Altres mètodes de resolució d’equacions

Porceedukat

Altres mètodes de resolució d’equacions

Equacions logarítmiques:

Són equacions que la incògnita és a l’argument d’un o més logaritmes \(2*log(x+6)\).

El logaritme és la funció inversa de les funcions exponencials (la inversa de les funcions potencials és la radicació): \(b^{exp}=n\) (potència), \( log_b(n)=exp\): \(2^3=8, \, log_2(8)=3\). El logaritme d’un nombre és l’exponent al qual hem d’elevar la base per obtenir el nombre. En aquest exemple el logaritme de vuit en base dos és tres. 

Els logaritmes foren inventats per  John Napier a principis del segle XVII. La utilitat dels logaritmes és simplificar el càlcul quan hem d’operar amb nombres molt grans o molt petits.

Els logaritmes més comuns són els decimals o de base 10  ( \(log_{10}\)  o \(log \)). Els logaritmes naturals o neperians ( \(log_e \) o \(Ln \))  tenen de base el nombre irracional \(e\).

Propietats dels logaritmes

Les propietats dels logaritmes són necessàries per a poder resoldre’n les equacions. Són les següents:

(Forma compacta = Forma desenvolupada)

\(log_b(x*y)= log_b (x) + log_b (y)
\\
log(2*3)=log(2)+log(3)
\\[1cm]
log_b (\frac{x}{y})= log_b (x) – log_b (y)
\\
log(2*3)=log(2)-log(3)
\\[1cm]
log_b (x^n)= n*log_b (x)
\\
log (2^3)=3*log(2)
\\[1cm]
log_b (x<=0) \notin \enspace \mathbb{R}
\\
log(0), log(-2) \notin \enspace \mathbb{R}.\)

Resolució d'equacions amb un sol logaritme

La incògnita del logaritme pot ser la base, l’exponent o el nombre, però per a resoldre’l sense calculadora sempre farem l’antilogaritme o potència. El mètode de resolució d’equacions logarítmiques és:

1. Descomponem les bases compostes
2. Apliquem l’antilogaritme
3. Resolem la igualtat
4. Comprovem el resultat.

\(log_2(16)=x
\\
2^x=16
\\
2^x=2^4
\\
x=4
\\[1cm]
log_x(16)=4
\\
x^4=16
\\
x^4=2^4
\\
x=2
\\[1cm]
log_2(x)=4
\\
2^4=x
\\
x^4=2^4
\\
x=16
\\[1cm]
log(3x+1)=4
\\
3x+10=10^4
\\
x=\frac{10^4-10}{3}
\\
x=3 330\)

Amb més d'un logaritme

Si hi ha més d’un logaritme, no es podrà usar el mètode anterior de resoldre l’antilogaritme. En aquest cas, farem servir les propietats dels logaritmes per a transformar l’equació en la forma compacta equivalent:

\(log(x+1)+log(x-3)=log(5x-13)
\\
log[(x+1)*(x-3)]=log(5x-13)
\\
(x+1)*(x-3)=5x-13
\\
x^2-2x-3=5x-13
\\
x^2-7x+10=0
\\
x_1=5
\\
x_2=2
\\[1cm]
log_5(x+2)^4-1=log_5(x+2)+5
\\
log_5(x+2)^4-log_5(x+2)=5+1
\\
4*log_5(x+2)-log_5(x+2)=6
\\
3*log_5(x+2)=6
\\
log_5(x+2)=2
\\
x+2=5^2
\\
x=25-2=23\)

Equacions exponencials

Una equació és exponencial quan la incògnita és a l’exponent. Per a resoldre una equació exponencial usarem les propietats de les potències.

Propietats de les potències

Per a resoldre una equació potencial farem servir les propietats de les potències (recordeu que podem operar potències si tenen la mateixa base o el mateix exponent).

\(a^n*a^m=a^{n+m}:
\\
2^6*2^9=2^15
\\[1cm]
a^n \div a^m=a^{n-m}
\\
2^{6} \div 2^9=2^{-3}
\\[1cm]
(a^n)^m=a^{n*m}
\\
(2^3)^9=2^{27}
\\[1cm]
a^0=1
\\
2^0=1,\, [(\sqrt{2})^{ 0}=1, \pi^0=1, (-2)^0=1]
\\[1cm]
a^1=a
\\
2^1=2\
\\[1cm]
a^{-n}=\frac{1}{a^n}
\\
2^{-6}=\frac{1}{2^6}\)

Resolució d'equacions exponencials

El mètode per a resolder equacions exponencials és el següent:

1. Descompondre les bases compostes en bases primeres
2. Trobar l’expressió potencial comuna a tots els termes
3. Fer el canvi d’aquesta expressió potencial comuna per t.
4. Resoldre l’equació resultant.
5. Desfer el canvi.

\(2^{(x+3)}+4^{(x+1)}-320=0
\\
2^{(x+3)}+(2^2)^{(x+1)}=64
\\
2^{(x+3)}+2^{(2x+2)}=2^6
\\
(x+3)+(2x+2)=6
\\
3x+5=6
x=\frac{1}{3}\)

Equacions trigonomètriques

Són equacions que tenen la incògnita en l’argument de funcions trigonomètriques. Per a resoldre-les, fem servir les identitats trigonomètriques.

Identitats trigonomètriques

Resolució d'equacions trigonomètriques

Tot i que no hi ha un mètode únic per a resoldre una equació trigonomètrica, en general es poden resoldre seguint el següent esquema:

1. Transformem les sumes en productes o els productes amb sumes per tal de convertir els arguments amb més d’un angle en arguments amb un sol angle.
2. Transformem les funcions trigonomètriques derivades en les funcions trigonomètriques fonamentals (sin, cos).
3. Transformem tots els angles no simples de l’equació en simples.
4. Transformem tots els sinus a cosinus o a l’inrevés fent servir la identitat trigonomètrica fonamental (\(sin^2+cos^2=1\)).
5. Resolem l’equació trigonomètrica resultant.

Però l’ordre a seguir pot ser diferent per a cada equació trigonomètrica. Haurem d’avaluar en cada cas, quin ordre s’ha de seguir per a resoldre l’equació de la millor manera.

Recordeu que el resultat d’una equació trigonomètrica es correspon amb dos angles i que també hi hem d’afegir els angles que es generen en cada volta completa a la circumferència (\(360*k, 2\pi*k\)). Per tant, la solució d’una equació trigonomètrica no és única, sinó que és una família de solucions:

\(tg(\frac{\alpha}{2})=2
\\
arctg(2)=\alpha
\\
\alpha=63.435º+360*k, k \in  \mathbb{N}\)

ANGLES MULTIPLES

En aquest cas, simplifiquem una equació trigonomètrica amb més d’una funció i angles compostos a una equació d’una sola funció:

\({cos(2\alpha)+cos(\alpha)}{sin(2\alpha)+sin(\alpha)}
\\
\frac{2cos(\frac{2\alpha+\alpha}{2})*cos(\frac{2\alpha-\alpha}{2})}{2cos(\frac{2\alpha+\alpha}{2})*sin(\frac{2\alpha-\alpha}{2})}
\\
ctg(\frac{2\alpha-\alpha}{2})
\\ctg(\frac{\alpha}{2})\)

Demostrem una igualtat trignomètrica reduint les expressions de cada banda de la igualtat amb més d’una funció i angles compostos a una sola funció amb un angle simple:

\(tg^2 \alpha-sin^2 \alpha=tg^2 \alpha*sin^2 \alpha
\\
\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}-sin^2\alpha=\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}*sin^2\alpha
\\
\frac{sin^2\alpha-sin^2\alpha*cos^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}
\\
sin^2\alpha-sin^2\alpha*(1-sin^2\alpha)=sin^4\alpha
\\
sin^2\alpha-sin^2\alpha+sin^4\alpha=sin^4\alpha
\\
sin^4\alpha=sin^4\alpha\)

Sobre el autor

ceedukat administrator

Deja un comentario

CEEdukat Online! Ara també obrim a l'estiu!Primària - ESO - Batxillerat - Provés d'accés

A CEEdukat ara també fem classes online amb la mateixa qualitat i professionalitat que les presencials. També obrim els mesos de juliol i agost.