Bloc

La descomposició en factors primers és el procediment per a descompondre un nombre compost en els seus factors primers.

Factor: Cadascun dels elements que formen una cosa (en el producte \(2*3=6\), els factors que formen el sis són el dos i el tres).

Nombre primer: És un nombre que solament es pot descompondre en la unitat i en ell mateix. Per exemple: \(5=5*1, 17=17*1, 23=23*1\). \(5, 17\) i \( 23\) són nombres primers perquè sols es poden descompondre en el mateix nombre multiplicat per u.

Nombre compost: És un nombre que es pot descompondre en factors primers. Per exemple, \(12=2²*3, 15=5*3, 75=5²*3, 49=7²\). \(12, 15, 75\) i \(49\) són nombres compostos perquè es poden descompondre en factors primers.

Per a descompondre un nombre compost en els seus nombre o factors primers, hem de conèixer els criteris de divisibilitat per tal de saber per a quin nombre primer és divisible un nombre compost:

\(\enspace 48 \div 2=24
\\
\enspace 24 \div 2=12
\\
\enspace 12 \div 2=6
\\
\enspace 6 \div 2=3
\\
\enspace 3 \div 3=1\) \(\enspace 36 \div  2=18
\\
\enspace 18 \div  2=9
\\
\enspace 9 \div  3=3
\\
\enspace 3 \div  3=1\) \(\enspace 180 \div 2=90
\\
\enspace 90 \div 2=45
\\
\enspace 45 \div 3=15
\\
\enspace 15 \div 5=5
\\
\enspace 5 \div 5=1\)

(Vegeu l’entrada criteris de divisibilitat per a saber-ne més.)

Els criteris de divisibilitat són mètodes per a reconèixer ràpidament per a quin nombre és divisible un nombre compost. Conèixer els criteris de divisibilitat ens ajudarà a agilitzar els càlculs de la descomposició factorial.

Els criteris de divisibilitat més útils són:

* Un nombre compost és divisible per \(2\) si acaba en nombre parell \( (0,2,4,6,8).\)

\(1; 256; 498, 256; 890, 563; 974\) són nombre divisibles per \(2\), però \(126; 597, 32; 685, 23; 695; 281\) no són divisibles per \(2\).

* Un nombre compost és divisible per \(3\) si la suma de les seves xifres és un nombre divisible per \(3\).

\(526→5+2+6→13→1+3→4\). Quatre no és divisible per \(3\), per tant, \(526\) tampoc ho és (comprova-ho amb la calculadora).

\(17; 568 → 1+7+5+6+8 → 27→2+7→9\). Nou es divisible per \(3\), per tant, \(17; 568\) també ho és (comprova-ho amb la calculadora).

* Un nombre és divisible per \(5\) si acaba en zero o en cinc \((0,5,10,15,20,25…)\).

Per a calcular el màxim comú divisor de dos o més nombres, primer farem la descomposició en factors primers de cada nombre. A continuació, agafarem de cada factor primer comú el factor que estigui elevat a l’exponent més petit.

En els exemples següents, mostrem en color vermell els factors primers comuns i en color blau el factors primers no comuns de cada nombre. Adoneu-vos que un factor és comú sols si apareix en la descomposició de tots els nombres:

\(a) \enspace 100 , 375:
\\
\hspace{11pt}100=\color {red} {5^2}* \color {blue} {2^2}
\\
\hspace{14pt}375=\color {blue} 3*\color {red} {5^3}
\\[0.5cm]
\hspace{13pt}MCD( 100,375)=5^2=25
\\[1cm]
b) \enspace 36,25,48:
\\
\hspace{11pt}36=\color {blue}{2^2}* \color {red} {3^2}
\\
\hspace{13pt}135=\color {blue} 5*\color {red} {3^3}
\\
\hspace{13pt}48=\color {blue} {2^4}*\color {red} 3
\\[0.5cm]
\hspace{12pt}MCD(136,25,48 )={3^1}=3
\\[1cm]
c) \enspace 100 , 375, 27:
\\
\hspace{11pt}100=\color {blue} {5^2*2^2}
\\
\hspace{14pt}375=\color {blue} {3*5^3}
\\
\hspace{14pt}27=\color {blue} {3^3}
\\[0.5cm]
\hspace{14pt} MCD( 100,375,27)=1\)

En aquest cas, l’únic factor comú que hi ha és l’u.

(Vegeu les entrades mínim comú múltiple i descomposició factorial per a saber-ne més.)

Per a calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres, primer farem la descomposició en factors primers de cada nombre. A continuació, agafarem de cada factor primer el factor que estigui elevat a l’exponent més gran.

En els exemples següents, mostrem en color vermell els factors primers comuns i en color blau el factors primers no comuns de cada nombre. Adoneu-vos que un factor és comú sols si apareix en la descomposició de tots els nombres:

\(a) \enspace 100 , 375:
\\
\hspace{12pt} 100=\color {red} 5^2* \color{blue} 2^2
\\
\hspace{15pt} 375=\color {blue} 3*\color {red} 5^3
\\[0.5cm]
\hspace{12pt} mcm( 100,375)=2^2*3*5^3=1 500
\\[1cm]
b)  \enspace 36,25,48:
\\
\hspace{10pt}36=\color{blue} 2^2* \color {red} 3^2
\\
\hspace{13pt}135=\color{blue} 5*\color {red} 3^3
\\
\hspace{13pt}48=\color{blue} 2^4*\color {red} 3
\\[0.5cm]
\hspace{13pt}mcm(136,25,48 )=2^4*3^3*5=2 160\)

(Vegeu les entrades màxim comú divisor i descomposició factorial per a saber-ne més.)