Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Potències
Instruccions abans de començar
1. Definició
Una potència és una multiplicació repetida d’un mateix nombre: \(a^n: a*a*…a, \, n\) vegades. \(a\) és la base i \(n\) és l’exponent.
Exemple:
\(3^5= \, 3*3*3*3*3= \, 243\)2. Propietats de les potències
2.1 Amb la mateixa base
Propietat Exemple \(a^n*a^m=a^{n+m}\) \(3^5*3^{-2}=3^3\) \(a^n \div a^m=a^{n-m}\) \(3^5 \div 3^{-2}=3^7\) \((a^n)^m=a^{n*m}\) \((3^5)^{-2}=3^{-10}\) \(a^0=1\) \(3^0=1\) \(a^1=a\) \(3^1=3\) \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) \(3^{-2}=\frac{1}{3^2}\)
2.2 Amb el mateix exponent
Propietat Exemple \(a^n*b^n=(a*b)^n\) \(3^5*2^{5}=(3*2)^5=6^5\) \(a^n \div b^n=(a \div b)^n\) \(3^5 \div 2^{5}=(\frac{3}{2})^5\)
Per a calcular fraccions de potències, farem:
1. Descompondrem les bases compostes en factors primers.
2. Multiplicarem les potències amb la mateixa base del numerador i del denominador tenint en compte les propietats anteriors.
3. Dividirem les potències resultants de la mateix base:
Exemple:
\(
\frac{6^3*2^5*7^{-2}*25^3}{49^6*125^{-3}*16^2*3^3}=\\
\frac{(2*3)^3*2^5*7^{-2}*(5^2)^3}{(7^2)^6*(5^3)^{-3}*(2^4)^2*3^3}=\\
\frac{(2*3)^3*2^5*(5^2)^3}{(7^2)*(7^{2})^6*5^{-9}*(2^4)^2*3^3}=\\
\frac{2^3*3^3*2^5*5^6}{7^2*7^{12}*5^{-9}*2^8*3^3}=\\
\frac{2^8*3^3*5^6}{7^{14}*5^{-9}*2^8*3^3}=\\
\frac{5^{15}}{7^{14}}=5^{15}*7^{-14}
\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
| Propietat | Exemple |
|---|---|
| \(a^n*a^m=a^{n+m}\) | \(3^5*3^{-2}=3^3\) |
| \(a^n \div a^m=a^{n-m}\) | \(3^5 \div 3^{-2}=3^7\) |
| \((a^n)^m=a^{n*m}\) | \((3^5)^{-2}=3^{-10}\) |
| \(a^0=1\) | \(3^0=1\) |
| \(a^1=a\) | \(3^1=3\) |
| \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) | \(3^{-2}=\frac{1}{3^2}\) |
| Propietat | Exemple |
|---|---|
| \(a^n*b^n=(a*b)^n\) | \(3^5*2^{5}=(3*2)^5=6^5\) |
| \(a^n \div b^n=(a \div b)^n\) | \(3^5 \div 2^{5}=(\frac{3}{2})^5\) |
Per a calcular fraccions de potències, farem:
1. Descompondrem les bases compostes en factors primers.
2. Multiplicarem les potències amb la mateixa base del numerador i del denominador tenint en compte les propietats anteriors.
3. Dividirem les potències resultants de la mateix base:
Exemple:
\(
\frac{6^3*2^5*7^{-2}*25^3}{49^6*125^{-3}*16^2*3^3}=\\
\frac{(2*3)^3*2^5*7^{-2}*(5^2)^3}{(7^2)^6*(5^3)^{-3}*(2^4)^2*3^3}=\\
\frac{(2*3)^3*2^5*(5^2)^3}{(7^2)*(7^{2})^6*5^{-9}*(2^4)^2*3^3}=\\
\frac{2^3*3^3*2^5*5^6}{7^2*7^{12}*5^{-9}*2^8*3^3}=\\
\frac{2^8*3^3*5^6}{7^{14}*5^{-9}*2^8*3^3}=\\
\frac{5^{15}}{7^{14}}=5^{15}*7^{-14}
\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Vectors en el pla
Instruccions abans de començar
1. Definició
Un vector (\(\vec{v}\)) és un segment orientat. Per a definir un vector ens calen dos punts: un punt d’origen i i el punt de l’extrem. Un vector del pla té dos components, l’horitzontal i el vertical, que representen les unitats que s’han de desplaçar per anar de l’origen a l’extrem del vector.
A diferència d’un escalar (un nombre), un vector té quatre característiques:
(i) Mòdul (\(\left|\vec{v}\right|\)): és la longitud del segment. Per a calcular el módul d’un vector fem: \(\left|\vec{v} \right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\) unitats.
Exemple:
\(\left|(3,1) \right|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\) unitats.
(ii) Direcció (\(\theta\)): és la inclinació o el pendent de la recta sobre la qual està situat el vector. Dos vectors tenen la mateixa direcció si estan sobre rectes paral·leles o coincidents.
La direcció o inclinació d’un vector és l’arc tangent del component vertical del vector dividit per l’horitzontal: \(\arctan \frac{y}{x}\)-.
Exemple:
\(\alpha=\arctan\frac{1}{3}= 18.43º\)(Vegeu l’entrada raons trigonomètriques per a saber-ne més).
(iii) Sentit: és cap a on apunta la fletxa. Pot ser positiu o negatiu.
(iv) Origen: és el punt d’on surt el vector.
2. Operacions amb vectors
2.1 Suma/resta
\(\vec{u} = (u_{1}, u_{2}), \vec{v} = (v_{1}, v_{2})
\\
\vec{u} + \vec{v} = (u_{1}+ v_{1},u_{2}+v_{2})
\\
\vec{u} – \vec{v} = (u_{1}- v_{2}, u_{2}- v_{2})
\)
Exemple:
\(
\vec{u} = (3,1),\, \vec{v} = (1,2)\\
\vec{u} + \vec{v} = (3,1)+(1,2)=(4,3)\\
\vec{u} – \vec{v} = (3,1)-(1,2)=(2,-1)\\
\vec{v} – \vec{u} = (1,2)-(3,1)=(-2,1)\\
\).
2.2 Multiplicació
2.2.1 D’un vector per un escalar
Quan multipliquem un vector per un escalar el resultat és un altre vector paral·lel amb una longitud (mòdul) de \(k\) vegades.
\(k*\vec{v} = k*(v_{1}, v_{2}) = (k*v_{1}, k*v_{2})\)Exemple:
\(k = -4*(3,-6) = (-12,24)\)
El component horitzontal del vector gris és de dues unitats i el vertical d’una. Al multiplicar-lo per dos, el component horitzontal del vector resultant és quatre i el vertical de dos.
2.2.2 Producte escalar de dos vectors
El producte escalar o producte punt de dos vectors és una multiplicació entre dos vectors que dóna com a resultat un escalar (nombre):
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = (u_{1}, u_{2})\cdot(v_{1}, v_{2}) = u_{1}*v_{1} + u_{2}*v_{2}\)
Exemple:
\((3,1)\cdot (2,-4)=(3*2+1*-4)= 2\)Una altra manera de calcular el producte escalar entre dos vectors és:
\(\vec{u}\cdot \vec{v} =\left|\vec{u}\right|*\left|\vec{v}\right|*\cos\alpha\)(\(\alpha\) és l’angle que formen els vectors.)
Exemple:
\(\vec{u}=(3,1), \, \vec{v}=(2,-4), \ \alpha=81.87º \\
(3,1)\cdot(2,-4)=\left|(3,1) \right|*\left|(2,-4) \right|*cos{81.7}=\sqrt{10}*\sqrt{20}*cos{\,81.87}= 2\)
El producte escalar de dos vectors és el resultat de multiplicar un dels vectors per la projecció horitzontal de l’altra sobre el primer.
2.3 Angle entre dos vectors
Per a calcular l’angle que formen dos vectors, fem servir la definició anterior de producte escalar :
\(
\cos{\alpha} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left| \vec{u} \right|*\left|\vec{v} \right|} \Rightarrow
\alpha=\arccos(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u} \right|*\left|\vec{v}\right|} )
\)
Exemple:
\(\alpha=\arccos{\frac{2}{\sqrt{10}* \sqrt{20}}}= 81.87º\)(Vegeu l’entrada raons trigonomètriques per a saber-ne més).
El producte escalar de dos vectors perpendiculars és zero perquè \(\cos{\, 90º} =0\).
El producte escalar compleix les següents propietats:
(i) Commutativa: \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\).
(ii) Distributiva: \(\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = \vec{w}\cdot\vec{u} + \vec{w}\cdot\vec{v}\)
(iii) El producte escalar d’un vector per ell mateix és el seu mòdul al quadrat: \(\vec{v}\cdot\vec{v} = \left|\vec{v} \right|*\left|\vec{v} \right|*\cos0 = |\vec{v}|^2\).
3. Combinació lineal de vectors
Si un vector \(\vec{w}\) és combinació lineal d’un altre són dos vectors proporcionals: \(\vec{w} = k*\vec{v}\). Un vector \(\vec{w}\) és combinació lineal de dos vectors diferents si \(\vec{w} = \mu*\vec{u} + \lambda*\vec{v}\).
Quan en un conjunt de vectors cap vectors es pot obtenir com a combinació lineal d’altres vectors diem que aquests vectors són linealment independents. La condició perquè un conjunt de vectors siguin linealment independents és:
\(\lambda_1*\vec{v_1}+\lambda_2*\vec{v_2}+…\lambda_n*\vec{v_n}=0\), sols si tots els coeficients \(\lambda\) són zero.
4. Bases
Una base són un conjunt de vectors linealment independents que poden generar tots els altres vectors del pla o de l’espai. És a dir, que qualsevol altre vector és una combinació lineal d’aquests vectors.
Al pla, dos vectors \(\vec{v_1},\vec{v_2}\) si són linealment independents i poden generar tots els altres vectors del pla ( \(B ={\vec{v_1},\vec{v_2}}\)):
\(\vec{w}=\lambda_1*\vec{v_1}+\lambda_2*\vec{v_2}\), essent \(\vec{v_1}, \,\vec{v_2}\) linealment independents.
3.1 Base ortogonal
Una base de vectors és ortogonal si els vectors que la formen són perpendiculars entre sí.
3.2 Base ortonormal
Un vector unitari (\({\hat{v}}\)) és un vector de mòdul \(1\): \(\hat v=\frac{\vec v}{\left ||v \right ||}\)
Per a normalitzar un vector dividim cada component pel seu mòdul:
Exemple:
\(\widehat{(5,-9)}=\frac{(5,-9)}{\sqrt{5^2+(-9)^2}}=(\frac{5}{\sqrt{106}},\frac{-9}{\sqrt{106}})\)Quan els vectors de la base són ortogonals i normals, és una base ortonormal.
Els vectors \((1,0)\) i \((0,1)\) formen la base ortonormal del pla \(B={\vec{e_1}(1,0),\, \vec{e_2}(0,1)}\).
Qualsevol vector del pla és una combinació lineal d’aquests dos vectors: \(\vec{w_1}=\lambda_1*\vec{e_1}+4\lambda_2*\vec{e_2}\)
Exemple:
\((3,2)=3*\vec{e_1}+2*\vec{e_2}\)
3.3 Coordenades d’un vector
Les coordenades d’un vector en una base són els coeficients \(\lambda_n\) del vector expressat en aquesta base.
En l’exemple anterior, les coordenades del vector (3,2) en base ortonormal expressat en la base \(B=\left\{ (5,7), (6,2) \right\}\) és el vector \((\frac{3}{16}, \, \frac{11}{32})\):
Exemple:
\((3,2)=\lambda_1*(5,7)+\lambda_2*(6,2) \\
3=5*\lambda_1+6*\lambda_2\ \\
2=7*\lambda_1+2*\lambda_2 \\
\lambda_1= \frac{3}{16} \\
\lambda_2= \frac{11}{32} \\
\)
5. Sistemes de referència
Un sistema de referència és el conjut format per una base de vectors \(\vec{u},\vec{v}\) i un origen de coordenades \(O\): \(R = {O,[\vec{u},\vec{v}]}\).
En un sistema de referència a cada punt \(P\) del pla se li associa un vector de posició \(OP\).
(Vegeu Vectors en l’espai per a saber-ne més).
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Nombres reals
Instruccions abans de començar
Els nombres reals és el conjunt de nombres format pel conjunt dels nombres racionals i el conjunt dels nombres irracionals.
El nombres reals són un subconjunt de nombres complexos.
1. Nombres Naturals
Són els nombres que usem per a comptar: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, … \). El conjunt dels nombres naturals es representa per \(\mathbb{N}\).
1.1 Nombres primers
Són els nombres naturals que sols són divisibles per ells mateixos i per la unitat.
Exemple:
\(2, 3, 5, 7, 11…\)
1.2 Nombres compostos
Un nombre compost, és un nombre format pel producte de nombres primers.
Exemple:
\(
6=2*3\\
24=2^3*3\\
60=2^2*5*3\\
450=2*3^2*5^2
\)
2. Nombres enters
És el conjunt dels nombres naturals positius, negatius i el 0: \(…-3,-2,-1,0,1,2,3,…\). El conjunt de nombres enters es representa per \(\mathbb{Z}\).
Els nombres naturals són part dels nombres enters (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)).
3. Nombres racionals
Són els nombres decimals generats per una fracció que anomenem fracció generatriu\( \frac{a}{b}\). \(a,b\) són nombres enters i \(b \neq 0\). Els conjunt de nombres racionals es representa per \(\mathbb{Q}\).
Exemple:
\(\frac{21}{10}=2.1, \, \frac{3}{2}=1.5\).
Els nombres enters també són racionals perquè els podem expressar en forma de fracció: \(2 = \frac{2}{1}\). Per tant, els nombres enters són un subconjunt dels racionals (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)).
Els nombres decimals dels quals en podem trobar una fracció generatriu són:
3.1 Decimals exactes
Els decimals exactes són els nombres decimals que tenen una quantitat exacta de decimals.
Exemple:
\(2.345\), té tres decimals
\(0.9\), té un decimal
\(5.129837\), té sis decimals
Per a calcular la fracció generatriu d’un decimal exacte (\(2.345\)), fem el següent:
i) Escrivim el nombre sense comes al numerador: \(2\, 345\)
ii) El dividim per \(10 \) elevat al nombre de decimals que tingui: \(\frac{2\, 345}{10^3}=\frac{2\, 345}{1\, 000}\).
iii) Calculem la fracció irreductible: \(\frac{469}{200}…\)
Exemple:
\(1.75= \frac{175}{10^ 2} = \frac{7}{4}\).
3.2 Decimals periòdics purs
Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.
Exemple:
\(
2.33333… \rightarrow 2. \hat 3 \\
0.66666… \rightarrow 0. \hat 6 \\
8.97979… \rightarrow 8. \widehat {97} \\
\)
Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.
En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \(10\) elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:
Exemple:
\(
n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\
n \hspace{1cm}= \hspace{0.8cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm}56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\)
La forma ràpida de calcular la fracció generatriu és:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \(56\, 987-56=56\, 931\)
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període: \(999\)
iii) Calculem al fracció irreductible: \(\frac{56\, 931}{999}=\frac{56\, 931}{999}\)
Exemple:
\(
1.23232323…= 1.\widehat {23} \\
\frac{123 – 1}{99} = \\
\frac{122}{99}
\)
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(123\), el període és \(\widehat{23}\), el nombre fins al període és l’\(1\) i el període té dos decimals.
3.3 Decimals periòdics mixts
Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.
Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \(10\) elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:
Exemple
\(
n=56.9 \widehat{87} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{87}\\
-\\
10*n \hspace{0.4cm}=\hspace{0.6cm}569.\widehat{87}\\
———\\
990*n \hspace{0.4cm}=\, 56 \,418.0
\\
n=\frac{56\, 418}{990}
\)
Per a calcular la fracció generatriu, fem:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \(56\, 987-569=56\, 418\)
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període i tants zeros com decimals tingui l’avantperíode: \(990\)
iii) Calculem al fracció irreductible: \(\frac{56\, 418}{900}=\frac{9\, 403}{150}\)
Exemple:
\(1.5787878…= 1.5\widehat{78} = \\
\frac{157 – 15}{900} =\\
\frac{142}{900} = \\
\frac{71}{450}
\)
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(1578\), l’avantperíode és \(5\) i el període és \(\widehat 78\) i el nombre fins al període és l’\(1\). L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.
4. Nombres irracionals
Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \(\mathbb{I}\).
Exemple:
\(\pi, e\), qualsevol arrel no exacta com \(\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\).
5. Nombres reals
És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \(\mathbb{R}\).
Per tant, \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\).
Els nombres reals es representen a la recta real.
5.1 Representació a la recta real
i) Per a representar un nombre enter (\(\mathbb{Z}\)) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\(\mathbb{N}\)) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\(\mathbb{Q}\)), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \(0\) i \(1\) (p.e: \(\frac{4}{5}=0.8\)).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \(\frac{5}{2}=2.5)\). Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\(\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\)).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\(
0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\)
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \( 0-1\) en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
Exemple:
\(
1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\)
iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:
Exemple:
\(
\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\)
6. Intervals
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\(-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\). En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \((- \infty \lt x \leq +2]\)).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\(\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\). \( ]n , n[\) o bé \((n , n)\) significa que l’extrem és obert i \( [n , n] \) vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \((-\infty, +2]\)).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \(N*10^a\). \(N\) és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \(a\) és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
Exemple:
\(
1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\)
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \(10^{-12}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \(10^{+12}\).
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \(10^{+9}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \(10^{-9}\).
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Exemple:
\(
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\)
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Exemple:
\(
2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Un nombre compost, és un nombre format pel producte de nombres primers.
Exemple:
\(6=2*3\\
24=2^3*3\\
60=2^2*5*3\\
450=2*3^2*5^2
\)
2. Nombres enters
És el conjunt dels nombres naturals positius, negatius i el 0: \(…-3,-2,-1,0,1,2,3,…\). El conjunt de nombres enters es representa per \(\mathbb{Z}\).
Els nombres naturals són part dels nombres enters (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)).
3. Nombres racionals
Són els nombres decimals generats per una fracció que anomenem fracció generatriu\( \frac{a}{b}\). \(a,b\) són nombres enters i \(b \neq 0\). Els conjunt de nombres racionals es representa per \(\mathbb{Q}\).
Exemple:
\(\frac{21}{10}=2.1, \, \frac{3}{2}=1.5\).
Els nombres enters també són racionals perquè els podem expressar en forma de fracció: \(2 = \frac{2}{1}\). Per tant, els nombres enters són un subconjunt dels racionals (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)).
Els nombres decimals dels quals en podem trobar una fracció generatriu són:
3.1 Decimals exactes
Els decimals exactes són els nombres decimals que tenen una quantitat exacta de decimals.
Exemple:
\(2.345\), té tres decimals
\(0.9\), té un decimal
\(5.129837\), té sis decimals
Per a calcular la fracció generatriu d’un decimal exacte (\(2.345\)), fem el següent:
i) Escrivim el nombre sense comes al numerador: \(2\, 345\)
ii) El dividim per \(10 \) elevat al nombre de decimals que tingui: \(\frac{2\, 345}{10^3}=\frac{2\, 345}{1\, 000}\).
iii) Calculem la fracció irreductible: \(\frac{469}{200}…\)
Exemple:
\(1.75= \frac{175}{10^ 2} = \frac{7}{4}\).
3.2 Decimals periòdics purs
Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.
Exemple:
\(
2.33333… \rightarrow 2. \hat 3 \\
0.66666… \rightarrow 0. \hat 6 \\
8.97979… \rightarrow 8. \widehat {97} \\
\)
Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.
En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \(10\) elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:
Exemple:
\(
n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\
n \hspace{1cm}= \hspace{0.8cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm}56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\)
La forma ràpida de calcular la fracció generatriu és:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \(56\, 987-56=56\, 931\)
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període: \(999\)
iii) Calculem al fracció irreductible: \(\frac{56\, 931}{999}=\frac{56\, 931}{999}\)
Exemple:
\(
1.23232323…= 1.\widehat {23} \\
\frac{123 – 1}{99} = \\
\frac{122}{99}
\)
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(123\), el període és \(\widehat{23}\), el nombre fins al període és l’\(1\) i el període té dos decimals.
3.3 Decimals periòdics mixts
Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.
Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \(10\) elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:
Exemple
\(
n=56.9 \widehat{87} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{87}\\
-\\
10*n \hspace{0.4cm}=\hspace{0.6cm}569.\widehat{87}\\
———\\
990*n \hspace{0.4cm}=\, 56 \,418.0
\\
n=\frac{56\, 418}{990}
\)
Per a calcular la fracció generatriu, fem:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \(56\, 987-569=56\, 418\)
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període i tants zeros com decimals tingui l’avantperíode: \(990\)
iii) Calculem al fracció irreductible: \(\frac{56\, 418}{900}=\frac{9\, 403}{150}\)
Exemple:
\(1.5787878…= 1.5\widehat{78} = \\
\frac{157 – 15}{900} =\\
\frac{142}{900} = \\
\frac{71}{450}
\)
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(1578\), l’avantperíode és \(5\) i el període és \(\widehat 78\) i el nombre fins al període és l’\(1\). L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.
4. Nombres irracionals
Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \(\mathbb{I}\).
Exemple:
\(\pi, e\), qualsevol arrel no exacta com \(\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\).
5. Nombres reals
És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \(\mathbb{R}\).
Per tant, \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\).
Els nombres reals es representen a la recta real.
5.1 Representació a la recta real
i) Per a representar un nombre enter (\(\mathbb{Z}\)) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\(\mathbb{N}\)) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\(\mathbb{Q}\)), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \(0\) i \(1\) (p.e: \(\frac{4}{5}=0.8\)).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \(\frac{5}{2}=2.5)\). Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\(\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\)).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\(
0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\)
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \( 0-1\) en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
Exemple:
\(
1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\)
iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:
Exemple:
\(
\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\)
6. Intervals
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\(-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\). En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \((- \infty \lt x \leq +2]\)).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\(\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\). \( ]n , n[\) o bé \((n , n)\) significa que l’extrem és obert i \( [n , n] \) vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \((-\infty, +2]\)).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \(N*10^a\). \(N\) és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \(a\) és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
Exemple:
\(
1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\)
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \(10^{-12}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \(10^{+12}\).
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \(10^{+9}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \(10^{-9}\).
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Exemple:
\(
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\)
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Exemple:
\(
2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
\(0.9\), té un decimal
\(5.129837\), té sis decimals
Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.
Exemple:
\(2.33333… \rightarrow 2. \hat 3 \\
0.66666… \rightarrow 0. \hat 6 \\
8.97979… \rightarrow 8. \widehat {97} \\
\)
Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.
En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \(10\) elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:
Exemple:
\(n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\
n \hspace{1cm}= \hspace{0.8cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm}56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\)
La forma ràpida de calcular la fracció generatriu és:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \(56\, 987-56=56\, 931\)
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període: \(999\)
iii) Calculem al fracció irreductible: \(\frac{56\, 931}{999}=\frac{56\, 931}{999}\)
Exemple:
\(1.23232323…= 1.\widehat {23} \\
\frac{123 – 1}{99} = \\
\frac{122}{99}
\)
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(123\), el període és \(\widehat{23}\), el nombre fins al període és l’\(1\) i el període té dos decimals.
3.3 Decimals periòdics mixts
Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.
Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \(10\) elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:
Exemple
\(
n=56.9 \widehat{87} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{87}\\
-\\
10*n \hspace{0.4cm}=\hspace{0.6cm}569.\widehat{87}\\
———\\
990*n \hspace{0.4cm}=\, 56 \,418.0
\\
n=\frac{56\, 418}{990}
\)
Per a calcular la fracció generatriu, fem:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \(56\, 987-569=56\, 418\)
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període i tants zeros com decimals tingui l’avantperíode: \(990\)
iii) Calculem al fracció irreductible: \(\frac{56\, 418}{900}=\frac{9\, 403}{150}\)
Exemple:
\(1.5787878…= 1.5\widehat{78} = \\
\frac{157 – 15}{900} =\\
\frac{142}{900} = \\
\frac{71}{450}
\)
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \(1578\), l’avantperíode és \(5\) i el període és \(\widehat 78\) i el nombre fins al període és l’\(1\). L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.
4. Nombres irracionals
Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \(\mathbb{I}\).
Exemple:
\(\pi, e\), qualsevol arrel no exacta com \(\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\).
5. Nombres reals
És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \(\mathbb{R}\).
Per tant, \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\).
Els nombres reals es representen a la recta real.
5.1 Representació a la recta real
i) Per a representar un nombre enter (\(\mathbb{Z}\)) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\(\mathbb{N}\)) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\(\mathbb{Q}\)), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \(0\) i \(1\) (p.e: \(\frac{4}{5}=0.8\)).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \(\frac{5}{2}=2.5)\). Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\(\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\)).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\(
0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\)
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \( 0-1\) en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
Exemple:
\(
1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\)
iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:
Exemple:
\(
\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\)
6. Intervals
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\(-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\). En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \((- \infty \lt x \leq +2]\)).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\(\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\). \( ]n , n[\) o bé \((n , n)\) significa que l’extrem és obert i \( [n , n] \) vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \((-\infty, +2]\)).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \(N*10^a\). \(N\) és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \(a\) és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
Exemple:
\(
1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\)
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \(10^{-12}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \(10^{+12}\).
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \(10^{+9}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \(10^{-9}\).
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Exemple:
\(
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\)
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Exemple:
\(
2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
i) Per a representar un nombre enter (\(\mathbb{Z}\)) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\(\mathbb{N}\)) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\(\mathbb{Q}\)), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \(0\) i \(1\) (p.e: \(\frac{4}{5}=0.8\)).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \(\frac{5}{2}=2.5)\). Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\(\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\)).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\(0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\)
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \( 0-1\) en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
Exemple:
\(1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\)
iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:
Exemple:
\(\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\)
6. Intervals
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\(-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\). En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \((- \infty \lt x \leq +2]\)).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\(\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\). \( ]n , n[\) o bé \((n , n)\) significa que l’extrem és obert i \( [n , n] \) vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \((-\infty, +2]\)).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \(N*10^a\). \(N\) és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \(a\) és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
Exemple:
\(1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\)
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \(10^{-12}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \(10^{+12}\).
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \(10^{+9}\). Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \(10^{-9}\).
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Exemple:
\(
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\)
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Exemple:
\(2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Trigonometria
Instruccions abans de començar
Definició
La trigonometria és l’àrea de les matemàtiques que estudia la relació entre els costats i els angles dels triangles.
S’aplica sols als triangles rectangles, tot i que ens serveix per a resoldre qualsevol mena de triangle.
La paraula prové del grec: tri (tres), gono (angle) i metria (mesura).
Classificació dels triangles
Un triangle és una figura geomètrica plana de tres costats i tres angles.
Podem classificar els triangles segons els angles o els costats que els formen.
Segons els angles que els formen, es classifiquen en acutangles, rectangles i obtusangles.
Segons els costats que els formen, es classifiquen en isòsceles, equilàters i escalens.
(Vegeu l’entrada càlcul de l’àrea d’un polígon per a saber-ne més).
Mesura d’angles
Els angles tenen diferents unitats de mesura. La més coneguda és el grau sexagesimal. En una circumferència divida en graus sexagesimals cada quart de circumferència són 90º i una volta sencera són 360º.
El radià és la unitat d’angle del SI. Un radià és l’angle que té un arc de circumferència igual al radi \(s=r\).
Com que la longitud de qualsevol circumferència és \(L=2\pi*r \Rightarrow \, 2\pi=\frac{L}{r}\).
Això vol dir que la longitud de qualsevol circumferència conté \(2\pi\) vegades el radi.
Cada partició d’un radi de la longitud d’una circumferència és un radià.
Quan mesurem els angles en radians, cada quart de circumferència són \(\frac{\pi}{2}\) radians (escrit \(rad\)). Una volta sencera són \(2\pi \enspace rad\) o simplement \(2\pi\).
Per passar de graus sexagesimals a radians usem el factor de conversió \(360º = 2\pi \, rad\).
Exemple:
\(30º.\frac{2\pi}{360º} = \frac{\pi}{6}\, rad\).
Els angles notables (més importants) són: \(0º\, (0\, rad),\, 30º\ (\frac{\pi} {6} \, rad), \, 45º\, (\frac{\pi}{4} \, rad), \,60º [latex]\frac{\pi}{6}\) \, 90º \, \((\frac{\pi}{2} \, rad)\).
Raons trigonomètriques
Una raó o proporció trigonomètrica és el quocient de la longitud de dos costats d’un triangle rectangle.
Definim les raons trigonomètriques fonamentals o bàsiques per a un angle qualsevol de la circumferència goniomètrica (la circumferència per a mesurar angles) com:
\(sin \, \alpha= \frac {catet \, oposat}{hipotenusa}\\\)
\(cos \, \alpha= \frac {catet \, contigu \, o \, adjacent}{hipotenusa}\)
Per a qualsevol triangle rectangle també es compleix que:
hipotenusa^2 = catet \, oposat^2 + catet \, adjacent^2
\,
(a^2=b^2+c^2)
\)
I la relació derivada:
\(tan \, \alpha= \frac {catet \, oposat}{catet \, contigu\, o\, adjacent}\)Les resta de relacions (proporcions o raons) trigonomètriques derivades del sinus i cosinus d’un angle són:
\(cosecant \, d’ \alpha \,(csc \, \alpha) =\frac{1}{sin \, \alpha}= \frac{a}{b}
\\
secant \, d’ \alpha \,(sec \, \alpha) =\frac{1}{cos \, \alpha}=\frac{a}{c}
\\
cotangent \, d\, ‘ \alpha \, (cot \, \alpha) = \frac{1}{tan \, \alpha}=\frac{c}{b}
\)
Exemple:
Si \(a = 5, \,b = 3, \,c = 4\), llavors
\(\sin\, \alpha = \frac{b}{a} = \frac{3}{5} = 0.6\\
\cos\, \alpha = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0.8\\
\tan\,\alpha = \frac{b}{c} = \frac{3}{4} = 0.75\\
\csc\, \alpha = \frac{a}{b} = \frac{5}{3} = 1.6667\\
\sec\, \alpha = \frac{a}{c} = \frac{5}{4} = 1.25\\
\cot\, \alpha = \frac{c}{b} = \frac{4}{3} = 1.333
\)
Les funcions inverses ens serveixen per a trobar l’angle sabent els valor de la funció.
Exemple:
\(\alpha=\ arcsin \, \alpha\, (\sin^{-1} \, \alpha); \,
\arcsin{0.6} \,(\sin^{-1}{0.6})=36.87º
\\
\alpha=\ arccos \, \alpha\, (\cos^{-1} \, \alpha); \,
\arccos{0.6} \,(\cos^{-1}{0.6})=53.13º
\\
\alpha=\ arctan \, \alpha\, (\tan^{-1} \, \alpha); \,
\arctan{0.6} \,(\tan^{-1}{0.6})=30.96º
\)
I la taula de relacions trigonomètriques notables és:
| \(0º (0 \, rad)\) | \(30º (\frac{\pi}{6} \, rad)\) | \(45º (\frac{\pi}{4} \, rad)\) | \(60º (\frac{\pi}{3} \, rad)\) | \(45º (\frac{\pi}{2} \, rad)\) | |
| \(\\sin \, \alpha\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
| \(\\cos \, \alpha\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\\tan \, \alpha\) | \(0\) | \(\frac{1}{\sqrt3}\) | \(1\) | \({\sqrt3}\) | \(\infty\) |
Reducció d’angles al primer quadrant
La reducció d’un angle al primer quadrant consisteix en transformar un angle de més de 90º a un altre del primer quadrant que tingui la mateixa obertura.
Un angle més gran de 360º es pot transformar en un angle de la primera volta de la següent manera:
Si \(\alpha= 1 285º\): el quocient de \(1 285 \div 360= 3\) i el residu és \(205º\). Això vol dir que \(1 285º\) equivalen a 3 voltes senceres a la circumferència més 205º addicionals a la quarta volta.
Un cop hem determinat quan val l’angle de la darrera volta incompleta, fem la reducció d’aquest angle al primer quadrant. Observant el gràfic superior, veiem que:
Per a un angle de segon quadrant: \(\theta_{q2}=180º – \theta_{q1}\\\)
Per a un angle de tercer quadrant: \(\theta_{q3}= 180º+\theta_{q1}\\\)
Per a un angle de quart quadrant: \(\theta_{q4}= 360º – \theta_{q1}
\).
Ailant \(\theta_1\), tenim la reducció de l’angle al primer quadrant.
Exemple:
Si \(\theta_{q2} = 135º \, \Rightarrow \, \theta_{q1}=180º – 35º = 45º\\\)
Si \(\theta_{q3} = 200º \, \Rightarrow \, \theta_{q1}=200º – 180º = 20º\\\)
Si \(\theta_{q4} = 350º \, \Rightarrow \, \theta_{q1}=360º – 350º =10º\)
I els signes de les relacions trigonomètriques de cada quadrant són:
\(sin \, \theta_{q1}: +, \, cos \, \theta_{q1}: +, \, tan \, \theta_{q1}: +\)
\(sin \, \theta_{q2}: +, \, cos \, \theta_{q2}: -, \, tan \, \theta_{q2}: \, –\)
\(sin \, \theta_{q3}: -, \, cos \, \theta_{q3}: -, \, tan \, \theta_{q3}: +\\
sin \, \theta_{q4}: -, \, cos \, \theta_{q4}: +, \, tan \, \theta_{q4}: \, –\)
Resolució de triangles
Semblança de triangles
Dos triangles són semblants quan es compleix que:
1. Els seus angles són iguals: \(\hat{A} = \hat{A’}, \hat{B} = \hat{B’}, \hat{C} = \hat{C’}\), i que
2. Els seus costats són proporcionals: \(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\).
Triangles semblants Resoldre un triangle consisteix a trobar el valor de tots els seus costats i angles. Els diferents triangles que haurem de resoldre són:
i) Un triangle rectangle,
ii) un triangle inscrit en un altre triangle
iii) un triangle obtusangle.
Per a resoldre els triangles anteriors farem servir la trigonometria i la semblança de triangles:
i) Un triangle rectangle:
Per a resoldre un triangle rectangle ens calen, o bé dos costats, o bé un costat i un angle. Farem servir les relacions trigonomètriques sinus, cosinus, tangent i el teorema de Pitàgores:
Exemple:
\(c=3, \, \hat B=30º \Rightarrow \, a=\frac{c}{cos\, 30º}= 2 \sqrt 3, \, b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt 3\)
Exemple:
\(c=3, \,a=2\sqrt3 \Rightarrow \, b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt 3, \, \hat B=tg^{-1}(\frac{b}{c})=30º\)
Per a trobar l’angle complementari del \(\hat B\) farem \(90-\hat B=60º\).
ii) Dos triangles rectangles inscrits:
En aquest cas, farem la tangent de cada triangle rectangle i resoldrem el sistema pel mètode d’igualació:
Exemple:
\(
x=5 m, \, \hat B=40º, \, \hat C=20º, \, (L=?, \, h=?) \\
\begin{cases}
\tan \hat B=\frac{h}{L}\\
\tan \hat C=\frac{h}{L+x}
\end{cases} \\
h=\tan \hat B*L=\tan \hat C*(L+x)\\
L=\frac{\tan \hat C*x}{\tan \hat B-\tan \hat C }\\
L=\frac{tan 20º*5}{tan 40º-tan 20}=3.83 m\\
h= \tan \hat B*L=tan 40º*3.83= 3.21 m
\)
iii) Un triangle obtusangle:
Usarem també el mètode anterior:
Exemple:
\(
L=15 m, \, \hat A=40º, \, \hat B=20º, \, (x=?, \, h=?) \\
\begin {cases}
\tan \hat A=\frac{h}{L-x}\\
\tan \hat B=\frac{h}{x}
\end {cases}\\
x=\frac{L*tan \hat A}{tan \hat A+\tan \hat B}\\
x=\frac{15*(tan 40º)}{tan 40º+tan 20º}=10.46 m\\
h=x*\tan \hat B= 10.46*tan 20º=3.81 m
\)
Altres mètodes de resolució
Teorema del cosinus
Fem servir el teorema del cosinus si coneixem tres costats o dos costats i l’angle que els separa. També el podem usar per a calcular l’angle que els separa si coneixem dos costats adjacents.
Qualsevol triangle d’angles \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\) i costats \(a, b, c\) compleix que (teorema del cosinus):
\(a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c\cos\hat{A}\)
\(b^2 = a^2 + c^2 – 2*a*c*\cos\hat{B}\)
\(c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\)
Exemple:
Si coneixem els tres costats (ens cal esbrinar els tres angles): \(a = 7, b = 3, c = 6\)
Trobem dos angles:
\(
a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c*\cos\hat{A}\\
7^2 = 3^2 + 6^2 – 2*3*6*\cos\hat{A}\\
\cos\hat{A} = -\frac{7^2-3^2-6^2}{2*3*6}=\frac{1}{9}\\
\hat{A} = \cos^{-1}{(\frac{1}{9})}=96.38º
\)
Exemple:
Si coneixem dos costats i l’angle que el separa: \(a = 7, b = 3, \hat C=58º\)
\(
c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\\
c^2 = 7^2 + 3^2 – 2*7*3*\cos\hat{58}\\
c=5.99 m
\)
Per a trobar \(\hat A, \, \hat B\), seguim el procediment anterior:
\(
\hat A=\cos^{-1}{\frac{a^2-b^2-c^2}{-2*b*c}}=93.38º\\
\hat B=\cos^{-1}{\frac{b^2-a^2-c^2}{-2*a*c}}=25.21º
\)
Teorema del sinus
Qualsevol triangle d’angles \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\) i costats \(a, b, c\) compleix que: \(\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}} = \frac{c}{\sin\hat{C}}\)
Usem el teorema del sinus quan coneixem, o bé dos costats i l’angle oposat d’un dels costats coneguts, o bé dos angles i un costat oposat d’un dels angles coneguts del triangle.
Exemple:
Coneguts un costat i dos angles: \(\hat{A} = 62º, \hat{B} = 47º, c = 9\)
Trobem l’angle que falta sabent que tots tres sumen 180:
\(\hat{C} = 180 – 62 – 47 = 71º\)
Apliquem el teorema del sinus per trobar els altres dos costats:
\(
\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}}= \frac{c}{\sin\hat{C}}\\
\frac{a}{\sin 62º}=\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
\frac{a}{\sin 62º} = \frac{9}{\sin71º}\\
a = 9*\frac{\sin 62}{\sin 71}=8.4\\
\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
b = 9*\frac{\sin 47}{\sin 71}=6.96
\)
Teorema de l’altura
Teorema del catet
Equacions trigonomètriques
Per a resoldre equacions trigonomètriques hem d’usar les identitats trigonomètriques.
(Vegeu l’entrada equacions trigonomètriques per a saber-ne més).
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
1. Els seus angles són iguals: \(\hat{A} = \hat{A’}, \hat{B} = \hat{B’}, \hat{C} = \hat{C’}\), i que
2. Els seus costats són proporcionals: \(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\).
ii) un triangle inscrit en un altre triangle
iii) un triangle obtusangle.
Teorema del cosinus
Fem servir el teorema del cosinus si coneixem tres costats o dos costats i l’angle que els separa. També el podem usar per a calcular l’angle que els separa si coneixem dos costats adjacents.
Qualsevol triangle d’angles \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\) i costats \(a, b, c\) compleix que (teorema del cosinus):
\(a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c\cos\hat{A}\)
\(b^2 = a^2 + c^2 – 2*a*c*\cos\hat{B}\)
\(c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\)
Exemple:
Si coneixem els tres costats (ens cal esbrinar els tres angles): \(a = 7, b = 3, c = 6\)
Trobem dos angles:
\(
a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c*\cos\hat{A}\\
7^2 = 3^2 + 6^2 – 2*3*6*\cos\hat{A}\\
\cos\hat{A} = -\frac{7^2-3^2-6^2}{2*3*6}=\frac{1}{9}\\
\hat{A} = \cos^{-1}{(\frac{1}{9})}=96.38º
\)
Exemple:
Si coneixem dos costats i l’angle que el separa: \(a = 7, b = 3, \hat C=58º\)
\(
c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\\
c^2 = 7^2 + 3^2 – 2*7*3*\cos\hat{58}\\
c=5.99 m
\)
Per a trobar \(\hat A, \, \hat B\), seguim el procediment anterior:
\(
\hat A=\cos^{-1}{\frac{a^2-b^2-c^2}{-2*b*c}}=93.38º\\
\hat B=\cos^{-1}{\frac{b^2-a^2-c^2}{-2*a*c}}=25.21º
\)
Teorema del sinus
Qualsevol triangle d’angles \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\) i costats \(a, b, c\) compleix que: \(\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}} = \frac{c}{\sin\hat{C}}\)
Usem el teorema del sinus quan coneixem, o bé dos costats i l’angle oposat d’un dels costats coneguts, o bé dos angles i un costat oposat d’un dels angles coneguts del triangle.
Exemple:
Coneguts un costat i dos angles: \(\hat{A} = 62º, \hat{B} = 47º, c = 9\)
Trobem l’angle que falta sabent que tots tres sumen 180:
\(\hat{C} = 180 – 62 – 47 = 71º\)
Apliquem el teorema del sinus per trobar els altres dos costats:
\(
\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}}= \frac{c}{\sin\hat{C}}\\
\frac{a}{\sin 62º}=\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
\frac{a}{\sin 62º} = \frac{9}{\sin71º}\\
a = 9*\frac{\sin 62}{\sin 71}=8.4\\
\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
b = 9*\frac{\sin 47}{\sin 71}=6.96
\)
Teorema de l’altura
Teorema del catet
Equacions trigonomètriques
Per a resoldre equacions trigonomètriques hem d’usar les identitats trigonomètriques.
(Vegeu l’entrada equacions trigonomètriques per a saber-ne més).
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
\(a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c\cos\hat{A}\)
\(b^2 = a^2 + c^2 – 2*a*c*\cos\hat{B}\)
\(c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\)
Trobem dos angles:
\(
a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c*\cos\hat{A}\\
7^2 = 3^2 + 6^2 – 2*3*6*\cos\hat{A}\\
\cos\hat{A} = -\frac{7^2-3^2-6^2}{2*3*6}=\frac{1}{9}\\
\hat{A} = \cos^{-1}{(\frac{1}{9})}=96.38º
\)
Qualsevol triangle d’angles \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\) i costats \(a, b, c\) compleix que: \(\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}} = \frac{c}{\sin\hat{C}}\)
Usem el teorema del sinus quan coneixem, o bé dos costats i l’angle oposat d’un dels costats coneguts, o bé dos angles i un costat oposat d’un dels angles coneguts del triangle.
Exemple:
Coneguts un costat i dos angles: \(\hat{A} = 62º, \hat{B} = 47º, c = 9\)
Trobem l’angle que falta sabent que tots tres sumen 180:
\(\hat{C} = 180 – 62 – 47 = 71º\)Apliquem el teorema del sinus per trobar els altres dos costats:
\(\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}}= \frac{c}{\sin\hat{C}}\\
\frac{a}{\sin 62º}=\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
\frac{a}{\sin 62º} = \frac{9}{\sin71º}\\
a = 9*\frac{\sin 62}{\sin 71}=8.4\\
\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
b = 9*\frac{\sin 47}{\sin 71}=6.96
\)
Teorema de l’altura
Teorema del catet
Equacions trigonomètriques
Per a resoldre equacions trigonomètriques hem d’usar les identitats trigonomètriques.
(Vegeu l’entrada equacions trigonomètriques per a saber-ne més).
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Equacions trigonomètriques
Per a resoldre equacions trigonomètriques hem d’usar les identitats trigonomètriques.
(Vegeu l’entrada equacions trigonomètriques per a saber-ne més).
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Radicals
Instruccions abans de començar
Definició
L’arrel n-éssima de \(a\) (un nombre real), és tot nombre real \(b\) que verifica \(b^n = a\). Ho escrivim \(b = \sqrt[n]{a}\).
Anomenem radicand de l’arrel a \(a\) i índex de l’arrel a \(n\).
Exemples:
\(\sqrt{4} = \pm 2\), perquè \((\pm 2)^2=4\\\)
\(\sqrt[3]{-8} = -2\), perquè \((-2)^3=-8\\\)
\(\sqrt[4]{81} = \pm 3\), perquè \((\pm 3)^4=81\)
Propietats de les arrels
| Propietat fonamental | \(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n*p]{a^{m*p}}\) |
| Relació entre potències i arrels | \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) |
| Arrels d’un radical | \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m*n]{a}\) |
| Potència d’un radical | \((\sqrt[m]{a^n})^p= \sqrt[m]{a^{p*n}}\) |
| Producte de radicals | \(\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b} \) |
| Quocient de radicals | \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\) |
Operacions amb arrels
Per a operar radicals, descompondrem sempre els radicals compostos en nombres primers.
Exemple:
\(\sqrt{6}=\sqrt{2*3}, \, \sqrt[4]{45}=\sqrt[4]{3^2*5}, \, \sqrt[3]{72}=\sqrt[3]{3^2*2^3}\)Transformació a potències
\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)
Exemples:
\(
\sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}, \\
\sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}},\\
\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}},\\
\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^3} = 2^{\frac{3}{4}}
\)
Podem simplificar l’arrel \( \sqrt[n]{a^m}\) si la fracció \(\frac{m}{n}\) es pot simplificar.
Exemples:
\(
\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{\frac{6}{4}}=2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}\\
\sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^4} = 2^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}\).
Arrels d’un radical
Per a calcular l’arrel d’un radical, hem de multiplicar els índexs de les arrels del radical: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m*n]{a}\).
Exemple:
\(\sqrt[3]{\sqrt[5]{7}}=\sqrt[15]{7}\)
Potència d’un radical
\((\sqrt[m]{a^n})^p= \sqrt[m]{a^{p*n}}\)
Exemple:
\(
(\sqrt[4]{8^3})^7=
\sqrt[4]{8^{3*7}}=
\sqrt[4]{8^{21}}
\)
Extracció/ introducció de factors de l’arrel
Abans de fer res més, descompondrem el radicand en factors primers.
Extracció de factors de l’arrel:
Per a extreure factors de l’arrel, l’exponent del factor del radicand ha de ser més gran o igual que l’índex de l’arrel.
Quan dividim l’exponent del radicand entre l’índex de l’arrel, el residu indica l’exponent del factor del radicand queda dins l’arrel i el quocient és l’exponent del factor que queda fora de l’arrel.
Exemple:
\(
\sqrt[4]{3^{11}}= \, 3^2*\sqrt[4]{3^3}\\
(11 \div 3 \rightarrow quocient= 3, residu= 2)\\
\)
Exemple:
\(
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3*5^2*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3}*\sqrt[3]{5^2}*\sqrt[3]{b^5}=\\
2*\sqrt[3]{5^2}*b*\sqrt[3]{b^2}=\
2*b*\sqrt[3]{5^2*b^2}=\\
2b\, \sqrt[3]{25b^2}
\)
Introducció de factors a l’arrel:
Per a introduir un factor dins l’arrel, l’elevarem a l’índex de l’arrel.
Exemple:
\(
2*b*\sqrt[3]{25*b^2}=\\
\sqrt[3]{2^3*b^3*25*b^2}=\\
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{200b^5}
\)
Producte/ Quocient de radicals
Per a multiplicar o dividir radicals han de tenir, o bé el mateix índex, o bé el mateix radicand.
Si tenen el mateix índex:
\(
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\
\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b}
\)
Exemple:
\(
\frac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{15}{3}} = \sqrt[3]{5}\\
\sqrt[3]{15}*\sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{15*3}=\sqrt[3]{45}
\)
Si no tenen el mateix índex ( \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}, \,\sqrt[n]{a}*\sqrt[m]{b}\)):
Quan les arrels no tenen el mateix índex, per a poder operar-les hem de transformar-les en les arrels equivalents aplicant la propietat fonamental de manera que tinguin el mateix índex.
L’índex comú és el mínim comú múltiple (mcm) dels índexs de les arrels.
Exemple:
\(\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}\)
El mínim comú múltiple dels índexs d’aquestes arrels és sis \((6)\) . Si canviem l’índex de cada arrel per sis i fem l’arrel equivalent:
\(\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}=\sqrt[6]{2^2}*\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{2^2*5^3}=\sqrt[6]{60}
\)
En aquest cas, també podríem transformar les arrels a potències i operar-les, però aquesta és una entrada per aprendre a operar arrels.
Suma/Resta de radicals
Per a sumar i restar radicals cal que cada terme de la suma (o resta) tingui el mateix índex i el mateix radicand , és a dir, han de ser radicals semblants.
Els radicals semblants tenen el mateix índex i el mateix radicand, però els coeficient que els multiplica són diferents. \(2\sqrt[5]{9}\) i \( 8\sqrt[5]{9}\) són radicals semblants.
Dos o més radicals són equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. \(\sqrt[5]{9^2}\) i \( 8\sqrt[10]{9^4}\) són radicals equivalents.
Per exemple, podem sumar o restar \(3\sqrt{5}\) i \(9\sqrt{5}\) però no podem sumar o restar \(\sqrt{5}\) i \(\sqrt{3}\) o \(\sqrt[3]{5}\) i\(\sqrt{5}\).
De fet, no sabem sumar ni restar arrels. Però, si és possible, podem treure factor comú dels radicands semblants i sumar o restar-ne els coeficients després de fer l’extracció de factors de cada arrel.
Exemple:
\(
\sqrt{40}+\sqrt{90}=\\
\sqrt{2^3*5}+\sqrt{2*3^2*5}=\\
2*\sqrt{2*5}+3\sqrt{2*5}=\\
\sqrt{10}*(2+3)=\\
5*\sqrt{10}
\)
Racionalització
Consisteix a transformar fraccions amb arrels al denominador en altres arrels ‘equivalents que no en tinguin.
Si tenim fraccions del tipus \(\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}\) multipliquem a dalt i a baix per \(\sqrt[n]{b^{n-m}}\):
Exemple:
\(
\frac{4}{\sqrt[3]{7}} =\\
\frac{4}{\sqrt[3]{7^1}}\frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}} =\\
\frac{4\sqrt[3]{7^2}}{7}
\)
Quan el denominador és un binomi [\((b + \sqrt{c})\), o bé \((\sqrt{b} – \sqrt{c})\)], multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel conjugat del denominador. El conjugat d’un binomi \((a+b)\) és \((a-b)\), i el conjugat de \((a-b)\) és \((a+b)\).
Multiplicant el denominador pel seu conjugat el transformen en un nombre real \((\mathbb{R})\). Recordeu la identitat notable dels polinomis \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\).
Exemple:
\(\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{2 – 3} = -5(\sqrt{2} – \sqrt{3})\)
\(\frac{6}{2 – \sqrt{5}} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{(2 – \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{4 – 5} = -6(2 + \sqrt{5})\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{\frac{6}{4}}=2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}\\
\sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^4} = 2^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}\).
Per a calcular l’arrel d’un radical, hem de multiplicar els índexs de les arrels del radical: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m*n]{a}\).
Exemple:
\(\sqrt[3]{\sqrt[5]{7}}=\sqrt[15]{7}\)Potència d’un radical
\((\sqrt[m]{a^n})^p= \sqrt[m]{a^{p*n}}\)
Exemple:
\(
(\sqrt[4]{8^3})^7=
\sqrt[4]{8^{3*7}}=
\sqrt[4]{8^{21}}
\)
Extracció/ introducció de factors de l’arrel
Abans de fer res més, descompondrem el radicand en factors primers.
Extracció de factors de l’arrel:
Per a extreure factors de l’arrel, l’exponent del factor del radicand ha de ser més gran o igual que l’índex de l’arrel.
Quan dividim l’exponent del radicand entre l’índex de l’arrel, el residu indica l’exponent del factor del radicand queda dins l’arrel i el quocient és l’exponent del factor que queda fora de l’arrel.
Exemple:
\(
\sqrt[4]{3^{11}}= \, 3^2*\sqrt[4]{3^3}\\
(11 \div 3 \rightarrow quocient= 3, residu= 2)\\
\)
Exemple:
\(
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3*5^2*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3}*\sqrt[3]{5^2}*\sqrt[3]{b^5}=\\
2*\sqrt[3]{5^2}*b*\sqrt[3]{b^2}=\
2*b*\sqrt[3]{5^2*b^2}=\\
2b\, \sqrt[3]{25b^2}
\)
Introducció de factors a l’arrel:
Per a introduir un factor dins l’arrel, l’elevarem a l’índex de l’arrel.
Exemple:
\(
2*b*\sqrt[3]{25*b^2}=\\
\sqrt[3]{2^3*b^3*25*b^2}=\\
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{200b^5}
\)
Producte/ Quocient de radicals
Per a multiplicar o dividir radicals han de tenir, o bé el mateix índex, o bé el mateix radicand.
Si tenen el mateix índex:
\(
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\
\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b}
\)
Exemple:
\(
\frac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{15}{3}} = \sqrt[3]{5}\\
\sqrt[3]{15}*\sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{15*3}=\sqrt[3]{45}
\)
Si no tenen el mateix índex ( \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}, \,\sqrt[n]{a}*\sqrt[m]{b}\)):
Quan les arrels no tenen el mateix índex, per a poder operar-les hem de transformar-les en les arrels equivalents aplicant la propietat fonamental de manera que tinguin el mateix índex.
L’índex comú és el mínim comú múltiple (mcm) dels índexs de les arrels.
Exemple:
\(\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}\)
El mínim comú múltiple dels índexs d’aquestes arrels és sis \((6)\) . Si canviem l’índex de cada arrel per sis i fem l’arrel equivalent:
\(\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}=\sqrt[6]{2^2}*\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{2^2*5^3}=\sqrt[6]{60}
\)
En aquest cas, també podríem transformar les arrels a potències i operar-les, però aquesta és una entrada per aprendre a operar arrels.
Suma/Resta de radicals
Per a sumar i restar radicals cal que cada terme de la suma (o resta) tingui el mateix índex i el mateix radicand , és a dir, han de ser radicals semblants.
Els radicals semblants tenen el mateix índex i el mateix radicand, però els coeficient que els multiplica són diferents. \(2\sqrt[5]{9}\) i \( 8\sqrt[5]{9}\) són radicals semblants.
Dos o més radicals són equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. \(\sqrt[5]{9^2}\) i \( 8\sqrt[10]{9^4}\) són radicals equivalents.
Per exemple, podem sumar o restar \(3\sqrt{5}\) i \(9\sqrt{5}\) però no podem sumar o restar \(\sqrt{5}\) i \(\sqrt{3}\) o \(\sqrt[3]{5}\) i\(\sqrt{5}\).
De fet, no sabem sumar ni restar arrels. Però, si és possible, podem treure factor comú dels radicands semblants i sumar o restar-ne els coeficients després de fer l’extracció de factors de cada arrel.
Exemple:
\(
\sqrt{40}+\sqrt{90}=\\
\sqrt{2^3*5}+\sqrt{2*3^2*5}=\\
2*\sqrt{2*5}+3\sqrt{2*5}=\\
\sqrt{10}*(2+3)=\\
5*\sqrt{10}
\)
Racionalització
Consisteix a transformar fraccions amb arrels al denominador en altres arrels ‘equivalents que no en tinguin.
Si tenim fraccions del tipus \(\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}\) multipliquem a dalt i a baix per \(\sqrt[n]{b^{n-m}}\):
Exemple:
\(
\frac{4}{\sqrt[3]{7}} =\\
\frac{4}{\sqrt[3]{7^1}}\frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}} =\\
\frac{4\sqrt[3]{7^2}}{7}
\)
Quan el denominador és un binomi [\((b + \sqrt{c})\), o bé \((\sqrt{b} – \sqrt{c})\)], multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel conjugat del denominador. El conjugat d’un binomi \((a+b)\) és \((a-b)\), i el conjugat de \((a-b)\) és \((a+b)\).
Multiplicant el denominador pel seu conjugat el transformen en un nombre real \((\mathbb{R})\). Recordeu la identitat notable dels polinomis \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\).
Exemple:
\(\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{2 – 3} = -5(\sqrt{2} – \sqrt{3})\)
\(\frac{6}{2 – \sqrt{5}} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{(2 – \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{4 – 5} = -6(2 + \sqrt{5})\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Abans de fer res més, descompondrem el radicand en factors primers.
Extracció de factors de l’arrel:
Per a extreure factors de l’arrel, l’exponent del factor del radicand ha de ser més gran o igual que l’índex de l’arrel.
Quan dividim l’exponent del radicand entre l’índex de l’arrel, el residu indica l’exponent del factor del radicand queda dins l’arrel i el quocient és l’exponent del factor que queda fora de l’arrel.
Exemple:
\(\sqrt[4]{3^{11}}= \, 3^2*\sqrt[4]{3^3}\\
(11 \div 3 \rightarrow quocient= 3, residu= 2)\\
\)
Exemple:
\(\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3*5^2*b^5}=\\
\sqrt[3]{2^3}*\sqrt[3]{5^2}*\sqrt[3]{b^5}=\\
2*\sqrt[3]{5^2}*b*\sqrt[3]{b^2}=\
2*b*\sqrt[3]{5^2*b^2}=\\
2b\, \sqrt[3]{25b^2}
\)
Introducció de factors a l’arrel:
Per a introduir un factor dins l’arrel, l’elevarem a l’índex de l’arrel.
Exemple:
\(2*b*\sqrt[3]{25*b^2}=\\
\sqrt[3]{2^3*b^3*25*b^2}=\\
\sqrt[3]{8*25*b^5}=\\
\sqrt[3]{200b^5}
\)
Producte/ Quocient de radicals
Per a multiplicar o dividir radicals han de tenir, o bé el mateix índex, o bé el mateix radicand.
Si tenen el mateix índex:
\(
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\
\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a*b}
\)
Exemple:
\(
\frac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{15}{3}} = \sqrt[3]{5}\\
\sqrt[3]{15}*\sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{15*3}=\sqrt[3]{45}
\)
Si no tenen el mateix índex ( \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}, \,\sqrt[n]{a}*\sqrt[m]{b}\)):
Quan les arrels no tenen el mateix índex, per a poder operar-les hem de transformar-les en les arrels equivalents aplicant la propietat fonamental de manera que tinguin el mateix índex.
L’índex comú és el mínim comú múltiple (mcm) dels índexs de les arrels.
Exemple:
\(\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}\)
El mínim comú múltiple dels índexs d’aquestes arrels és sis \((6)\) . Si canviem l’índex de cada arrel per sis i fem l’arrel equivalent:
\(\sqrt[3]{2}*\sqrt{5}=\sqrt[6]{2^2}*\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{2^2*5^3}=\sqrt[6]{60}
\)
En aquest cas, també podríem transformar les arrels a potències i operar-les, però aquesta és una entrada per aprendre a operar arrels.
Suma/Resta de radicals
Per a sumar i restar radicals cal que cada terme de la suma (o resta) tingui el mateix índex i el mateix radicand , és a dir, han de ser radicals semblants.
Els radicals semblants tenen el mateix índex i el mateix radicand, però els coeficient que els multiplica són diferents. \(2\sqrt[5]{9}\) i \( 8\sqrt[5]{9}\) són radicals semblants.
Dos o més radicals són equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. \(\sqrt[5]{9^2}\) i \( 8\sqrt[10]{9^4}\) són radicals equivalents.
Per exemple, podem sumar o restar \(3\sqrt{5}\) i \(9\sqrt{5}\) però no podem sumar o restar \(\sqrt{5}\) i \(\sqrt{3}\) o \(\sqrt[3]{5}\) i\(\sqrt{5}\).
De fet, no sabem sumar ni restar arrels. Però, si és possible, podem treure factor comú dels radicands semblants i sumar o restar-ne els coeficients després de fer l’extracció de factors de cada arrel.
Exemple:
\(
\sqrt{40}+\sqrt{90}=\\
\sqrt{2^3*5}+\sqrt{2*3^2*5}=\\
2*\sqrt{2*5}+3\sqrt{2*5}=\\
\sqrt{10}*(2+3)=\\
5*\sqrt{10}
\)
Racionalització
Consisteix a transformar fraccions amb arrels al denominador en altres arrels ‘equivalents que no en tinguin.
Si tenim fraccions del tipus \(\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}\) multipliquem a dalt i a baix per \(\sqrt[n]{b^{n-m}}\):
Exemple:
\(
\frac{4}{\sqrt[3]{7}} =\\
\frac{4}{\sqrt[3]{7^1}}\frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}} =\\
\frac{4\sqrt[3]{7^2}}{7}
\)
Quan el denominador és un binomi [\((b + \sqrt{c})\), o bé \((\sqrt{b} – \sqrt{c})\)], multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel conjugat del denominador. El conjugat d’un binomi \((a+b)\) és \((a-b)\), i el conjugat de \((a-b)\) és \((a+b)\).
Multiplicant el denominador pel seu conjugat el transformen en un nombre real \((\mathbb{R})\). Recordeu la identitat notable dels polinomis \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\).
Exemple:
\(\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{2 – 3} = -5(\sqrt{2} – \sqrt{3})\)
\(\frac{6}{2 – \sqrt{5}} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{(2 – \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{4 – 5} = -6(2 + \sqrt{5})\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Per a sumar i restar radicals cal que cada terme de la suma (o resta) tingui el mateix índex i el mateix radicand , és a dir, han de ser radicals semblants.
Els radicals semblants tenen el mateix índex i el mateix radicand, però els coeficient que els multiplica són diferents. \(2\sqrt[5]{9}\) i \( 8\sqrt[5]{9}\) són radicals semblants.
Dos o més radicals són equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. \(\sqrt[5]{9^2}\) i \( 8\sqrt[10]{9^4}\) són radicals equivalents.
Per exemple, podem sumar o restar \(3\sqrt{5}\) i \(9\sqrt{5}\) però no podem sumar o restar \(\sqrt{5}\) i \(\sqrt{3}\) o \(\sqrt[3]{5}\) i\(\sqrt{5}\).
De fet, no sabem sumar ni restar arrels. Però, si és possible, podem treure factor comú dels radicands semblants i sumar o restar-ne els coeficients després de fer l’extracció de factors de cada arrel.
Exemple:
\(\sqrt{40}+\sqrt{90}=\\
\sqrt{2^3*5}+\sqrt{2*3^2*5}=\\
2*\sqrt{2*5}+3\sqrt{2*5}=\\
\sqrt{10}*(2+3)=\\
5*\sqrt{10}
\)
Racionalització
Consisteix a transformar fraccions amb arrels al denominador en altres arrels ‘equivalents que no en tinguin.
Si tenim fraccions del tipus \(\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}\) multipliquem a dalt i a baix per \(\sqrt[n]{b^{n-m}}\):
Exemple:
\(
\frac{4}{\sqrt[3]{7}} =\\
\frac{4}{\sqrt[3]{7^1}}\frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}} =\\
\frac{4\sqrt[3]{7^2}}{7}
\)
Quan el denominador és un binomi [\((b + \sqrt{c})\), o bé \((\sqrt{b} – \sqrt{c})\)], multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel conjugat del denominador. El conjugat d’un binomi \((a+b)\) és \((a-b)\), i el conjugat de \((a-b)\) és \((a+b)\).
Multiplicant el denominador pel seu conjugat el transformen en un nombre real \((\mathbb{R})\). Recordeu la identitat notable dels polinomis \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\).
Exemple:
\(\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{2} – \sqrt{3})}{2 – 3} = -5(\sqrt{2} – \sqrt{3})\)
\(\frac{6}{2 – \sqrt{5}} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{(2 – \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{4 – 5} = -6(2 + \sqrt{5})\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Diccionaris i enciclopèdies
Matemàtiques
Física
Química
Català
Castellà
Multilingües
Altres idiomes
Filosofia
Música
Tecnologia
Diccionari d’informàtica (ANG)
História
Successions o progressions
Instruccions abans de començar
1. Què és una succesió?
Una successió o progressió és un conjunt de nombres “etiquetats” amb un nombre natural que correspon a la posició de l’element.
Això vol dir que en aquest conjunt al primer element li correspon el nombre \(1\), (\(a_{1}\)), al segon element li correspon el nombre \(2\), (\(a_{2}\)), … fins a l’infinit.
Exemple:
\(a_{1} = 0, a_{2} = 1, a_{3} = 2, a_{4} = 3, a_{5} = 5, a_{6} = 8, a_{7} = 13, …\) és la successió de Fibonacci, cada terme s’obté sumant els dos anteriors.
Un altre exemple és \(a_{1} = 1, a_{2} = -1, a_{3} = 1, a_{4} = -1, a_{5} = 1, a_{6} = -1, a_{7} = 1, …\)
2. Definicions
Ordre del terme de la successio \((n)\): és la posició que ocupa cada terme de la successió.
Primer terme de la successió \((a_1)\): és el primer terme de la successió.
Terme general d’una successió \((a_n)\): és el terme n-éssim (que ocupa la posició \(n\)) de la successió.
Hi ha dues maneres d’indicar el terme general d’una successió, i per tant, de definir la successió:
1.Amb la llei de recurrència: calculem \(a_{n}\) a partir d’un o més elements anteriors.
Exemple:
N’és un exemple la successió de Fibonacci: \(a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}=1,2,3,5,8…\)
2.Amb la llei general: per a calcular \(a_{n}\) sols ens cal saber \(n\) (el lloc que ocupa).
Exemple:
\(a_{n} = n^2 + 1: 2, 5, 10, 17,… \).
Diferència \((d)\): és la diferència que hi ha entre un terme i l’anterior d’una progressió aritmètica.
Exemple:
A la successió \(1,3,5,7,9…\) la diferència és \(2:\, 3-1=2,\, 5-3= 2,\, 7-5=2,\,9-7=2…\).
Raó \((r)\): és el quocient entre un terme i l’anterior d’una progressió geomètrica.
A la successió \(2,\, 4,\,8,\, 16,\, 32…\) la raó és \(2: \, 4 \div 2=2,\, 8 \div 4 = 2,\, 16 \div 8=2,\, 32 \div 16=2…\).
3. Progressions aritmètiques
Són successions que s’obtenen de sumar una quantitat constant (anomenada diferència, \(d\)) al terme anterior.
Hem d’indicar quin és el primer element \(a_1\), perquè aquest no té un element anterior.
Exemple:
Si \(a_{1} = 3\) i \(d = 2\), la successió és: \(3, 5, 7, 9, 11, …\).
El terme general \(a_n\) d’una progressió aritmètica es pot calcular a partir del primer element \(a_1\) i \(d\):
\(a_{2} = a_{1} + d\)
\(a_{3} = a_{2} + d = a_{1} + 2d\)
\(a_{4} = a_{3} + d = a_{1} + 3d\)
…
\(\mathbf{a_{n} = a_{n-1} + d = a_{1} + (n-1)d}\)
3.1 Suma d’una progressió aritmètica
La suma dels \(n\) termes d’una progressió aritmètica \(S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n}\) és:
Si \(a_{1} = 1, d = 1,\) i \( n = 100 \Rightarrow a_n=1,2,3,…,100\) i \(S_{n} = 1 + 2 + 3 + … + 100\):
és a dir que, \(1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 50 + 51 = 101\).
I per a calcular la suma sols hem de sumar \(50\) vegades \(101\).
Per tant,
\(\mathbf{S_{n} =\frac{(a_{1} + a_{n})*n}{2}}\)
4. Progressions geomètriques
S’obtenen multipicant una quantitat fixa anomenada raó, (\(r\)) per l’element anterior.
Exemple:
Si \(a_{1} = 2\) i \(d=2\), llavors \(a_n= 2, 4, 8, 16, 32,…\).
Fent la suma dels termes equidistants com abans, el terme general és:
\(\mathbf{a_{n} = a_{1}*r^{n-1}}\)
4.1 Producte d’una progressió geomètrica
Per a calcular el producte dels n primers termes \(P_{n} = a_{1}*a_{2}…*a_{n}\) d’una progressió geomètrica farem com abans el càlcul dels productes dels termes equidistants de la successió:
Exemple:
Si \(a_n=1,2,4,8,16,32…\) i volem calcular \(P_{6} = \,1*2*4*8*16*32\):
fent el producte dels termes equidistants de la successió:
\(1*…32 = 2*16 = 4*8\).
És a dir que: \(P_{6}=(a_1*a_6)^{6/2}=\sqrt{(a_1*a_6)^6}\)
Per tant, la fórmula general és:
\(\mathbf{P_{n} = (a_{1}*a_{n})^{n/2} = \sqrt{(a_{1}a_{n})^{n}}}\).
4.2 Suma d’una progressió geomètrica
Volem calcular \(S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n}\) dels termes d’una progressió geomètrica.
La fórmula que ens permet fer aquest càlcul és: \(\mathbf{S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}}\)
Exemple:
Si \(a_{1} = 2, r = 2\) i \(n = 5 \Rightarrow a_n= 2,4,8,16,32\), i per tant:
\(S_{5} = 2\frac{2^5-1}{2-1} = 2*31 = 62\).
Ho podem comprovar fent la suma manualment:
\(S_{5} = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62\).
4.2.1 De termes infinits
Si fem el límit de \(S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}\) quan \(n \rightarrow \infty\) , és a dir, sumem els infinits termes d’una progressió geomètrica:
\(\lim_{n\to\infty} S_{n} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{1 – r^n}{1 – r} = \lim_{n\to\infty}(\frac{a_{1}}{1- r} – \frac{a_{1}*r^n}{1 – r})\):
Si \(|r| > 1, r^n\) creixerà quan creixi \(n\) i \(S_n \rightarrow \infty\).
Si \(-1<|r|< 1, r^n\) anirà decreixent fins arribar a \(0\). En aquest cas, podem per tant eliminar el segon terme i:
\(\mathbf{S_n = \frac{a_{1}}{1 – r}}\).
Exemple:
Si \(a_{1}=2\) i \(r = 1/2\), llavors \(a-n=2, 1, 1/2, 1/4, 1/8,…\).
I el resultat de la suma és: \(S_n = \frac{2}{1 – 1/2} = \frac{2}{1/2} = 4\).
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Per a calcular el producte dels n primers termes \(P_{n} = a_{1}*a_{2}…*a_{n}\) d’una progressió geomètrica farem com abans el càlcul dels productes dels termes equidistants de la successió:
Exemple:
Si \(a_n=1,2,4,8,16,32…\) i volem calcular \(P_{6} = \,1*2*4*8*16*32\):
fent el producte dels termes equidistants de la successió:
\(1*…32 = 2*16 = 4*8\).
És a dir que: \(P_{6}=(a_1*a_6)^{6/2}=\sqrt{(a_1*a_6)^6}\)
Per tant, la fórmula general és:
\(\mathbf{P_{n} = (a_{1}*a_{n})^{n/2} = \sqrt{(a_{1}a_{n})^{n}}}\).
4.2 Suma d’una progressió geomètrica
Volem calcular \(S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n}\) dels termes d’una progressió geomètrica.
La fórmula que ens permet fer aquest càlcul és: \(\mathbf{S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}}\)
Exemple:
Si \(a_{1} = 2, r = 2\) i \(n = 5 \Rightarrow a_n= 2,4,8,16,32\), i per tant:
\(S_{5} = 2\frac{2^5-1}{2-1} = 2*31 = 62\).
Ho podem comprovar fent la suma manualment:
\(S_{5} = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62\).
4.2.1 De termes infinits
Si fem el límit de \(S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}\) quan \(n \rightarrow \infty\) , és a dir, sumem els infinits termes d’una progressió geomètrica:
\(\lim_{n\to\infty} S_{n} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{1 – r^n}{1 – r} = \lim_{n\to\infty}(\frac{a_{1}}{1- r} – \frac{a_{1}*r^n}{1 – r})\):
Si \(|r| > 1, r^n\) creixerà quan creixi \(n\) i \(S_n \rightarrow \infty\).
Si \(-1<|r|< 1, r^n\) anirà decreixent fins arribar a \(0\). En aquest cas, podem per tant eliminar el segon terme i:
\(\mathbf{S_n = \frac{a_{1}}{1 – r}}\).
Exemple:
Si \(a_{1}=2\) i \(r = 1/2\), llavors \(a-n=2, 1, 1/2, 1/4, 1/8,…\).
I el resultat de la suma és: \(S_n = \frac{2}{1 – 1/2} = \frac{2}{1/2} = 4\).
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Cossos de revolució
Instruccions abans de començar
És un cos rodó generat per una figura plana. La figura plana és la generatriu del cos de revolució.
Els cossos de revolució més importants són: el con, l’esfera i el cilindre.
Per a calcular l’àrea i el volum del con, fem:
\(A_{con}=A_{base}+A_{lateral}=\pi^2+\pi*generatriu^2=\pi*r^2+\pi*g^2=\pi(r^2+g^2) \\ V_{con}=\frac{A_{base}*h}{3} \)
L’àrea i el volum de l’esfera és:
\(A_{esfera}=4*\pi*r^2 \\ V_{esfera}=\frac{4}{3}*\pi*r^3\)
Calcularem l’àrea i el volum del cilindre de la següent manera:
\(A_{cilindre}=A_{base}+A_{lateral}=\pi*r^2+perímetre*alçària=\pi*r^2+2\pi*r*h
\\
V_{cilindre}=A_{base}*alçària=\pi*r^2*h
\)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Present Simple
Instruccions abans de començar
Usos
Aquests són alguns dels usos més habituals del Present Simple.
- Veritats generals i descripcions
Water boils at 100º C (L’aigua bull a 100ºC) - Fets habituals
I play football every day (Jugo a futbol cada dia) - Gustos
I like chocolate (M’agrada la xocolata) - Opinions
I think she is beautiful (Penso que és bonica) - Horaris
The train leaves at 8 pm (El tren surt a les vuit)
Forma
| AFIRMATIVA | NEGATIVA | INTERROGATIVA |
|---|---|---|
| I eat | I don’t eat | Do I eat? |
| YOU eat | You don’t eat | Do you eat? |
| He/She/It eats | He/She/Ii doesn’t eat | Does He/She/it eat? |
| We eat | WE don’t eat | Do we eat? |
| You eat | YOU don’t eat | Do you eat? |
| THEY EAT | THEY DON’T EAT | DO THEY EAT? |
Com veieu, a la tercera persona (he/she/it) hem d’afegir una essa (s) al verb.
Però:
- Si el verb acaba en -o, afegim -es (go- goes)
- Si el verb acaba en -x,-sh,-ch,-s, també hi afegim -es (watch-watches)
- Si el verb acaba en -y, canviem la –y per -ies (study- studies)
Exemples:
I eat a lot of fruit
(Menjo molta fruita)
I don’t go to school by bus
(No vaig al col·legi amb autobús)
You do your homework
(Fas els deures)
She gets up at half past seven
(S’aixeca a dos quarts de vuit)
We play football in the park
(Juguem a futbol al parc)
My mother doesn’t watch TV in her room
(La meva mare no mira la televisió a l’habitació)
Does she read the newspaper every day?
(Llegeix el diari cada dia)
Do they play tennis on Saturdays?
(Juguen a tennis els dissabtes?
Do you speak English?
(Parles anglès?)
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
RSS CEEdukat
C/ Espanya, 11
08901- Hospitalet de Llobregat
933 371 980/ 601 285 598
centre.estudis.edukat@ceedukat.es
