Anàlisi funcional

1. Definició

L’anàlisi matemàtic és la part de les matemàtiques que estudia les funcions.

Una funció és una una aplicació o correspondència $f$ entre dos conjunts numèrics $(X,Y) (f: X \mapsto Y)$.

Per a determinar el comportament d’una funció, analitzem de $-\infty$ fins a $+\infty$ diverses característiques que un cop interpretades conjuntament ens mostraran aquest comportament.

2. Característiques

2.1 Domini i recorregut

El domini són tots els punts del conjunt inicial $X$ als quals els correspon un o més valors del conjunts d’arribada $Y$ (codomini o recorregut). Quan a un punt del conjunt $X$ no li correspon cap punt del conjunt $Y$, aquest punt no pertany al domini de la funció (la fletxa puntejada del diagrama de Venn anterior és un punt que no pertany al domini de la funció $f(x)$).

Per a determinar el domini d’una funció hem d’analitzar-la per tal de esbrinar si hi ha algun punt $x$ al qual no li correspongui cap imatge ($y$).

Les funcions més habituals són: a) Les polinòmiques, les racionals i les irracionals ($y=\sqrt[n]{P(x)}$).

1. Polinòmiques: el domini de les funcions polinòmiques són tots els nombres reals $Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R}\}$
2. Racionals $y=\frac{N(x)}{D(x)}$: el domini de les funcions racionals son tots els nombre reals excepte els que fan el polinomi del denominador zero $Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / (D(x) \neq 0)\}$.
3. Irracionals $y=\sqrt[2n]{P(x)}$: el domini de les funcions irracionals d’index de l’arrel parell, són tots els nombres reals excepte el que fan que el radicand sigui més petit que zero $Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / (P(x) \geq 0)\}$.
   
   Quan haguem resolt l’equació que resulta d’igualar el radicand a zero, haurem de determinar quin o quins dels intervals que divideixen la recta real són solució substituint un punt de cada interval: si la solució és negativa, l’interval no pertany al domini.

Exemples:

$y= 4x³-2x²+8x-9$

$y= \frac{x²+1}{x²-1}\\ x²-1=0\\ x=\pm1\\ Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / x²-1 \neq 0)\}, \text {o bé}\\ Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / x \neq \pm1\}$

$y= \sqrt{x²-9}\\ x²-9=0\\ x=\pm3\\ y(-10)=\sqrt{(-10)²-9}>0\\ y(0)=\sqrt{(0)²-9}<0\\ y(+10)=\sqrt{(+10)²-9}>0\\ Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / x²-9 > 0)\}, \text {o bé}\\ Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} – (x \geq -3, x \geq 3)\}$

Per a determinar el recorregut calcularem la funció inversa, tot i que de vegades no es pot calcular. En aquest cas, s’ha de dibuixar la funció per a poder de determinar-lo.

Exemple:

$y=\frac{x²+1}{x²-1}\\ y(x²-1)=x²+1\\ yx²-x²=1+y\\ x²(y-1)=1+y\\ x=\sqrt{\frac{1+y}{y-1}}$

Per a que la funció $x=f(y)$ existeixi, s’ha de complir que el radicand de l’arrel sigui posItiu i el denominador diferent de zero: $\frac{1+y}{y-1} \geq 0, y-1 \neq 0$

Per tant, la funció no té imatge en $-1 \leq y<+1$.

$Rec(y)=(-\infty,-1]U(+1, -\infty)$.

(Vegeu l’entrada Funcions elementals per a saber-ne més.)

2.2 Monotonia i punts singulars

Vegeu l’entrada d ‘Aplicacions de les derivades, Monotonia i punts singulars.

$y=\frac{x²+1}{x²-1}\\ y’=\frac{2x(x²-1)-2x(x²+1)}{(x²-1)^2}\\ y’=0=2x(x²-1)-2x(x²+1)=-4x\\ x=0\\ y(0)=-1\\[1cm] y'(-10)=-4.-10>0 (creixent)\\ y'(+10)=-4.+10<0 (decreixent)\\ {Màxim (0,-1)}$

2.3 Curvatura i punts d’inflexió

Vegeu l’entrada d’Aplicacions de les derivades, Curvatura i punts d’inflexió.

$y=\frac{x²+1}{x²-1}\\ y’=-4x\\ y”=-4 \enspace (curvatura \enspace negativa)$

La funció no té punts d’inflexió.

2.4 Asímptotes

Una asímptota és una recta a la qual la funció s’aproxima infinitesimalment (“infinitesimal: quantitat infinitament petita”) sense arribar a tallar-la mai. La funció i l’asímptota són tangents a l’infinit.

Quan calculem les asímptotes verticals d’una funció, haurem de calcular-ne també els límits laterals per tal de d’esbrinar el sentit de la corba ($+\infty, -\infty)$ a cada banda de l’asímptota.

2.4.1 Asímptota vertical

Definició: $lim_{x \rightarrow a} f(x)= \infty$

Exemple:

$y=\frac{x²+1}{x²-1}\\ lim_{x \rightarrow a} \frac{x²+1}{x²-1}=\infty\\ x²-1=0\\ x=\pm 1 \\[1cm] lim_{x \to +1^{-}}\frac{x²+1}{x²-1}=\frac{(0.009)²+1}{(0.009)²-1}=-\infty\\ lim_{x \to +1^{+}}\frac{x²+1}{x²-1}=\frac{(1.001)²+1}{(1.001)²-1}=+\infty \\[1cm] lim_{x \to -1^{+}}\frac{x²+1}{x²-1}= \frac{(-0.009)²+1}{(-0.009)²-1}=-\infty\\ lim_{x \to -1^{-}}\frac{x²+1}{x²-1}=\frac{(-1.001)²+1}{(-1.001)²-1}=+\infty\\ $

2.4.2 Asímptota horitzontal

Definició: $lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=a$

Exemple:

$lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1}{x²-1}=+1\\ y=1$

2.4.3 Asímptota obliqua

Definició: $lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=m, \enspace lim_{x \rightarrow \infty} f(x)-m=n$

Exemple:

$m=lim_{x \rightarrow \infty} {\frac{x²+1}{x²-1}}:{x}\\ lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1}{(x²-1)*x}\\ lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1}{(x³-x)}=0$

No hi ha asímptotes obliqües.

Un altre exemple:

$m=lim_{x \rightarrow \infty} {\frac{x²+1}{x}}:{x}\\ lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1}{(x)*x}\\ lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1}{(x²)}=1\\ n=lim_{x \rightarrow \infty} f(x)-m\\ lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1}{x}-1*x\\ lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1-1*x²}{x}\\ lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0\\ \textbf {y=x}$

Vegeu l’entrada Límits i continuïtat per a saber-ne més.

2.5 Punts de tall

Anomenem punts de tall als punts en els quals la funció talla els eixos de coordenades.

2.5.1 Amb les abscisses

Quan una funció talla l’eix de les $x$, $y=0$.

Exemple:

$y=\frac{x²+1}{x²-1}\\ 0=\frac{x²+1}{x²-1}\\ x²+1=0, x=\sqrt{-1}$

No hi ha punts de tall amb l’eix de les $x$.

2.5.2 Amb les ordenades

Quan una funció talla l’eix de les $y$, $x=0$.

Exemple:

$y=\frac{x²+1}{x²-1}\\ y=\frac{0²+1}{0²-1}=-1\\ (0,-1)$

2.6 Signe de la funció

El signe de la funció és el signe positiu o negatiu que tenen les imatges de la funció en cada interval del domini.

Per a determinar-ne el signe, determinarem el signe de la imatge d’un punt qualsevol de cada interval del domini.

Exemple:

$y=\frac{x²+1}{x²-1}\\[1cm] (-\infty,-1)\\ y(-10)=\frac{(-10)²+1}{(-10)²-1}>0\\[1cm] (-1,+1)\\ y(0)=\frac{(0)²+1}{(0)²-1}<0\\[1cm] (+1,+\infty)\\ y(+10)=\frac{(+10)²+1}{(+10)²-1}>0\\ $ $(-\infty,-1)U(+1,+\infty):+\\ (-1,+1):-$

2.7 Simetria

Analitzem dos tipus de simetria, la parella i la senars.

2.7.1 Simetria parella

Una funció té simetria parella si es simètrica respecte a l’eix $x=0$: $f(x)=f(-x)$.

Exemple:

$y=\frac{x²+1}{x²-1}\\ f(x)=\frac{x²+1}{x²-1}\\ f(-x)=\frac{(-x)²+1}{(-x)²-1}=\frac{x²+1}{x²-1}\\ f(x)=f(-x) \enspace (Simetria \enspace parella).$

2.7.2 Simetria senars

Una funció té simetria senars si ho és respecte al punt $(0,0)$: $f(x)=-f(-x)$.

Exemple:

$y=\frac{x²+1}{x}\\ f(x)=\frac{x²+1}{x}\\ -f(-x)=-\frac{(-x)²+1}{(-x)}=-\frac{x²+1}{(-x)}=\frac{x²+1}{x}\\ f(x)=-f(-x) \enspace (Simetria \enspace senars).$

2.8 Periodicitat

Una funció és periòdica si $f(x)=f(x+T)$. Tot i que hi ha més funcions periòdiques, considerarem sols les trigonomètriques.

3. Gràfica

Per a dibuixar la gràfica de la funció representarem les característiques que hem determinat en un sistema de coordenades:

Exemple:

$y=\frac{x²+1}{x²-1}$

1. Domini: $(-\infty,-1)U(-1,+1)U(+1,+\infty)$
2. Recorregut: $(-\infty,-1]U(+1,+\infty)$
3. Monotonia/ Punts singulars: $(-\infty,-1)U(-1,0) \uparrow, \enspace (0,+1)U(+1,+\infty) \downarrow/ \enspace M(0,-1)$
4. Curvatura/ Punts d’inflexió: $Negativa/ \enspace No \enspace en \enspace té.$
5. Asímptotes: $x=\pm1,y=+1$
6. Punts de tall: $(0,-1)$
7. Signe: $(-\infty,-1)U(+1,+\infty)>0, \enspace (-1,+1)<0$
8. Simetria: $Parella$
9. Periodicitat: $No \enspace és \enspace periòdica$