Factorització de polinomis

La factorització de polinomis és el procediment de descompondre un polinomi en els seus factors irreductibles. El resultat del producte d’aquest factors és el polinomi original. És l’operació algebraica equivalent a la descomposició en factors primers dels nombres enters.

Per exemple, el polinomi \[x^2+5x+6\] es pot descompondre en \[x−2\] i \[x−3\], perquè \[(x−2)*(x−3)=x^2+5x+6\].

Un polinomi es pot factoritzar de diverses maneres: per Ruffini, per identitats notable, extraient factor comú o trobant les solucions de l’equació de segon grau (en cas que ho sigui). En el cas del polinomi anterior, \[x^2+5x+6\], es podria fer la descomposició de les següents maneres:

Per Ruffini:

(Vegeu la Regla de Ruffini per a saber-ne més.)

\[x=\frac{−b±\sqrt(b2−4ac)}{2a}\]:

\[x^2+5x+6: a=1, b=5, c=6\]

\[x=\frac{−(5)±\sqrt(5)^2 −4.1.6)}{2.1}=\frac{-5±\sqrt(25−24)}{2}=\frac{−5±1}{2}\]
\[x_1=\frac{−5+1}{2}=−2, x_2=\frac{−5−1}{2}=−3\]

Les solucions són \[x_1=−2, x_2=−3\], i els factors corresponents són:
\[(x+2)\] i \[(x+3)\]. Si fem \[(x+2)∗(x+3)\] el resultat és \[x^2+5x+6\].

(Vegeu l’entrada equacions de segon grau per a saber-ne més.)

Per identitats notables:

Les identitats notables principals són:

\[(x±a)^2=(x)^2±2xa+(a)^2\] i \[ (x+a)(x−a)=x^2−a^2\].

En el cas del polinomi \[x^2+4x+4\], la descomposició per identitats notables és \[(x+2)^2:a^2=4⇒a=2; 2xa=4⇒x=4 \div 4=1\].

En el cas del polinomi \[x^2−4\], la descomposició per identitats notables és \[(x+2)(x−2):a^2=4⇒a=2; x^2=1⇒x=1\].

(Vegeu l’entrada identitats notables per a saber-ne més.)

Extraient els factors comuns:

\[2x²−6x=2*x*x−2*3*x=2x*(x−3)\]

\[5x⁴−15x³+25x²=5*x*x*x*x−5*3*x*x*x+5*5*x*x=
\\
5x²(x²−3x+5)\]

(Vegeu l’entrada factor comú d’un polinomi per a saber-ne més.)

Exemple:

\[a) \enspace P(x)=x^3−7x+6
\\
1.\enspace Fent \enspace Ruffini: x=-3,
\\
2. \enspace fent \enspace l’equació \enspace de \enspace segon \enspace grau \enspace que \enspace surt:x=2, \enspace 1.
\\[1cm]
b) \enspace P(x)=x^3+6x^2+9x
\\
1. \enspace Extraient \enspace factor \enspace comú: x=0,
\\
2. \enspace fent \enspace identitats \enspace notables: x=-3,\enspace -3.
\\[1cm]
c) \enspace P(x)=x^4+5x^3+2x^2-20x+24
\\
1. \enspace Fent \enspace Ruffini: x=-2, enspace -3,
\\
2. \enspace fent \enspace identitats \enspace notables: x=+2, \enspace -2.\]