Batxillerat archivos - Pàgina 4 de 5 - Centre d'Estudis Edukat

És un arranjament de nombres o expressions en files i columnes. Cada nombre (o expressió) té una posició que es determina per la fila \( i\) i la columna \( j\) que ocupa.

\( A = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}…&a_{2n}\\ …\\ a_{m1}&a_{m2}…&a_{mn} \end{bmatrix} \)

Matriu adjunta

S’obté substituint cada element pel seu adjunt.

L’adjunt \(A_{ij}\)d’un element \(a_{ij}\) és el valor del menor complementari de l’element multiplicat per signe que correspon a la seva posició.

El menor complementari d’un element \((M_{ij})\) és el valor del determinant que resulta d’eliminar la fila i la columna de l’element.

El signe atribuït a a l’element d’acord a la seva posició és \((-1)^{i+j}\).

Per tant, l’adjunt d’un element \(a_{ij}\) és \((-1)^{i+j}*M_{ij}\).

Exemple:

Els signes que corresponen a cada element d’una matriu quadrada de dimensió tres, són:

\( \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}+&-&+&\\-&+&-&\\+&-&+\end{bmatrix} \)

I l’adjunt de cada element de la següent matriu és:

\( A_{3*3}=\begin{bmatrix}3&8&5\\2&-6&-1\\1&5&1\end{bmatrix} \\[1cm] A_{11}=(-1)^{(1+1)}*M_{11}=(-1)^2*\begin{bmatrix}-6&-1\\5&1\end{bmatrix}=1*-1=-1 \\ A_{12}=(-1)^3*M_{12}=-1*\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}=-1*3=-3 \\ A_{13}=+M_{13}=+\begin{bmatrix}2&-6\\1&5\end{bmatrix}=16 \\ A_{21}=-M_{21}=-\begin{bmatrix}8&5\\5&1\end{bmatrix}=17 \\ A_{22}=+M_{22}=+\begin{bmatrix}3&5\\1&1\end{bmatrix}=-2 \\ A_{23}=-M_{23}=-\begin{bmatrix}3&8\\1&5\end{bmatrix}=-7 \\ A_{31}=+M_{31}=+\begin{bmatrix}8&5\\-6&-1\end{bmatrix}=22 \\ A_{32}=-M_{32}=-\begin{bmatrix}3&5\\2&-1\end{bmatrix}=+13 \\ A_{33}=+M_{33}=+\begin{bmatrix}3&8\\2&-6\end{bmatrix}=-34 \\[1cm] \)

Per tant, la matriu adjunta és:

\( A^{adj}=\begin{bmatrix}-1&-3&16\\17&-2&-7\\22&13&-34\end{bmatrix} \)

Matriu ampliada

És un sistema d’equacions lineals escrit en forma de matriu. Inclou els coeficients i els termes independents.

Exemple:

\( \begin{cases}3x+8y+5z=16\\2x-6y-1z=-5\\x+5y+z=7\end{cases} \\[1cm] \begin{bmatrix}3&8&5&|16\\2&-6&-1&\hspace{0.3cm}|-5\\1&5&1&|7\end{bmatrix} \)

Matriu anti-simètrica

És un matriu en la qual es verifica que \(a_{ij}=-a_{ji}\). Els elements de la diagonal principal són zero.

Exemple:

\( \begin{bmatrix} \color{red}0&\color{blue}5&\color{blue}1\\ \color{green}-5&\color{red}0&\color{blue}2\\ \color{green}-1&\color{green}-2&\color{red}0 \end{bmatrix} \)

Matriu associada

És un sistema d’equacions lineals escrit en forma de matriu. Sols inclou els coeficients de les incògnites.

\( \begin{cases}3x+8y+5z=16\\2x-6y-1z=-5\\x+5y+z=7\end{cases} \\[1cm] \begin{bmatrix}3&8&5\\2&-6&-1\\1&5&1\end{bmatrix} \)

Matriu columna

És una matriu de dimensió \(m*1 \, (A=\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\…\\a_{m1}\end{bmatrix})\)

Exemple:

\(A=\begin{bmatrix}2\\8\\-9\\7\end{bmatrix}\).

Matriu diagonal

És una matriu quadrada que té zeros en tots els elements que no pertanyen a la diagonal principal.

Exemple:

\( \begin{bmatrix}3&0&0\\0&-6&0\\0&0&1\end{bmatrix} \)

Matriu elemental

Una matriu elemental és qualsevol matriu obtinguda fent una transformació elemental sobre la matriu identitat \((I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix})\)

Les matrius elementals són de primer, segon o tercer tipus segons la mena d’operació elemental que les genera:

De primer tipus: és la matriu que resulta de permutar dues files de la matriu identitat.

Exemple:

\(
\begin{bmatrix} \color{red}0&\color{red} 1&\color{red} 0\\
\color{green}1&\color{green}0&\color{green}0\\
0&0&1\end{bmatrix}
\)

De segon tipus: és la matriu que resulta de multiplicar una fila de la matriu identitat per un paràmetre (\(λ\)).

Exemple:

\(
5*\begin{bmatrix}1&0&0\\
\color{red}0&\color{red}1&\color{red}0\\
0&0&1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
\color{red}0&\color{red}5&\color{red}0\\
0&0&1\end{bmatrix}
\)

De tercer tipus: és la matriu que resulta de sumar una fila de la matriu identitat amb una altra fila multiplicada per un paràmetre (\(λ\)).

Exemple:

\( \begin{bmatrix} \color{red}1&\color{red}0&\color{red} 0\\ \color{green}0&\color{green}5&\color{green}0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ \color{blue}1&\color{blue}5&\color{blue}0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \)

Matrius equivalents

Dues matrius són equivalents si se’n pot obtenir una fent transformacions elementals en l’altra.

Exemple:

\( A=\begin{bmatrix}3&5&0\\4&3&2\\1&1&7\end{bmatrix} \\ C_1\Leftrightarrow C_2 \\ B=\begin{bmatrix}5&3&0\\\color{red}3&\color{red}4&\color{red}2\\1&1&7\end{bmatrix} \\ \color{red}{F_2=3*F_1+F_2} \\ C=\begin{bmatrix}5&3&0\\\color{red}{18}&\color{red}{13}&\color{red}{2}\\1&1&7\end{bmatrix} \)

\(A, B\) i \(C\) són matrius equivalents

Matriu escalar

És una matriu diagonal que té tots els elements no nuls iguals.

Exemple:

\( \begin{bmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{bmatrix} \)

Matriu fila

És una matriu de dimensió \(1*n \,
(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}…&a_{1n}\end{bmatrix})\):

Exemple:

\(A=\begin{bmatrix}2&8&-9&7\end{bmatrix}\).

Matriu identitat

És una matriu diagonal en la qual tots els elements de la diagonal principal són \(1\). Anomenem \(I\) a la matriu identitat.

Exemple:

\(I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

Matriu inversa

És una matriu quadrada amb determinant diferent de zero \((A^{-1})\) que multiplicada per\(A\) fa que \(A*A^{-1}=I\).

Per a calcular la matriu inversa usem, o bé el mètode de Gauss-Jordan, o bé la matriu transposada de l’adjunt dividida pel seu determinant.

Càlcul de la inversa per la transposada de l’adjunta

\(A^{-1}=\frac{(A^{adj})^t}{\left|A\right|}\)

\( A_{3*3}=\begin{bmatrix}3&8&5\\2&-6&-1\\1&5&1\end{bmatrix}\)

1) Calculem el determinant de la matriu per a assegurar-nos que la matriu és invertible:

\(\left|A\right|=53 \neq 0\)

2) Com que la matriu és invertible, calculem la matriu d’adjunts:

\( A_{11}=-1 \\ A_{12}=-3 \\ A_{13}=16 \\ A_{21}=17 \\ A_{22}=-2 \\ A_{23}=-7 \\ A_{31}=22 \\ A_{32}=13 \\ A_{33}=-34 \)

\( A^{adj} = \begin{bmatrix} -1&-3&16\\ 17&-2&-7\\ 22&13&-34 \end{bmatrix} \)

3) Transposem la matriu d’adjunts:

\( A^{adj} = \begin{bmatrix} -1&17&22\\ -3&-2&13\\ 16&-7&-34 \end{bmatrix} \)

4) Calculem la inversa:

\( A^{-1} = \frac{\begin{bmatrix} -1&17&22\\ -3&-2&13\\ 16&-7&-34 \end{bmatrix}} {53} \)

\( \begin{bmatrix} -1/53&17/53&22/53\\ -3/53&-2/53&13/53\\ 16/53&-7/53&-34/53 \end{bmatrix} \)

Càlcul de la inversa per Gauss-Jordan

\( A_{3*3}=\begin{bmatrix}3&8&5\\2&-6&-1\\1&5&1\end{bmatrix}\)

1) Calculem el determinant de la matriu per a assegurar-nos que la matriu és invertible:

\(\left|A\right|=53 \neq 0\)

2) Calculem la matriu inversa per Gauss-Jordan

El mètode de Gauss transforma la matriu de coeficients en una matriu triangular superior. El mètode de Gauss-Jordan la transforma en una matriu diagonal fent triangulació superior i inferior de la matriu.

\( \begin{bmatrix} 2&-3&5\hspace{0.7cm}:1&0&0\\ 4&1&-3 \hspace{0.1cm}:0&1&0\\ 5&-2&7\hspace{0.6cm}:0&0&1 \end{bmatrix} \\ F_1=F_1:2 \\ \\ \begin{bmatrix} 1&-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\hspace{0.4cm}:\frac{1}{2}&0&0\\ 4&1&-3:0&1&0\\ 5&-2&7\hspace{0.6cm}:0&0&1 \end{bmatrix} \\ F_2=F_2-4F_1 \\ F_3=F_3-5F_1 \\ \begin{bmatrix} 1&-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\hspace{0.4cm}:\frac{1}{2}&0&0\\ 0&7&-13:-2&1&0\\ 0&\frac{11}{2}&-\frac{11}{2}\hspace{0.6cm}:-\frac{5}{2}&0&1 \end{bmatrix} \\ F_2=F_2:7 \\ \begin{bmatrix} 1&-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\hspace{0.4cm}:\frac{1}{2}&0&0\\ 0&1&-\frac{13}{7}:-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}&0\\ 0&\frac{11}{2}&-\frac{11}{2}\hspace{0.6cm}:-\frac{5}{2}&0&1 \end{bmatrix} \\ F_3=F_3-\frac{11}{2}F_2 \\ \begin{bmatrix} 1&-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\hspace{0.4cm}:\frac{1}{2}&0&0\\ 0&1&-\frac{13}{7}:-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}&0\\ 0&0&\frac{33}{7}\hspace{0.6cm}:-\frac{13}{14}&-\frac{11}{14}&1 \end{bmatrix} \\ F_3=F_3:\frac{33}{7} \\ \begin{bmatrix} 1&-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\hspace{0.4cm}:\frac{1}{2}&0&0\\ 0&1&-\frac{13}{7}:-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}&0\\ 0&0&1\hspace{0.6cm}:-\frac{13}{66}&-\frac{1}{6}&\frac{7}{33} \end{bmatrix} \\ F_2=\frac{13}{7}F_3+F_2 \\ \begin{bmatrix} 1&\frac{3}{2}&0\hspace{0.4cm}:\frac{131}{132}&\frac{5}{12}&\frac{-35}{66}\\ 0&1&0:-\frac{43}{66}&-\frac{1}{6}&\frac{13}{33}\\ 0&0&1\hspace{0.6cm}:-\frac{13}{66}&-\frac{1}{6}&\frac{7}{33} \end{bmatrix} \\ F_1=F_1+\frac{3}{2}F_2 \\ \begin{bmatrix} 1&0&0\hspace{0.4cm}:\frac{1}{66}&-\frac{1}{6}&\frac{2}{33}\\ 0&1&0:-\frac{43}{66}&-\frac{1}{6}&\frac{13}{33}\\ 0&0&1\hspace{0.6cm}:-\frac{13}{66}&-\frac{1}{6}&\frac{7}{33} \end{bmatrix} \\ \)

Matriu nul·la

És una matriu en la qual tots els elements són zero.

Exemple:

\(\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)

Matriu oposada

És una matriu que té tots els elements de la matriu original canviats de signe (\(A=-A\)).

Exemple:

\(A = \begin{bmatrix}2&-8&9\\6&-1&0\\5&7&7\end{bmatrix} \rightarrow (-A) \begin{bmatrix}-2&8&-9\\-6&1&0\\-5&-7&-7\end{bmatrix} \)

Matriu quadrada

És una matriu amb el mateix nombre de files que de columnes.

Exemple:

Una matriu quadrada de dimensió tres (3 files i 3 columnes) podria ser:

\( A_{3×3} = \begin{bmatrix} 3&4&7\\ -9&0&3\\ 5&1&1 \end{bmatrix} \)

Matriu rectangular

És una matriu de dimensió \(m*n \, (m\neq n)\).

Matriu (rang d’una)

És el nombre més gran de files o columnes linealment independents d’una matriu. Coincideix amb l’ordre del menor no nul més gran de la matriu.

Quan es triangula la matriu fent servir el mètode de Gauss, el rang és el nombre de files diferents de zero.

Exemple:

\(
\begin{bmatrix}
3&8&5&8\\
2&-6&-1&2\\
1&5&1&5
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
3&8&5&8\\
0&-\frac{34}{3}&-\frac{13}{3}&-\frac{10}{3}\\
0&0&-\frac{53}{34}&\frac{28}{17}\
\end{bmatrix}
\)

El nombre de files no nul·les és el rang de la matriu: \(rang A=3\).

Una altra manera de determinar el rang d’una matrius és aplicant el mètode de Rouché-Fröbenius.

Matriu simètrica

És una matriu en la qual bescanviant les files i columnes obtenim la mateixa matriu. L’eix de simetria és la diagonal principal de la matriu.

Es compleix, per tant, que \(A=A^t\) i \(a_ij=a_ji\).

Exemple:

\( \begin{bmatrix} \color{red}3&\color{blue}5&\color{blue}1\\ \color{green}5&\color{red}3&\color{blue}2\\ \color{green}1&\color{green}2&\color{red}7 \end{bmatrix} \rightarrow \, Simetria \,\rightarrow \begin{bmatrix} \color{red}3&\color{green}5&\color{green}1\\ \color{blue}5&\color{red}3&\color{green}2\\ \color{blue}1&\color{blue}2&\color{red}7 \end{bmatrix} \)

Matriu singular

És una matriu que no té inversa \((\left|A \right|=0)\).

La matriu \(A=\begin{bmatrix}3&5&1\\5&3&2\\8&8&3\end{bmatrix}\) no és invertible perquè Det(A)=0.

(Vegeu l’entrada Determinants per a saber-ne més).

Matriu transposada

És una matriu quadrada que s’obté bescanviant les files i les columnes de la matriu. L’anomenem \(A^t\).

\( A = \begin{bmatrix} 1&3&16\\ 17&-2&-7\\ 22&13&-34 \end{bmatrix} , A^{t} = \begin{bmatrix} 1&17&22\\ 3&-2&13\\ 16&-7&-34 \end{bmatrix} \)

Matriu triangular

És una matriu en la qual tots els elements per sobre (triangular inferior) o per sota (triangular superior) de la diagonal principal són zero.

Exemple:

\begin{bmatrix} 2&3&-8\\ 5&6&7\\ 7&1&5 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2&0&0\\ 5&6&0\\ 7&1&5 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2&3&-8\\ 0&6&7\\ 0&0&5 \end{bmatrix}

Transformacions elementals

Són transformacions elementals en una matriu les següents operacions:

(PF) Permutar dues files d’una matriu
(PC) Permutar dues columnes d’una matriu
(MF) Multiplicar alguna de les files per un nombre real diferent de zero
(MC) Multiplicar alguna de les columnes per un nombre real diferent de zero
(SF) Sumar a una fila de la matriu una altra fila multiplicada per un nombre real
(SC) Sumar a una columna de la matriu una altra columna multiplicada per un nombre real

Operacions amb matrius

Suma/ resta

Per a sumar o restar matrius dues matrius \(A\) i \(B\) hem de sumar o restar els elements de les matrius que ocupen la mateixa posició (\(a_{ij}+b{ij}\)). Les matrius han de tenir la mateixa dimensió.

Exemple:

\( \begin{bmatrix}2&8&8&9\\-1&6&3&-7\\1&4&3&8\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0&-1&-8&6\\6&6&2&1\\-3&-6&5&8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&7&0&15\\5&12&5&-6\\-2&-2&8&16\end{bmatrix} \)

Multiplicació

Quan multipliquem dues matrius el nombre de columnes de la primera ha de ser igual al nombre files de la segona .

El producte de dues matrius \(A_{m*n}*B_{n*p}\) és una altra matriu \(C_{m*p}\).

Per a multiplicar dues matrius, multipliquem escalarment cada vector fila de primera matriu per tots el vectors columna de la segona matriu.

El producte de dues matrius no és commutatiu.

Exemple:

\( \begin{bmatrix}2&8&8&9\\-1&6&3&-7\\1&4&3&8\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}0&2\\1&-7\\4&6\\3&4\end{bmatrix} = \\ (2,8,8,9)*(0,1,4,3)=0+8+32+27=67\\ (2,8,8,9)*(2,-7,6,4)=4-56+48+36=32\\ (-1,6,3,-7)*(0,1,4,3)=0+6+12-21=-3\\ (-1,6,3,-7)*(2,-7,6,4)=-2-42+18-28=-54\\ (1,4,3,8)*(0,1,4,3)=0+4+12+24=40\\ (1,4,3,8)*(2,-7,6,4)=2-28+18+32=24\\ =\\ \begin{bmatrix}67&32\\-3&-54\\40&24\end{bmatrix} \)

Divisió

La divisió entre dues matrius \(A\) i \(B\) és el producte \(A*B^{-1}\). La matriu \(B \) ha de ser quadrada.

Exemple:

\( \begin{bmatrix}0&2&5\\1&-7&6\\4&6&3\end{bmatrix} \div \begin{bmatrix}3&8&5\\2&-6&-1\\1&5&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&2&5\\1&-7&6\\4&6&3\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}3&8&5\\2&-6&-1\\1&5&1\end{bmatrix}^{-1} =\\ \begin{bmatrix}0&2&5\\1&-7&6\\4&6&3\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1/53&17/53&22/53\\ -3/53&-2/53&13/53\\ 16/53&-7/53&-34/53 \end{bmatrix} =\\ \begin{bmatrix}\frac{74}{53}&\frac{-39}{53}&\frac{-144}{53}\\ \frac{116}{53}&\frac{-11}{53}&\frac{-273}{53}\\ \frac{26}{53}&\frac{35}{53}&\frac{64}{53}&\end{bmatrix} \)

Potència

La potència d’una matriu \(A^n\) es calcula multiplicant \(n\) vegades la matriu \( A\).

Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons

Nombres complexos

Instruccions abans de començar

Definició

Un nombre complex té la forma \(z=a+bi\). Diem que \(a\) és la part real del nombre i \(b\) és la part imaginària del nombre (per exemple, \(1 – i, 3 + \sqrt{5}i, -7 + 5i, -\frac{3}{4} – 4i, \sqrt{2} + i\)). \(a\) i \(b\) són nombres reals. \(i\) és part de la solució de l’equació \(x^2=-1=i^2\).

Els nombres complexos es van inventar per a poder calcular les arrels negatives d’exponent parell (\(\sqrt{-4}, \, \sqrt[6]{-100}\), etc.) que no tenen solució en el conjunt dels nombres reals \(\mathbb{R}\).

Però si definim un nombre nou de manera que el seu quadrat sigui negatiu haurem resolt el problema. Aquest nombre és \(i = \sqrt{-1}\) i el seu quadrat val \(-1\):

Veiem-ho amb un exemple:

\(
x^2 + x + 1 = 0:
\\
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\\
\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4*1*1}}{2*1}
\\
\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}
\\
\frac{-1 \pm \sqrt{3i^2}}{2}
\\
\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
\)

Representació gràfica

Per a representar els nombres reals fem servir la recta real, però per a representar gràficament els nombres complexos ens calen dues dimensions i hem de fer-ho al pla.

Situarem la part real d’un nombre complex (\(a\)) a l’eix d’abcisses i la part imaginària (\(b\)) a l’eix de ordenades.

Per exemple, si volem representar:
\(
\color{red}{z = 2 + 1i\, (a=2, b=1)}\\
\color{blue}{z = -2 + 1i\, (a=-2, b=1)}\\
\color{green}{z = -2 – 1i\, (a=-2, b=-1)}\\
\color{magenta}{z = 2 – 1i\, (a=2, b=1)}
\)

REPRESENTACIO GRAFICA D'UN NOMBRE COMPLEX

Notació

Binòmica

La forma binòmica (\(z = a + bi \, ( a,b \in \mathbb{R}\)) és la forma més habitual de representar un nombre complex. Existeixen dos casos especials de nombres complexos:

Reals purs \(b = 0, \, z=a\): són els nombres reals \(\mathbb{R}\). Per tant, els nombres reals són un subconjunt dels nombres complexos \(\mathbb{C}\).

Exemple: \(z=2+0i=2\)

Imaginaris \(a = 0, \, z=bi\): són els imaginaris purs.

Exemple: \(z=0-3i=-3i\)

El conjugat d’un nombre complex \(z\) és \(\bar{z} = a – bi\). L’obtenim canviant el signe de la part imaginària.

Quan resolem equacions de segon grau de discriminant negatiu les solucions són sempre dos nombres complexos conjugats (\(z\) i \(\bar{z}\)). Diem que \(z\) i \(\bar z\) són les solucions conjugades de l’equació.

L’oposat d’un nombre complex \(z\) és aquest nombre canviat de signe, \(-z= -(a + bi) = -a – bi\).

Polar

La notació d’un nombre complex en forma polar és \(z=r_{\alpha}\).

El mòdul de \(z\) és la distància que hi ha entre el punt \(P(a,b)\) i l’origen de coordenades. Coincideix amb el radi de la circumferència: \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
L’argument de \(z\) és l’angle que forma el vector associat al punt \(z\) amb l’eix de les \(x\): \(\alpha=\arctan ( \frac{b}{a})\).

Tranformacions

Per a canviar entre la notació binòmica i la polar, fem el següent:

De binòmica a polar:

\(
r=\sqrt{a^2+b^2}\\
\alpha=arctan(\frac{b}{a})\)

De polar a binòmica:

\(
a=r*cos \alpha\\
b=r*sin \alpha
\)

Trigonomètrica

La notació trigonomètrica d’un nombre complex \([z=r*(\cos \alpha \pm i\sin \alpha)]\) s’obté substituint \(a\) i \(b\) per les expressions trigonomètriques respectives \(a=r*cos \alpha, \,b=r*sin \alpha\):

\(z =(a \pm bi)=(r*cos \alpha \pm r*sin \alpha)=r*(\cos \alpha \pm i\sin* \alpha)\).

Operacions

Les operacions bàsiques entre dos nombres complexos \(z_{1} = a + bi\) i \(z_{2} = c + di\), són:

En forma binòmica

Suma/ resta

\(z_{1} + z_{2} = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
\(z_{1} – z_{2} = (a + bi) – (c + di) = a + bi – c – di = (a – c) + (b – d)i\)

Exemple:
\( (3 + 4i)+(-2 + 5i) = [(3-2)+(4+5)i]=(1+9i)\\ (3 + 4i)-(-2 + 5i) = [(3+2)+(4-5)i]=(5-1i)\\ \)
Producte

\(
z_{1}*z_{2} = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 =\\
ac + adi + bci – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i
\)

Exemple:

\( (3 + 4i)*(-2 + 5i)=3*(-2)+3*5i+4i*(-2)+4i*5i=\\ -6+15i-8i+20i^2=6-20+15i-8i=-14+7i \)
Divisió

Com en el cas dels radicals o dels vectors, tampoc sabem dividir dos nombres complexos. Per a convertir el denominador en un nombre real i poder fer la divisió, fem servir la identitat notable \((x-a)*(x+a)=(x)^2-(a)^2\) :

\(\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi)}{(c + di)}\frac{c – di}{c – di} = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} = \frac{(a + bi)(c – di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc – ad}{c^2 + d^2}i\)

Exemple:
\( \frac{(3 + 4i)}{(-2 + 5i)}=\frac{(3 + 4i)}{(-2 + 5i)}*\frac{(-2-5i)}{(-2 -5i)}= \\ \frac{(3 + 4i)*(-2+5i)}{(-2+5i)*(-2 – 5i)}=\frac{(14-23i)}{(-2)^2-(5i)^2}= \\ \frac{(14-23i)}{4-25i^2}=\frac{(14-23i)}{29}=\frac{14}{29}+\frac{-23}{29}i \)
En forma polar

Suma/ resta

La suma i la resta de dos nombres complexos es fa sempre en forma bionòmica, no es pot fer en forma polar.

Producte

\(z_{1}*z_{2} = r_{\alpha}*s_{\beta} = (r*s)_{\alpha + \beta}\).

El mòdul del nombre complex resultant és el producte dels mòduls i l’argument és la suma dels arguments.

Exemple:
\(6_{35}*8_{25}=(6*8)_{35+25}=48_{60}\)
Divisió

\(\frac{z{1}}{z_{2}} = \frac{r_{\alpha}}{s_{\beta}} = (\frac{r}{s})_{\alpha – \beta}\).

És a dir, el mòdul del nombre complex resultant és el quocient dels mòduls, i l’argument és la resta dels arguments.

Exemple:

\(40_{35} \div 8_{25}=(\frac{40}{8})_{35-25}=5_{10}\)

Potències

\( (r_{\alpha})^n = (r^n)_{n\alpha}\).

Exemple:

\((5_{53})^3=(5^3)_{3*53}=125_{159}\)

Radicació

Per a fer la radicació d’un nombre complex primer el transformarem a la forma polar: \(r=\sqrt{a^2+b^2} \, \alpha=arctan(\frac{b}{a})\). A continuació, farem la radiació de la següent manera:

\(
\sqrt[n]{r}_{\alpha}=s_{\beta} \, \Rightarrow r_{\alpha}=(s^n)_{n\beta}\\
\begin {cases}
r =s^n \, \Rightarrow s=\sqrt[n]{\left|r \right |}\\
\alpha=n*\beta \, \Rightarrow \beta= \frac{\alpha}{n}
\end {cases}
\).

\(\beta_n=\frac{\alpha+2\pi*k}{n}\), o bé \(\beta_n=\frac{\alpha+360*k}{n} \, (k=0,1,2…)\)

Exemple:

Volem calcular \(\sqrt[3]{-8} \, ,(n=3, r=-8,\alpha=\pi/180º \, rad)\)

i) Transformem el nombre de forma binòmica \((-8,0)\) a polars:

\(
r=\sqrt{-8)^2+(0)^2}=8\\
\alpha=\arctan {\frac{0} {-8}}=180º
\).

ii) Calculem el mòdul de les arrels:

\(
s=\sqrt[3]{|-8|} = 2
\).

iii) Calculem els angles:

\(
\beta=\frac{\alpha}{n}=\frac{180}{3}=60º \, (\frac{\pi}{3}):\\
\beta_{1}=\frac{\pi+2\pi*0}{3}=\frac{1\pi}{3}, \,\frac{180+360*0}{3}=60º\\
\beta_{2}=\frac{\pi+2\pi*1}{3}=\pi, \, \frac{180+360*1}{3}=180º\\
\beta_{3}=\frac{\pi+2\pi*2}{3}=\frac{5\pi}{3}, \, \frac{180+360*2}{3}=300º
\)

I les arrels són:
\( 2_{\pi/3}=\, 2_{60º}= \, 1 + i\sqrt{3}\\ 2_{\pi}=\, 2_{180º}=\, -2\\ 2_{\frac{5\pi}{3}}=\, 2_{300º}=\,1 – i\sqrt{3} \)

Si les representem, es forma un triangle regular (equilàter). Aquesta és una propietat general de les arrels, Les solucions formen polígons regulars de \(n\) costats:

Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons

Determinants

Instruccions abans de començar

Definició

Un determinant és la suma dels productes de cada element d’una fila (o columna) pels de les altres files (o columnes). Cada producte sols pot tenir un element de cada fila (o columna).

Per a entendre millor aquesta definició, vegeu com es fa el càlcul de determinants per Sarru s d’una matriu \(A_{3*3}\).

Un determinat és un valor associat a una matriu quadrada. Un determinant és únic per a cada matriu.

Els determinants van ser introduïts inicialment a l’àlgebra per a resoldre la determinació del nombre de solucions d’un sistema d’equacions lineals.

Interpretació geomètrica

Les imatges dels vectors formen un paral·lelogram. El paral·lelogram definit per les files de la matriu anterior és el que té vèrtexs en \((0, 0), (a, b), (a + c, b + d), (c, d)\). El valor absolut \(ad-bc\) és l’àrea del paral·lelogram.

El valor absolut del determinant juntament amb el signe és l’àrea orientada al paral·lelogram. L’àrea orientada és la mateixa que l’àrea habitual, excepte que és negativa quan l’angle del primer al segon vector que defineix el paral·lelogram gira en sentit horari (regla de la mà dreta).

Els dos vectors d’una matriu \(u ≡ (a, b),v ≡ (c, d)\) representen els costats del paral·lelogram. L’àrea amb signe es pot expressar com \(\vec{| u |}.\vec{| v |}.sin θ\), que és l’alçària per la base del paral·lelogram o l’àrea del paral·lelogram.

Si representem aquesta expressió en funció de l’angle complementari de \(theta\): \(\vec{| u ⊥ |}.\vec{| v |}.cos θ ′\), que és el producte escalar dels vectors \(\vec{ u ⊥}, \vec{ v}\). És a dir,\( (− b, a).(c,d)=ad-bc.\)

Propietats dels determinants

Les propietats dels determinants ens faciliten el seu càlcul. Aquestes propietats s’apliquen tant a les columnes com a les files de la matriu:

Si bescanviem dues files o columnes d’una matriu, el valor del determinant canvia de signe.

\(\begin{vmatrix}1 & 6\\9 & 5\end{vmatrix}=5-54=-49\)
\(\begin{vmatrix}9 & 5\\1 & 6\end{vmatrix}=54-5=+49\)

Quan multipliquem o dividim una fila o columna per un nombre, el resultat del determinant queda multiplicat o es dividit per aquest nombre.

\(\begin{vmatrix}\color{red}3*1 & 6\\ \color{red}3*9 & 5\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}\color{red}3 & 6\\ \color{red}{27} & 5\end{vmatrix}
=
5*3-27*6=-147\)

Quan a una fila (o columna) se li suma una combinació lineal d’una altra fila (o columna), el valor del determinant ni canvia.

\(
\begin{vmatrix}1 & 6\\9 & 5\end{vmatrix}
\\
C_2=C_2-2*C_1
\\
\begin{vmatrix}1 & \color {red}{6-2}\\ 9 & \color{red}{5-18}\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}1 & \color {red}4\\ 9 & \color {red}{-13}\end{vmatrix}
=
-13-36=-49\)

Quan una fila (o columna) és nu·la, el valor del determinant serà zero.

\(\begin{vmatrix}0 & 6\\ 0 & 5\end{vmatrix}
=
0*5-6*0=0\)

Quan una fila (o columna) és combinació lineal d’altres files (o columnes), el determinant val zero.

\(\begin{vmatrix}1 & 6\\8 & 48\end{vmatrix}
=
48*1-6*8=0\)

Cálcul de determinants

Gauss-Jordan

L’algorisme de Gauss-Jordan aplicat a una matriu és el resultat de multiplicar-la per un nombre finit de matrius elementals.

Un cop hem fet la triangulació de la matriu per aquest mètode, el determinant de la matriu és el producte dels elements de la diagonal de la matriu.
\( \begin{bmatrix} 1 & {-3} & {-1}\\ 1 & -4 & -3\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\ F_2=F_1-F_2 \\ \begin{bmatrix} \color{blue}1 & -3 & -1\\ \color{red}0 & \color{red}1 & \color{red}2\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\ F_3=F_2-F_3 \\ \begin{bmatrix} \color{blue}1 & -3 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ \color{red}0 & \color{red}0 & \color{red}1 \end{bmatrix} \\ F_2=2F_3-F_2 \\ \begin{bmatrix} 1 & -3 & -1\\ \color{red}0 &\color{red} -1 &\color{red} 0\\ 0 & 0 &\color{blue}1 \end{bmatrix} \\ F_1=F_3+F_1 \\ \begin{bmatrix} \color{red}1 & \color{red}{-3} &\color{red} 0\\ 0 &{-1} &0\\ 0 & 0 & \color{blue}1 \end{bmatrix} \\ F_1=3F_2-F_1 \\ \begin{bmatrix} \color{red}{-1} &\color{red} 0 &\color{red} 0\\ 0 &\color{blue}{-1} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

I per tant,
\(\begin{vmatrix} 1 & {-3} &{-1}\\ 1 & -4 & -3\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\)

Fórmula de Laplace

Segons el teorema de Laplace, el determinant d’una matriu és la suma dels determinants dels adjunts de qualsevol fila (o columna) de la matriu:

\(\begin{vmatrix} \color{red}1 & -3 & {-1}\\ \color{red}1 & -4 & -3\\ \color{red}0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \color{red}+1*\begin{vmatrix} -4 & {-3}\\ 1 & -1 \end{vmatrix} \color{red}-1*\begin{vmatrix} -3 & -1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} \color{red}+0*\begin{vmatrix} -3 & -1\\ -4 & -3 \end{vmatrix} = \\ \color{red}+1*\color{red}{-1}-1*-2+\color{red}0*5=1 \)

El signe de l’adjunt d’un element \(a_{ij}\) és \((-1)^{i+j}\):
\( sign(a_{11})=(-1)^{1+1}=+\\ sign(a_{12})=(-1)^{1+2}=-\\ sign(a_{13})=(-1)^{1+}=+\\ …\\ sign(a_{ij})=(-1)^{i+j} \)

Sarrus

Si

\( A_{3*3} = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} \)

el \(det(A)\) usant el mètode de Sarrus és:
\( \begin{bmatrix} \color{red}1&\color{green}{-3}&\color{blue}{-1}\\ \color{blue}1&\color{red}{-4}&\color{green}{-3}\\ \color{green}0&\color{blue}0&\color{red}1\end{bmatrix} = +(1*-4*1+1*1*-1+-3*-3*0)=-5 \\ \begin{bmatrix}\color{green}1&\color{blue}{-3}&\color{red}{-1}\\ \color{blue}1&\color{red}{-4}&\color{green}{-3}\\ \color{red}0&\color{green}0&\color{blue}1\end{bmatrix} = -(0*-4*-1+1*1*-3+1*-3*-3)=-6\\ \)

I llavors, \(|A|=\)-5-(-6)=1.

Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons

Llista de paraules clau de biologia

Aquesta és una llista de paraules bàsiques de biologia. Cerca cada paraula en un diccionari, compren-les bé i, en acabat, hauràs après molta biologia.

Biomolècules

Biomolècula, biomolècula orgànica, biomolècula inorgànica, monòmer, polímer, polimerització o condensació, hidròlisi, dímer, glúcid o hidrat de carboni, monosacàrid, disacàrid, polisacàrid, glucosa, ribosa, fructosa, sacarosa, sucre, lactosa, midó, glucògen, lípid, trialcilglicèrid, triglicèrid, greixos, fosfolípid, esteroide, terpè, proteïna, aminoàcid, enzims, desnaturalització, estructura primària, estructura secundària, estructura terciària, estructura quaternària, àcid nucleic, nucleòtid, desoxirribosa, base nitrogenada, base nitrogenada púrica, base nitrogenada pirimidínica, àcid fosfóric, codó, anticodó, codi genétic, ribosoma, ADN, ARN, transcipció, traducció, sal mineral.

La cèl·lula

Cèl·lula, morfologia, fisiologia, nucli, citoplasma, membrana plasmàtica, animal, vegetal, fong, procariota, eucariota, paret cel·lular, orgànul, retícul endoplasmàtic, aparell de Golgi, lisosoma, vacúol, mitocondri, cloroplast, fotosíntesi, ribosoma, teixit, cromosoma, cromàtida, centròmer, haploide, diploide, poliploide.

Funcions cel·lulars

Funció, nutrient, aliment, metabolisme, catabolisme, anabolisme, respiració cel·lular, respiració aeròbica, respiració anaeròbica, fermentació, fermentació alcohólica, fermentació làctica, nutrició, energia, nutrició autòtrofa, nutrició heteròtrofa, excreció, reproducció cel·lular, cél·lula mare, cèl·lula filla, mitosi, meiosi, citocènesi.

Teixits animals

Teixit, histologia, teixit epitelial o epiteli, teixit conjuntiu, teixit adipós, teixit cartilaginós, teixit muscular, teixit nerviós, glàndula, glàndula exocrina, glàndula endocrina, glàndula mixta, pàncrees, hormona, colàgen, elastina, glicoproteïna, dermis, adipòcit, osteoblast, osteòcit, medul·la òsia roja, medul·la òsia groga, fibra muscular, fibra muscular estriada, fibra muscular llisa, neurona.

Nutrició

Nutrició, pluricel·lular, digestió, digestió intacel·lular, digestió extracel·lular, digestió mixta, aparell, sistema, aparell respiratori, aparell digestiu, digestió química, digestió mecànica, absorció, egestió, aurícula, ventrícul, circulació oberta circulació tancada, circulació completa, circulació incompleta, cor, endocardi, miocardi, pericardi, vàlvula, vàlvula mitral, vàlvula tricúspide, vàlvula semilunar, artèria aorta, artèria pulmonar, vena cava, vena pulmonar, circulació major, circulació menor, sistema linfàtic, linfa, vas linfàtic, teixit linfàtic, gangli linfàtic, amígdales, tim, melsa, capilar linfàtic, gran vena linfàtica, gran conducte toràcic, edema, plasma sanguini, cèl·lules sanguínies, glòbuls vermells eritròcits o hematies, glòbuls blancs o leucòcits, plaquetes o trombòcits, hemoglobina, fagòcit, neutròfil, basòfil, eosinòfil, monòcit, fibrinògen, faringe, laringe, tràquea, bronquis, pleura, alvèols, inspiració, espiració, aparell excretor, pulmons, fetge, glándula sudorípara, ronyó, nefrona, urèter, bufeta, uretra.

Relació (en animals pluricel·lulars)

Relació, sistema nerviós, estímul, òrgan efector, gangli, encèfal, neurona, dendrita, axó, neurita, neurona sensitiva, neurona motora, neurona d’associació, neurotransmissor, sinapsi, medul·la espinal, cervell, cerebel, bulb raquidi, sistema nerviós perifèric, sistema nerviós somàtic, innervació simpàtica, innervació parasimpàtica, papil·la gustativa, quimioreceptor, escleròtica, coroides, retina, bastons, nervi òptic, còrnia, cristal·lí, cambra anterior, cambra posterior, oïda extern, oïda mig, oïda intern, sistema endocrí, hormona, hipotàlem, hipòfisi, tiroides, pàncrees, glàndules suprarenals, gònades, progesterona, feromones.

Classificació dels éssers vius (taxonomia)

Taxonomia, espècie, gènere, família, ordre, classe, filum, regne, regne moneres, regne protoctists, regne fongs, regne plantes, regne animals

Desenvolupament embrionari i postembrionari (animals)

Embrió, ontogènesi, segmentació, gastrulació, organogènesi, mòrula, blastòmer, blàstula, ectoderm, endoderm, blastopor, mesoderm.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons

Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Llista de paraules clau de tecnologia

Aquesta és una llista de paraules bàsiques de tecnologia. Cerca cada paraula en un diccionari, compren-les bé i, en acabat, hauràs après molta tecnologia.

Sistemes mecànics

Dinàmica, màquina, energia, treball, potència, energia mecànica, força conservativa, energia potencial, energia cinètica, moviment rectilini, moviment circular, translació, rotació, moment d’inèrcia, moment, velocitat angular, parell motor, parell de forces, parell resistent, termodinàmica, temperatura, escala de temperatura Kelvin, zero absolut, canvi de fase, calor latent, gas ideal, nombre d’Avogrado, equació d’estat, procés isobàric, procés isocor, procés isotèrmic, procés adiabàtic, coeficient adiabàtic.

Màquines tèrmiques

Màquina tèrmica, primer principi de la termodinàmica, segon principi de la termodinàmica, tercer principi de la termodinàmica, generador, bomba, turbina, bomba de calor, eficiència tèrmica, rendiment, màquina o cicle de Carnot, procés reversible, procés irreversible, entalpia, entropia, cicle Klaus-Rankine, turbina d’acció, turbina de reacció, cicle Otto, bomba d’injecció, turboalimentació, turboreactor, turbina de gas, màquina frigorífica, compressor.

Oleohidràulica

Oleohidràulica, hidràulica, pneumàtica, cilindre, líquid hidràulic, hidrostàtica, principi de Pascal, cabal màssic, cabal volumètric, hidrodinàmica, element de potència, element de regulació o de control, element de treball, condicionador, accessori grup oleohidràulic, bomba hidràulica, rendiment volumètric o total, axial, radial, vàlvula, vàlvula distribuïdora o direccional, vàlvula unidireccional, vàlvula antiretorn, vàlvula reguladora de cabal, vàlvula reguladora de pressió, vàlvula limitadora de pressió, servovàlvula, vàlvula proporcional, cilindre d’efecte simple, cilindre de doble efecte.

Electrotècnia

Electrotècnia, electricitat, magnetisme, corrent elèctric, corrent continu, corrent altern, imant, electromagnetisme, camp elèctric, camp magnètic, línia de força, pol, flux, flux del camp magnètic, inducció, espectre magnètic, inducció magnètica, solenoide o bobina, permeabilitat magnètica, paramagnètic, ferromagnètic, diamagnètic, intensitat o excitació de camp magnètic (H), circuit magnètic, entreferro, força electromotriu (FMM), inducció electromagnètica, FEM induïda, autoinducció, induït, inductor, regla de la mà dreta, llei de Faraday, llei de Lenz, FEM alterna, sinusoïdal, coeficient d’autoinducció (L), període, freqüència, valor instantani, valor màxim, valor eficaç, valor mitjà, angle de fase, desfasament, element passiu d’un circuit, element actiu d’un actiu, resistència, inductància, capacitància, impedància, llei de Ohm, reactància capacitiva, reactància inductiva, potència activa, potència reactiva, factor de potència, potència aparent, triangle de potències, circuit sèrie, circuit paral·lel, tensió, intensitat, corrent altern trifàsic, connexió estrella, connexió triangle, fase, arrencada estrella-triangle.

Màquines elèctriques

Màquina, generador, motor, transformador, màquina rotativa, màquina estàtica, pèrdua magnètica o pèrdua del ferro, pèrdua elèctrica o pèrdua del coure, pèrdua mecànica, potència absorbida o consumida, potència perduda, potència útil, potència nominal, règim nominal, plena càrrega, sobrecàrrega, lamel·la, col·lector de lamel·les, dinamo, entreferro, pol inductor o principal, bobinatge inductor, culata, rotor, estator, nucli de l’induït, bobinatge de l’induït, col·lector, escombretes, coixinets, eix, màquina d’excitació independent, màquina excitada, excitació sèrie, excitació derivació, excitació composta, corba característica, alternador, màquina de CA síncrona, monofàsic, trifàsic, motor elèctric, motor de corrent continu, força contraelectromotriu del motor, parell motor, intensitat del motor, intensitat d’arrencada, parell d’engegada, velocitat de gir, potència interna del motor, potència absorbia, potència útil, parell intern, parell útil, rendiment del motor, motor sèrie, motor shunt, motor compound, motor síncron, motor asíncron, rotor de gàbia, rotor bobinat, velocitat de sincronisme, velocitat de lliscament, motor universal, motor pas a pas, transformador, circuit magnètic, enrotllament.

Electroneumàtica

Electropneumàtica, quadre elèctric, dispositiu de comandament, seccionador, interruptor de càrrega, polsador, commutador, interruptor, dispositiu de protecció, curtcircuit, sobretensió, sobreintensitat, contacte elèctric, càrrega estàtica, fusible, relé tèrmic, relé tèrmic diferencial, interruptor automàtic o disjuntor, magnetotèrmic, ICP, IGA, PIA, monofàsic, bifàsic, trifàsic, lleis de Kirchoff, neutre, valor nominal, dispositiu de protecció de sobretensions (DPS), circuit de maniobra, circuit de potència, circuit de comandament o control, contactor, electroimant, contacte principal, contacte auxiliar, contacte NO, contacte NT, relé de comandament, relé electromagnètic, relé d’estat sòlid, temporitzador, dispositiu auxiliar de control, selector, detector mecànic, dispositiu de senyalització, dispositiu òptic, dispositiu acústic, simbologia, signe d’identificació, born de connexió, inversor de gir, connexió estrella, connexió triangle, arrancada estrella-triangle, electrovàlvula, rectificador, díode, corrent directe (en un díode), tensió inversa (en un díode), potència màxima (en un díode), rectificador de mitja ona, rectificador d’ona completa, rectificador de pont Graetz, transistor, polarització d’un transistor, polarització d’emissor comú, polarització per divisors de tensió, cèl·lula fotoelèctrica, LDR, tiristor, diac, triac.

Sistemes digitals

Dígit, electrònica digital, àlgebra de Boole, porta lògica, codificador, multiplexor, electrònica analògica, valors discrets, valors continus, sistema de numeració, sistema decimal, sistema binari, sistema octal, sistema hexadecimal, operació aritmètica, codi BCD, funció AND, funció OR, funció EXOR, funció NOT, funció NOR, funció NAND, funció NEXOR, normes IEC, normes DIN, normes ASA, normes UNE, taula de veritat, minterm, maxterm, mapa de Karnaugh, mètode de Quine-McCluskey, circuit digital seqüencial, circuit digital combinacional, codificació, descodificador, multiplexor, desmultiplexor, comparador, sumador binari, carry (en un sumador binari), restador binari, borrow (en un restador binari), unitat aritmètic-lògica (ULA), biestable, biestable asíncron, clock (CLK), flanc ascendent (en un CLK), flanc descendent (en un CLK), comptador, registre de desplaçament.

Sistemes automàtics

Sistema de control, tecnologia de control, tecnologia cablejada, tecnologia programable, sistema de llaç obert, sistema de llaç tancat, realimentació (retroalimentació o feedback), funció de transferència (transmitància), dispositiu d’entrada d’ordres, dispositiu d’entrada d’informació, unitat de control, dispositiu de sortida d’informació, actuador, preactuador, controlador, controlador proporcional (controlador P), banda proporcional, controlador integral (controlador I), controlador derivatiu (controlador D), controlador proporcional-integral-derivatiu (controlador PID), controlador tot o res, histèresi o banda morta, transductor, transductor actiu, transductor passiu, autòmat programable o PLC, unitat de control (CPU), microprocessador, memòria, memòria RAM, memòria ROM, memòria EPROM, memòria EEPROM, memòria EAPROM, diagrama de contactes, diagram lògic, diagrama de flux, GRAFCET.

Metrologia i normalització

Metrologia, normalització, metrotècnia, normes ISO, magnitud, unitat, Sistema Internacional d’Unitat (SI), error absolut, error relatiu, exactitud, precisió, apreciació, instrument de mesura, mesura directa, mesura indirecta, embragatge, galga, calibrador, gonio, metre, certificació, AENOR, normes ISO de qualitat, CEN, IEEE, tolerància, ajustatge, cota, cota nominal, serratge, qualitat de la tolerància, posició de la tolerància.

Indústria metal·lúrgica

Metal·lúrgia, sistema de fabricació, conformació, motlle, deformació plàstica, ferritja, fosa, laminació, encunyació, plegatge, embotició, cisallament, trepat, torn, fresadora universal, rectificadora, màquina d’electroerosió, foneria, centrifugació, model, acritud, cristal·lització, laminatge, samarra, llúpia, trefilatge, mal·leabilitat, forja, martinet, estampació, matriu, rebava, premsa, estampació, embotició, eina de tall, broca, escairament, cilindratge, roscatge, segat, foradament, desbast, bastidor, mènsula, ranurar, planejar, aixamfranar, mola, aglomerant, bancada, ànode, càtode, dielèctric, cota, soldadura, soldadura autògena, soldadura oxiacetilènica, metà, reducció, oxidació, soldadura forta, soldadura per arc, curtcircuit, escòria, soldadura TIG, soldadura MIG, soldadura per resistència elèctrica, soldadura per punts, soldadura per costura, soldadura per guspira, soldadura per alta freqüència.

Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons

Llista de paraules clau de física

Càlcul

Trigonometria Càlcul vectorial Càlcul diferencial Càlcul integral Escalar Vector lliure Vector fix Vectors equipolents Components d’un vector Producte escalar Producte vectorial Sistema generador Base Base canònica Base ortonormal Derivada en un punt Funció derivada Integral definida Integral indefinida Constant d’integració

Cinemàtica

Magnitud Sistema de referència Mecànica Cinemàtica Moviment rectilini Moviment circular Moviment rectilini uniforme Moviment rectilini uniforme accelerat Moviment circular uniforme Moviment circular uniforme accelerat

Dinàmica

Dinàmica Matèria Massa Inèrcia Acció Reacció Força Força de contacte Força a distància Força resultant Força normal Força centrípeta Força centrífuga Pseudo-força Acceleració normal Acceleració tangencial

Treball i Energia

Treball Energia Potència Treball motor Treball resistent Energia cinètica Energia potencial Energia mecànica

Dinàmica rotacional

Sistema de partícules Centre de masses Centre de gravetat Centre geomètric o de simetria Sòlid rígid Moment lineal o quantitat de moviment Impuls Xoc elàstic Xoc inelàstic Moment d’inèrcia Moment cinètic (o angular, en anglès)

Ones

Força recuperadora Període Freqüència Longitud d’ona Amplitud Pulsació o velocitat angular Elongació Centre d’oscil·lació Energia potencial elàstica Pèndol simple Moviment oscil·latori amortit Força d’amortiment Ressonància Pertorbació Ona longitudinal Ona transversal Tren d’ones Velocitat de propagació Funció d’ona Nombre d’ona Front d’ona Concordança de fase Oposició de fase Intensitat d’ona Atenuació d’una ona Absorció d’una ona Medi material elàstic Compressió Enrariment To greu To alt Ultrasò Superposició d’ones Interferència d’ones Interferència constructiva Interferència destructiva Difracció Reflexió Refracció Batement o pulsació Ona estacionària Ventre Node Efecte Doppler

Camps vectorials

Camp Camp de força Línies de camp Camp conservatiu Camp gravitatori Camp elèctric Camp magnètic Potencial gravitatori Potencial elèctric Superfícies equipotencials

Magnetisme

Magnetisme Pol magnètic inducció magnètica Línia d’inducció Circulació del camp magnètic Permeabilitat magnètica Força magnètica Ferromagnètica Diamagnètic Paramagnètic Inducció Flux magnètic Corrent induït Força electromotriu induïda Autoinducció Força contraelectromotriu Coeficient d’autoinducció o inductància Coeficient d’inducció mútua o Inducció mútua

Física quàntica

Física quàntica Cos negre quàntum ElectronVolt Model atòmic Efecte fotoelèctric Espectre atòmic Principi d’indeterminació de Heisenberg Dualitat ona-partícula Funció d’ona Orbital atòmic Moment angular intrínsec o espín.

Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons

Llista de paraules clau de química

Aquesta és una llista de paraules bàsiques de química. Cerca cada paraula en un diccionari, compren-les bé i, en acabat, hauràs après molta química.

Estructura atòmica

Electró, raigs catòdics, protó, neutró, nucli atòmic, àtom, molècula, ió, anió, catió, càtode, nivell o capa, ànode, isòtop, nombre atòmic, nombre màssic, massa atòmica, pes atòmic, massa molecular, pes molecular, pes atòmic,, massa isotòpica, model atòmic, taula periòdica, període (de la taula periòdica), grup (de la taula periòdica), metall, metall alcalí, metall alcalinoterri,, metall de transició, metal·loide, halògens, gas noble, halògens, enllaç iònic, enllaç metàl·lic, enllaç covalent, espectre d’emissió, espectre d’absorció, teoria quàntica, ona, corpuscle, dualitat ona-corpuscle, incertesa, principi d’incertesa, principi d’exclusió de Pauli, Regla d’Aufbau, Regla de Hund, configuració electrònica, paramagnetisme, diamagnetisme, òrbita, orbital, nombre quàntic, nombre quàntic principal, nombre quàntic orbital o de moment angular, nombre quàntic magnètic, nombre quàntic d’espín, equació d’ona, equació d’ona d’Schrödinger, càrrega nuclear, capa o nivell de valència, radi atòmic, radi iònic, energia de ionització, afinitat electrònica, electronegativitat, caràcter metàl·lic.

Enllaç químic

Enllaç químic, energia de repulsió, energia d’atracció, energia d’enllaç, distància d’enllaç, enllaç iònic, valència iònica, índex de coordinació, energia reticular, enllaç covalent, enllaç covalent coordinat, covalència, model de Lewis, RPENV, electró enllaçant, electró lliure, geometria molecular, parell lliure, parell enllaçant, covalència, enllaç covalent, teoria de l’enllaç de valència, energia o entalpia d’enllaç, longitud d’enllaç, polaritat de l’enllaç, dipol, enllaç apolar, moment dipolar, hibridació d’orbitals atòmics, hibridació sp, hibridació sp², hibridació sp³, enllaç metàl·lic, model de bandes, banda de valència, banda conductora, força intermolecular, força de Van der Waals, Força dipol-dipol, força dipol-dipol induït, força de dispersió, enllaç d’hidrogen.

La matèria

Estat d’agregació, teoria cinètico-molecular, equació química, equació química ajustada, coeficient estequiomètric, equació iònica, estequiometria, gas ideal, concentració, solut, dissolvent, dilució, dissolució, reactiu limitant, reactiu en excés, rendiment de la reacció, fórmula empírica, fórmula molecular, velocitat de difusió, llei dels gasos ideals, llei de Dalton, canvi d’estat.

Dissolucions

Percentatge en massa, percentatge en volum, molaritat, molalitat, fracció molar, ppm, normalitat, propietat col·ligativa, pressió de vapor, pressió osmòtica, ascens ebullioscòpic, descens crioscòpic, puresa dels reactius, rendiment de la reacció.

Termodinàmica

Termodinàmica, energia, energia interna, treball, temperatura, calor, calor de fusió, entalpia, entalpia d’enllaç, entropia, energia lliure, reacció endotèrmica, reacció exotèrmica, termoquímica, funció d’estat, sistema termodinàmic, variable termodinàmica, variable extensiva, variable intensiva, procés termodinàmic, equilibri termodinàmic, equilibri tèrmic, equilibri dinàmic, expansió, compressió, Qv, Qp, entalpia estàndard de reacció, entalpia estàndard de formació, equació termoquímica, entalpia estàndard de combustió, entropia, sistema reversible, sistema irreversible, energia lliure estàndard de formació, energia lliure estàndard de reacció, reacció espontània, energia de Gibbs.

Cinètica química

Cinètica química, velocitat de reacció, equació de velocitat, mecanisme de reacció, reacció intermèdia, velocitat mitjana, velocitat instantània, col·lisió, complex activat, energia d’activació, llei de velocitat, ordre parcial de reacció, ordre total de reacció, equació d’Arrhenius, reactiu, producte, catalitzador, catàlisi homogènia, catàlisi heterogènia, molecularitat, reacció elemental, etapa determinant.

Equilibri químic

Equilibri químic, equilibri homogeni, equilibri heterogeni, reacció reversible, reacció directa, reacció inversa, constant d’equilibri (Ke), llei d’acció de masses, equilibri homogeni, equilibri heterogeni, quocient de reacció, constant d’equilibri de pressions (Kp), constant d’equilibri de concentracions (Kc), àcid d’Arrehnius, base d’Arrhenius, ácid de Brönsted-Lowry, base de Brönsted-Lowry, àcid conjugat, base conjugada, principi de Le Chatelier.

Àcid-Base (transferència de protons)

Dissociació iònica, electròlit, reacció de neutralització, àcid/ base fort/a, àcid/ base feble, constant d’acidesa (Ka), constant de basicitat (Kb), grau d’ionització (α), àcid polipròtic, autoionització de l’aigua, constant o producte iònic de l’aigua, autoprotòlisi, dissolució àcida, dissolució bàsica, pH, pOH, dissolució amortidora, hidròlisi, indicador, valoració, corba de valoració.

Redox (transferència d’electrons)

Nombre d’oxidació, reacció redox, semireacció d’oxidació, semireacció de reducció, agent oxidant, agent reductor, oxidació, reducció, parell redox, parell conjugat redox, valoració redox, elèctrode, pila voltaica o electroquímica, ànode, càtode, pont salí, elèctrode estàndard, potencial estàndard de reducció o força electromotriu, sèrie de potencials estàndard de reducció, poder oxidant, poder reductor, electròlisi, llei de Faraday.

Reaccions de precipitació

Solvatació, entalpia de solvatació, solubilitat, dissolució saturada, entalpia d’hidratació, entalpia de dissolució, compost soluble, compost insoluble, producte de solubilitat (Ks), producte iònic (Q), solubilitat molar, precipitat, precipitació fraccionada, efecte de l’ió comú, dissabte de precipitats, ió complex.

Química Orgànica

Química orgànica, fórmula empírica, fórmula molecular, grup funcional, sèrie homòloga, formulació, nomenclatura, hidrocarbur, alcà, alquè, alquí, hidrocarbur saturat, hidrocarbur insaturat, carboni, primari, carboni secundari, carboni terciari, carboni quaternari, isomeria geomètrica, isomeria de cadena, isomeria de posició, isomeria de funció, isomeria espacial o estereoisomeria, isomeria òptica, reacció d’hidrogenació, reacció d’addició, reacció d’oxidació, reacció de polimerització, reacció d’eliminació, hidrocarbur aromàtic, alcohol, fenol, èter, aldehid, cetona, àcid carboxílic, èster, amina, amida, nitril, monòmer, polímer, polímer d’addició, polímer de condensació, homopolímer, copolímer.

Química quàntica

Química quàntica, Cos negre, quàntum, ElectroVolt, Model atòmic, Efecte fotoelèctric, Espectre atòmic, Principi d’indeterminació de Heisenberg, Dualitat ona-partícula, Funció d’ona, Orbital atòmic, Moment angular intrínsec o espín.

Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons

Taules i formularis

Matemàtiques

Formularis de matemàtiques

Símbols matemàtics

Constants matemàtiques

Física

Formularis de física

Quimica

Formularis de química

Taula periòdica interactiva

Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons

Llista de paraules clau de matemàtiques

Aquesta és un llistat de paraules clau de matemàtiques. Cerca cada paraula en un diccionari, compren-les bé i, en acabat, hauràs après moltes matemàtiques.

Aritmètica i àlgebra

Aritmètica, àlgebra, nombre, nombre natural, nombre enter, nombre racional, nombre irracional, nombre complex, representació dels nombres reals, nombre decimal exacte, nombre decimal periòdic pur, nombre decimal periòdic mixt, interval de la recta real, interval obert, interval tancat, valor absolut, distància entre dos nombres en la recta real, entorn, aproximació per arrodoniment, truncament d’un nombre, error absolut, error relatiu, radical, potència, racionalització de denominadors, logaritme.

Trigonometria

Trigonometria, raó, proporció, bàsic, fonamental, raó trigonomètrica, raó trigonométrica bàsica o fonamental, goniometria, circumferència goniomètrica, quadrant, angle, angle complementari, angle suplementari, angles notables, angle doble, angle meitat, triangle rectangle, resolució d’un triangle, teorema del sinus, teorema del cosinus, teorema de l’altura, teorema del catet.

Nombres complexos

Nombre complex, forma binòmica d’un nombre complex, representació gràfica d’un nombre complex, part real d’un nombre complex, part imaginària d’un nombre complex, forma polar d’un nombre complex, forma trigonométrica d’un nombre complex, fórmula d’Euler d’un nombre complex.

Vectors

Escalar, vector, sistema de referència, sistema de coordenades cartesianes, eixos de coordenades, components d’un vector, vectors equipol·lents, vector lliure, vector fix, mòdul d’un vector, direcció d’un vector, sentit d’un vector, vector suma, vector diferència, espai vectorial, combinació lineal de vectors, vectors linealment dependents, vectors linealment independents, sistema generador de vectors, base d’un espai vectorial, ortogonal, normal, base ortonormal, dimensió d’un espai vectorial, producte escalar de dos vectors, producte vectorial de dos vectors, angle entre dos vectors, vectors perpendiculars o ortogonals, vector normal, vector ortonormal, coordenades cilíndriques, coordenades esfèriques, coordenades cartesianes.

Geometria analítica

Geometria analítica, punt, recta, segment, mediatriu, punt mig d’un segment, equació d’una recta, equació vectorial d’una recta, equació paramètrica d’una recta, equació continua d’una recta, equació cartesiana (general o implícita) d’una recta, equació explícita d’una recta, equació punt-pendent d’una recta, pla, equació d’un pla, equació vectorial d’una pla, equació paramètrica d’un pla, equació continua, d’un pla, equació cartesiana (general o implícita) d’un pla, equació segmentària o canònica d’un pla, vector associat (o normal) d’un pla, recta determinada per dos plans, feix de plans, posició relativa, distància entre dos punts, distància d’un punt a una recta, distància d’un punt a un pla, distància entre dues rectes, distància entre dos plans, distància entre una recta i un pla, posició relativa entre dues rectes, posició relativa entre dos plans, posició relativa entre una recta i un pla, plan paral·lels, plans secants, rectes paral·leles, rectes secants, rectes que s’encreuen, rectes coincidents, plans coincidents, rectes perpendiculars, plans perpendiculars, projecció ortogonal, projecció ortogonal d’una recta sobre un pla, projecció ortogonal d’un punt sobre una recta, angle entre dues rectes, angle entre una recta i un pla, angle entre dos plans, paral·lelogram, producte mixt de tres vectors.

Còniques

Cònica, lloc geomètric, circumferència, paràbola, el·lipse, hipèrbola, directriu, focus, vèrtex, recta tangent a una circumferència, recta normal a una circumferència, excentricitat, equació reduïda, radi vector.

Equacions i inequacions

Equació, inequació, grau d’una equació, equació de primer grau, equació de segon grau, variable dependent, variable independent, incògnita, coeficient, terme independent, equació biquadrada, equació polinòmica, equació irracional, equació exponencial, equació potencial, equació logarítmica, equació trigonomètrica, inequació racional, inequació irracional, programació lineal, regió factible, funció objectiu, vèrtex de la funció objectiu.

Sistemes d’equacions

Sistema d’equacions, sistema d’equacions lineals, sistema d’equacions no lineals, sistema d’equacions compatible determinat, sistema d’equacions incompatible, sistema d’equacions compatible indeterminat, sistemes d’equacions equivalents, matriu del sistema d’equacions, matriu ampliada del sistema d’equacions, Teorema de Rouché-Frobenius, notació matricial d’un sistema d’equacions, Mètode de Gauss, Regla de Crammer, sistema homogeni d’equacions, resolució d’un sistema d’equacions, discussió de sistemes.

Progressions i successions

Progressió, successió, terme general, raó, diferència, terme d’una successió, successió creixent, successió decreixent, successió alterna, successió constant, monotonia d’una successió, fita inferior, fita superior, progressió aritmètica, progressió geomètrica, suma dels termes d’una successió, producte dels termes d’una successió, límit d’una successió, successió convergent, successió divergent, suma de successions, producte de successions, successió il·limitada.

Matemàtiques comercials

Interès, rèdit, taxa d’interès, interès simple, interès compost, capital inicial, capital final, any comercial, descompte comercial, lletra de canvi, pagaré, valor o import nominal, deutor o lliurat, creditor o lliurador, data d’emissió o de lliurament, data de venciment, temini, valor efectiu, període de conversió o de capitalització, taxa nominal, taxa anual equivalent (TAE), anualitat, anualitat de capitalització, anualitat d’amortització.

Funcions

Funció, funció contínua, funció discontinua, funció injectiva, funció bijectiva, funció exhaustiva, funció composta, funció inversa, funció polinòmica, funció quadràtica, funció de proporcionalitat inversa, funció algebraica, funció trigonomètrica, funció exponencial, funció potencial, funció logarítmica, Teorema dels valors intermedis, Teorema de Bolzano, límit, límit per la dreta, límit per l’esquerra, límit lateral, límit a l’infinit, límit determinat, límit infinit, indeterminació, el nombre e, màxim absolut, mínim absolut, màxim relatiu, mínim relatiu, funció derivable, discontinuïtat evitable, discontinuïtat inevitable, discontinuïtat de salt, discontinuïtat asimptòtica, monotonia, funció creixent, funció decreixent, simetria, Teorema de Rolle, Teorema del valor mig, Teorema de Cauchy, regla de l’Hôpital, domini, funció parella, funció imparella, punts de tall amb els eixos, recorregut, asímptota, asímptota vertical, asímptota horitzontal, asímptota obliqua, concavitat d’una funció, funció còncava, funció convexa, optimització d’una funció, funció a trossos.

Derivades

Variació mitjana, quocient incremental, límit, variació d’una funció en un punt, derivada, pendent d’una recta, tangent α d’una funció, derivada d’una funció en un punt, derivada lateral, recta tangent a una funció, funció creixent, funció decreixent, punt estacionari, punt singular, màxim, mínim, punt d’inflexió, derivabilitat d’una funció en un punt, funció derivada, funció composta, regla de la cadena, derivació logarítmica, derivades successives, taula de derivades.

Integrals

Primitiva, integral, integral indefinida, integral definida, integral immediata, integral quasi immediata, mètode d’integració, integració per substitució, integració per parts, integració per descomposició en fraccions simples, Regla de Barrow, límits d’una integral, Teorema fonamental del càlcul, teorema del valor mig, volum de revolució.

Matrius i determinants

Matriu, ordre d’una matriu, element d’una matriu, matriu fila, matriu columna, matriu nul·la, matrius iguals, matriu oposada, matriu transposada, matriu quadrada, matriu triangular, matriu triangular superior, matriu triangular inferior, matriu diagonal, matriu escalar, matriu unitat, matriu simètrica, matriu antisimètrica, suma de matrius, producte d’un nombre per una matriu, producte de matrius, potència d’una matriu quadrada, adjunts d’una matriu quadrada, menor d’una matriu, menor complementari, matriu adjunta, rang d’una matriu, matriu inversa, regal de Sarrus, determinant, ordre d’un determinant.

Probabilitat

Experiment, aleatori, succés, succés elemental, succés compost, succés segur, succés impossible, successos contraris o complementaris, successos incompatibles, successos compatibles, successos independents, successos dependents, unió de dos successos, intersecció de dos successos, freqüència d’un succés, freqüència absoluta d’un succés, freqüència relativa d’un succés, regla de Laplace, probabilitat condicionada, probabilitat total, teorema de Bayes, probabilitat de la unió, probabilitat de la intersecció.

Combinatòria

Combinatòria, permutacions ordinàries, variacions ordinàries, combinacions ordinàries, permutacions amb repetició, variacions amb repetició, combinacions amb repetició, binomi de Newton, nombre factorial, ordre dels elements d’una agrupació.

Estadística

Estadística, població, mostra, mostra representativa, variable, variable quantitativa, variable qualitativa, variable discreta, variable continua, funció de probabilitat, paràmetre estadístic, funció de distribució, dades d’una mostra estadística, freqüència absoluta, freqüència relativa, paràmetre de centralització, paràmetre de dispersió, mitja aritmètica, moda, mediana, rang d’una distribució, desviació mitja, variança, desviació típica, coeficient de variació, distribució normal, distribució normal reduïda, distribució binomial, distribució bidimensional, correlació, correlació lineal, coeficient de correlació lineal, recta de regressió, taula de doble entrada.

Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons

Paginació de les entrades

1 … 3 4 5

Arxiu de categories Batxillerat

Matemàtiques

Física

Química

Català

Castellà

Multilingües

Altres idiomes

Filosofia

Música

Tecnologia

História

Definicions

Matriu

Matriu adjunta

Matriu ampliada

Matriu anti-simètrica

Matriu associada

Matriu columna

Matriu diagonal

Matriu elemental

Matrius equivalents

Matriu escalar

Matriu fila

Matriu identitat

Matriu inversa

Càlcul de la inversa per la transposada de l’adjunta

Càlcul de la inversa per Gauss-Jordan

Matriu nul·la

Matriu oposada

Matriu quadrada

Matriu rectangular

Matriu (rang d’una)

Matriu simètrica

Matriu singular

Matriu transposada

Matriu triangular

Transformacions elementals

Operacions amb matrius

Suma/ resta

Multiplicació

Divisió

Potència

Definició

Representació gràfica

Notació

Binòmica

Polar

Tranformacions

Trigonomètrica

Operacions

En forma binòmica

Suma/ resta

Producte

Divisió

En forma polar

Suma/ resta

Producte

Divisió

Potències

Radicació

Definició

Interpretació geomètrica

Propietats dels determinants

Cálcul de determinants

Gauss-Jordan

Fórmula de Laplace

Sarrus

Biomolècules

La cèl·lula

Funcions cel·lulars

Teixits animals

Nutrició

Relació (en animals pluricel·lulars)

Classificació dels éssers vius (taxonomia)

Desenvolupament embrionari i postembrionari (animals)

Sistemes mecànics

Màquines tèrmiques

Oleohidràulica

Electrotècnia

Àcid-Base (transferència de protons)