Altres mètodes de resolució de sistemes d’equacions

Instruccions abans de començar

1. Gauss

El mètode de resolució de sistemes d’equacions per Gauss, segueix el mètode clàssic de resolució per reducció. La diferència és que eliminarem les incògnites ordenadament (primer la \[x\], després la \[y\] i finalment la \[z\]) i que farem servir matrius sols amb els coeficients en comptes de tota l’equació.

A tall d’exemple,  resoldrem primer un sistema d’equacions amb tres incògnites pel mètode reducció ordenadament:

\[
2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
7x-5y+2z=4
\\[1cm]
*-2)2x+3y-\enspace z=4
\\
\hspace{1.2cm}4x-2y+5z=7
\\
———————–
\\
\hspace{1.2cm}0x+8y-7z=1
\\[1cm]
\hspace{0.5cm}7*) 2x+3y-\enspace z=4
\\
-2*)7x-5y+2z=4
\\
————————–
\\
\hspace{1.9cm}31y-11z=20
\\[1cm]
\hspace{0.2cm}31*)\hspace{0.3cm}8y-\enspace 7z=1
\\
-8*)31y-11z=20
\\
———————
\\
\hspace{1.2cm}-129z=-129
\\
z=\frac{129}{129}=1
\\
y=\frac{1+7z}{8}=1
\\
x=\frac{4+z-3y}{2}=1
\]

Per a resoldre un sistema d’equacions per Gauss fem la triangulació superior de matriu ( fem zeros a la part inferior de la diagonal de la matriu).

Si el sistema resultant és compatible, el resoldrem. Si és incompatible, acabarem l’exercici.

Observeu que obtenim els mateixos resultats que fent-ho pel mètode anterior de reducció:

\[
\left[ \begin{matrix} \color{red} 2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 4 & \hspace{0.3cm} -2 & \hspace{0.3cm} 5 & 7 & \\ 7 & \hspace{0.3cm} -5 & \hspace{0.3cm}2 & 4 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm}\downarrow \enspace 2F_1-F_2
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \color{red} 2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 & \hspace{27px} 8 & \hspace{0.05cm} -7 &1 \\ 7 & \hspace{0.3cm}-5 & \hspace{0.4cm} 2 & 4 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 7F1-2F_3
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 & \hspace{27px} \color{red}8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1 \\ 0 & \hspace{0.5cm}31 & -11 & \hspace{5px} 20 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 31F_2-8F_3
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 &\hspace{27px}  \color{red}8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1 \\ 0 & \hspace{0.6cm}0 & -129 & \hspace{5px} -129 \end{matrix} \right]
\]

La tercera fila d’aquesta matriu triangulada ens diu que \[-129z=-129\], i per tant,\[ z=1.\]

De la segona fila, \[8y-7z=1,,  y=\frac{1+7z}{8}=1.\]

I de la primera, \[2x+3y-z=4, ,x=\frac{4-3y+z}{2}=1.\]

Quant a la resolució d’un sistema indeterminat:

\[
2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
6x+y+4z=11
\\[1cm]
\begin{bmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & -1 & 4 \\ 4 & \hspace{0.3cm}-2 & \hspace{0.3cm}5 & 7\\ 6 & \hspace{0.7cm}1 & \hspace{0.3cm}4 & 11 \end{bmatrix}
\\[1cm]
\begin{bmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & -1 & 4 \\0 & \hspace{0.6cm}8 & \hspace{0.05cm}-7 & 1\\ 0 & \hspace{0.6cm} 0& \hspace{0.05cm} 0 & 0 \end{bmatrix}
\]

Sols les dues primeres equacions són linealment independents. El resolem, per tant, com un sistema indeterminat (SCI):

\[2x+3y-z=4
\\
8y-7z=1
\\[1cm]
z=\lambda
\\
y=\frac{1+7z}{8}=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}\lambda
\\
x=\frac{4+z-3y}{2}=\frac{29}{16}-\frac{13}{16}\lambda
\]

2. Crammer

El mètode de Crammer usa els determinants per a calcular els resultats del sistema d’equacions. Consisteix en canviar la columna de coeficients de la incògnita que volem calcular per la dels termes independents:

\[
\Delta x=\frac{\left| \begin{matrix}\hspace{4px} \color{red}4 & \hspace{27px} 3 & -1 \\ \color{red}7 & \hspace{0.4cm} -2 \hspace{0.2cm} 5 \\\color{red}4 & \hspace{0.4cm} -5 & \hspace{0.2cm} 2 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\\
\Delta y=\frac{\left| \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} \color{red} 4& -1 \\ 4 & \hspace{27px} \color{red} 7 & \hspace{0.2cm}5 \\ \hspace{0.1cm}7 & \hspace{0.7cm} \color{red}4 & \hspace{0.2cm} 2 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\\
\Delta z=\frac{\left| \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & \hspace{10px} \color{red}4 \\ 4 & \hspace{0.4cm} -2 & \hspace{15px} \color{red} 7 \\ 7 & \hspace{0.4cm}-5 & \hspace{15px} \color{red} 4 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\]

Quan el determinant de la matriu és zero, \[|A|=0\],  diem que el sistema no és de Cramer. En aquest cas, per a resoldre el sistema indeterminat farem servir sols les equacions que són linealment independents fent la substitució \[z=\lambda\] que ara formarà part del terme independent:

\[
\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 &-\lambda &4 \\ 4 & -2 &\hspace{0.4cm}5\lambda &7 \end{vmatrix}
\\[1cm]
\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & 4+\lambda \\ 4 & -2 & \hspace{0.4cm} 7-5\lambda \end{vmatrix}
\\[1cm]
\Delta x=\frac{\begin{vmatrix}4+\lambda & \hspace{0.3cm}3 \\ 7-5\lambda & -2 \end{vmatrix}}
{{\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.3cm}3 4 & -2 \end{vmatrix} }}=\frac{29}{16}-\frac{13}{16}\lambda
\\
\Delta y=\frac{\begin{vmatrix}2 & \hspace{0.3cm}4+\lambda \\ 4 & \hspace{0.3cm}7-5\lambda \end{vmatrix}}
{{\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.3cm}3 4 & -2 \end{vmatrix} }}=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}\lambda
\]

3. Teorema de Rouché-Fröbenius

Sistema Compatible Determinat (SCD): \[Rang A=Rang A^*=3\]

Sistema Compatible Indeterminat (SCI): \[Rang A=Rang A^*=2\]

Sistema Incompatible (SI): \[Rang A=2, Rang A^*=3\]

Per a determinar els rangs de la matriu de coeficients \[A\] i de l’ampliada \[A^*\], farem la triangulació del sistema i analitzarem el nombre de files independents de cadascuna. 

Si el determinant de la matriu de coeficients és zero, vol dir que el sistema no és determinat.