Arxiu de categories Matemàtiques

La regla de Ruffini o divisió sintètica és una forma ràpida de fer una divisió entre un polinomi \[P(x)\]i un binomi lineal -de la forma \[x−a\].

Per fer una divisió per Ruffini, agafarem només els coeficients del polinomi i els dividirem pel terme independent del binomi canviat de signe, recordant de fer zeros els termes nuls del polinomi.

Si volem fer la divisió per Ruffini \[x^3-8x+4 \div x-2\]:

El polinomi resultant de la divisió \[q(x)\] sempre serà un grau més petit que el del polinomi dividend \[D(x)\]. En l’exemple anterior, \[q(x)=1x^2+2x-4\] i el residu és \[−4\].

La regla de Ruffini també ens permet factoritzar un polinomi i trobar-ne les arrels. Per fer-ho, haurem de trobar un nombre enter que faci que el residu de la divisió sigui zero. Aquest nombre enter, ha de ser un divisor del darrer terme del polinomi.

(Vegeu el Teorema del Residu per a saber-ne més.)

Per exemple, en el polinomi \[D(x)=x2+5x+6\], els possibles divisors enters seran els divisors del sis, \[±1,2,3,6\].

Exemple:

\[
a)\enspace 2x^4-3x^3+2x^2-5x+3: x+1
\\
\hspace{15pt} 2x^3-5x^2+7x-12, \enspace residu:  \enspace 15.
\\[1cm]
b)\hspace{7pt} 2x^5-x^3+2x-1: x-3
\\
\hspace{15pt}2x^4+6x^3+17x^2+51x+155, \enspace residu:\enspace 464
\\[1cm]
c)\hspace{7pt} 5x^5-5x^3+5x-5:x+3
\\
\hspace{15pt}5x^4-15x^3+40x^2-120x+365, \enspace residu: \enspace -1100
\]

És el resultat obtingut en substituir la indeterminada d’un polinomi per un valor. En substituir la indeterminada \[x\] de \[P(x)=x^2−6x+5 \] per \[4 \], el valor numèric del polinomi és \[−3: P(x=4)=4^2−6∗4+5=−3. \]

Exemple:

\[
a) \hspace{12pt} P(x)=8x^2-2x+9;
\\
\hspace{20pt} P(x=4)=8*(4)^2-2*(4)+9= 129
\\[1cm]
b) \hspace{11pt} P(x)=-6x^3+6x^2-x-1;
\\
\hspace{19pt} P(x=3)=-6*(3)^3+6*(3)^2-3-1= -112
\\[1cm]
c) \hspace{10pt} P(x)= -2*x^4+3*x^3+2x^2-3x+7;
\\
\hspace{16pt} P(x=-6)=-2*(-6)^4+3*(-6)^3+2*(-6)^2-3*(-6)+7= -3 143
\]

El teorema del residu diu que el valor numèric d’un polinomi és igual al residu de la divisió entre un polinomi i un binomi de la forma \[x−a\]. És a dir que, si el valor numèric del polinomi és zero, el valor de la indeterminada serà una arrel del polinomi:

Si \[P(x)=x^2−6x+5\] i \[x=4\], el residu de la divisió \[x^2−6x+5:x−4\] és \[−3\]. \[P(x=4)=4^2−6∗4+5=−3\].

Exemple:

\[
a) \enspace P(x)=x^2-9x+8,
\\
\hspace{12pt}P(x=3)=-10,\enspace P(x=-1)=18.
\\[1cm]
b) \enspace P(x)=-3x^4+8x^3-2x^2+x+1,
\\
\hspace{12pt} P(x=-2)=-121, \enspace P(x=-4)=-1 315.
\\[1cm]
c) \enspace P(x)= -6x^3+4x-9,
\\
\hspace{12pt} P(x=-7)=2021,  P(x=2)=-49.\]

(Vegeu l’entrada Valor numèric d’un polinomi per a saber-ne més.)

El màxim comú divisor de polinomis és el divisor més gran que tenen en comú dues expressions algebraiques.

Es calcula multiplicant els factors irreductibles comuns de cada expressió algebraica elevats als exponents més petits. Si \[(x^2-1)\]  i \[(x+1)\]:

\[
(x²-1)=(x+1)*(x-1)
\\
(x+1)=(x+1)
\\
\]

y el \[MCD\] serà \[(x+1)\].

El procediment per a calcular el \[MCD\] d’expressions algebraiques és similar al de fer-ho amb nombres.

(Vegeu l’entrada Mínim Comú Múltiple  per a saber-ne més.)

Exemple:

\[
a)\hspace{7pt} (x^2-9), (x^2+6x+9):
\\[0.5cm]
\hspace{14pt}(x^2-9) \hspace{20pt}=(x+3)(x-3)
\\
\hspace{16pt} (x^2+6x+9)=(x+3)^2
\\[0.5cm]
\hspace{16pt} MCD \, (x^2-9,  x^2+6x+9)=(x+3)
\\[1cm]
b) \hspace{7pt} (x^3-7x^2+2x),  (x^4-3x^3-4x^2):
\\[0.5cm]
\hspace{12pt}(x^3-7x^2+2x)=x*(x-4)*(x-3)
\\
\hspace{14pt}(x^4-3x^3-4x^2)=x^2*(x-4)*(x+1)
\\[0.5cm]
\hspace{15pt} MCD \, (x^3-7x^2+2x,  x^4-3x^3-4x^2)=(x-4)*x
\\[1cm]
c) \hspace{7pt} (x^3+3x^2-4), (x^4-3x^3-3x^2+11x-6), (x^3-2x^2-5x+6):
\\[0.5cm]
\hspace{12pt}(x^3+3x^2-4)=(x-1)*(x+2)^2
\\
\hspace{14pt}(x^4-3x^3-3x^2+11x-6)=(x-3)*(x-1)^2*(x+2)
\\
\hspace{14pt}(x^3-2x^2-5x+6)=(x-3)*(x-1)*(x+2)
\\[0.5cm]
\hspace{15pt} MCD \, (x^3+3x^2-4,x^4-3x^3-3x^2+11x-6,x^3-2x^2-5x+6)=
\\
\hspace{12pt} (x-1)*(x+2)
\]

Per a fer una multiplicació de polinomis multiplicarem tant els coeficients com la part literal de cada monomi que forma el polinomi. A diferència de la suma o resta de polinomis, en aquest cas no és necessari que les parts literals de cada monomi siguin idèntiques.

\[
P(x)=−6x^3+9x^2+10x−1; Q(x)=2x^2+3\\
(6x³+9x²+10x−1)∗(2x^2+3)=\\
(18x^3+27x^2+30x−3)+(12x^5+18x^4+20x^3−2x^2)
\]

Sumem els monomis obtinguts entre si i agrupem els que siguin semblants (mateixa part literal):

\[12x^5+18x^4+38x^3+25x^2+30x−3\].

De la forma clàssica, seria:

\[
\begin{matrix}P(x)=-6x^3+9x^2+10x-1 & Q(x)=2x^2+3 \end{matrix}
\\[1cm]
6x^3+9x^2+10x-1
\\
\hspace{2.5cm} 2x^2+3\\
——————————————\\
18x^3+27x^2+30x-3\\
12x^5+18x^4+20x^3-2x^2\\
——————————————-\\
12x^5+18x^4+38x^3+25x^2+30x-3
\]

Exemple:

\[
a) (x^2+2x-9)*(3x+1)= 3x^3+7x^2-25x-9
\\
b) (-3x^2+5x-9)*(x^2+9x)= -3x^4-22x^3+36x^2-81x
\\
c) (21x^3+20x^2-4x-9)*(2x^2+1)= 42x^5+40x^4+13x^3+2x^2-4x-9
\]

Identitat: igualtat que es compleix sempre, per a qualsevol valor de la indeterminada.

Notable: important.

Les identitats notables són expressions que apareixen moltes vegades en el cálcul matemàtic que fem servir per agilitzar els càlculs:

Binomi al quadrat: \[(x±a)=(x)²±2*(x)*(a)+(a)²\]:

\[
(x+2)²=\\
(x)²+2*x*2+2²=\\
x²+4x+4
\\[1cm]
(2x−3y)²=\\
(2x)²−2*2x*3y+(3y)²=\\
4x²−12xy+9y²
\]

Suma per diferència: \[(x+a)∗(x−a)=(x)²−(a)²\]:

\[(x+3)*(x−3)=(x)²−(3)²=x²−9\].

\[(2x+3y)*(2x−3y)=(2x)²−(3y)²=4x²−9y²\].

S’obtindrien els mateixos resultats si es fes la multiplicació dels binomis dels exemples, però fer-ho així, és més ràpid.

\[
a) \, (3x+6)^2= (3x)^2+2*3x*6+(6)^2=9x^2+36x+36 \\
b) \, (2x-9y)^2=(2x)^2-2*2x*9y+(-9y)^2=4x^2-36xy+81y^2 \\
c) \, (x+9)*(x-9)=(x)^2-(9)^2=x^2-81 \\
d) \, (5x+7)*(5x-7)=(5x)^2-(7)^2=25x^2-49
\]

(Vegeu Multiplicació de polinomis per a saber-me més.)

Per a fer la simplificació de fraccions algebraiques, factoritzarem el numerador i el denominador i simplificarem els factors iguals. La simplificació es pot fer per Ruffini, amb la fórmula de les equacions de segon grau, per identitats notables o extraient factor comú.

\[\frac{x^2+4x+4} { x+2}=\frac{(x+2)^2}{ x+2}=\frac{(x+2)∗(x+2)}{x+2}=x+2\]

Exemple:

\[
\frac{x^2+5x+6}{x+3}=
\\
\frac{(x+3)*(x+2)}{x+3}=x+2
\\[1cm]
\frac{x^3−2x^2-11x+12}{x^4−2x^3−23x^2+24x+144}=
\\
\frac{(x^2+2x-3)*(x-4)}{(x-4)^2*(x-1)*(x+3)}=
\\
\frac{(x-1)*(x+3)*(x-4)}{(x-4)^2*(x-1)*(x+3)^2}=
\\
\frac{(x-1)}{(x-4)*(x+3)}
\\[1cm]
\frac{x^3+4x^2+3x}{(x^3-x)}=
\\
\frac{(x^2+3x)*(x+1)}{x*(x^2-1)}=
\\
\frac{x*(x+3)*(x+1)}{x*(x-1)*(x+1)}=
\\
\frac{(x+3)}{(x-1)}
\]

(Vegeu Factorització de polinomis per a saber-ne més.)

Com en el cas de la suma i resta de fraccions aritmètiques, hem de trobar el \[mcm\] de les fraccions que volem suma o restar i operar-les:

\[f_1(x)= \frac{x−9}{x^2−1}, f_2(x)=\frac {x}{x−1}\]

Calculem el \[mcm\] dels denominadors:

\[f_1(x)= \frac{x−9}{x^2−1}=\frac{x−9}{(x−1)∗(x+1)}\]
\[ f_2(x)=\frac {x}{x−1}=\frac{x}{x-1}\]
\[mcm[f_1(x),f_2(x)]=(x+1)*(x−1)\]

I operem les fraccions:

\[
\frac{(x−9)}{(x^2−1)}+\frac{x}{x−1}=
\\
\frac{(x−9)}{(x^2−1)}+\frac{x*(x+1)}{(x+1)*(x−1)}=
\\
\frac{(x−9)+(x^2+x)}{(x^2−1)}=
\\
\frac{x^2+2x-9}{x^2−1}
\]

Exemple:

\[
\frac{x-2}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=
\\
\frac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}
+
\frac{(x+2)(x+2)}{(x+2)(x-2)}
\\
\frac{(x-2)^2+(x+2)^2}{x^2-4}=
\\
\frac{(x^2-4x+4)+(x^2+4x+4)}{x^2-4}=
\\
\frac{(2x^2+8)}{x^2-4}
\\[1cm]
\frac{3x-2}{x^2-1}+\frac{x+2}{x-1}=
\\
\frac{3x-2}{x^2-1}+\frac{(x+2)(x+1)}{x^2-1}=
\\
\frac{3x-2}{x^2-1}+\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}=
\\
\frac{x^2+6x}{x^2-1}=
\\[1cm]
\frac{x-4}{x^2-4}+\frac{2-11x}{x+1}=
\\
\frac{(x-4)(x+1)}{(x^2-4)(x+1)}+\frac{(2-11x)(x^2-4)}{(x^2-4)(x+1)}=
\\
\frac{(x^2-3x-4)+(-11x^3+2x^2+44x-8)}{(x^2-4)(x+1)}=
\\
\frac{-11x^3+3x^2+41x-12}{x^3+x^2-4x-4}
\]

(Vegeu les entrades suma de polinomis,  factorització de polinomis, i mínim comú múltiple de polinomis.)

Les fraccions algebraiques es multipliquen de la mateixa manera que es multipliquen les aritmètiques: multipliquem els numeradors i els denominadors de totes les fraccions entre si.

\[f_1(x)=\frac{x−9}{x^3-2x}, f_2(x)=\frac{x^2−1}{x+6}\]

\[f_1(x)*f_2(x)=\frac{(x-9)*(x^2-1)}{(x^3-2x)*(x+6)}\].

(Vegeu l’entrada sobre multiplicació de polinomis per saber com es multipliquen dos polinomis.)

Una fracció algebraica és l’expressió algebraica d’un quocient entre dos polinomis \[P(x)\] i \[Q(x)\], tal que \[Q(x)≠0\]:

\[\frac{P(x) }{Q(x)}=\frac{x^2−6x+5x−4}{x^3-9}\], és una fracció algebraica.

El mètode per a operar fraccions algebraiques és similar al d’operar fraccions aritmètiques. Per tant, és necessari saber com descompondre polinomis i trobar el mínim comú múltiple i el màxim comú divisor per tal de sumar i restar les fraccions algebraiques.

(Vegeu les entrades Mínim Comú Múltiple i Màxim Común Divisor de polinomis per a saber-ne més.)