Suma i resta de fraccions algebraiques

Com en el cas de la suma i resta de fraccions aritmètiques, hem de trobar el \[mcm\] de les fraccions que volem suma o restar i operar-les:

\[f_1(x)= \frac{x−9}{x^2−1}, f_2(x)=\frac {x}{x−1}\]

Calculem el \[mcm\] dels denominadors:

\[f_1(x)= \frac{x−9}{x^2−1}=\frac{x−9}{(x−1)∗(x+1)}\]
\[ f_2(x)=\frac {x}{x−1}=\frac{x}{x-1}\]
\[mcm[f_1(x),f_2(x)]=(x+1)*(x−1)\]

I operem les fraccions:

\[
\frac{(x−9)}{(x^2−1)}+\frac{x}{x−1}=
\\
\frac{(x−9)}{(x^2−1)}+\frac{x*(x+1)}{(x+1)*(x−1)}=
\\
\frac{(x−9)+(x^2+x)}{(x^2−1)}=
\\
\frac{x^2+2x-9}{x^2−1}
\]

Exemple:

\[
\frac{x-2}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=
\\
\frac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}
+
\frac{(x+2)(x+2)}{(x+2)(x-2)}
\\
\frac{(x-2)^2+(x+2)^2}{x^2-4}=
\\
\frac{(x^2-4x+4)+(x^2+4x+4)}{x^2-4}=
\\
\frac{(2x^2+8)}{x^2-4}
\\[1cm]
\frac{3x-2}{x^2-1}+\frac{x+2}{x-1}=
\\
\frac{3x-2}{x^2-1}+\frac{(x+2)(x+1)}{x^2-1}=
\\
\frac{3x-2}{x^2-1}+\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}=
\\
\frac{x^2+6x}{x^2-1}=
\\[1cm]
\frac{x-4}{x^2-4}+\frac{2-11x}{x+1}=
\\
\frac{(x-4)(x+1)}{(x^2-4)(x+1)}+\frac{(2-11x)(x^2-4)}{(x^2-4)(x+1)}=
\\
\frac{(x^2-3x-4)+(-11x^3+2x^2+44x-8)}{(x^2-4)(x+1)}=
\\
\frac{-11x^3+3x^2+41x-12}{x^3+x^2-4x-4}
\]

(Vegeu les entrades suma de polinomis,  factorització de polinomis, i mínim comú múltiple de polinomis.)