Bloc

Grau d’un polinomi: és l’exponent més gran de la variable del polinomi. En el polinomi anterior, \(x^2−6x+5=(x−1)∗(x−5)\), el grau és \(2\).

Exercicis resolts

Quin és el grau d’aquest polinomis?

\(
a) \enspace 6x+5x^2-7x^5+9 \quad Solució:5 \\
b) \enspace (x+6)^2*(x+7) \hspace{18pt} Solució:3 \\
c) \enspace {x^2+4x} \hspace{59pt} Solució: 2
\)

En l’exercici b), el grau de \((x+6)^2\) és \(2\) i quan es multiplica per \((x+7)\) el grau és \(3\).

Un polinomi és irreductible quan no és pot descompondre en factors.

\(x^2−6x+5=(x−1)∗(x−5)\). \(x−1\) i \(x−5\) són els factors d’aquest polinomi

però, \(x^2-4x-4\) o  \(x^2-1\) no es poden descompondre en factors. Són polinomis irreductibles.

(Vegeu factorització de polinomis per a saber-ne més.)

Els polinomis semblants tenen la mateixa part literal i alguns dels coeficients diferents.

\(P(x)=9x^4−5x^3+6x^2+7x−9\) i  \(Q(x)=8x^4−5x^3+6x^2+7x−9\) són dos polinomis semblants.

(Vegeu també l’entrada monomis semblants.)

Polinomis iguals: són els que tenen tots els seus termes iguals. \(P(x)= 8x^4−5x^3+6x^2+7x−9\) i \(Q(x)=8x^4−5x^3+6x^2+7x−9\) són dos polinomis iguals.

És el múltiple més petit que tenen en comú dos polinomis.

És calcula multiplicant tots els factors irreductibles (dels polinomis) comuns i no comuns elevats a l’exponent més gran. Si \(P(x)=(x3+x2−x−1)\)  i \(Q(x)=(x+1)\):

y el \(mcm\) serà \((x+1)^2*(x-1)\).

El procediment per a calcular el mcm d’expressions algebraiques és similar al de fer-ho amb nombres.

Exemple:

\(\\[0.5cm]
\hspace{14pt}(x^2-9) \hspace{20pt}=(x+3)(x-3)
\\
\hspace{16pt} (x^2+6x+9)=(x+3)^2
\\[0.5cm]
\hspace{16pt} mcm(x^2-9, \hspace{12pt} x^2+6x+9)=(x+3)^2*(x-3)
\\[1cm]
b) \hspace{7pt} (x^3-7x^2+2x), \hspace{12pt} (x^4-3x^3-4x^2):
\\[0.5cm]
\hspace{12pt}(x^3-7x^2+2x)=x*(x-4)(x-3)
\\
\hspace{14pt}(x^4-3x^3-4x^2)=x^2*(x-4)(x+1)
\\[0.5cm]
\hspace{15pt} mcm(x^3-7x^2+2x, \hspace{12pt} x^4-3x^3-4x^2)=x^2*(x-4)(x+1)(x-3)
\\[1cm]
c) \hspace{7pt} (x^3+3x^2-4), \hspace{12pt} (x^4-3x^3-3x^2+11x-6), \hspace{12pt} (x^3-2x^2-5x+6):
\\[0.5cm]
\hspace{12pt}(x^3+3x^2-4)=(x-1)*(x+2)^2
\\
\hspace{14pt}(x^4-3x^3-3x^2+11x-6)=(x-3)*(x-1)^2*(x+2)
\\
\hspace{14pt}(x^3-2x^2-5x+6)=(x-3)*(x-1)*(x+2)
\\[0.5cm]
\hspace{15pt} mcm(x^3+3x^2-4,x^4-3x^3-3x^2+11x-6,x^3-2x^2-5x+6)=
\\
\hspace{12pt} (x-1)^2*(x+2)^2*(x-3)\)[/latex]

Què és un polinomi?. Un polinomi és una expressió algebraica del tipus \(a_1.x^n+a_2.x^{(n-1)}+a_3.x^{(n-2)}+ … + a_n.x^0 \). Per exemple, \(7x^4+6x^3-2x^2+x-3\).

Un polinomi complet és un polinomi que té tots els termes.

El polinomi anterior és un polinomi complet, però \(7x^4+6-2x^2+x\) és un polinomi incomplet.

És la part variable que és multiplicada pel coeficient del monomi. En el monomi \(6∗x^2y^4\), la part literal és \(x^2y^4\).

La regla de Ruffini o divisió sintètica és una forma ràpida de fer una divisió entre un polinomi \(P(x)\)i un binomi lineal -de la forma \(x−a\).

Per fer una divisió per Ruffini, agafarem només els coeficients del polinomi i els dividirem pel terme independent del binomi canviat de signe, recordant de fer zeros els termes nuls del polinomi.

Si volem fer la divisió per Ruffini \(x^3-8x+4 \div x-2\):

El polinomi resultant de la divisió \(q(x)\) sempre serà un grau més petit que el del polinomi dividend \(D(x)\). En l’exemple anterior, \(q(x)=1x^2+2x-4\) i el residu és \(−4\).

La regla de Ruffini també ens permet factoritzar un polinomi i trobar-ne les arrels. Per fer-ho, haurem de trobar un nombre enter que faci que el residu de la divisió sigui zero. Aquest nombre enter, ha de ser un divisor del darrer terme del polinomi.

(Vegeu el Teorema del Residu per a saber-ne més.)

Per exemple, en el polinomi \(D(x)=x2+5x+6\), els possibles divisors enters seran els divisors del sis, \(±1,2,3,6\).

Exemple: