Arxiu de categories Matemàtiques

Màxim comú divisor

Per a calcular el màxim comú divisor de dos o més nombres, primer farem la descomposició en factors primers de cada nombre. A continuació, agafarem de cada factor primer comú el factor que estigui elevat a l’exponent més petit.

En els exemples següents, mostrem en color vermell els factors primers comuns i en color blau el factors primers no comuns de cada nombre. Adoneu-vos que un factor és comú sols si apareix en la descomposició de tots els nombres:

\[a) \enspace 100 , 375:
\\
\hspace{11pt}100=\color {red} {5^2}* \color {blue} {2^2}
\\
\hspace{14pt}375=\color {blue} 3*\color {red} {5^3}
\\[0.5cm]
\hspace{13pt}MCD( 100,375)=5^2=25
\\[1cm]
b) \enspace 36,25,48:
\\
\hspace{11pt}36=\color {blue}{2^2}* \color {red} {3^2}
\\
\hspace{13pt}135=\color {blue} 5*\color {red} {3^3}
\\
\hspace{13pt}48=\color {blue} {2^4}*\color {red} 3
\\[0.5cm]
\hspace{12pt}MCD(136,25,48 )={3^1}=3
\\[1cm]
c) \enspace 100 , 375, 27:
\\
\hspace{11pt}100=\color {blue} {5^2*2^2}
\\
\hspace{14pt}375=\color {blue} {3*5^3}
\\
\hspace{14pt}27=\color {blue} {3^3}
\\[0.5cm]
\hspace{14pt} MCD( 100,375,27)=1\]

En aquest cas, l’únic factor comú que hi ha és l’u.

(Vegeu les entrades mínim comú múltiple i descomposició factorial per a saber-ne més.)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Mínim comú múltiple

Per a calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres, primer farem la descomposició en factors primers de cada nombre. A continuació, agafarem de cada factor primer el factor que estigui elevat a l’exponent més gran.

En els exemples següents, mostrem en color vermell els factors primers comuns i en color blau el factors primers no comuns de cada nombre. Adoneu-vos que un factor és comú sols si apareix en la descomposició de tots els nombres:

\[a) \enspace 100 , 375:
\\
\hspace{12pt} 100=\color {red} 5^2* \color{blue} 2^2
\\
\hspace{15pt} 375=\color {blue} 3*\color {red} 5^3
\\[0.5cm]
\hspace{12pt} mcm( 100,375)=2^2*3*5^3=1 500
\\[1cm]
b)  \enspace 36,25,48:
\\
\hspace{10pt}36=\color{blue} 2^2* \color {red} 3^2
\\
\hspace{13pt}135=\color{blue} 5*\color {red} 3^3
\\
\hspace{13pt}48=\color{blue} 2^4*\color {red} 3
\\[0.5cm]
\hspace{13pt}mcm(136,25,48 )=2^4*3^3*5=2 160\]

(Vegeu les entrades màxim comú divisor i descomposició factorial per a saber-ne més.)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Calculadores simbòliques

Una calculadora simbòlica és una calculadora que permet fer càlculs amb símbols i no pas només numèrics. 

A internet n’hi ha moltes, però les que relacionem aquí són les que considerem que us poden ajudar més en els vostres estudis:

Mathway:  Calculadora d’àlgebra, de  càlcul i de química. També dibuixa gràfics de funcions.

CalcMe: Calculadora simbòlica de WIRIS.

Geogebra: Calculadora gràfica. Té una col·lecció d’aplicacions matemàtiques construïdes que es poden usar i descarregar. 

WolframAlpha: De fet és molt més que una calculadora simbòlica, és una base de dades de coneixements per a consultar-hi qualsevol cosa de qualsevol matèria. 

MatrixCalc: És una calculadora de matrius i de sistemes d’equacions lineals. Fa qualsevol operació amb matrius.

Grau d’un polinomi

Grau d’un polinomi: és l’exponent més gran de la variable del polinomi. En el polinomi anterior, \[x^2−6x+5=(x−1)∗(x−5)\], el grau és \[2\].

Exercicis resolts

Quin és el grau d’aquest polinomis?

\[
a) \enspace 6x+5x^2-7x^5+9 \quad Solució:5 \\
b) \enspace (x+6)^2*(x+7) \hspace{18pt} Solució:3 \\
c) \enspace {x^2+4x} \hspace{59pt} Solució: 2
\]

En l’exercici b), el grau de \[(x+6)^2\] és \[2\] i quan es multiplica per \[(x+7)\] el grau és \[3\].

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Polinomi irreductible

Un polinomi és irreductible quan no és pot descompondre en factors.

\[x^2−6x+5=(x−1)∗(x−5)\]. \[x−1\] i \[x−5\] són els factors d’aquest polinomi

però, \[x^2-4x-4\] o  \[x^2-1\] no es poden descompondre en factors. Són polinomis irreductibles.

(Vegeu factorització de polinomis per a saber-ne més.)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Polinomis semblants

Els polinomis semblants tenen la mateixa part literal i alguns dels coeficients diferents.

\[P(x)=9x^4−5x^3+6x^2+7x−9\] i  \[Q(x)=8x^4−5x^3+6x^2+7x−9\] són dos polinomis semblants.

(Vegeu també l’entrada monomis semblants.)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Polinomis iguals

Polinomis iguals: són els que tenen tots els seus termes iguals. \[P(x)= 8x^4−5x^3+6x^2+7x−9\] i \[Q(x)=8x^4−5x^3+6x^2+7x−9\] són dos polinomis iguals.

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Mínim comú múltiple de polinomis

És el múltiple més petit que tenen en comú dos polinomis.

És calcula multiplicant tots els factors irreductibles (dels polinomis) comuns i no comuns elevats a l’exponent més gran. Si \[P(x)=(x3+x2−x−1)\]  i \[Q(x)=(x+1)\]:

\[
(x3+x2−x−1)=(x+1)^2∗(x−1)
\\
(x+1)=(x+1)\\\]

y el \[mcm\] serà \[(x+1)^2*(x-1)\].

El procediment per a calcular el mcm d’expressions algebraiques és similar al de fer-ho amb nombres.

Exemple:

\[\\[0.5cm]
\hspace{14pt}(x^2-9) \hspace{20pt}=(x+3)(x-3)
\\
\hspace{16pt} (x^2+6x+9)=(x+3)^2
\\[0.5cm]
\hspace{16pt} mcm(x^2-9, \hspace{12pt} x^2+6x+9)=(x+3)^2*(x-3)
\\[1cm]
b) \hspace{7pt} (x^3-7x^2+2x), \hspace{12pt} (x^4-3x^3-4x^2):
\\[0.5cm]
\hspace{12pt}(x^3-7x^2+2x)=x*(x-4)(x-3)
\\
\hspace{14pt}(x^4-3x^3-4x^2)=x^2*(x-4)(x+1)
\\[0.5cm]
\hspace{15pt} mcm(x^3-7x^2+2x, \hspace{12pt} x^4-3x^3-4x^2)=x^2*(x-4)(x+1)(x-3)
\\[1cm]
c) \hspace{7pt} (x^3+3x^2-4), \hspace{12pt} (x^4-3x^3-3x^2+11x-6), \hspace{12pt} (x^3-2x^2-5x+6):
\\[0.5cm]
\hspace{12pt}(x^3+3x^2-4)=(x-1)*(x+2)^2
\\
\hspace{14pt}(x^4-3x^3-3x^2+11x-6)=(x-3)*(x-1)^2*(x+2)
\\
\hspace{14pt}(x^3-2x^2-5x+6)=(x-3)*(x-1)*(x+2)
\\[0.5cm]
\hspace{15pt} mcm(x^3+3x^2-4,x^4-3x^3-3x^2+11x-6,x^3-2x^2-5x+6)=
\\
\hspace{12pt} (x-1)^2*(x+2)^2*(x-3)\][/latex]

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Què és un polinomi?

Què és un polinomi?. Un polinomi és una expressió algebraica del tipus \[a_1.x^n+a_2.x^{(n-1)}+a_3.x^{(n-2)}+ … + a_n.x^0 \]. Per exemple, \[7x^4+6x^3-2x^2+x-3\].

Un polinomi complet és un polinomi que té tots els termes.

El polinomi anterior és un polinomi complet, però \[7x^4+6-2x^2+x\] és un polinomi incomplet.

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

Part literal d’un monomi

És la part variable que és multiplicada pel coeficient del monomi. En el monomi \[6∗x^2y^4\], la part literal és \[x^2y^4\].

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.