Instruccions abans de començar
Els nombres reals és el conjunt de nombres format pel conjunt dels nombres racionals i el conjunt dels nombres irracionals.
El nombres reals són un subconjunt de nombres complexos.
1. Nombres Naturals
Són els nombres que usem per a comptar: \[0, 1, 2, 3, 4, 5, … \]. El conjunt dels nombres naturals es representa per \[\mathbb{N}\].
1.1 Nombres primers
Són els nombres naturals que sols són divisibles per ells mateixos i per la unitat.
Exemple:
\[2, 3, 5, 7, 11…\]
1.2 Nombres compostos
Un nombre compost, és un nombre format pel producte de nombres primers.
Exemple:
\[
6=2*3\\
24=2^3*3\\
60=2^2*5*3\\
450=2*3^2*5^2
\]
2. Nombres enters
És el conjunt dels nombres naturals positius, negatius i el 0: \[…-3,-2,-1,0,1,2,3,…\]. El conjunt de nombres enters es representa per \[\mathbb{Z}\].
Els nombres naturals són part dels nombres enters (\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\]).
3. Nombres racionals
Són els nombres decimals generats per una fracció que anomenem fracció generatriu\[ \frac{a}{b}\]. \[a,b\] són nombres enters i \[b \neq 0\]. Els conjunt de nombres racionals es representa per \[\mathbb{Q}\].
Exemple:
\[\frac{21}{10}=2.1, \, \frac{3}{2}=1.5\].
Els nombres enters també són racionals perquè els podem expressar en forma de fracció: \[2 = \frac{2}{1}\]. Per tant, els nombres enters són un subconjunt dels racionals (\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\]).
Els nombres decimals dels quals en podem trobar una fracció generatriu són:
3.1 Decimals exactes
Els decimals exactes són els nombres decimals que tenen una quantitat exacta de decimals.
Exemple:
\[2.345\], té tres decimals
\[0.9\], té un decimal
\[5.129837\], té sis decimals
Per a calcular la fracció generatriu d’un decimal exacte (\[2.345\]), fem el següent:
i) Escrivim el nombre sense comes al numerador: \[2\, 345\]
ii) El dividim per \[10 \] elevat al nombre de decimals que tingui: \[\frac{2\, 345}{10^3}=\frac{2\, 345}{1\, 000}\].
iii) Calculem la fracció irreductible: \[\frac{469}{200}…\]
Exemple:
\[1.75= \frac{175}{10^ 2} = \frac{7}{4}\].
3.2 Decimals periòdics purs
Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.
Exemple:
\[
2.33333… \rightarrow 2. \hat 3 \\
0.66666… \rightarrow 0. \hat 6 \\
8.97979… \rightarrow 8. \widehat {97} \\
\]
Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.
En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \[10\] elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:
Exemple:
\[
n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\
n \hspace{1cm}= \hspace{0.8cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm}56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\]
La forma ràpida de calcular la fracció generatriu és:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \[56\, 987-56=56\, 931\]
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període: \[999\]
iii) Calculem al fracció irreductible: \[\frac{56\, 931}{999}=\frac{56\, 931}{999}\]
Exemple:
\[
1.23232323…= 1.\widehat {23} \\
\frac{123 – 1}{99} = \\
\frac{122}{99}
\]
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \[123\], el període és \[\widehat{23}\], el nombre fins al període és l’\[1\] i el període té dos decimals.
3.3 Decimals periòdics mixts
Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.
Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \[10\] elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:
Exemple
\[
n=56.9 \widehat{87} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{87}\\
-\\
10*n \hspace{0.4cm}=\hspace{0.6cm}569.\widehat{87}\\
———\\
990*n \hspace{0.4cm}=\, 56 \,418.0
\\
n=\frac{56\, 418}{990}
\]
Per a calcular la fracció generatriu, fem:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \[56\, 987-569=56\, 418\]
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període i tants zeros com decimals tingui l’avantperíode: \[990\]
iii) Calculem al fracció irreductible: \[\frac{56\, 418}{900}=\frac{9\, 403}{150}\]
Exemple:
\[1.5787878…= 1.5\widehat{78} = \\
\frac{157 – 15}{900} =\\
\frac{142}{900} = \\
\frac{71}{450}
\]
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \[1578\], l’avantperíode és \[5\] i el període és \[\widehat 78\] i el nombre fins al període és l’\[1\]. L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.
4. Nombres irracionals
Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \[\mathbb{I}\].
Exemple:
\[\pi, e\], qualsevol arrel no exacta com \[\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\].
5. Nombres reals
És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \[\mathbb{R}\].
Per tant, \[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\].
Els nombres reals es representen a la recta real.
5.1 Representació a la recta real
i) Per a representar un nombre enter (\[\mathbb{Z}\]) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\[\mathbb{N}\]) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\[\mathbb{Q}\]), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \[0\] i \[1\] (p.e: \[\frac{4}{5}=0.8\]).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \[\frac{5}{2}=2.5)\]. Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\[\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\]).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\[
0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\]
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \[ 0-1\] en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
Exemple:
\[
1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\]
iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:
Exemple:
\[
\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\]
6. Intervals
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\[-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\]. En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \[(- \infty \lt x \leq +2]\]).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\[\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\]. \[ ]n , n[\] o bé \[(n , n)\] significa que l’extrem és obert i \[ [n , n] \] vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \[(-\infty, +2]\]).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \[N*10^a\]. \[N\] és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \[a\] és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
Exemple:
\[
1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\]
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \[10^{-12}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \[10^{+12}\].
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \[10^{+9}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \[10^{-9}\].
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\]
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Un nombre compost, és un nombre format pel producte de nombres primers.
Exemple:
\[6=2*3\\
24=2^3*3\\
60=2^2*5*3\\
450=2*3^2*5^2
\]
2. Nombres enters
És el conjunt dels nombres naturals positius, negatius i el 0: \[…-3,-2,-1,0,1,2,3,…\]. El conjunt de nombres enters es representa per \[\mathbb{Z}\].
Els nombres naturals són part dels nombres enters (\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\]).
3. Nombres racionals
Són els nombres decimals generats per una fracció que anomenem fracció generatriu\[ \frac{a}{b}\]. \[a,b\] són nombres enters i \[b \neq 0\]. Els conjunt de nombres racionals es representa per \[\mathbb{Q}\].
Exemple:
\[\frac{21}{10}=2.1, \, \frac{3}{2}=1.5\].
Els nombres enters també són racionals perquè els podem expressar en forma de fracció: \[2 = \frac{2}{1}\]. Per tant, els nombres enters són un subconjunt dels racionals (\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\]).
Els nombres decimals dels quals en podem trobar una fracció generatriu són:
3.1 Decimals exactes
Els decimals exactes són els nombres decimals que tenen una quantitat exacta de decimals.
Exemple:
\[2.345\], té tres decimals
\[0.9\], té un decimal
\[5.129837\], té sis decimals
Per a calcular la fracció generatriu d’un decimal exacte (\[2.345\]), fem el següent:
i) Escrivim el nombre sense comes al numerador: \[2\, 345\]
ii) El dividim per \[10 \] elevat al nombre de decimals que tingui: \[\frac{2\, 345}{10^3}=\frac{2\, 345}{1\, 000}\].
iii) Calculem la fracció irreductible: \[\frac{469}{200}…\]
Exemple:
\[1.75= \frac{175}{10^ 2} = \frac{7}{4}\].
3.2 Decimals periòdics purs
Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.
Exemple:
\[
2.33333… \rightarrow 2. \hat 3 \\
0.66666… \rightarrow 0. \hat 6 \\
8.97979… \rightarrow 8. \widehat {97} \\
\]
Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.
En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \[10\] elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:
Exemple:
\[
n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\
n \hspace{1cm}= \hspace{0.8cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm}56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\]
La forma ràpida de calcular la fracció generatriu és:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \[56\, 987-56=56\, 931\]
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període: \[999\]
iii) Calculem al fracció irreductible: \[\frac{56\, 931}{999}=\frac{56\, 931}{999}\]
Exemple:
\[
1.23232323…= 1.\widehat {23} \\
\frac{123 – 1}{99} = \\
\frac{122}{99}
\]
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \[123\], el període és \[\widehat{23}\], el nombre fins al període és l’\[1\] i el període té dos decimals.
3.3 Decimals periòdics mixts
Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.
Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \[10\] elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:
Exemple
\[
n=56.9 \widehat{87} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{87}\\
-\\
10*n \hspace{0.4cm}=\hspace{0.6cm}569.\widehat{87}\\
———\\
990*n \hspace{0.4cm}=\, 56 \,418.0
\\
n=\frac{56\, 418}{990}
\]
Per a calcular la fracció generatriu, fem:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \[56\, 987-569=56\, 418\]
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període i tants zeros com decimals tingui l’avantperíode: \[990\]
iii) Calculem al fracció irreductible: \[\frac{56\, 418}{900}=\frac{9\, 403}{150}\]
Exemple:
\[1.5787878…= 1.5\widehat{78} = \\
\frac{157 – 15}{900} =\\
\frac{142}{900} = \\
\frac{71}{450}
\]
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \[1578\], l’avantperíode és \[5\] i el període és \[\widehat 78\] i el nombre fins al període és l’\[1\]. L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.
4. Nombres irracionals
Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \[\mathbb{I}\].
Exemple:
\[\pi, e\], qualsevol arrel no exacta com \[\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\].
5. Nombres reals
És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \[\mathbb{R}\].
Per tant, \[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\].
Els nombres reals es representen a la recta real.
5.1 Representació a la recta real
i) Per a representar un nombre enter (\[\mathbb{Z}\]) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\[\mathbb{N}\]) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\[\mathbb{Q}\]), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \[0\] i \[1\] (p.e: \[\frac{4}{5}=0.8\]).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \[\frac{5}{2}=2.5)\]. Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\[\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\]).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\[
0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\]
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \[ 0-1\] en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
Exemple:
\[
1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\]
iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:
Exemple:
\[
\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\]
6. Intervals
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\[-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\]. En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \[(- \infty \lt x \leq +2]\]).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\[\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\]. \[ ]n , n[\] o bé \[(n , n)\] significa que l’extrem és obert i \[ [n , n] \] vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \[(-\infty, +2]\]).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \[N*10^a\]. \[N\] és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \[a\] és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
Exemple:
\[
1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\]
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \[10^{-12}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \[10^{+12}\].
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \[10^{+9}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \[10^{-9}\].
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\]
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
\[0.9\], té un decimal
\[5.129837\], té sis decimals
Els decimals periòdics purs són nombres amb decimals que es repeteixen indefinidament. Representem aquests decimals (període) amb un accent circumflex (^) al damunt.
Exemple:
\[2.33333… \rightarrow 2. \hat 3 \\
0.66666… \rightarrow 0. \hat 6 \\
8.97979… \rightarrow 8. \widehat {97} \\
\]
Per a calcular la fracció generatriu dels nombres periòdics hem d’eliminar el període.
En en el cas dels periòdics purs, multipliquem en nombre per \[10\] elevat al nombre de decimals del període i al resultat li restem la part entera del nombre:
Exemple:
\[n=56. \widehat{987} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{987}\\
n \hspace{1cm}= \hspace{0.8cm}56.\widehat{987}\\
999*n \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm}56931.0\\
n=\frac{56931}{999}
\]
La forma ràpida de calcular la fracció generatriu és:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \[56\, 987-56=56\, 931\]
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període: \[999\]
iii) Calculem al fracció irreductible: \[\frac{56\, 931}{999}=\frac{56\, 931}{999}\]
Exemple:
\[1.23232323…= 1.\widehat {23} \\
\frac{123 – 1}{99} = \\
\frac{122}{99}
\]
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \[123\], el període és \[\widehat{23}\], el nombre fins al període és l’\[1\] i el període té dos decimals.
3.3 Decimals periòdics mixts
Un nombre periòdic mixt, és un nombre amb una part dels decimals exacte i una altra de periòdica.
Per a calcular la fracció generatriu eliminem el període multiplicant el nombre decimal per \[10\] elevat al nombre de decimals i al resultat li restem el nombre format per la part entera i els decimals exactes:
Exemple
\[
n=56.9 \widehat{87} \\
1000*n= 56\, 987. \widehat{87}\\
-\\
10*n \hspace{0.4cm}=\hspace{0.6cm}569.\widehat{87}\\
———\\
990*n \hspace{0.4cm}=\, 56 \,418.0
\\
n=\frac{56\, 418}{990}
\]
Per a calcular la fracció generatriu, fem:
i) Escrivim al numerador la diferència entre el nombre sense coma i el nombre fins al període: \[56\, 987-569=56\, 418\]
ii) Escrivim al denominador tants 9 com decimals té el període i tants zeros com decimals tingui l’avantperíode: \[990\]
iii) Calculem al fracció irreductible: \[\frac{56\, 418}{900}=\frac{9\, 403}{150}\]
Exemple:
\[1.5787878…= 1.5\widehat{78} = \\
\frac{157 – 15}{900} =\\
\frac{142}{900} = \\
\frac{71}{450}
\]
En aquest exemple, el nombre sense la coma és \[1578\], l’avantperíode és \[5\] i el període és \[\widehat 78\] i el nombre fins al període és l’\[1\]. L’avantperíode té un decimal exacte i el període dos.
4. Nombres irracionals
Són els decimals infinits no periòdics. Com que no podem trobar-ne la fracció generatriu, no són racionals. Els conjunt de nombres irracionals es representa per \[\mathbb{I}\].
Exemple:
\[\pi, e\], qualsevol arrel no exacta com \[\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{1.34}\].
5. Nombres reals
És el conjunt de nombres racionals i els irracionals. El conjunt de nombres reals es representa per \[\mathbb{R}\].
Per tant, \[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\].
Els nombres reals es representen a la recta real.
5.1 Representació a la recta real
i) Per a representar un nombre enter (\[\mathbb{Z}\]) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\[\mathbb{N}\]) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\[\mathbb{Q}\]), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \[0\] i \[1\] (p.e: \[\frac{4}{5}=0.8\]).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \[\frac{5}{2}=2.5)\]. Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\[\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\]).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\[
0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\]
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \[ 0-1\] en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
Exemple:
\[
1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\]
iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:
Exemple:
\[
\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\]
6. Intervals
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\[-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\]. En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \[(- \infty \lt x \leq +2]\]).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\[\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\]. \[ ]n , n[\] o bé \[(n , n)\] significa que l’extrem és obert i \[ [n , n] \] vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \[(-\infty, +2]\]).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \[N*10^a\]. \[N\] és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \[a\] és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
Exemple:
\[
1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\]
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \[10^{-12}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \[10^{+12}\].
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \[10^{+9}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \[10^{-9}\].
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\]
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
i) Per a representar un nombre enter (\[\mathbb{Z}\]) a la recta real, la dividim en dues parts i a la dreta hi coloquem el nombre enters positius (\[\mathbb{N}\]) i a l’esquerra en negatius:
ii) Per a representar un nombre racional (\[\mathbb{Q}\]), primer calcularem la fracció generatriu i després la representaren a la recta real.
Les fraccions poden ser pròpies o impròpies:
En una fracció pròpia, el numerador és més petit que el denominador i, per tant, el nombre decimal serà un nombre entre \[0\] i \[1\] (p.e: \[\frac{4}{5}=0.8\]).
En una fracció impròpia, el numerador és més gran que el denominador i, per tant, el resultat és més gran que u (p.e \[\frac{5}{2}=2.5)\]. Les fraccions impròpies són els nombre mixtos (\[\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\]).
Exemple:
Calculem la fracció (pròpia) generatriu:
\[0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}
\]
Per a representar la fracció (pròpia) a la recta real:
i) Dibuixem una línia qualsevol i la dividem en tantes parts iguals com indiqui el denominador, unim el darrer punt amb l’u i tracem paral·leles des de cada punt fins que tallin la recta real per tal de dividir el segment \[ 0-1\] en parts iguals.
Si la fracció generatriu és impròpia, usarem el matexi procediment:
Exemple:
\[1.75=\frac{175}{100}=\frac{7}{4}=2+\frac{3}{4}
\]
iii) Per a representar un nombre irracional, farem servir el Teorema de Pitàgores:
Exemple:
\[\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}
\\
\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}
\]
6. Intervals
És un segment de la recta real que obtenim quan la fitem per dos extrems. L’extrem de l’esquerra és l’extrem inferior i el de la dreta el superior. La diferència entre els dos extrems és l’amplitud de l’interval.
Un extrem és obert quan format no part de l’interval i tancat si en forma part. Un interval amb els dos extrems oberts és un interval obert. Si té un extrem obert i l’altra tancat és un interval semiobert i si tots dos són tancats és un interval tancat.
Exemple:
Escriurem els intervals anteriors amb notació algebraica de la següents forma:
\[-3\leq x\leq +2,\, -3\leq x \lt +2,\, -3\lt x\lt +2\]. En una semirecta, l’extrem infinit sempre és un extrem obert (p.e, \[(- \infty \lt x \leq +2]\]).
Escriurem els intervals anteriors amb notació d’interval de la següents forma:
\[\left[ -3,+2\right], \, \left] -3,+2\right], \left] -3,+2\right[\]. \[ ]n , n[\] o bé \[(n , n)\] significa que l’extrem és obert i \[ [n , n] \] vol dir que l’extrem és tancat. En una semirecta, un extrem és obert i l’altre tancat: \[(-\infty, +2]\]).
7. Notació científica
És un nombre expressat segons la notació \[N*10^a\]. \[N\] és un nombre decimal amb la part entera d’un sol dígit diferent de zero i \[a\] és un nombre enter.
Usem la notació científica per a expressar d’una manera més entenedora els nombres molt grans o molt petits.
Exemple:
\[1 236 598 485 963=\, 1.236598485963*10^{+12} \\
0.0000000002568=\, 2.568*10^{-9}
\]
En el primer cas, hem desplaçat la coma 12 posicions cap a l’esquerra, és a dir, hem dividit el nombre per \[10^{-12}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem multiplicat per \[10^{+12}\].
En el segon cas, hem desplaçat la coma 9 posicions cap a la dreta, és a dir, hem multiplicat el nombre per \[10^{+9}\]. Per tant, per a mantenir l’equivalència del nombre, l’hem dividit per \[10^{-9}\].
7.1 Operacions
Per a multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, multipliquem o dividim els nombres i les potències de deu. Si el resultat no té la forma de notació científica, el transformarem perquè la tingui.
Exemple:
\[
2.56 10^{+5}*3.72 10^{-3}=\\
(2.56*3.72)*(10^{+5}*10^{-3})=\
9.4116*10^{+2}
\]
Per a sumar o restar nombre en notació científica, les potències de deu han de tenir el mateix exponent. Si l’exponent no és igual, transformarem un dels dos nombres perquè ho siguin.
Exemple:
\[2.56 10^{+5}+3.72 10^{-3}=\\
(256 000 000 10^{-3}+3.72 10^{-3}=\\
256000003.7 10^{-3}=\\
2.560000037 10^{5}
\]
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
RSS CEEdukat
Quant a l'autor