Anàlisi funcional

1. Definició

L’anàlisi matemàtic és la part de les matemàtiques que estudia les funcions.

Una funció és una una aplicació o correspondència \[f\] entre dos conjunts numèrics \[(X,Y) (f: X \mapsto Y)\].

Per a determinar el comportament d’una funció, analitzem de \[-\infty\] fins a \[+\infty\] diverses característiques que un cop interpretades conjuntament ens mostraran aquest comportament.

2. Característiques

2.1 Domini i recorregut

El domini són tots els punts del conjunt inicial \[X\] als quals els correspon un o més valors del conjunts d’arribada \[Y\] (codomini o recorregut). Quan a un punt del conjunt \[X\] no li correspon cap punt del conjunt \[Y\], aquest punt no pertany al domini de la funció (la fletxa puntejada del diagrama de Venn anterior és un punt que no pertany al domini de la funció \[f(x)\]).

Per a determinar el domini d’una funció hem d’analitzar-la per tal de esbrinar si hi ha algun punt \[x\] al qual no li correspongui cap imatge (\[y\]).

Les funcions més habituals són: a) Les polinòmiques, les racionals i les irracionals (\[y=\sqrt[n]{P(x)}\]).

1. Polinòmiques: el domini de les funcions polinòmiques són tots els nombres reals \[Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R}\}\]
2. Racionals \[y=\frac{N(x)}{D(x)}\]: el domini de les funcions racionals son tots els nombre reals excepte els que fan el polinomi del denominador zero \[Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / (D(x) \neq 0)\}\].
3. Irracionals \[y=\sqrt[2n]{P(x)}\]: el domini de les funcions irracionals d’index de l’arrel parell, són tots els nombres reals excepte el que fan que el radicand sigui més petit que zero \[Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / (P(x) \geq 0)\}\].
   
   Quan haguem resolt l’equació que resulta d’igualar el radicand a zero, haurem de determinar quin o quins dels intervals que divideixen la recta real són solució substituint un punt de cada interval: si la solució és negativa, l’interval no pertany al domini.

Exemples:

\[y= 4x³-2x²+8x-9\]

\[
y= \frac{x²+1}{x²-1}\\
x²-1=0\\
x=\pm1\\
Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / x²-1 \neq 0)\}, \text {o bé}\\
Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / x \neq \pm1\}
\]

\[
y= \sqrt{x²-9}\\
x²-9=0\\
x=\pm3\\
y(-10)=\sqrt{(-10)²-9}>0\\
y(0)=\sqrt{(0)²-9}<0\\
y(+10)=\sqrt{(+10)²-9}>0\\
Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} / x²-9 > 0)\}, \text {o bé}\\
Dom \, y=\{\forall \, x \in \mathbb{R} – (x \geq -3, x \geq 3)\}
\]

Per a determinar el recorregut calcularem la funció inversa, tot i que de vegades no es pot calcular. En aquest cas, s’ha de dibuixar la funció per a poder de determinar-lo.

Exemple:

\[
y=\frac{x²+1}{x²-1}\\
y(x²-1)=x²+1\\
yx²-x²=1+y\\
x²(y-1)=1+y\\
x=\sqrt{\frac{1+y}{y-1}}
\]

Per a que la funció \[x=f(y)\] existeixi, s’ha de complir que el radicand de l’arrel sigui posItiu i el denominador diferent de zero: \[\frac{1+y}{y-1} \geq 0, y-1 \neq 0\]

Per tant, la funció no té imatge en \[-1 \leq y<+1\].

\[Rec(y)=(-\infty,-1]U(+1, -\infty)\].

(Vegeu l’entrada Funcions elementals per a saber-ne més.)

2.2 Monotonia i punts singulars

Vegeu l’entrada d ‘Aplicacions de les derivades, Monotonia i punts singulars.

\[
y=\frac{x²+1}{x²-1}\\
y’=\frac{2x(x²-1)-2x(x²+1)}{(x²-1)^2}\\
y’=0=2x(x²-1)-2x(x²+1)=-4x\\
x=0\\
y(0)=-1\\[1cm]
y'(-10)=-4.-10>0 (creixent)\\
y'(+10)=-4.+10<0 (decreixent)\\
{Màxim (0,-1)}
\]

2.3 Curvatura i punts d’inflexió

Vegeu l’entrada d’Aplicacions de les derivades, Curvatura i punts d’inflexió.

\[
y=\frac{x²+1}{x²-1}\\
y’=-4x\\
y”=-4 \enspace (curvatura \enspace negativa)
\]

La funció no té punts d’inflexió.

2.4 Asímptotes

Una asímptota és una recta a la qual la funció s’aproxima infinitesimalment (“infinitesimal: quantitat infinitament petita”) sense arribar a tallar-la mai. La funció i l’asímptota són tangents a l’infinit.

Quan calculem les asímptotes verticals d’una funció, haurem de calcular-ne també els límits laterals per tal de d’esbrinar el sentit de la corba (\[+\infty, -\infty)\] a cada banda de l’asímptota.

2.4.1 Asímptota vertical

Definició: \[lim_{x \rightarrow a} f(x)= \infty\]

Exemple:

\[
y=\frac{x²+1}{x²-1}\\
lim_{x \rightarrow a} \frac{x²+1}{x²-1}=\infty\\
x²-1=0\\
x=\pm 1
\\[1cm]
lim_{x \to +1^{-}}\frac{x²+1}{x²-1}=\frac{(0.009)²+1}{(0.009)²-1}=-\infty\\
lim_{x \to +1^{+}}\frac{x²+1}{x²-1}=\frac{(1.001)²+1}{(1.001)²-1}=+\infty
\\[1cm]
lim_{x \to -1^{+}}\frac{x²+1}{x²-1}= \frac{(-0.009)²+1}{(-0.009)²-1}=-\infty\\
lim_{x \to -1^{-}}\frac{x²+1}{x²-1}=\frac{(-1.001)²+1}{(-1.001)²-1}=+\infty\\
\]

2.4.2 Asímptota horitzontal

Definició: \[lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=a\]

Exemple:

\[
lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1}{x²-1}=+1\\
y=1
\]

2.4.3 Asímptota obliqua

Definició: \[lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=m, \enspace lim_{x \rightarrow \infty} f(x)-m=n\]

Exemple:

\[
m=lim_{x \rightarrow \infty} {\frac{x²+1}{x²-1}}:{x}\\
lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1}{(x²-1)*x}\\
lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1}{(x³-x)}=0
\]

No hi ha asímptotes obliqües.

Un altre exemple:

\[
m=lim_{x \rightarrow \infty} {\frac{x²+1}{x}}:{x}\\
lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1}{(x)*x}\\
lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1}{(x²)}=1\\
n=lim_{x \rightarrow \infty} f(x)-m\\
lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1}{x}-1*x\\
lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x²+1-1*x²}{x}\\
lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0\\
\textbf {y=x}
\]

Vegeu l’entrada Límits i continuïtat per a saber-ne més.

2.5 Punts de tall

Anomenem punts de tall als punts en els quals la funció talla els eixos de coordenades.

2.5.1 Amb les abscisses

Quan una funció talla l’eix de les \[x\], \[y=0\].

Exemple:

\[
y=\frac{x²+1}{x²-1}\\
0=\frac{x²+1}{x²-1}\\
x²+1=0, x=\sqrt{-1}
\]

No hi ha punts de tall amb l’eix de les \[x\].

2.5.2 Amb les ordenades

Quan una funció talla l’eix de les \[y\], \[x=0\].

Exemple:

\[
y=\frac{x²+1}{x²-1}\\
y=\frac{0²+1}{0²-1}=-1\\
(0,-1)
\]

2.6 Signe de la funció

El signe de la funció és el signe positiu o negatiu que tenen les imatges de la funció en cada interval del domini.

Per a determinar-ne el signe, determinarem el signe de la imatge d’un punt qualsevol de cada interval del domini.

Exemple:

\[
y=\frac{x²+1}{x²-1}\\[1cm]
(-\infty,-1)\\
y(-10)=\frac{(-10)²+1}{(-10)²-1}>0\\[1cm]
(-1,+1)\\
y(0)=\frac{(0)²+1}{(0)²-1}<0\\[1cm]
(+1,+\infty)\\
y(+10)=\frac{(+10)²+1}{(+10)²-1}>0\\
\] \[
(-\infty,-1)U(+1,+\infty):+\\
(-1,+1):-
\]

2.7 Simetria

Analitzem dos tipus de simetria, la parella i la senars.

2.7.1 Simetria parella

Una funció té simetria parella si es simètrica respecte a l’eix \[x=0\]: \[f(x)=f(-x)\].

Exemple:

\[
y=\frac{x²+1}{x²-1}\\
f(x)=\frac{x²+1}{x²-1}\\
f(-x)=\frac{(-x)²+1}{(-x)²-1}=\frac{x²+1}{x²-1}\\
f(x)=f(-x) \enspace (Simetria \enspace parella).
\]

2.7.2 Simetria senars

Una funció té simetria senars si ho és respecte al punt \[(0,0)\]: \[f(x)=-f(-x)\].

Exemple:

\[
y=\frac{x²+1}{x}\\
f(x)=\frac{x²+1}{x}\\
-f(-x)=-\frac{(-x)²+1}{(-x)}=-\frac{x²+1}{(-x)}=\frac{x²+1}{x}\\
f(x)=-f(-x) \enspace (Simetria \enspace senars).
\]

2.8 Periodicitat

Una funció és periòdica si \[f(x)=f(x+T)\]. Tot i que hi ha més funcions periòdiques, considerarem sols les trigonomètriques.

3. Gràfica

Per a dibuixar la gràfica de la funció representarem les característiques que hem determinat en un sistema de coordenades:

Exemple:

\[y=\frac{x²+1}{x²-1}\]

1. Domini: \[(-\infty,-1)U(-1,+1)U(+1,+\infty)\]
2. Recorregut: \[(-\infty,-1]U(+1,+\infty) \]
3. Monotonia/ Punts singulars: \[(-\infty,-1)U(-1,0) \uparrow, \enspace (0,+1)U(+1,+\infty) \downarrow/ \enspace M(0,-1)\]
4. Curvatura/ Punts d’inflexió: \[Negativa/ \enspace No \enspace en \enspace té.\]
5. Asímptotes: \[x=\pm1,y=+1\]
6. Punts de tall: \[(0,-1)\]
7. Signe: \[(-\infty,-1)U(+1,+\infty)>0, \enspace (-1,+1)<0 \]
8. Simetria: \[Parella\]
9. Periodicitat: \[No \enspace és \enspace periòdica\]