Arxiu d'etiquetes polinomis

El màxim comú divisor de polinomis és el divisor més gran que tenen en comú dues expressions algebraiques.

Es calcula multiplicant els factors irreductibles comuns de cada expressió algebraica elevats als exponents més petits. Si \[(x^2-1)\]  i \[(x+1)\]:

\[
(x²-1)=(x+1)*(x-1)
\\
(x+1)=(x+1)
\\
\]

y el \[MCD\] serà \[(x+1)\].

El procediment per a calcular el \[MCD\] d’expressions algebraiques és similar al de fer-ho amb nombres.

(Vegeu l’entrada Mínim Comú Múltiple  per a saber-ne més.)

Exemple:

\[
a)\hspace{7pt} (x^2-9), (x^2+6x+9):
\\[0.5cm]
\hspace{14pt}(x^2-9) \hspace{20pt}=(x+3)(x-3)
\\
\hspace{16pt} (x^2+6x+9)=(x+3)^2
\\[0.5cm]
\hspace{16pt} MCD \, (x^2-9,  x^2+6x+9)=(x+3)
\\[1cm]
b) \hspace{7pt} (x^3-7x^2+2x),  (x^4-3x^3-4x^2):
\\[0.5cm]
\hspace{12pt}(x^3-7x^2+2x)=x*(x-4)*(x-3)
\\
\hspace{14pt}(x^4-3x^3-4x^2)=x^2*(x-4)*(x+1)
\\[0.5cm]
\hspace{15pt} MCD \, (x^3-7x^2+2x,  x^4-3x^3-4x^2)=(x-4)*x
\\[1cm]
c) \hspace{7pt} (x^3+3x^2-4), (x^4-3x^3-3x^2+11x-6), (x^3-2x^2-5x+6):
\\[0.5cm]
\hspace{12pt}(x^3+3x^2-4)=(x-1)*(x+2)^2
\\
\hspace{14pt}(x^4-3x^3-3x^2+11x-6)=(x-3)*(x-1)^2*(x+2)
\\
\hspace{14pt}(x^3-2x^2-5x+6)=(x-3)*(x-1)*(x+2)
\\[0.5cm]
\hspace{15pt} MCD \, (x^3+3x^2-4,x^4-3x^3-3x^2+11x-6,x^3-2x^2-5x+6)=
\\
\hspace{12pt} (x-1)*(x+2)
\]

Per a fer una multiplicació de polinomis multiplicarem tant els coeficients com la part literal de cada monomi que forma el polinomi. A diferència de la suma o resta de polinomis, en aquest cas no és necessari que les parts literals de cada monomi siguin idèntiques.

\[
P(x)=−6x^3+9x^2+10x−1; Q(x)=2x^2+3\\
(6x³+9x²+10x−1)∗(2x^2+3)=\\
(18x^3+27x^2+30x−3)+(12x^5+18x^4+20x^3−2x^2)
\]

Sumem els monomis obtinguts entre si i agrupem els que siguin semblants (mateixa part literal):

\[12x^5+18x^4+38x^3+25x^2+30x−3\].

De la forma clàssica, seria:

\[
\begin{matrix}P(x)=-6x^3+9x^2+10x-1 & Q(x)=2x^2+3 \end{matrix}
\\[1cm]
6x^3+9x^2+10x-1
\\
\hspace{2.5cm} 2x^2+3\\
——————————————\\
18x^3+27x^2+30x-3\\
12x^5+18x^4+20x^3-2x^2\\
——————————————-\\
12x^5+18x^4+38x^3+25x^2+30x-3
\]

Exemple:

\[
a) (x^2+2x-9)*(3x+1)= 3x^3+7x^2-25x-9
\\
b) (-3x^2+5x-9)*(x^2+9x)= -3x^4-22x^3+36x^2-81x
\\
c) (21x^3+20x^2-4x-9)*(2x^2+1)= 42x^5+40x^4+13x^3+2x^2-4x-9
\]

Identitat: igualtat que es compleix sempre, per a qualsevol valor de la indeterminada.

Notable: important.

Les identitats notables són expressions que apareixen moltes vegades en el cálcul matemàtic que fem servir per agilitzar els càlculs:

Binomi al quadrat: \[(x±a)=(x)²±2*(x)*(a)+(a)²\]:

\[
(x+2)²=\\
(x)²+2*x*2+2²=\\
x²+4x+4
\\[1cm]
(2x−3y)²=\\
(2x)²−2*2x*3y+(3y)²=\\
4x²−12xy+9y²
\]

Suma per diferència: \[(x+a)∗(x−a)=(x)²−(a)²\]:

\[(x+3)*(x−3)=(x)²−(3)²=x²−9\].

\[(2x+3y)*(2x−3y)=(2x)²−(3y)²=4x²−9y²\].

S’obtindrien els mateixos resultats si es fes la multiplicació dels binomis dels exemples, però fer-ho així, és més ràpid.

\[
a) \, (3x+6)^2= (3x)^2+2*3x*6+(6)^2=9x^2+36x+36 \\
b) \, (2x-9y)^2=(2x)^2-2*2x*9y+(-9y)^2=4x^2-36xy+81y^2 \\
c) \, (x+9)*(x-9)=(x)^2-(9)^2=x^2-81 \\
d) \, (5x+7)*(5x-7)=(5x)^2-(7)^2=25x^2-49
\]

(Vegeu Multiplicació de polinomis per a saber-me més.)

Per a fer la simplificació de fraccions algebraiques, factoritzarem el numerador i el denominador i simplificarem els factors iguals. La simplificació es pot fer per Ruffini, amb la fórmula de les equacions de segon grau, per identitats notables o extraient factor comú.

\[\frac{x^2+4x+4} { x+2}=\frac{(x+2)^2}{ x+2}=\frac{(x+2)∗(x+2)}{x+2}=x+2\]

Exemple:

\[
\frac{x^2+5x+6}{x+3}=
\\
\frac{(x+3)*(x+2)}{x+3}=x+2
\\[1cm]
\frac{x^3−2x^2-11x+12}{x^4−2x^3−23x^2+24x+144}=
\\
\frac{(x^2+2x-3)*(x-4)}{(x-4)^2*(x-1)*(x+3)}=
\\
\frac{(x-1)*(x+3)*(x-4)}{(x-4)^2*(x-1)*(x+3)^2}=
\\
\frac{(x-1)}{(x-4)*(x+3)}
\\[1cm]
\frac{x^3+4x^2+3x}{(x^3-x)}=
\\
\frac{(x^2+3x)*(x+1)}{x*(x^2-1)}=
\\
\frac{x*(x+3)*(x+1)}{x*(x-1)*(x+1)}=
\\
\frac{(x+3)}{(x-1)}
\]

(Vegeu Factorització de polinomis per a saber-ne més.)

Com en el cas de la suma i resta de fraccions aritmètiques, hem de trobar el \[mcm\] de les fraccions que volem suma o restar i operar-les:

\[f_1(x)= \frac{x−9}{x^2−1}, f_2(x)=\frac {x}{x−1}\]

Calculem el \[mcm\] dels denominadors:

\[f_1(x)= \frac{x−9}{x^2−1}=\frac{x−9}{(x−1)∗(x+1)}\]
\[ f_2(x)=\frac {x}{x−1}=\frac{x}{x-1}\]
\[mcm[f_1(x),f_2(x)]=(x+1)*(x−1)\]

I operem les fraccions:

\[
\frac{(x−9)}{(x^2−1)}+\frac{x}{x−1}=
\\
\frac{(x−9)}{(x^2−1)}+\frac{x*(x+1)}{(x+1)*(x−1)}=
\\
\frac{(x−9)+(x^2+x)}{(x^2−1)}=
\\
\frac{x^2+2x-9}{x^2−1}
\]

Exemple:

\[
\frac{x-2}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=
\\
\frac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}
+
\frac{(x+2)(x+2)}{(x+2)(x-2)}
\\
\frac{(x-2)^2+(x+2)^2}{x^2-4}=
\\
\frac{(x^2-4x+4)+(x^2+4x+4)}{x^2-4}=
\\
\frac{(2x^2+8)}{x^2-4}
\\[1cm]
\frac{3x-2}{x^2-1}+\frac{x+2}{x-1}=
\\
\frac{3x-2}{x^2-1}+\frac{(x+2)(x+1)}{x^2-1}=
\\
\frac{3x-2}{x^2-1}+\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}=
\\
\frac{x^2+6x}{x^2-1}=
\\[1cm]
\frac{x-4}{x^2-4}+\frac{2-11x}{x+1}=
\\
\frac{(x-4)(x+1)}{(x^2-4)(x+1)}+\frac{(2-11x)(x^2-4)}{(x^2-4)(x+1)}=
\\
\frac{(x^2-3x-4)+(-11x^3+2x^2+44x-8)}{(x^2-4)(x+1)}=
\\
\frac{-11x^3+3x^2+41x-12}{x^3+x^2-4x-4}
\]

(Vegeu les entrades suma de polinomis,  factorització de polinomis, i mínim comú múltiple de polinomis.)

Les fraccions algebraiques es multipliquen de la mateixa manera que es multipliquen les aritmètiques: multipliquem els numeradors i els denominadors de totes les fraccions entre si.

\[f_1(x)=\frac{x−9}{x^3-2x}, f_2(x)=\frac{x^2−1}{x+6}\]

\[f_1(x)*f_2(x)=\frac{(x-9)*(x^2-1)}{(x^3-2x)*(x+6)}\].

(Vegeu l’entrada sobre multiplicació de polinomis per saber com es multipliquen dos polinomis.)

Una fracció algebraica és l’expressió algebraica d’un quocient entre dos polinomis \[P(x)\] i \[Q(x)\], tal que \[Q(x)≠0\]:

\[\frac{P(x) }{Q(x)}=\frac{x^2−6x+5x−4}{x^3-9}\], és una fracció algebraica.

El mètode per a operar fraccions algebraiques és similar al d’operar fraccions aritmètiques. Per tant, és necessari saber com descompondre polinomis i trobar el mínim comú múltiple i el màxim comú divisor per tal de sumar i restar les fraccions algebraiques.

(Vegeu les entrades Mínim Comú Múltiple i Màxim Común Divisor de polinomis per a saber-ne més.)

La factorització de polinomis és el procediment de descompondre un polinomi en els seus factors irreductibles. El resultat del producte d’aquest factors és el polinomi original. És l’operació algebraica equivalent a la descomposició en factors primers dels nombres enters.

Per exemple, el polinomi \[x^2+5x+6\] es pot descompondre en \[x−2\] i \[x−3\], perquè \[(x−2)*(x−3)=x^2+5x+6\].

Un polinomi es pot factoritzar de diverses maneres: per Ruffini, per identitats notable, extraient factor comú o trobant les solucions de l’equació de segon grau (en cas que ho sigui). En el cas del polinomi anterior, \[x^2+5x+6\], es podria fer la descomposició de les següents maneres:

Per Ruffini:

(Vegeu la Regla de Ruffini per a saber-ne més.)

\[x=\frac{−b±\sqrt(b2−4ac)}{2a}\]:

\[x^2+5x+6: a=1, b=5, c=6\]

\[x=\frac{−(5)±\sqrt(5)^2 −4.1.6)}{2.1}=\frac{-5±\sqrt(25−24)}{2}=\frac{−5±1}{2}\]
\[x_1=\frac{−5+1}{2}=−2, x_2=\frac{−5−1}{2}=−3\]

Les solucions són \[x_1=−2, x_2=−3\], i els factors corresponents són:
\[(x+2)\] i \[(x+3)\]. Si fem \[(x+2)∗(x+3)\] el resultat és \[x^2+5x+6\].

(Vegeu l’entrada equacions de segon grau per a saber-ne més.)

Per identitats notables:

Les identitats notables principals són:

\[(x±a)^2=(x)^2±2xa+(a)^2\] i \[ (x+a)(x−a)=x^2−a^2\].

En el cas del polinomi \[x^2+4x+4\], la descomposició per identitats notables és \[(x+2)^2:a^2=4⇒a=2; 2xa=4⇒x=4 \div 4=1\].

En el cas del polinomi \[x^2−4\], la descomposició per identitats notables és \[(x+2)(x−2):a^2=4⇒a=2; x^2=1⇒x=1\].

(Vegeu l’entrada identitats notables per a saber-ne més.)

Extraient els factors comuns:

\[2x²−6x=2*x*x−2*3*x=2x*(x−3)\]

\[5x⁴−15x³+25x²=5*x*x*x*x−5*3*x*x*x+5*5*x*x=
\\
5x²(x²−3x+5)\]

(Vegeu l’entrada factor comú d’un polinomi per a saber-ne més.)

Exemple:

\[a) \enspace P(x)=x^3−7x+6
\\
1.\enspace Fent \enspace Ruffini: x=-3,
\\
2. \enspace fent \enspace l’equació \enspace de \enspace segon \enspace grau \enspace que \enspace surt:x=2, \enspace 1.
\\[1cm]
b) \enspace P(x)=x^3+6x^2+9x
\\
1. \enspace Extraient \enspace factor \enspace comú: x=0,
\\
2. \enspace fent \enspace identitats \enspace notables: x=-3,\enspace -3.
\\[1cm]
c) \enspace P(x)=x^4+5x^3+2x^2-20x+24
\\
1. \enspace Fent \enspace Ruffini: x=-2, enspace -3,
\\
2. \enspace fent \enspace identitats \enspace notables: x=+2, \enspace -2.\]

Factor d’un monomi: Cadascuna de les parts que formen un monomi.

Els factors comuns entre els diferents monomis d’una expressió algebraica, són les parts comunes a cada un dels monomis de l’expressió.

Per entendre com es fa per extreure factor comú, primer factoritzem cada coeficient i expandim la part literal de cada monomi. Després, n’extraiem els factors comuns:

\[2x²−6x=\\
2*x*x−2*3*x=\\
2x*(x−3)
\\[1cm]
5x⁴−15x³+25x²=\\
5*x*x*x*x−5*3*x*x*x+5*5*x*x=\\
5x²*(x²−3x+5)
\\[1cm]
x^2+x=x(x+1).
\\[1cm]
3x^2+6x=3x(x+2).
\\[1cm]
4x^4-12x^3+24x^2=4x^2(x^2-3x+6)
\\[1cm]
25x^3y^2+50x^2y^4-100x^5y^6=25x^2y^2(x+2y^2-4x^3y^4)
\]

El procediment per dividir polinomis és semblant al de dividir dues quantitats conegudes (divisió aritmètica). La divisió entre els dos polinomis només serà possible si el grau del polinomi dividend \[D(x)\] és més gran o igual que el grau del polinomi divisor \[d(x)\].

Per fer la divisió, es dividiran els monomis del dividend entre els monomis del divisor de la mateixa manera que ho fem en una divisió amb quantitats conegudes. S’agafaran tants monomis de \[D(x)\] com termes tingui \[d(x)\] i es dividiran entre si de manera que s’anul·li sempre el terme amb el grau més gran i continuarem fent la divisió d’aquesta manera fins que el polinomi residu sigui de grau més petit que el polinomi divisor:

1. Es cerca el terme del quocient que anul·la el terme més a l’esquerra del divisor
2. Multipliquem aquest terme del quocient \[q(x)\] pel dividend \[d(x)\]
3. Fem la resta entre el divisor i el resultat de la multiplicació anterior (2.)
4. Amb el resultat del punt 3., tornem a fer el punt 1. fins que el resultat (del punt 3.) sigui de grau inferior al del dividend.
5. Per a comprovar el resultat, podem fer la prova de la divisió fent \[D(x)= q(x)*d(x)+r(x)\]

Recordeu que s’ha de deixar un espai en blanc o afegir zeros per a cada monomi que falti d’un polinomi incomplet: 

\[3x^5-x^2+6 \rightarrow 3x^5+0x^4+0x^3-x^2+0x+6\].

En el primer exemple, el dividend és \[D(x)= x^2-2x-6\], el divisor és \[d(x)= x+2,\], el quocient és \[q(x)= x-4,\] i el residu és \[r(x)= +2\].

Prova-ho fent aquestes divisions:

\[
3x^2-8x+9:x+6, \enspace q(x)=3x-26, \enspace r(x)= 165
\\
4x^3-3x+5:2x-5, \enspace q(x)=2x^2+5x+11 \enspace r(x)= 60
\\
6x^5-4x+2:x-1, \enspace q(x)=6x^4+6x^3+6x^2+2x+2, \enspace r(x)= 2
\]