Arxiu de categories ESO

Perceedukat

Valor numèric d’un polinomi

És el resultat obtingut en substituir la indeterminada d’un polinomi per un valor. En substituir la indeterminada \(x\) de \(P(x)=x^2−6x+5 \) per \(4 \), el valor numèric del polinomi és \(−3: P(x=4)=4^2−6∗4+5=−3. \)

Exemple:

\(
a) \hspace{12pt} P(x)=8x^2-2x+9;
\\
\hspace{20pt} P(x=4)=8*(4)^2-2*(4)+9= 129
\\[1cm]
b) \hspace{11pt} P(x)=-6x^3+6x^2-x-1;
\\
\hspace{19pt} P(x=3)=-6*(3)^3+6*(3)^2-3-1= -112
\\[1cm]
c) \hspace{10pt} P(x)= -2*x^4+3*x^3+2x^2-3x+7;
\\
\hspace{16pt} P(x=-6)=-2*(-6)^4+3*(-6)^3+2*(-6)^2-3*(-6)+7= -3 143
\)
  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Perceedukat

Teorema del residu

El teorema del residu diu que el valor numèric d’un polinomi és igual al residu de la divisió entre un polinomi i un binomi de la forma \(x−a\). És a dir que, si el valor numèric del polinomi és zero, el valor de la indeterminada serà una arrel del polinomi:

Si \(P(x)=x^2−6x+5\) i \(x=4\), el residu de la divisió \(x^2−6x+5:x−4\) és \(−3\). \(P(x=4)=4^2−6∗4+5=−3\).

Exemple:

\(
a) \enspace P(x)=x^2-9x+8,
\\
\hspace{12pt}P(x=3)=-10,\enspace P(x=-1)=18.
\\[1cm]
b) \enspace P(x)=-3x^4+8x^3-2x^2+x+1,
\\
\hspace{12pt} P(x=-2)=-121, \enspace P(x=-4)=-1 315.
\\[1cm]
c) \enspace P(x)= -6x^3+4x-9,
\\
\hspace{12pt} P(x=-7)=2021,  P(x=2)=-49.\)

(Vegeu l’entrada Valor numèric d’un polinomi per a saber-ne més.)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Perceedukat

Màxim comú divisor de polinomis

El màxim comú divisor de polinomis és el divisor més gran que tenen en comú dues expressions algebraiques.

Es calcula multiplicant els factors irreductibles comuns de cada expressió algebraica elevats als exponents més petits. Si \((x^2-1)\)  i \((x+1)\):

\(
(x²-1)=(x+1)*(x-1)
\\
(x+1)=(x+1)
\\
\)

y el \(MCD\) serà \((x+1)\).

El procediment per a calcular el \(MCD\) d’expressions algebraiques és similar al de fer-ho amb nombres.

(Vegeu l’entrada Mínim Comú Múltiple  per a saber-ne més.)

Exemple:

\(
a)\hspace{7pt} (x^2-9), (x^2+6x+9):
\\[0.5cm]
\hspace{14pt}(x^2-9) \hspace{20pt}=(x+3)(x-3)
\\
\hspace{16pt} (x^2+6x+9)=(x+3)^2
\\[0.5cm]
\hspace{16pt} MCD \, (x^2-9,  x^2+6x+9)=(x+3)
\\[1cm]
b) \hspace{7pt} (x^3-7x^2+2x),  (x^4-3x^3-4x^2):
\\[0.5cm]
\hspace{12pt}(x^3-7x^2+2x)=x*(x-4)*(x-3)
\\
\hspace{14pt}(x^4-3x^3-4x^2)=x^2*(x-4)*(x+1)
\\[0.5cm]
\hspace{15pt} MCD \, (x^3-7x^2+2x,  x^4-3x^3-4x^2)=(x-4)*x
\\[1cm]
c) \hspace{7pt} (x^3+3x^2-4), (x^4-3x^3-3x^2+11x-6), (x^3-2x^2-5x+6):
\\[0.5cm]
\hspace{12pt}(x^3+3x^2-4)=(x-1)*(x+2)^2
\\
\hspace{14pt}(x^4-3x^3-3x^2+11x-6)=(x-3)*(x-1)^2*(x+2)
\\
\hspace{14pt}(x^3-2x^2-5x+6)=(x-3)*(x-1)*(x+2)
\\[0.5cm]
\hspace{15pt} MCD \, (x^3+3x^2-4,x^4-3x^3-3x^2+11x-6,x^3-2x^2-5x+6)=
\\
\hspace{12pt} (x-1)*(x+2)
\)
  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Perceedukat

Multiplicació de polinomis

Per a fer una multiplicació de polinomis multiplicarem tant els coeficients com la part literal de cada monomi que forma el polinomi. A diferència de la suma o resta de polinomis, en aquest cas no és necessari que les parts literals de cada monomi siguin idèntiques.

\(
P(x)=−6x^3+9x^2+10x−1; Q(x)=2x^2+3\\
(6x³+9x²+10x−1)∗(2x^2+3)=\\
(18x^3+27x^2+30x−3)+(12x^5+18x^4+20x^3−2x^2)
\)

Sumem els monomis obtinguts entre si i agrupem els que siguin semblants (mateixa part literal):

\(12x^5+18x^4+38x^3+25x^2+30x−3\).

De la forma clàssica, seria:

\(
\begin{matrix}P(x)=-6x^3+9x^2+10x-1 & Q(x)=2x^2+3 \end{matrix}
\\[1cm]
6x^3+9x^2+10x-1
\\
\hspace{2.5cm} 2x^2+3\\
——————————————\\
18x^3+27x^2+30x-3\\
12x^5+18x^4+20x^3-2x^2\\
——————————————-\\
12x^5+18x^4+38x^3+25x^2+30x-3
\)

Exemple:

\(
a) (x^2+2x-9)*(3x+1)= 3x^3+7x^2-25x-9
\\
b) (-3x^2+5x-9)*(x^2+9x)= -3x^4-22x^3+36x^2-81x
\\
c) (21x^3+20x^2-4x-9)*(2x^2+1)= 42x^5+40x^4+13x^3+2x^2-4x-9
\)
  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Perceedukat

Identitats notables

Identitat: igualtat que es compleix sempre, per a qualsevol valor de la indeterminada.

Notable: important.

Les identitats notables són expressions que apareixen moltes vegades en el cálcul matemàtic que fem servir per agilitzar els càlculs:

Binomi al quadrat: \((x±a)=(x)²±2*(x)*(a)+(a)²\):

\(
(x+2)²=\\
(x)²+2*x*2+2²=\\
x²+4x+4
\\[1cm]
(2x−3y)²=\\
(2x)²−2*2x*3y+(3y)²=\\
4x²−12xy+9y²
\)

Suma per diferència: \((x+a)∗(x−a)=(x)²−(a)²\):

\((x+3)*(x−3)=(x)²−(3)²=x²−9\).

\((2x+3y)*(2x−3y)=(2x)²−(3y)²=4x²−9y²\).

S’obtindrien els mateixos resultats si es fes la multiplicació dels binomis dels exemples, però fer-ho així, és més ràpid.

\(
a) \, (3x+6)^2= (3x)^2+2*3x*6+(6)^2=9x^2+36x+36 \\
b) \, (2x-9y)^2=(2x)^2-2*2x*9y+(-9y)^2=4x^2-36xy+81y^2 \\
c) \, (x+9)*(x-9)=(x)^2-(9)^2=x^2-81 \\
d) \, (5x+7)*(5x-7)=(5x)^2-(7)^2=25x^2-49
\)

(Vegeu Multiplicació de polinomis per a saber-me més.)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Perceedukat

Simplificació de fraccions algebraiques

Per a fer la simplificació de fraccions algebraiques, factoritzarem el numerador i el denominador i simplificarem els factors iguals. La simplificació es pot fer per Ruffini, amb la fórmula de les equacions de segon grau, per identitats notables o extraient factor comú.

\(\frac{x^2+4x+4} { x+2}=\frac{(x+2)^2}{ x+2}=\frac{(x+2)∗(x+2)}{x+2}=x+2\)

Exemple:

\(
\frac{x^2+5x+6}{x+3}=
\\
\frac{(x+3)*(x+2)}{x+3}=x+2
\\[1cm]
\frac{x^3−2x^2-11x+12}{x^4−2x^3−23x^2+24x+144}=
\\
\frac{(x^2+2x-3)*(x-4)}{(x-4)^2*(x-1)*(x+3)}=
\\
\frac{(x-1)*(x+3)*(x-4)}{(x-4)^2*(x-1)*(x+3)^2}=
\\
\frac{(x-1)}{(x-4)*(x+3)}
\\[1cm]
\frac{x^3+4x^2+3x}{(x^3-x)}=
\\
\frac{(x^2+3x)*(x+1)}{x*(x^2-1)}=
\\
\frac{x*(x+3)*(x+1)}{x*(x-1)*(x+1)}=
\\
\frac{(x+3)}{(x-1)}
\)

(Vegeu Factorització de polinomis per a saber-ne més.)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Perceedukat

Suma i resta de fraccions algebraiques

Com en el cas de la suma i resta de fraccions aritmètiques, hem de trobar el \(mcm\) de les fraccions que volem suma o restar i operar-les:

\(f_1(x)= \frac{x−9}{x^2−1}, f_2(x)=\frac {x}{x−1}\)

Calculem el \(mcm\) dels denominadors:

\(f_1(x)= \frac{x−9}{x^2−1}=\frac{x−9}{(x−1)∗(x+1)}\)
\( f_2(x)=\frac {x}{x−1}=\frac{x}{x-1}\)
\(mcm[f_1(x),f_2(x)]=(x+1)*(x−1)\)

I operem les fraccions:

\(
\frac{(x−9)}{(x^2−1)}+\frac{x}{x−1}=
\\
\frac{(x−9)}{(x^2−1)}+\frac{x*(x+1)}{(x+1)*(x−1)}=
\\
\frac{(x−9)+(x^2+x)}{(x^2−1)}=
\\
\frac{x^2+2x-9}{x^2−1}
\)

Exemple:

\(
\frac{x-2}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=
\\
\frac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}
+
\frac{(x+2)(x+2)}{(x+2)(x-2)}
\\
\frac{(x-2)^2+(x+2)^2}{x^2-4}=
\\
\frac{(x^2-4x+4)+(x^2+4x+4)}{x^2-4}=
\\
\frac{(2x^2+8)}{x^2-4}
\\[1cm]
\frac{3x-2}{x^2-1}+\frac{x+2}{x-1}=
\\
\frac{3x-2}{x^2-1}+\frac{(x+2)(x+1)}{x^2-1}=
\\
\frac{3x-2}{x^2-1}+\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}=
\\
\frac{x^2+6x}{x^2-1}=
\\[1cm]
\frac{x-4}{x^2-4}+\frac{2-11x}{x+1}=
\\
\frac{(x-4)(x+1)}{(x^2-4)(x+1)}+\frac{(2-11x)(x^2-4)}{(x^2-4)(x+1)}=
\\
\frac{(x^2-3x-4)+(-11x^3+2x^2+44x-8)}{(x^2-4)(x+1)}=
\\
\frac{-11x^3+3x^2+41x-12}{x^3+x^2-4x-4}
\)

(Vegeu les entrades suma de polinomis,  factorització de polinomis,mínim comú múltiple de polinomis.)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Perceedukat

Multiplicació de fraccions algebraiques

Les fraccions algebraiques es multipliquen de la mateixa manera que es multipliquen les aritmètiques: multipliquem els numeradors i els denominadors de totes les fraccions entre si.

\(f_1(x)=\frac{x−9}{x^3-2x}, f_2(x)=\frac{x^2−1}{x+6}\)

\(f_1(x)*f_2(x)=\frac{(x-9)*(x^2-1)}{(x^3-2x)*(x+6)}\).

(Vegeu l’entrada sobre multiplicació de polinomis per saber com es multipliquen dos polinomis.)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Perceedukat

Fracció algebraica

Una fracció algebraica és l’expressió algebraica d’un quocient entre dos polinomis \(P(x)\) i \(Q(x)\), tal que \(Q(x)≠0\):

\(\frac{P(x) }{Q(x)}=\frac{x^2−6x+5x−4}{x^3-9}\), és una fracció algebraica.

El mètode per a operar fraccions algebraiques és similar al d’operar fraccions aritmètiques. Per tant, és necessari saber com descompondre polinomis i trobar el mínim comú múltiple i el màxim comú divisor per tal de sumar i restar les fraccions algebraiques.

(Vegeu les entrades Mínim Comú Múltiple i Màxim Común Divisor de polinomis per a saber-ne més.)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari:

Perceedukat

Factorització de polinomis

La factorització de polinomis és el procediment de descompondre un polinomi en els seus factors irreductibles. El resultat del producte d’aquest factors és el polinomi original. És l’operació algebraica equivalent a la descomposició en factors primers dels nombres enters.

Per exemple, el polinomi \(x^2+5x+6\) es pot descompondre en \(x−2\) i \(x−3\), perquè \((x−2)*(x−3)=x^2+5x+6\).

Un polinomi es pot factoritzar de diverses maneres: per Ruffini, per identitats notable, extraient factor comú o trobant les solucions de l’equació de segon grau (en cas que ho sigui). En el cas del polinomi anterior, \(x^2+5x+6\), es podria fer la descomposició de les següents maneres:

Per Ruffini:

(Vegeu la Regla de Ruffini per a saber-ne més.)

\(x=\frac{−b±\sqrt(b2−4ac)}{2a}\):

\(x^2+5x+6: a=1, b=5, c=6\)

\(x=\frac{−(5)±\sqrt(5)^2 −4.1.6)}{2.1}=\frac{-5±\sqrt(25−24)}{2}=\frac{−5±1}{2}\)
\(x_1=\frac{−5+1}{2}=−2, x_2=\frac{−5−1}{2}=−3\)

Les solucions són \(x_1=−2, x_2=−3\), i els factors corresponents són:
\((x+2)\) i \((x+3)\). Si fem \((x+2)∗(x+3)\) el resultat és \(x^2+5x+6\).

(Vegeu l’entrada equacions de segon grau per a saber-ne més.)

Per identitats notables:

Les identitats notables principals són:

\((x±a)^2=(x)^2±2xa+(a)^2\) i \( (x+a)(x−a)=x^2−a^2\).

En el cas del polinomi \(x^2+4x+4\), la descomposició per identitats notables és \((x+2)^2:a^2=4⇒a=2; 2xa=4⇒x=4 \div 4=1\).

En el cas del polinomi \(x^2−4\), la descomposició per identitats notables és \((x+2)(x−2):a^2=4⇒a=2; x^2=1⇒x=1\).

(Vegeu l’entrada identitats notables per a saber-ne més.)

Extraient els factors comuns:

\(2x²−6x=2*x*x−2*3*x=2x*(x−3)\)

\(5x⁴−15x³+25x²=5*x*x*x*x−5*3*x*x*x+5*5*x*x=
\\
5x²(x²−3x+5)\)

(Vegeu l’entrada factor comú d’un polinomi per a saber-ne més.)

Exemple:

\(a) \enspace P(x)=x^3−7x+6
\\
1.\enspace Fent \enspace Ruffini: x=-3,
\\
2. \enspace fent \enspace l’equació \enspace de \enspace segon \enspace grau \enspace que \enspace surt:x=2, \enspace 1.
\\[1cm]
b) \enspace P(x)=x^3+6x^2+9x
\\
1. \enspace Extraient \enspace factor \enspace comú: x=0,
\\
2. \enspace fent \enspace identitats \enspace notables: x=-3,\enspace -3.
\\[1cm]
c) \enspace P(x)=x^4+5x^3+2x^2-20x+24
\\
1. \enspace Fent \enspace Ruffini: x=-2, enspace -3,
\\
2. \enspace fent \enspace identitats \enspace notables: x=+2, \enspace -2.\)
  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

    Vols fer classes online amb nosaltres? Demana més informació enviant aquest formulari: