Arxiu de categories ESO

La factorització de polinomis és el procediment de descompondre un polinomi en els seus factors irreductibles. El resultat del producte d’aquest factors és el polinomi original. És l’operació algebraica equivalent a la descomposició en factors primers dels nombres enters.

Per exemple, el polinomi \(x^2+5x+6\) es pot descompondre en \(x−2\) i \(x−3\), perquè \((x−2)*(x−3)=x^2+5x+6\).

Un polinomi es pot factoritzar de diverses maneres: per Ruffini, per identitats notable, extraient factor comú o trobant les solucions de l’equació de segon grau (en cas que ho sigui). En el cas del polinomi anterior, \(x^2+5x+6\), es podria fer la descomposició de les següents maneres:

Per Ruffini:

(Vegeu la Regla de Ruffini per a saber-ne més.)

\(x=\frac{−b±\sqrt(b2−4ac)}{2a}\):

\(x^2+5x+6: a=1, b=5, c=6\)

\(x=\frac{−(5)±\sqrt(5)^2 −4.1.6)}{2.1}=\frac{-5±\sqrt(25−24)}{2}=\frac{−5±1}{2}\)
\(x_1=\frac{−5+1}{2}=−2, x_2=\frac{−5−1}{2}=−3\)

Les solucions són \(x_1=−2, x_2=−3\), i els factors corresponents són:
\((x+2)\) i \((x+3)\). Si fem \((x+2)∗(x+3)\) el resultat és \(x^2+5x+6\).

(Vegeu l’entrada equacions de segon grau per a saber-ne més.)

Per identitats notables:

Les identitats notables principals són:

\((x±a)^2=(x)^2±2xa+(a)^2\) i \( (x+a)(x−a)=x^2−a^2\).

En el cas del polinomi \(x^2+4x+4\), la descomposició per identitats notables és \((x+2)^2:a^2=4⇒a=2; 2xa=4⇒x=4 \div 4=1\).

En el cas del polinomi \(x^2−4\), la descomposició per identitats notables és \((x+2)(x−2):a^2=4⇒a=2; x^2=1⇒x=1\).

(Vegeu l’entrada identitats notables per a saber-ne més.)

Extraient els factors comuns:

\(2x²−6x=2*x*x−2*3*x=2x*(x−3)\)

\(5x⁴−15x³+25x²=5*x*x*x*x−5*3*x*x*x+5*5*x*x=
\\
5x²(x²−3x+5)\)

(Vegeu l’entrada factor comú d’un polinomi per a saber-ne més.)

Exemple:

\(a) \enspace P(x)=x^3−7x+6
\\
1.\enspace Fent \enspace Ruffini: x=-3,
\\
2. \enspace fent \enspace l’equació \enspace de \enspace segon \enspace grau \enspace que \enspace surt:x=2, \enspace 1.
\\[1cm]
b) \enspace P(x)=x^3+6x^2+9x
\\
1. \enspace Extraient \enspace factor \enspace comú: x=0,
\\
2. \enspace fent \enspace identitats \enspace notables: x=-3,\enspace -3.
\\[1cm]
c) \enspace P(x)=x^4+5x^3+2x^2-20x+24
\\
1. \enspace Fent \enspace Ruffini: x=-2, enspace -3,
\\
2. \enspace fent \enspace identitats \enspace notables: x=+2, \enspace -2.\)

Factor d’un monomi: Cadascuna de les parts que formen un monomi.

Els factors comuns entre els diferents monomis d’una expressió algebraica, són les parts comunes a cada un dels monomis de l’expressió.

Per entendre com es fa per extreure factor comú, primer factoritzem cada coeficient i expandim la part literal de cada monomi. Després, n’extraiem els factors comuns:

\(2x²−6x=\\
2*x*x−2*3*x=\\
2x*(x−3)
\\[1cm]
5x⁴−15x³+25x²=\\
5*x*x*x*x−5*3*x*x*x+5*5*x*x=\\
5x²*(x²−3x+5)
\\[1cm]
x^2+x=x(x+1).
\\[1cm]
3x^2+6x=3x(x+2).
\\[1cm]
4x^4-12x^3+24x^2=4x^2(x^2-3x+6)
\\[1cm]
25x^3y^2+50x^2y^4-100x^5y^6=25x^2y^2(x+2y^2-4x^3y^4)
\)

El procediment per dividir polinomis és semblant al de dividir dues quantitats conegudes (divisió aritmètica). La divisió entre els dos polinomis només serà possible si el grau del polinomi dividend \(D(x)\) és més gran o igual que el grau del polinomi divisor \(d(x)\).

Per fer la divisió, es dividiran els monomis del dividend entre els monomis del divisor de la mateixa manera que ho fem en una divisió amb quantitats conegudes. S’agafaran tants monomis de \(D(x)\) com termes tingui \(d(x)\) i es dividiran entre si de manera que s’anul·li sempre el terme amb el grau més gran i continuarem fent la divisió d’aquesta manera fins que el polinomi residu sigui de grau més petit que el polinomi divisor:

1. Es cerca el terme del quocient que anul·la el terme més a l’esquerra del divisor
2. Multipliquem aquest terme del quocient \(q(x)\) pel dividend \(d(x)\)
3. Fem la resta entre el divisor i el resultat de la multiplicació anterior (2.)
4. Amb el resultat del punt 3., tornem a fer el punt 1. fins que el resultat (del punt 3.) sigui de grau inferior al del dividend.
5. Per a comprovar el resultat, podem fer la prova de la divisió fent \(D(x)= q(x)*d(x)+r(x)\)

Recordeu que s’ha de deixar un espai en blanc o afegir zeros per a cada monomi que falti d’un polinomi incomplet: 

\(3x^5-x^2+6 \rightarrow 3x^5+0x^4+0x^3-x^2+0x+6\).

En el primer exemple, el dividend és \(D(x)= x^2-2x-6\), el divisor és \(d(x)= x+2,\), el quocient és \(q(x)= x-4,\) i el residu és \(r(x)= +2\).

Prova-ho fent aquestes divisions:

\(
3x^2-8x+9:x+6, \enspace q(x)=3x-26, \enspace r(x)= 165
\\
4x^3-3x+5:2x-5, \enspace q(x)=2x^2+5x+11 \enspace r(x)= 60
\\
6x^5-4x+2:x-1, \enspace q(x)=6x^4+6x^3+6x^2+2x+2, \enspace r(x)= 2
\)

Un monomi és una expressió algebraica formada per la multiplicació de la part literal (les variables indeterminades) i el coeficient (valor constant).

Per a sumar (o restar) monomis se sumaran (o restaran) els coeficients dels monomis semblants.

Dos monomis són semblants si els seus termes tenen la mateixa part literal i alguns dels coeficients diferents: \(6x^5, -2x^5\) són monomis semblants.

\(−5x^2 y^3\): \(−5\) és el coeficient del monomi;
\(x^2 y^3\): és la part literal del monomi.

\(−5x^2 y^3+2x^3 y^2\): no es poden sumar, perquè la part literal de cada monomi és diferent.
\(−5x^2 y^3+2x^2 y^3=−3x^2 y^3\) : sí que es pot sumar, les parts literals de cada monomi són idèntiques.

(Vegeu l’entrada suma i resta de polinomis per a saber-ne més.)

Per a multiplicar i dividir monomis, multiplicarem (o dividirem) els coeficients i les parts literals entre sí. En aquest cas, no cal que les parts literals siguin idèntiques:

\(−6x^2 y^3 div 2xy=−3xy^2\)

\(−6x^2 y^3*2xy=−12x^3 y^4\).

(Vegeu les entrades multiplicació de polinomis i divisió de polinomis per a saber-ne més.)

És el la part constant que multiplica a la part literal del monomi. En el monomi \(6*x^2\), el coeficient és \(6\).

Per a sumar o restar polinomis, primer ordenarem el polinomi (polinomi ordenat) i després sumarem o restarem els coeficients dels monomis semblants entre sí.

Si a un polinomi li manca algun dels seus termes (polinomi incomplet), deixarem un espai buit o col·locarem un zero en la posició corresponent del polinomi ordenat.

Per sumar polinomis sumem els coeficients, i per restar-los, els restem:

\(
P(x):+8x^4+2x^3+9x-6 \\
Q(x):-6x^4+9x^3+3x^2-4
\\[1cm]
\enspace P(x):+8x^4+2x^3+0x^2+9x-6
\\+ \\
\hspace{0.2cm} Q(x):-6x^4+9x^3+3x^2+0x-4
\\
—————————————- \\
\hspace{2cm}2x^4+11x^3+3x^2+9x-10
\\[1cm]
\enspace P(x):+8x^4+2x^3+0x^2+9x-6 \\
\\ – \\
\hspace{0.2cm} Q(x):-6x^4+9x^3+3x^2+0x-4
\\
—————————————- \\
\hspace{1.8cm}14x^4-7x^3-3x^2+9x-2
\)

Una altra manera de sumar/restar polinomis és agrupar els monomis semblants (amb la mateixa part literal) i després fer la suma/resta dels coeficients:

\(
x^4[8+(-6)]+ \\
x^2(2+9)+ \\
x^2(0+3)+ \\
x(9+0)+ \\
[(-6+(-4)]= \\
2x^4+11x^3+3x^2+9x-10
\)

(Vegeu també multiplicació i divisió de polinomis per a saber-ne més.)

Són els valors de la (variable) indeterminada que anul·len el polinomi. Els valors que anul·len la indeterminada \(x\) del polinomi \(P(x):x^2-6x+5 \) són \(x=1,5\):

\(P(x=1)=1^2-6*1+5=0\)
\(P(x=5)=5^2-6*5+5=0\)

Es poden determinar fent la factorització del polinomi. 

(Vegeu les entrades factorització de polinomis i teorema del residu per a saber-ne més.)