Archivo de categoría ESO

Porceedukat

Potències

Instruccions abans de començar

1. Definició

Una potència és una multiplicació repetida d’un mateix nombre: \(a^n: a*a*…a, \, n\) vegades. \(a\) és la base i \(n\) és l’exponent.

Exemple:

\(3^5= \, 3*3*3*3*3= \, 243\)

2. Propietats de les potències

2.1 Amb la mateixa base

PropietatExemple
\(a^n*a^m=a^{n+m}\)\(3^5*3^{-2}=3^3\)
\(a^n \div a^m=a^{n-m}\)\(3^5 \div 3^{-2}=3^7\)
\((a^n)^m=a^{n*m}\)\((3^5)^{-2}=3^{-10}\)
\(a^0=1\)\(3^0=1\)
\(a^1=a\)\(3^1=3\)
\(a^{-n}=\frac{1}{a}\)\(3^{-2}=\frac{1}{3^2}\)

2.2 Amb el mateix exponent

PropietatExemple
\(a^n*b^n=(a*b)^n\)\(3^5*2^{5}=(3*2)^5=6^5\)
\(a^n \div b^n=(a \div b)^n\)\(3^5 \div 2^{5}=(\frac{3}{2})^5\)

Per a calcular fraccions de potències, farem:

1. Descompondrem les bases compostos en factors primers.
2. Multiplicarem les potències amb la mateixa base del numerador i del denominador tenint en compte les propietats anteriors.
3. Dividirem les potències resultants de la mateix base:

Exemple:

\(
\frac{6^3*2^5*7^{-2}*25^3}{49^6*125^{-3}*16^2*3^3}=\\
\frac{(2*3)^3*2^5*7^{-2}*(5^2)^3}{(7^2)^6*(5^3)^{-3}*(2^4)^2*3^3}=\\
\frac{(2*3)^3*2^5*(5^2)^3}{(7^2)*(7^{2})^6*5^{-9}*(2^4)^2*3^3}=\\
\frac{2^3*3^3*2^5*5^6}{7^2*7^{12}*5^{-9}*2^8*3^3}=\\
\frac{2^8*3^3*5^6}{7^{14}*5^{-9}*2^8*3^3}=\\
\frac{5^{15}}{7^{14}}=5^{15}*7^{-14}
\)

Porceedukat

Nombres reals

Instruccions abans de començar

Els nombres reals és el conjunt de nombres format pel conjunt dels nombres racionals i el conjunt dels nombres irracionals.

El nombres reals són un subconjunt de nombres complexos.

1. Nombres Naturals

Són els nombres que usem per a comptar: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, … \). El conjunt dels nombres naturals es representa per \(\mathbb{N}\).

1.1 Nombres primers

Són els nombres naturals que sols són divisibles per ells mateixos i per la unitat.

Exemple:

\(2, 3, 5, 7, 11…\)

2. Nombres enters

És el conjunt dels nombres naturals positius, negatius i el 0: \(…-3,-2,-1,0,1,2,3,…\). El conjunt de nombres enters es representa per \(\mathbb{Z}\).

Els nombres naturals són part dels nombres enters (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)).

3. Nombres racionals

Són els nombres decimals generats per una fracció que anomenem fracció generatriu\( \frac{a}{b}\). \(a,b\) són nombres enters i \(b \neq 0\). Els conjunt de nombres racionals es representa per \(\mathbb{Q}\).

Exemple:

\(\frac{21}{10}=2.1, \, \frac{3}{2}=1.5\).

Els nombres enters també són racionals perquè els podem expressar en forma de fracció: \(2 = \frac{2}{1}\). Per tant, els nombres enters són un subconjunt dels racionals (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)).

Els nombres decimals dels quals en podem trobar una fracció generatriu són:

3.1 Decimals exactes

Els decimals exactes són els nombres decimals que tenen una quantitat exacta de decimals.

Exemple:

\(2.345\), té tres decimals
\(0.9\), té un decimal
\(5.129837\), té sis decimals

Per a calcular la fracció generatriu d’un decimal exacte (\(2.345\)), fem el següent:

i) Escrivim el nombre sense comes al numerador: \(2\, 345\)

ii) El dividim per \(10 \) elevat al nombre de decimals que tingui: \(\frac{2\, 345}{10^3}=\frac{2\, 345}{1\, 000}\).

iii) Calculem la fracció irreductible: \(\frac{469}{200}…\)

Exemple:

\(1.75= \frac{175}{10^ 2} = \frac{7}{4}\).

3.2 Decimals periòdics purs

Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.

Exemple:

\(
2.33333… \rightarrow 2. \hat 3 \\
0.66666… \rightarrow 0. \hat 6 \\
8.97979… \rightarrow 8. \widehat {97} \\
\)

Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.

En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \(10\) elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:

Exemple:

\(
n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\
n \hspace{1cm}= \hspace{0.8cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm}56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\)

La forma ràpida de calcular la fracció generatriu és:

i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \(56\, 987-56=56\, 931\)

ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període: \(999\)

iii) Calculem al fracció irreductible: \(\frac{56\, 931}{999}=\frac{56\, 931}{999}\)

Exemple:

\(
1.23232323…= 1.\widehat {23} \\
\frac{123 – 1}{99} = \\
\frac{122}{99}
\)

En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(123\), el període és \(\widehat{23}\), el nombre fins al període és l’\(1\) i el període té dos decimals.

3.3 Decimals periòdics mixts

Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.

Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \(10\) elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:

Exemple

\(
n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\

n \hspace{1cm}= \hspace{0.7cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\, 56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\)

Per a calcular la fracció generatriu, fem:

i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \(56\, 987-569=56\, 418\)

ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període i tants zeros com decimals tingui l’avantperíode: \(990\)

iii) Calculem al fracció irreductible: \(\frac{56\, 418}{900}=\frac{9\, 403}{150}\)

Exemple:

\(1.5787878…= 1.5\widehat{78} = \\
\frac{157 – 15}{900} =\\
\frac{142}{900} = \\
\frac{71}{450}
\)

En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(1578\), l’avantperíode és \(5\) i el període és \(\widehat 78\) i el nombre fins al període és l’\(1\). L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.

4. Nombres irracionals

Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \(\mathbb{I}\).

Exemple:

\(\pi, e\), qualsevol arrel no exacta com \(\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\).

5. Nombres reals

És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \(\mathbb{R}\).

Per tant, \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\).

Els nombres reals es representen a la recta real.

6. Intervals

És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.

Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.

Exemple:

Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:

\(-3\leq x\leq +2,\, -3\lt x\leq +2,\, -3\lt x\lt +2\). En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \(– \infty \lt x \leq +2]\)).

Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:

\(\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right]\). \( ]n , n[\) o bé \((n , n)\) significa que l’extrem és obert i \( [n , n] \) vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta: \((-\infty, +2]\)).

7. Notació científica

És un nombre expressat segons la notació \(N*10^a\). \(N\) és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \(a\) és un nombre enter.

Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.

Exemple:

\(
1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\)

En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \(10^{-12}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \(10^{+12}\).

En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \(10^{+9}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \(10^{-9}\).

7.1 Operacions

Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.

Exemple:

\(
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\)

Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.

Exemple:

\(
2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\)
Porceedukat

Radicals

Instruccions abans de començar

Definició

L’arrel n-éssima de \(a\) (un nombre real), és tot nombre real \(b\) que verifica \(b^n = a\). Ho escrivim \(b = \sqrt[n]{a}\).

Anomenem radicand de l’arrel a \(a\) i índex de l’arrel a \(n\).

Exemples:

\(\sqrt{4} = \pm 2\), perquè \((\pm 2)^2=4\\\)
\(\sqrt[3]{-8} = -2\), perquè \((-2)^3=-8\\\)
\(\sqrt[4]{81} = \pm 3\), perquè \((\pm 3)^4=81\)

Propietats de les arrels

Propietat fonamental\(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n*p]{a^{m*p}}\)
Relació entre potències i arrels\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)
Arrels d’un radical\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m*n]{a}\)
Potència d’un radical\((\sqrt[m]{a^n})^p= \sqrt[m]{a^{p*n}}\)
Producte de radicals\(\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b}
\)
Quocient de radicals\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

Operacions amb arrels

Per a operar radicals, descompondrem sempre els radicals compostos en nombres primers.

Exemple:

\(\sqrt{6}=\sqrt{2*3}, \, \sqrt[4]{45}=\sqrt[4]{3^2*5}, \, \sqrt[3]{72}=\sqrt[3]{3^2*2^3}\)

Transformació a potències

\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)

Exemples:

\(
\sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}, \\
\sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}},\\
\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}},\\
\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^3} = 2^{\frac{3}{4}}
\)

Podem simplificar l’arrel \( \sqrt[n]{a^m}\) si la fracció \(\frac{m}{n}\) es pot simplificar.

Exemples:

\(
\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{\frac{6}{4}}=2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}\\
\sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^4} = 2^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}\).

Arrels d’un radical

Per a calcular l’arrel d’un radical, hem de multiplicar els índexs de les arrels del radical: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m*n]{a}\).

Exemple:

\(\sqrt[3]{\sqrt[5]{7}}=\sqrt[15]{7}\)

Potència d’un radical

\((\sqrt[m]{a^n})^p= \sqrt[m]{a^{p*n}}\)

Exemple:

\(
(\sqrt[4]{8^3})^7=
\sqrt[4]{8^{3*7}}=
\sqrt[4]{8^{21}}
\)

Extracció/ introducció de factors de l’arrel

Abans de fer res més, descompondrem el radicand en factors primers.

Extracció de factors de l’arrel:

Per a extreure factors de l’arrel, l’exponent del factor del radicand ha de ser més gran o igual que l’índex de l’arrel.

Quan dividim l’exponent del radicand entre l’índex de l’arrel, el residu indica l’exponent del factor del radicand queda dins l’arrel i el quocient és l’exponent del factor que queda fora de l’arrel.

Exemple:

\(
\sqrt[4]{3^{11}}= \, 3^2*\sqrt[4]{3^3}\\
(11 \div 3 \rightarrow quocient= 3, residu= 2)\\
\)

Exemple:

\(
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3*5^2*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3}*\sqrt[3]{5^2}*\sqrt[3]{b^5}=\\
2*\sqrt[3]{5^2}*b*\sqrt[3]{b^2}=\
2*b*\sqrt[3]{5^2*b^2}=\\
2b\, \sqrt[3]{25b^2}
\)

Introducció de factors a l’arrel:

Per a introduir un factor dins l’arrel, l’elevarem a l’índex de l’arrel.

Exemple:

\(
2*b*\sqrt[3]{25*b^2}=\\
\sqrt[3]{2^3*b^3*25*b^2}=\\
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{200b^5}
\)

Producte/ Quocient de radicals

Per a multiplicar o dividir radicals han de tenir, o bé el mateix índex, o bé el mateix radicand.

Si tenen el mateix índex:

\(
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\
\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b}
\)

Exemple:

\(
\frac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{15}{3}} = \sqrt[3]{5}\\
\sqrt[3]{15}*\sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{15*3}=\sqrt[3]{45}
\)

Si no tenen el mateix índex ( \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}, \,\sqrt[n]{a}*\sqrt[m]{b}\)):

Quan les arrels no tenen el mateix índex, per a poder operar-les hem de transformar-les en les arrels equivalents aplicant la propietat fonamental de manera que tinguin el mateix índex.

L’índex comú és el mínim comú múltiple (mcm) dels índexs de les arrels.

Exemple:

\(\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}\)

El mínim comú múltiple dels índexs d’aquestes arrels és sis \((6)\) . Si canviem l’índex de cada arrel per sis i fem l’arrel equivalent:

\(\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}=\sqrt[6]{2^2}*\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{2^2*5^3}=\sqrt[6]{60}
\)

En aquest cas, també podríem transformar les arrels a potències i operar-les, però aquesta és una entrada per aprendre a operar arrels.

Suma/Resta de radicals

Per a sumar i restar radicals cal que cada terme de la suma (o resta) tingui el mateix índex i el mateix radicand , és a dir, han de ser radicals semblants.

Els radicals semblants tenen el mateix índex i el mateix radicand, però els coeficient que els multiplica són diferents. \(2\sqrt[5]{9}\) i \( 8\sqrt[5]{9}\) són radicals semblants.

Dos o més radicals són equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. \(\sqrt[5]{9^2}\) i \( 8\sqrt[10]{9^4}\) són radicals equivalents.

Per exemple, podem sumar o restar \(3\sqrt{5}\) i \(9\sqrt{5}\) però no podem sumar o restar \(\sqrt{5}\) i \(\sqrt{3}\) o \(\sqrt[3]{5}\) i\(\sqrt{5}\).

De fet, no sabem sumar ni restar arrels. Però, si és possible, podem treure factor comú dels radicands semblants i sumar o restar-ne els coeficients després de fer l’extracció de factors de cada arrel.

Exemple:

\(
\sqrt{40}+\sqrt{90}=\\
\sqrt{2^3*5}+\sqrt{2*3^2*5}=\\
2*\sqrt{2*5}+3\sqrt{2*5}=\\
\sqrt{10}*(2+3)=\\
5*\sqrt{10}
\)

Racionalització

Consisteix a transformar fraccions amb arrels al denominador en altres arrels ‘equivalents que no en tinguin.

Si tenim fraccions del tipus \(\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}\) multipliquem a dalt i a baix per \(\sqrt[n]{b^{n-m}}\):

Exemple:

\(
\frac{4}{\sqrt[3]{7}} =\\
\frac{4}{\sqrt[3]{7^1}}\frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}} =\\
\frac{4\sqrt[3]{7^2}}{7}
\)

Quan el denominador és un binomi [\((b + \sqrt{c})\), o bé \((\sqrt{b} – \sqrt{c})\)], multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel conjugat del denominador. El conjugat d’un binomi \((a+b)\) és \((a-b)\), i el conjugat de \((a-b)\) és \((a+b)\).

Multiplicant el denominador pel seu conjugat el transformen en un nombre real \((\mathbb{R})\). Recordeu la identitat notable dels polinomis \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\).

Exemple:

\(\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{2 – 3} = -5(\sqrt{2} – \sqrt{3})\) \(\frac{6}{2 – \sqrt{5}} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{(2 – \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{4 – 5} = -6(2 + \sqrt{5})\)
Porceedukat

Successions o progressions

Instruccions abans de començar

1. Què és una succesió?

Una successió o progressió és un conjunt de nombres «etiquetats» amb un nombre natural que correspon a la posició de l’element.

Això vol dir que en aquest conjunt al primer element li correspon el nombre \(1\), (\(a_{1}\)), al segon element li correspon el nombre \(2\), (\(a_{2}\)), … fins a l’infinit.

Exemple:

\(a_{1} = 0, a_{2} = 1, a_{3} = 2, a_{4} = 3, a_{5} = 5, a_{6} = 8, a_{7} = 13, …\) és la successió de Fibonacci, cada terme s’obté sumant els dos anteriors.

Un altre exemple és \(a_{1} = 1, a_{2} = -1, a_{3} = 1, a_{4} = -1, a_{5} = 1, a_{6} = -1, a_{7} = 1, …\)

2. Definicions

Ordre del terme de la successio \((n)\): és la posició que ocupa cada terme de la successió.

Primer terme de la successió \((a_1)\): és el primer terme de la successió.

Terme general d’una successió \((a_n)\): és el terme n-éssim (que ocupa la posició \(n\)) de la successió.

Hi ha dues maneres d’indicar el terme general d’una successió, i per tant, de definir la successió:

1.Amb la llei de recurrència: calculem \(a_{n}\) a partir d’un o més elements anteriors.

Exemple:

N’és un exemple la successió de Fibonacci: \(a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}=1,2,3,5,8…\)

2.Amb la llei general: per a calcular \(a_{n}\) sols ens cal saber \(n\) (el lloc que ocupa).

Exemple:

\(a_{n} = n^2 + 1: 2, 5, 10, 17,… \).

Diferència \((d)\): és la diferència que hi ha entre un terme i l’anterior d’una progressió aritmètica.

Exemple:

A la successió \(1,3,5,7,9…\) la diferència és \(2:\, 3-1=2,\, 5-3= 2,\, 7-5=2,\,9-7=2…\).

Raó \((r)\): és el quocient entre un terme i l’anterior d’una progressió geomètrica.

A la successió \(2,\, 4,\,8,\, 16,\, 32…\) la raó és \(2: \, 4 \div 2=2,\, 8 \div 4 = 2,\, 16 \div 8=2,\, 32 \div 16=2…\).

3. Progressions aritmètiques

Són successions que s’obtenen de sumar una quantitat constant (anomenada diferència, \(d\)) al terme anterior.

Hem d’indicar quin és el primer element \(a_1\), perquè aquest no té un element anterior.

Exemple:

Si \(a_{1} = 3\) i \(d = 2\), la successió és: \(3, 5, 7, 9, 11, …\).

El terme general \(a_n\) d’una progressió aritmètica es pot calcular a partir del primer element \(a_1\) i \(d\):

\(a_{2} = a_{1} + d\)
\(a_{3} = a_{2} + d = a_{1} + 2d\)
\(a_{4} = a_{3} + d = a_{1} + 3d\)

\(\mathbf{a_{n} = a_{n-1} + d = a_{1} + (n-1)d}\)

3.1 Suma d’una progressió aritmètica

La suma dels \(n\) termes d’una progressió aritmètica \(S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n}\) és:

Si \(a_{1} = 1, d = 1,\) i \( n = 100 \Rightarrow a_n=1,2,3,…,100\) i \(S_{n} = 1 + 2 + 3 + … + 100\):

és a dir que, \(1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 50 + 51 = 101\).

I per a calcular la suma sols hem de sumar \(50\) vegades \(101\).

Per tant,

\(\mathbf{S_{n} =\frac{(a_{1} + a_{n})*n}{2}}\)

4. Progressions geomètriques

S’obtenen multipicant una quantitat fixa anomenada raó, (\(r\)) per l’element anterior.

Exemple:

Si \(a_{1} = 2\) i \(d=2\), llavors \(a_n= 2, 4, 8, 16, 32,…\).

Fent la suma dels termes equidistants com abans, el terme general és:

\(\mathbf{a_{n} = a_{1}*r^{n-1}}\)

4.1 Producte d’una progressió geomètrica

Per a calcular el producte dels n primers termes \(P_{n} = a_{1}*a_{2}…*a_{n}\) d’una progressió geomètrica farem com abans el càlcul dels productes dels termes equidistants de la successió:

Exemple:

Si \(a_n=1,2,4,8,16,32…\) i volem calcular \(P_{6} = \,1*2*4*8*16*32\):

fent el producte dels termes equidistants de la successió:

\(1*…32 = 2*16 = 4*8\).

És a dir que: \(P_{6}=(a_1*a_6)^{6/2}=\sqrt{(a_1*a_6)^6}\)

Per tant, la fórmula general és:

\(\mathbf{P_{n} = (a_{1}*a_{n})^{n/2} = \sqrt{(a_{1}a_{n})^{n}}}\).

4.2 Suma d’una progressió geomètrica

Volem calcular \(S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n}\) dels termes d’una progressió geomètrica.

La fórmula que ens permet fer aquest càlcul és: \(\mathbf{S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}}\)

Exemple:

Si \(a_{1} = 2, r = 2\) i \(n = 5 \Rightarrow a_n= 2,4,8,16,32\), i per tant:

\(S_{5} = 2\frac{2^5-1}{2-1} = 2*31 = 62\).

Ho podem comprovar fent la suma manualment:

\(S_{5} = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62\).

4.2.1 De termes infinits

Si fem el límit de \(S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}\) quan \(n \rightarrow \infty\) , és a dir, sumem els infinits termes d’una progressió geomètrica:

\(\lim_{n\to\infty} S_{n} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{1 – r^n}{1 – r} = \lim_{n\to\infty}(\frac{a_{1}}{1- r} – \frac{a_{1}*r^n}{1 – r})\):

Si \(|r| > 1, r^n\) creixerà quan creixi \(n\) i \(S_n \rightarrow \infty\).

Si \(-1<|r|< 1, r^n\) anirà decreixent fins arribar a \(0\). En aquest cas, podem per tant eliminar el segon terme i:

\(\mathbf{S_n = \frac{a_{1}}{1 – r}}\).

Exemple:

Si \(a_{1}=2\) i \(r = 1/2\), llavors \(a-n=2, 1, 1/2, 1/4, 1/8,…\).

I el resultat de la suma és: \(S_n = \frac{2}{1 – 1/2} = \frac{2}{1/2} = 4\).

Porceedukat

Cossos de revolució

Instruccions abans de començar

És un cos rodó generat per una figura plana. La figura plana és la generatriu del cos de revolució.

Els cossos de revolució més importants són: el con, l’esfera i el cilindre.

COSSOS DE REVOLUCIO
COSSOS DE REVOLUCIO 2

Per a calcular l’àrea i el volum del con, fem:

\(A_{con}=A_{base}+A_{lateral}=\pi^2+\pi*generatriu^2=\pi*r^2+\pi*g^2=\pi(r^2+g^2) \\ V_{con}=\frac{A_{base}*h}{3} \)
EL CON, COSSOS DE REVOLUCIO 2

L’àrea i el volum de l’esfera és:

\(A_{esfera}=4*\pi*r^2 \\ V_{esfera}=\frac{4}{3}*\pi*r^3\)
EL CON, COSSOS DE REVOLUCIO 2

Calcularem l’àrea i el volum del cilindre de la següent manera:

\(A_{cilindre}=A_{base}+A_{lateral}=\pi*r^2+perímetre*alçària=
\pi*r^2+2\pi*r*h
\\
V_{cilindre}=A_{base}*alçària=\pi*r^2*h
\)
EL CON, COSSOS DE REVOLUCIO 2
Porceedukat

Present Simple

Instruccions abans de començar

Usos

Aquests són alguns dels usos més habituals del Present Simple.

  • Veritats generals i descripcions
    Water boils at 100º C (L’aigua bull a 100ºC)
  • Fets habituals
    I play football every day (Jugo a futbol cada dia)
  • Gustos
    I like chocolate (M’agrada la xocolata)
  • Opinions
    I think she is beautiful (Penso que és bonica)
  • Horaris
    The train leaves at 8 pm (El tren surt a les vuit)

Forma

AFIRMATIVANEGATIVAINTERROGATIVA
I eat I don’t eatDo I eat?
YOU eatYou don’t eatDo you eat?
He/She/It eatsHe/She/Ii doesn’t eatDoes He/She/it eat?
We eatWE don’t eatDo we eat?
You eatYOU don’t eatDo you eat?
THEY EAT THEY DON’T EATDO THEY EAT?
(don’t = do not, doesn’t = does not)


Com veieu, a la tercera persona (he/she/it) hem d’afegir una essa (s) al verb.

Però:

  • Si el verb acaba en -o, afegim -es (go- goes)
  • Si el verb acaba en -x,-sh,-ch,-s, també hi afegim -es (watch-watches)
  • Si el verb acaba en -y, canviem la y per -ies (study- studies)

Exemples:

I eat a lot of fruit
(Menjo molta fruita)

I don’t go to school by bus
(No vaig al col·legi amb autobús)

You do your homework
(Fas els deures)

She gets up at half past seven
(S’aixeca a dos quarts de vuit)

We play football in the park
(Juguem a futbol al parc)

My mother doesn’t watch TV in her room
(La meva mare no mira la televisió a l’habitació)

Does she read the newspaper every day?
(Llegeix el diari cada dia)

Do they play tennis on Saturdays?
(Juguen a tennis els dissabtes?

Do you speak English?
(Parles anglès?)

Porceedukat

Resolució d’equacions d’una incògnita

Una equació és una igualtat entre dues expressions matemàtiques que conté quantitats conegudes (coeficients) i quantitats desconegudes (incògnites). Resoldre una equació és trobar totes les solucions de l’equació.

Les equacions es poden classificar segons el nombre de solucions i el grau de l’equació. Si tenim més d’una equació, diem que és un sistema d’equacions.

1. De primer grau

Per a resoldre una equació de primer grau, farem el següents:

  1. Eliminarem els denominadors: per a eliminar els denominadors usarem el mètode del mínim comú múltiple.
  2. Resoldrem els parèntesis: aplicant la propietat distributiva \(a*(b+c)=a*b+a*c\).
  3. Passarem a una banda de la igualtat els monomis sense \(x\) i a l’altra els termes independents. Recordeu que fem l’operació inversa al terme que volem moure per a passar-lo a l’altra banda de l’equació.
  4. Reagrupem els monomis després de cada moviment.
  5. Finalment, aïllem la \(x\) passant a dividir el coeficient que la multiplica:

    \(2x+9=6+5x\)

    En aquest cas no hi ha ni denominadors ni parèntesis, anem doncs al tercer pas. Posem les \(x\) a l’esquerra de la igualtat i el termes independents a la dreta.

    Movem el \(9\) de l’esquerra a la dreta restant-lo a cada banda de la igualtat:

    \(2x+9-9=6+5x-9\)

    Agrupem els monomis (termes) semblants

    \(2x=5x-3\)

    Ara canviem de banda el \(5x\) restant-lo a cada costat de l’equació:

    \(2x-5x=5x-5x-3\)

    Tornem a regrupar termes:

    \(-3x=-3\)

    I aïllem la \(x\) passant a divdir el coeficient que la multiplica:

    \(x=\frac{-3}{-3}=1\).

    Un altre exemple amb denominadors i parèntesis:

    \(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}=\frac{5x+35}{2}\)

    Multipliquem a cada banda pel mínim comú múltiple:

    \(6*[(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}]=6*(\frac{5x+35}{2})\)

    Eliminem els denominadors:

    \(12*(2x+5)+2*(x+2)-15*(x-3)=3*(5x+35)\)

    Reagrupem els monomis semblants:

    \((24x+60)+(2x+4)-(15x-45)=(15x+105)\)

    Movem les \(x\) a l’esquerre de la igualtat i els termes independents a la dreta:

    \(24x+2x-15x-15x=105-60-4-45\)

    I aïllem la \(x\):

    \(-4x=-4
    \\
    x=\frac{-4}{-4}=1\)

2. De segon grau

2.1 Completa

Per a resoldre una equació de segon grau completa (amb tots els termes,  \(ax^2+bx+c=0\))  usarem la següent fórmula:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c}}{2*a}\), per exemple

\(
x^2+5x+6=0 \quad a=1,\enspace b=5, \enspace c=6:
\\
x=\frac{-5\pm \sqrt{(5)^2-4*1*6}}{2*1}=
\\
\frac{-5\pm \sqrt{(5)^2-24}}{2}=
\\
\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{-5\pm 1}{2}
\\
x_1=\frac{-4}{2}=-2
\\
x_2=\frac{-6}{2}=-3\)

2.2 Incompleta (b=0)

\(ax^2+c=0
\\
x={\pm \sqrt\frac {-c}{a}}
\)

Exemple:​

\(4 x^2-36=0
\\
x=\pm \sqrt{\frac{-(-36)}{4}}
\\
x=\pm 3\)

2.3 Incompleta (c=0)

\(ax^2+bx=0
\\
x(ax+b)=0
\\
x_1=0
\\
ax_2+b=0
\\
x_2=-\frac{b}{a}
\\
\)

Exemple:

\(
3x^2+6x=0\\
x(3x+6)=0\\
x_1=0\\
x_2=-\frac{6}{3}=-2
\)

3. Calcular el nombre de solucions

Per a determinar el nombre de solucions d’una equació de segon grau sense resoldre-la, en calcularem el discriminant: \(\Delta=b^2-4*a*c.\)

3.1 Dues solucions

\(
\Delta>0
\)

\(
x^2+5x+6=0
\\
\Delta=5^2-4*1*6>0 \enspace (x_1= -2,x_2=-3)
\)

3.2 Una solució doble

\(
\Delta=0
\)

\(
\\
x^2+4x+4=0
\\
\Delta=4^2-4*1*4=0 \enspace (x_1=+2,x_2=+2)
\)

3.3 Cap solució

\(
\Delta<0
\)

\(
x^2+5x+9=0
\\
\Delta=5^2-4*1*9<0
\)

4. Biquadrades

Les equacions biquadrades (\(ax^{2n}+bx^n+c=0\)) es resolen fent un canvi de variable (\(x^n=t\))  que les transforma en una equació de segon grau:

\(
a*x^{2n}+b*x^n+c=0
\\
(x^n=t)
\\
a*t^2+b*t+c=0\)

Exemple:

\(x^4-5\color {red}{x^2}+4=0 \enspace (\color {red}{x^2=t})
\\
t^2-5t+4=0
\\
t=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4*1*4}}{2*1}
\\
t=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2}
\\
t_1=4
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{4}= \pm 2
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1\)

Un altre exemple: \(x^6-9x^3+8=0.\)

Fixeu-vos que això també és una equació biquadrada, perquè l’exponent del primer monomi és el doble de l’exponent del segon monomi i el tercer és el terme independent. 

La resolem de la mateixa manera:

\(x^6-9\color{red}{x^3}+8=0 \enspace (\color{red}{x^3=t})
\\
t^2-9t+8=0
\\
t=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2-4*1*8}}{2*1}
\\
t=\frac{9 \pm 7}{2}
\\
t_1=8
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{8}= \pm 2 \sqrt{2}
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1\)

Si algun dels resultats de la \(t\) és negatiu, no es podrà trobar la  \(x\) corresponent.

5. Irracionals

Són equacions en les quals la incògnita és sota una arrel, per exemple, \(\sqrt{x+1}=9\). Per simplificació, sols analitzarem la resolució d’equacions irracionals amb arrels quadrades.

5.1 Amb una arrel

Per a solucionar una equació irracional:

  1. Posarem el terme amb arrel a un costat de la igualtat i la resta de termes a l’altra,
  2. Elevarem cada terme al quadrat per tal d’eliminar l’arrel, i
  3. Resoldrem l’equació que resulti de fer els passos anteriors:

\(\sqrt{2x-6}+2=4
\\
\sqrt{2x-6}=4-2
\\
\sqrt{2x-6}=2
\\
(\sqrt{2x-6})^2=2^2
\\
2x-6=4
\\
2x=4+6
\\
2x=10
\\
x=\frac{10}{2}=5\)

5.2 Amb dues arrels

És el mateix procediment de resolució, però quan hi ha dues arrels, el càlcul sol ser més fàcil posant una arrel a cada banda de la igualtat. Si hi ha dues arrels, haurem de repetir els passos \(1\) i \(2\) dues vegades per a eliminar-les totes:

\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{x+7}=4
\\
\sqrt{2x-3}=4-\sqrt{x+7}
\\
(\sqrt{2x-3})^2=(4-\sqrt{x+7})^2
\\
2x-3=16-2*4*\sqrt{x+7}+(\sqrt{x+7})^2\)

Ara que sols queda una arrel, continuarem el procés com en el cas anterior:

\(2x-3=16-8\sqrt{x+7}+(x+7)
\\
2x-3-16-(x+7)=-8\sqrt{x+7}
\\
x-26=-8\sqrt{x+7}
\\
(x-26)^2=(-8\sqrt{x+7})^2
\\
x^2-52x+676=64(x+7)
\\
x^2-116x+228=0
\\
x_1=114\\
x_2=2\)

Porceedukat

Sistemes d’equacions

1. Què és un sistema d'equacions

Un sistema d’equacions són dues o més equacions que compleixen certes igualtats per a uns valors determinats (solucions) de les incògnites.

Dues equacions són equivalents quan tenen les mateixes solucions.

El nombre de solucions d’un sistema és igual al grau de l’equació, tot i que en el conjunt dels nombres reals (\(\mathbb R\)) pot ser inferior quan apareixen arrels d’índex parell negatives com en aquest cas:

\(x^2-4x+8=0
\\
\Delta=\sqrt {b^2-4*a*c}
\\
=\sqrt {4^2-4*1*8}
\\
=\sqrt {16-32}=\sqrt{-16}\)

En aquest article, sols veurem la resolució de sistemes de dues equacions. 

2. Classificació dels sistemes d'equacions

2.1 Segons el grau de les equacions

2.1.1.1 Lineals

Un sistema d’equacions és lineal quan tots els termes de les equacions són de grau u.

2.1.1.2 No lineals

Quan alguna o totes les equacions del sistema són de grau dos o superior, o bé són equacions no lineals, diem que és un sistema d’equacions no lineal.

2.2 Segons les soluciones del sistema

2.2.1 Sistema Compatible Determinat (SCD)

Un sistema és compatible determinat si té un nombre finit de solucions.

Per a què un sistema d’equacions sigui determinat, calen tantes equacions diferents com incògnites tingui el sistema.

Dues rectes del pla que formen un sistema compatible determinat es tallen en un punt.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
——————
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}
\)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT

2.2.2 Sistema Compatible Indeterminat

Un sistema compatible indeterminat és un sistema d’equacions que té infinites solucions.

Si un sistema té més incógnites que equacions diferents, serà un sistema indeterminat.

Si un sistema de dues funcions lineals del pla és indeterminat, les rectes que el formen són en realitat una mateixa recta.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
4x+6y=16
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +4x+6y=16
\\
-4x-6y=-16
\\
——————-
\\
\hspace{9pt} 0x+0y=0
\end {cases}\)

 
SISTEM COMPATIBLE INDETERMINAT

2.2.3 Sistema Incompatible

Un sistema és incompatible si no té solució.

Quan dues rectes del pla són paral·leles, formen un sistema incompatible.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x+3y=10
\\
————-
\\
0=-2
\end{cases}\)

SISTEMA INCOMPATIBL

(Per a saber-ne, vegeu Altres mètodes de resolució de sistemes d’equacions -Batxillerat).

3. Resolució del sistemes d'equacions

Al resoldre un sistema d’equacions determinem els punts secants (d’intersecció) de les equacions del sistema entre sí. Aquests són els punts que tenen en comú les equacions del sistema.

El nombre màxim de solucions serà el grau més gran de les equacions del sistema.

3.1 Lineals

3.1.1 Reducció o Eliminació

Consisteix en eliminar o reduir una de les incògnites del sistema d’equacions. 

Per a eliminar-la, multiplicarem cada equació pel coeficient de la incógnita que volem eliminar de l’altre equació.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
4*)\,2x+3y=8
\\
3*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
8x+12y=32
\\
3x-12y=-21
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} 11x+0y=11
\\
x=\frac{11}{11}=1
\\[0.2cm]
y=\frac{8-2x}{3}=2
\end {cases}\)

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
1*)\,2x+3y=8
\\
2*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x-8y=-14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
—————-
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}\)

3.1.2 Igualació

Per tal d’aplicar el mètode d’igualació, aillarem la mateixa incògnita de cada equació i després igualarem ambdues expressions.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}
\\
x={-7+4y}
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
\frac{8-3y}{2}={-7+4y}
\\[0.2cm]
(8-3y)=2*(-7+4y)
\\[0.2cm]
8-3y=-14+8y
\\[0.2cm]
-3y-8y=-14-8
\\[0.2cm]
-11y=-22
\\[0.2cm]
y=\frac{22}{11}=2
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}\)

3.1.3 Substitució

En el mètode de substitucío, aïllarem una de les incògnites i la substituirem al’altra equació.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
x-4*(\frac{8-2x}{3})=-7
\\[0.2cm]
x-\frac{32-8x}{3}=-7
\\[0.2cm]
\frac{3x-32+8x}{3}=\frac{-21}{3}
\\[0.2cm]
3x+8x=-21+32
\\[0.2cm]
11x=11
\\[0.2cm]
x=1
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
y=2
\end {cases}\)

3.1.4 Mètode gràfic

Aïllarem la \(y\) de cada equació i les representarem en un mateix gràfic.

Si el sistema és compatible determinat, el punt d’intersecció d’ambdues rectes serà la solució del sistema.

Si és indeterminat, ambdues rectes seran coincidents.

Si és incompatible, seran paral·leles.

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT

3.2 No lineals

El millor mètode de resoldre sistemes d’equacions no lineals sol ser el mètode de substitució, tot i que s’ha d’analitzar en cada cas el sistema per a determinar quin és el millor métode de resolució.

Per a saber-me  més, vegeu Altres mètodes de resolució d’equacions -Batxillerat).

\(\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x+y=5
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x=5-y
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\\(5-y)^2+y^2=25
\\
(25-10y+y^2)+y^2=25
\\
2y^2-10y=0
\\
y*(2y-10)=0
\\
y=5, 0
\\
x=0, 5
\end{cases}\)

4. De tres equacions amb tres incògnites

Per a resoldre un sistema de tres equacions amb tres incògnites, usarem el sistema de reducció entre la primera i la segona equació, després entre la primera i la tercera i finalment entres les dues equacions resultants:

\(2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
7x-5y+2z=4
\\[1cm]
*-2)2x+3y-\enspace z=4
\\
\hspace{1.2cm}4x-2y+5z=7
\\
———————–
\\
\hspace{1.2cm}0x+8y-7z=1
\\[1cm]
\hspace{0.5cm}7*) 2x+3y-\enspace z=4
\\
-2*)7x-5y+2z=4
\\
————————–
\\
\hspace{1.9cm}31y-11z=20
\\[1cm]
\hspace{0.2cm}31*)\hspace{0.3cm}8y-\enspace 7z=1
\\
-8*)31y-11z=20
\\
———————
\\
\hspace{1.2cm}-129z=-129
\\
z=\frac{129}{129}=1
\\
y=\frac{1+7z}{8}=1
\\
x=\frac{4+z-3y}{2}=1
\)

Porceedukat

Àrees i volums

CEEdukat Online! Primària - ESO - Batxillerat - Provés d'accés

A CEEdukat ara també fem classes online amb la mateixa qualitat i professionalitat que les presencials. També obrim els mesos de juliol i agost.