Resolució d’equacions d’una incògnita

Instruccions abans de començar

Una equació és una igualtat entre dues expressions matemàtiques que conté quantitats conegudes (coeficients) i quantitats desconegudes (incògnites). Resoldre una equació és trobar totes les solucions de l’equació.

Les equacions es poden classificar segons el nombre de solucions i el grau de l’equació. Si tenim més d’una equació, diem que és un sistema d’equacions.

1. De primer grau

Per a resoldre una equació de primer grau, farem el següents:

1. Eliminarem els denominadors: per a eliminar els denominadors usarem el mètode del mínim comú múltiple.
2. Resoldrem els parèntesis: aplicant la propietat distributiva \(a*(b+c)=a*b+a*c\).
3. Passarem a una banda de la igualtat els monomis sense \(x\) i a l’altra els termes independents. Recordeu que fem l’operació inversa al terme que volem moure per a passar-lo a l’altra banda de l’equació.
4. Reagrupem els monomis després de cada moviment.
5. Finalment, aïllem la \(x\) passant a dividir el coeficient que la multiplica:

\(2x+9=6+5x\)

En aquest cas no hi ha ni denominadors ni parèntesis, anem doncs al tercer pas. Posem les \(x\) a l’esquerra de la igualtat i el termes independents a la dreta.

Movem el \(9\) de l’esquerra a la dreta restant-lo a cada banda de la igualtat:

\(2x+9-9=6+5x-9\)

Agrupem els monomis (termes) semblants: 

\(2x=5x-3\)

Ara canviem de banda el \(5x\) restant-lo a cada costat de l’equació:

\(2x-5x=5x-5x-3\)

Tornem a regrupar termes:

\(-3x=-3\)

I aïllem la \(x\) passant a divdir el coeficient que la multiplica:

\(x=\frac{-3}{-3}=1\).

Un altre exemple amb denominadors i parèntesis:

\(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}=\frac{5x+35}{2}\)

Multipliquem a cada banda pel mínim comú múltiple:

\(6*[(2*(2x+5)+\frac{x+2}{3}-\frac{5*(x-3)}{2}]=6*(\frac{5x+35}{2})\)

Eliminem els denominadors:

\(12*(2x+5)+2*(x+2)-15*(x-3)=3*(5x+35)\)

Reagrupem els monomis semblants:

\((24x+60)+(2x+4)-(15x-45)=(15x+105)\)

Movem les \(x\) a l’esquerre de la igualtat i els termes independents a la dreta:

\(24x+2x-15x-15x=105-60-4-45\)

I aïllem la \(x\):

\(
-4x=-4
\\
x=\frac{-4}{-4}=1
\)

2. De segon grau

2.1 Completa

Per a resoldre una equació de segon grau completa (amb tots els termes,  \(ax^2+bx+c=0\))  usarem la següent fórmula:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c}}{2*a}\), per exemple

\(
x^2+5x+6=0 \enspace a=1,\enspace b=5, \enspace c=6:
\\
x=\frac{-5\pm \sqrt{(5)^2-4*1*6}}{2*1}=
\\
\frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2-24}}{2}=
\\
\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{-5\pm 1}{2}
\\
x_1=\frac{-4}{2}=-2
\\
x_2=\frac{-6}{2}=-3
\)

2.2 Incompleta (b=0)

\(
ax^2+c=0
\\
x=\pm \sqrt{\frac {-c}{a}}
\)

Exemple:​

\(4 x^2-36=0
\\
x=\pm \sqrt{\frac{-(-36)}{4}}
\\
x=\pm 3
\)

2.3 Incompleta (c=0)

\(ax^2+bx=0
x(ax+b)=0
\\
x_1=0
\\
ax_2+b=0
\\
x_2=-\frac{b}{a}
\)

Exemple:

\(
3x^2+6x=0
\\
x(3x+6)=0
\\
x_1=0
\\
x_2=-\frac{6}{3}=-2
\)

3. Calcular el nombre de solucions

Per a determinar el nombre de solucions d’una equació de segon grau sense resoldre-la, en calcularem el discriminant: \(\Delta=b^2-4*a*c.\)

3.1 Dues solucions

\(
\Delta>0
\\
x^2+5x+6=0
\\
\Delta=5^2-4*1*6>0 \enspace (x_1= -2,x_2=-3)
\)

3.2 Una solució doble

\(
\Delta=0
\\
x^2+4x+4=0
\\
\Delta=4^2-4*1*4=0 \enspace (x_1=+2,x_2=+2)
\)

3.3 Cap solució

\(
\Delta<0
\\
x^2+5x+9=0
\\
\Delta=5^2-4*1*9<0
\)

4. Biquadrades

Les equacions biquadrades (\(ax^{2n}+bx^n+c=0\)) es resolen fent un canvi de variable (\(x^n=t\))  que les transforma en una equació de segon grau:

\(
a*x^{2n}+b*x^n+c=0
\\
(x^n=t)
\\
a*t^2+b*t+c=0\)

Exemple:

\(
x^4-5 \color {red}{x^2}+4=0 \enspace (\color {red}{x^2=t})
\\
t^2-5t+4=0
\\
t=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4*1*4}}{2*1}
\\
t=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2}
\\
t_1=4
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{4}= \pm 2
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1
\)

Un altre exemple: \(x^6-9x^3+8=0.\)

Fixeu-vos que això també és una equació biquadrada, perquè l’exponent del primer monomi és el doble de l’exponent del segon monomi i el tercer és el terme independent. 

La resolem de la mateixa manera:

\(
x^6-9 \color{red}{x^3}+8=0 \enspace (\color{red}{x^3=t})
\\
t^2-9t+8=0
\\
t=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2-4*1*8}}{2*1}
\\
t=\frac{9 \pm 7}{2}
\\
t_1=8
\\
t_2=1
\\
x_1=\sqrt{t_1}=\pm \sqrt{8}= \pm 2 \sqrt{2}
\\
x_2=\sqrt{t_2}=\pm \sqrt{1}=\pm 1
\)

Si algun dels resultats de la \(t\) és negatiu, no es podrà trobar la  \(x\) corresponent.

5. Irracionals

Són equacions en les quals la incògnita és sota una arrel, per exemple, \(\sqrt{x+1}=9\). Per simplificació, sols analitzarem la resolució d’equacions irracionals amb arrels quadrades.

5.1 Amb una arrel

Per a solucionar una equació irracional:

1. Posarem el terme amb arrel a un costat de la igualtat i la resta de termes a l’altra,
2. Elevarem cada terme al quadrat per tal d’eliminar l’arrel, i
3. Resoldrem l’equació que resulti de fer els passos anteriors:

\(
\sqrt{2x-6}+2=4
\\
\sqrt{2x-6}=4-2
\\
\sqrt{2x-6}=2
\\
(\sqrt{2x-6})^2=2^2
\\
2x-6=4
\\
2x=4+6
\\
2x=10
\\
x=\frac{10}{2}=5
\)

5.2 Amb dues arrels

És el mateix procediment de resolució, però quan hi ha dues arrels, el càlcul sol ser més fàcil posant una arrel a cada banda de la igualtat. Si hi ha dues arrels, haurem de repetir els passos \(1\) i \(2\) dues vegades per a eliminar-les totes:

\(
\sqrt{2x-3}+\sqrt{x+7}=4
\\
\sqrt{2x-3}=4-\sqrt{x+7}
\\
\sqrt{2x-3})^2=(4-\sqrt{x+7})^2
\\
2x-3=16-2*4*\sqrt{x+7}+(\sqrt{x+7})^2
\)

Ara que sols queda una arrel, continuarem el procés com en el cas anterior:

\(
2x-3=16-8\sqrt{x+7}+(x+7)
\\
2x-3-16-(x+7)=-8\sqrt{x+7}
\\
x-26=-8\sqrt{x+7}
\\
(x-26)^2=(-8\sqrt{x+7})^2
\\
x^2-52x+676=64(x+7)
\\
x^2-116x+228=0
\\
x_1=114
\\
x_2=2
\)