Els angles tenen diferents unitats de mesura. La més coneguda és el grau sexagesimal. En una circumferència divida en graus sexagesimals cada quart de circumferència són 90º i una volta sencera són 360º.
El radià és la unitat d’angle del SI. Un radià és l’angle que té un arc de circumferència igual al radi \(s=r\).
Com que la longitud de qualsevol circumferència és \(L=2\pi*r \Rightarrow \, 2\pi=\frac{L}{r}\).
Això vol dir que la longitud de qualsevol circumferència conté \(2\pi\) vegades el radi.
Cada partició d’un radi de la longitud d’una circumferència és un radià.
Quan mesurem els angles en radians, cada quart de circumferència són \(\frac{\pi}{2}\) radians (escrit \(rad\)). Una volta sencera són \(2\pi \enspace rad\) o simplement \(2\pi\).
Per passar de graus sexagesimals a radians usem el factor de conversió \(360º = 2\pi \, rad\).
Una raó o proporció trigonomètrica és el quocient de la longitud de dos costats d’un triangle rectangle.
Definim les raons trigonomètriques fonamentals o bàsiques per a un angle qualsevol de la circumferència goniomètrica (la circumferència per a mesurar angles) com:
I la taula de relacions trigonomètriques notables és:
\(0º (0 \, rad)\)
\(30º (\frac{\pi}{6} \, rad)\)
\(45º (\frac{\pi}{4} \, rad)\)
\(60º (\frac{\pi}{3} \, rad)\)
\(45º (\frac{\pi}{2} \, rad)\)
\(\\sin \, \alpha\)
\(0\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt2}{2}\)
\(\frac{\sqrt3}{2}\)
\(1\)
\(\\cos \, \alpha\)
\(1\)
\(\frac{\sqrt3}{2}\)
\(\frac{\sqrt2}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(0\)
\(\\tan \, \alpha\)
\(0\)
\(\frac{1}{\sqrt3}\)
\(1\)
\({\sqrt3}\)
\(\infty\)
Reducció d’angles al primer quadrant
Reducció d’angles al primer quadrant
La reducció d’un angle al primer quadrant consisteix en transformar un angle de més de 90º a un altre del primer quadrant que tingui la mateixa obertura.
Un angle més gran de 360º es pot transformar en un angle de la primera volta de la següent manera:
Si \(\alpha= 1 285º\): el quocient de \(1 285 \div 360= 3\) i el residu és \(205º\). Això vol dir que \(1 285º\) equivalen a 3 voltes senceres a la circumferència més 205º addicionals a la quarta volta.
Un cop hem determinat quan val l’angle de la darrera volta incompleta, fem la reducció d’aquest angle al primer quadrant. Observant el gràfic superior, veiem que:
Per a un angle de segon quadrant: \(\theta_{q2}=180º – \theta_{q1}\\\) Per a un angle de tercer quadrant: \(\theta_{q3}= 180º+\theta_{q1}\\\) Per a un angle de quart quadrant: \(\theta_{q4}= 360º – \theta_{q1} \).
Ailant \(\theta_1\), tenim la reducció de l’angle al primer quadrant.
I els signes de les relacions trigonomètriques de cada quadrant són:
\(sin \, \theta_{q1}: +, \, cos \, \theta_{q1}: +, \, tan \, \theta_{q1}: +\) \(sin \, \theta_{q2}: +, \, cos \, \theta_{q2}: -, \, tan \, \theta_{q2}: \, –\) \(sin \, \theta_{q3}: -, \, cos \, \theta_{q3}: -, \, tan \, \theta_{q3}: +\\ sin \, \theta_{q4}: -, \, cos \, \theta_{q4}: +, \, tan \, \theta_{q4}: \, –\)
Resolució de triangles
Semblança de triangles
Dos triangles són semblants quan es compleix que:
1. Els seus angles són iguals: \(\hat{A} = \hat{A’}, \hat{B} = \hat{B’}, \hat{C} = \hat{C’}\), i que 2. Els seus costats són proporcionals: \(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\).
Triangles semblants
Resoldre un triangle consisteix a trobar el valor de tots els seus costats i angles. Els diferents triangles que haurem de resoldre són:
i) Un triangle rectangle, ii) un triangle inscrit en un altre triangle iii) un triangle obtusangle.
Per a resoldre els triangles anteriors farem servir la trigonometria i la semblança de triangles:
i) Un triangle rectangle:
Per a resoldre un triangle rectangle ens calen, o bé dos costats, o bé un costat i un angle. Farem servir les relacions trigonomètriques sinus, cosinus, tangent i el teorema de Pitàgores:
Fem servir el teorema del cosinus si coneixem tres costats o dos costats i l’angle que els separa. També el podem usar per a calcular l’angle que els separa si coneixem dos costats adjacents.
Qualsevol triangle d’angles \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\) i costats \(a, b, c\) compleix que (teorema del cosinus):
Usem el teorema del sinus quan coneixem, o bé dos costats i l’angle oposat d’un dels costats coneguts, o bé dos angles i un costat oposat d’un dels angles coneguts del triangle.
Exemple:
Coneguts un costat i dos angles: \(\hat{A} = 62º, \hat{B} = 47º, c = 9\)
Trobem l’angle que falta sabent que tots tres sumen 180:
\(\hat{C} = 180 – 62 – 47 = 71º\)
Apliquem el teorema del sinus per trobar els altres dos costats:
Usem galetes per oferir una experiència més relevant al recordar les vostres preferències y visites. Polsant ACCEPTAR, consentiu l'ús de TOTES les galetes..
Aquest lloc web utilitza cookies per millorar la vostra experiència mentre navegueu pel lloc web. D’aquestes, les cookies que es classifiquen com a necessàries s’emmagatzemen al vostre navegador, ja que són essencials per al funcionament de les funcionalitats bàsiques del lloc web.
També fem servir cookies de tercers que ens ajuden a analitzar i entendre com utilitzeu aquest lloc web. Aquestes cookies s’emmagatzemaran al vostre navegador només amb el vostre consentiment. Teniu l’opció de desactivar aquestes cookies, però això pot afectar la vostra experiència de navegació.
Les galetes necessàries són absolutament essencials perquè el lloc web funcioni correctament. Aquesta categoria només inclou galetes que garanteixen funcionalitats bàsiques i funcions de seguretat del lloc web. Aquestes galetes no emmagatzemen cap informació personal.
Les galetes que no siguin especialment necessàries perquè el lloc web funcioni i s\'utilitzi específicament per recopilar dades personals de l\'usuari a través d\'analítiques, anuncis, altres continguts incrustats es desmenten com a galetes no necessàries. És obligatori obtenir el consentiment de l\'usuari abans d\'executar aquestes galetes al seu lloc web.
RSS CEEdukat
Quant a l'autor