de l’Hôpital. Aquest métode consisteix en derivar el numerador i el denominador fins obtenir un limit determinat:
Quan no podem concloure quín és el límit de la funció si la indeterminació és \(\infty-\infty\), resoldrem el límit multiplicant pel conjugat si apareixen arrels a la funció o resolent la suma/ resta de les fraccions algebraiques:
Per a resoldre aquesta indeterminació, primer la transformarem en una altra del tipus \(\frac{0}{0}\), o bé del tipus \(\frac{\infty}{\infty}\) i després resoldrem aquesta indeterminació per l’Hôpital:
Una funció \(f(x)\) és continua en un punt si \(f(x_o)=\lim_{x \to x_o} {f(x)}\). Per tant, la funció ha de tenir limit i els límits laterals de la funció han de coincidir.
En l’exemple anterior, la funció té imatge en el punt on hi pot haver una possible disconitnuïtat \(x=-2\), però els límits laterals no coincideixen. Per tant, la funció és discontinua.
Un altre exemple:
\( f(x) \begin{cases} 4x+6 \enspace si\enspace -\infty\leq x \leq -5 \\ \frac{x^2+3}{-2} \enspace si\enspace -5 \lt x \lt 5 \\ \end{cases} \\[1cm] i. \, 4*(-5)+6=-14 \\ ii. \, \lim_{x \to -5}{4x+6}\,=-14\\ \lim_{x \to -5}\frac{x^2+3}{-2}\,=\frac{(-5)^2+3}{-2}=-14 \)
En aquest exemple, la funció també té imatge en el punt frontera entre les dues funcions \(x=-5\) i els límits laterals coincideixen. Per tant, la funció és continua.
i) Teorema de Bolzano
Si una funció \(f(x)\) és continua en un interval tancat \([a,b]\) i \(f(a)\) i \(f(b)\) són de signes diferents, existeix almenys un punt \(c \in (a,b)\) tal que \(f(c)=0\).
Exemple:
Volem saber si la funció \(f(x)=x^2-2\) té almenys una arrel en l’interval tancat \([1,2]\).
Com que és una funció polinómica, és continua en tot \(\mathbb{R}\).
Aixó vol dir que la funció SÍ té almenys una solució en aquest interval.
ii) Teorema dels valors intermedis
Si una funció \(f(x)\) és continua en un interval tancat \([a,b]\) i \(y_0\) és un valor comprès entre \(f(a), f(b)\), \(f(x)\) té el valor \(y_0\) almenys una vegada en aquest interval.
Aquest teorema és una conseqüència del teorema de Bozano: que \(f(x)=x^2-2\) sigui \(0.25\) en l’interval tancat \([1,2]\), és el mateix que dir que la funció s’anul·la en el punt \(x=1.5\) d’aquest interval , per exemple:
\( f(x)=x^2-2-0.25=0 f(1.5)=(1.5)^2-2-0.25=0 \)
iii) Teorema de Weierstrass
Si una funció \(f(x)\) és continua en un interval tancat \([a,b]\), la funció tindrà com a mínim un màxim i un mínim absolut en aquest interval.
3.1 Discontinuïtats
3.1.1 Discontinuïtat de 1a. espècie de salt determinat
i) La funció té imatge.
ii) Els límits laterals no coincideixen i són finits.
3.1.2 Discontinuïtat de 1a. espècies de salt infinit
i) La funció té imatge.
ii) Algun dels límits laterals és infinit.
3.1.3 Discontinuitat de 2a. espècie o esencial
i) La funció té imatge.
ii) Algun dels límits laterals no existeix.
3.1.4 Discontinuïtat evitable
i) La funció no té imatge, o bé
ii) la funció té imatge però no coincideix amb el límit de la funció.
Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.
Un vector (\(\vec{v}\)) és un segment orientat. Per a definir un vector ens calen dos punts: un punt d’origen i i el punt de l’extrem. Un vector del pla té dos components, l’horitzontal i el vertical, que representen les unitats que s’han de desplaçar per anar de l’origen a l’extrem del vector.
A diferència d’un escalar (un nombre), un vector té quatre característiques:
(i) Mòdul (\(\left|\vec{v}\right|\)): és la longitud del segment. Per a calcular el módul d’un vector fem: \(\left|\vec{v} \right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\) unitats.
(ii) Direcció (\(\theta\)): és la inclinació o el pendent de la recta sobre la qual està situat el vector. Dos vectors tenen la mateixa direcció si estan sobre rectes paral·leles o coincidents.
La direcció o inclinació d’un vector és l’arc tangent del component vertical del vector dividit per l’horitzontal: \(\arctan \frac{y}{x}\)-.
El component horitzontal del vector gris és de dues unitats i el vertical d’una. Al multiplicar-lo per dos, el component horitzontal del vector resultant és quatre i el vertical de dos.
2.2.2 Producte escalar de dos vectors
El producte escalar o producte punt de dos vectors és una multiplicació entre dos vectors que dóna com a resultat un escalar (nombre):
El producte escalar de dos vectors perpendiculars és zero perquè \(\cos{\, 90º} =0\).
El producte escalar compleix les següents propietats:
(i) Commutativa: \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\). (ii)Distributiva:\(\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = \vec{w}\cdot\vec{u} + \vec{w}\cdot\vec{v}\) (iii)El producte escalar d’un vector per ell mateix és el seu mòdul al quadrat: \(\vec{v}\cdot\vec{v} = \left|\vec{v} \right|*\left|\vec{v} \right|*\cos0 = |\vec{v}|^2\).
3. Combinació lineal de vectors
Si un vector \(\vec{w}\) és combinació lineal d’un altre són dos vectors proporcionals: \(\vec{w} = k*\vec{v}\). Un vector \(\vec{w}\) és combinació lineal de dos vectors diferents si \(\vec{w} = \mu*\vec{u} + \lambda*\vec{v}\).
Quan en un conjunt de vectors cap vectors es pot obtenir com a combinació lineal d’altres vectors diem que aquests vectors són linealment independents. La condició perquè un conjunt de vectors siguin linealment independents és:
\(\lambda_1*\vec{v_1}+\lambda_2*\vec{v_2}+…\lambda_n*\vec{v_n}=0\), sols si tots els coeficients \(\lambda\) són zero.
4. Bases
Una base són un conjunt de vectors linealment independents que poden generar tots els altres vectors del pla o de l’espai. És a dir, que qualsevol altre vector és una combinació lineal d’aquests vectors.
Al pla, dos vectors \(\vec{v_1},\vec{v_2}\) si són linealment independents i poden generar tots els altres vectors del pla ( \(B ={\vec{v_1},\vec{v_2}}\)):
Quan els vectors de la base són ortogonals i normals, és una base ortonormal.
Els vectors \((1,0)\) i \((0,1)\) formen la base ortonormal del pla \(B={\vec{e_1}(1,0),\, \vec{e_2}(0,1)}\).
Qualsevol vector del pla és una combinació lineal d’aquests dos vectors: \(\vec{w_1}=\lambda_1*\vec{e_1}+4\lambda_2*\vec{e_2}\)
Exemple:
\((3,2)=3*\vec{e_1}+2*\vec{e_2}\)
3.3 Coordenades d’un vector
Les coordenades d’un vector en una base són els coeficients \(\lambda_n\) del vector expressat en aquesta base.
En l’exemple anterior, les coordenades del vector (3,2) en base ortonormal expressat en la base \(B=\left\{ (5,7), (6,2) \right\}\) és el vector \((\frac{3}{16}, \, \frac{11}{32})\):
Un sistema de referència és el conjut format per una base de vectors \(\vec{u},\vec{v}\) i un origen de coordenades \(O\): \(R = {O,[\vec{u},\vec{v}]}\).
En un sistema de referència a cada punt \(P\) del pla se li associa un vector de posició \(OP\).
Els angles tenen diferents unitats de mesura. La més coneguda és el grau sexagesimal. En una circumferència divida en graus sexagesimals cada quart de circumferència són 90º i una volta sencera són 360º.
El radià és la unitat d’angle del SI. Un radià és l’angle que té un arc de circumferència igual al radi \(s=r\).
Com que la longitud de qualsevol circumferència és \(L=2\pi*r \Rightarrow \, 2\pi=\frac{L}{r}\).
Això vol dir que la longitud de qualsevol circumferència conté \(2\pi\) vegades el radi.
Cada partició d’un radi de la longitud d’una circumferència és un radià.
Quan mesurem els angles en radians, cada quart de circumferència són \(\frac{\pi}{2}\) radians (escrit \(rad\)). Una volta sencera són \(2\pi \enspace rad\) o simplement \(2\pi\).
Per passar de graus sexagesimals a radians usem el factor de conversió \(360º = 2\pi \, rad\).
Una raó o proporció trigonomètrica és el quocient de la longitud de dos costats d’un triangle rectangle.
Definim les raons trigonomètriques fonamentals o bàsiques per a un angle qualsevol de la circumferència goniomètrica (la circumferència per a mesurar angles) com:
I la taula de relacions trigonomètriques notables és:
\(0º (0 \, rad)\)
\(30º (\frac{\pi}{6} \, rad)\)
\(45º (\frac{\pi}{4} \, rad)\)
\(60º (\frac{\pi}{3} \, rad)\)
\(45º (\frac{\pi}{2} \, rad)\)
\(\\sin \, \alpha\)
\(0\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt2}{2}\)
\(\frac{\sqrt3}{2}\)
\(1\)
\(\\cos \, \alpha\)
\(1\)
\(\frac{\sqrt3}{2}\)
\(\frac{\sqrt2}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(0\)
\(\\tan \, \alpha\)
\(0\)
\(\frac{1}{\sqrt3}\)
\(1\)
\({\sqrt3}\)
\(\infty\)
Reducció d’angles al primer quadrant
Reducció d’angles al primer quadrant
La reducció d’un angle al primer quadrant consisteix en transformar un angle de més de 90º a un altre del primer quadrant que tingui la mateixa obertura.
Un angle més gran de 360º es pot transformar en un angle de la primera volta de la següent manera:
Si \(\alpha= 1 285º\): el quocient de \(1 285 \div 360= 3\) i el residu és \(205º\). Això vol dir que \(1 285º\) equivalen a 3 voltes senceres a la circumferència més 205º addicionals a la quarta volta.
Un cop hem determinat quan val l’angle de la darrera volta incompleta, fem la reducció d’aquest angle al primer quadrant. Observant el gràfic superior, veiem que:
Per a un angle de segon quadrant: \(\theta_{q2}=180º – \theta_{q1}\\\) Per a un angle de tercer quadrant: \(\theta_{q3}= 180º+\theta_{q1}\\\) Per a un angle de quart quadrant: \(\theta_{q4}= 360º – \theta_{q1} \).
Ailant \(\theta_1\), tenim la reducció de l’angle al primer quadrant.
I els signes de les relacions trigonomètriques de cada quadrant són:
\(sin \, \theta_{q1}: +, \, cos \, \theta_{q1}: +, \, tan \, \theta_{q1}: +\) \(sin \, \theta_{q2}: +, \, cos \, \theta_{q2}: -, \, tan \, \theta_{q2}: \, –\) \(sin \, \theta_{q3}: -, \, cos \, \theta_{q3}: -, \, tan \, \theta_{q3}: +\\ sin \, \theta_{q4}: -, \, cos \, \theta_{q4}: +, \, tan \, \theta_{q4}: \, –\)
Resolució de triangles
Semblança de triangles
Dos triangles són semblants quan es compleix que:
1. Els seus angles són iguals: \(\hat{A} = \hat{A’}, \hat{B} = \hat{B’}, \hat{C} = \hat{C’}\), i que 2. Els seus costats són proporcionals: \(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\).
Triangles semblants
Resoldre un triangle consisteix a trobar el valor de tots els seus costats i angles. Els diferents triangles que haurem de resoldre són:
i) Un triangle rectangle, ii) un triangle inscrit en un altre triangle iii) un triangle obtusangle.
Per a resoldre els triangles anteriors farem servir la trigonometria i la semblança de triangles:
i) Un triangle rectangle:
Per a resoldre un triangle rectangle ens calen, o bé dos costats, o bé un costat i un angle. Farem servir les relacions trigonomètriques sinus, cosinus, tangent i el teorema de Pitàgores:
Fem servir el teorema del cosinus si coneixem tres costats o dos costats i l’angle que els separa. També el podem usar per a calcular l’angle que els separa si coneixem dos costats adjacents.
Qualsevol triangle d’angles \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\) i costats \(a, b, c\) compleix que (teorema del cosinus):
Usem el teorema del sinus quan coneixem, o bé dos costats i l’angle oposat d’un dels costats coneguts, o bé dos angles i un costat oposat d’un dels angles coneguts del triangle.
Exemple:
Coneguts un costat i dos angles: \(\hat{A} = 62º, \hat{B} = 47º, c = 9\)
Trobem l’angle que falta sabent que tots tres sumen 180:
\(\hat{C} = 180 – 62 – 47 = 71º\)
Apliquem el teorema del sinus per trobar els altres dos costats:
És un arranjament de nombres o expressions en files i columnes. Cada nombre (o expressió) té una posició que es determina per la fila \( i\) i la columna \( j\) que ocupa.
\(
A
=
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}…&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}…&a_{2n}\\
…\\
a_{m1}&a_{m2}…&a_{mn}
\end{bmatrix}
\)
Matriu adjunta
S’obté substituint cada element pel seu adjunt.
L’adjunt \(A_{ij}\)d’un element \(a_{ij}\) és el valor del menor complementari de l’element multiplicat per signe que correspon a la seva posició.
El menor complementari d’un element \((M_{ij})\) és el valor del determinant que resulta d’eliminar la fila i la columna de l’element.
El signe atribuït a a l’element d’acord a la seva posició és \((-1)^{i+j}\).
Per tant, l’adjunt d’un element \(a_{ij}\) és \((-1)^{i+j}*M_{ij}\).
Exemple:
Els signes que corresponen a cada element d’una matriu quadrada de dimensió tres, són:
Una matriu elemental és qualsevol matriu obtinguda fent una transformació elemental sobre la matriu identitat \((I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix})\)
Les matrius elementals són de primer, segon o tercer tipus segons la mena d’operació elemental que les genera:
De primer tipus: és la matriu que resulta de permutar dues files de la matriu identitat.
1) Calculem el determinant de la matriu per a assegurar-nos que la matriu és invertible:
\(\left|A\right|=53 \neq 0\)
2) Calculem la matriu inversa per Gauss-Jordan
El mètode de Gauss transforma la matriu de coeficients en una matriu triangular superior. El mètode de Gauss-Jordan la transforma en una matriu diagonal fent triangulació superior i inferior de la matriu.
Són transformacions elementals en una matriu les següents operacions:
(PF) Permutar dues files d’una matriu (PC) Permutar dues columnes d’una matriu (MF) Multiplicar alguna de les files per un nombre real diferent de zero (MC) Multiplicar alguna de les columnes per un nombre real diferent de zero (SF) Sumar a una fila de la matriu una altra fila multiplicada per un nombre real (SC) Sumar a una columna de la matriu una altra columna multiplicada per un nombre real
Operacions amb matrius
Suma/ resta
Per a sumar o restar matrius dues matrius \(A\) i \(B\) hem de sumar o restar els elements de les matrius que ocupen la mateixa posició (\(a_{ij}+b{ij}\)). Les matrius han de tenir la mateixa dimensió.
Un nombre complex té la forma \(z=a+bi\). Diem que \(a\) és la part real del nombre i \(b\) és la part imaginària del nombre (per exemple, \(1 – i, 3 + \sqrt{5}i, -7 + 5i, -\frac{3}{4} – 4i, \sqrt{2} + i\)). \(a\) i \(b\) són nombres reals. \(i\) és part de la solució de l’equació \(x^2=-1=i^2\).
Els nombres complexos es van inventar per a poder calcular les arrels negatives d’exponent parell (\(\sqrt{-4}, \, \sqrt[6]{-100}\), etc.) que no tenen solució en el conjunt dels nombres reals \(\mathbb{R}\).
Però si definim un nombre nou de manera que el seu quadrat sigui negatiu haurem resolt el problema. Aquest nombre és \(i = \sqrt{-1}\) i el seu quadrat val \(-1\):
Per a representar els nombres reals fem servir la recta real, però per a representar gràficament els nombres complexos ens calen dues dimensions i hem de fer-ho al pla.
Situarem la part real d’un nombre complex (\(a\)) a l’eix d’abcisses i la part imaginària (\(b\)) a l’eix de ordenades.
La forma binòmica (\(z = a + bi \, ( a,b \in \mathbb{R}\)) és la forma més habitual de representar un nombre complex. Existeixen dos casos especials de nombres complexos:
Reals purs \(b = 0, \, z=a\): són els nombres reals \(\mathbb{R}\). Per tant, els nombres reals són un subconjunt dels nombres complexos \(\mathbb{C}\).
Exemple: \(z=2+0i=2\)
Imaginaris \(a = 0, \, z=bi\): són els imaginaris purs.
Exemple: \(z=0-3i=-3i\)
El conjugat d’un nombre complex \(z\) és \(\bar{z} = a – bi\). L’obtenim canviant el signe de la part imaginària.
Quan resolem equacions de segon grau de discriminant negatiu les solucions són sempre dos nombres complexos conjugats (\(z\) i \(\bar{z}\)). Diem que \(z\) i \(\bar z\) són les solucions conjugades de l’equació.
L’oposat d’un nombre complex \(z\) és aquest nombre canviat de signe, \(-z= -(a + bi) = -a – bi\).
Polar
La notació d’un nombre complex en forma polar és \(z=r_{\alpha}\).
El mòdul de \(z\) és la distància que hi ha entre el punt \(P(a,b)\) i l’origen de coordenades. Coincideix amb el radi de la circumferència: \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
L’argument de \(z\) és l’angle que forma el vector associat al punt \(z\) amb l’eix de les \(x\): \(\alpha=\arctan ( \frac{b}{a})\).
Tranformacions
Per a canviar entre la notació binòmica i la polar, fem el següent:
La notació trigonomètrica d’un nombre complex \([z=r*(\cos \alpha \pm i\sin \alpha)]\) s’obté substituint \(a\) i \(b\) per les expressions trigonomètriques respectives \(a=r*cos \alpha, \,b=r*sin \alpha\):
Com en el cas dels radicals o dels vectors, tampoc sabem dividir dos nombres complexos. Per a convertir el denominador en un nombre real i poder fer la divisió, fem servir la identitat notable \((x-a)*(x+a)=(x)^2-(a)^2\) :
Per a fer la radicació d’un nombre complex primer el transformarem a la forma polar: \(r=\sqrt{a^2+b^2} \, \alpha=arctan(\frac{b}{a})\). A continuació, farem la radiació de la següent manera:
Si les representem, es forma un triangle regular (equilàter). Aquesta és una propietat general de les arrels, Les solucions formen polígons regulars de \(n\) costats:
Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.
Un determinant és la suma dels productes de cada element d’una fila (o columna) pels de les altres files (o columnes). Cada producte sols pot tenir un element de cada fila (o columna).
Per a entendre millor aquesta definició, vegeu com es fa el càlcul de determinants per Sarrus d’una matriu \(A_{3*3}\).
Un determinat és un valor associat a una matriu quadrada. Un determinant és únic per a cada matriu.
Els determinants van ser introduïts inicialment a l’àlgebra per a resoldre la determinació del nombre de solucions d’un sistema d’equacions lineals.
Interpretació geomètrica
Les imatges dels vectors formen un paral·lelogram. El paral·lelogram definit per les files de la matriu anterior és el que té vèrtexs en \((0, 0), (a, b), (a + c, b + d), (c, d)\). El valor absolut \(ad-bc\) és l’àrea del paral·lelogram.
El valor absolut del determinant juntament amb el signe és l’àrea orientada al paral·lelogram. L’àrea orientada és la mateixa que l’àrea habitual, excepte que és negativa quan l’angle del primer al segon vector que defineix el paral·lelogram gira en sentit horari (regla de la mà dreta).
Els dos vectors d’una matriu \(u ≡ (a, b),v ≡ (c, d)\) representen els costats del paral·lelogram. L’àrea amb signe es pot expressar com \(\vec{| u |}.\vec{| v |}.sin θ\), que és l’alçària per la base del paral·lelogram o l’àrea del paral·lelogram.
Si representem aquesta expressió en funció de l’angle complementari de \(theta\): \(\vec{| u ⊥ |}.\vec{| v |}.cos θ ′\), que és el producte escalar dels vectors \(\vec{ u ⊥}, \vec{ v}\). És a dir,\( (− b, a).(c,d)=ad-bc.\)
Propietats dels determinants
Les propietats dels determinants ens faciliten el seu càlcul. Aquestes propietats s’apliquen tant a les columnes com a les files de la matriu:
Si bescanviem dues files o columnes d’una matriu, el valor del determinant canvia de signe.
Usem galetes per oferir una experiència més relevant al recordar les vostres preferències y visites. Polsant ACCEPTAR, consentiu l'ús de TOTES les galetes..
Aquest lloc web utilitza cookies per millorar la vostra experiència mentre navegueu pel lloc web. D’aquestes, les cookies que es classifiquen com a necessàries s’emmagatzemen al vostre navegador, ja que són essencials per al funcionament de les funcionalitats bàsiques del lloc web.
També fem servir cookies de tercers que ens ajuden a analitzar i entendre com utilitzeu aquest lloc web. Aquestes cookies s’emmagatzemaran al vostre navegador només amb el vostre consentiment. Teniu l’opció de desactivar aquestes cookies, però això pot afectar la vostra experiència de navegació.
Les galetes necessàries són absolutament essencials perquè el lloc web funcioni correctament. Aquesta categoria només inclou galetes que garanteixen funcionalitats bàsiques i funcions de seguretat del lloc web. Aquestes galetes no emmagatzemen cap informació personal.
Les galetes que no siguin especialment necessàries perquè el lloc web funcioni i s\'utilitzi específicament per recopilar dades personals de l\'usuari a través d\'analítiques, anuncis, altres continguts incrustats es desmenten com a galetes no necessàries. És obligatori obtenir el consentiment de l\'usuari abans d\'executar aquestes galetes al seu lloc web.
RSS CEEdukat
