Instruccions abans de començar
1. Què és una succesió?
Una successió o progressió és un conjunt de nombres “etiquetats” amb un nombre natural que correspon a la posició de l’element.
Això vol dir que en aquest conjunt al primer element li correspon el nombre \[1\], (\[a_{1}\]), al segon element li correspon el nombre \[2\], (\[a_{2}\]), … fins a l’infinit.
Exemple:
\[a_{1} = 0, a_{2} = 1, a_{3} = 2, a_{4} = 3, a_{5} = 5, a_{6} = 8, a_{7} = 13, …\] és la successió de Fibonacci, cada terme s’obté sumant els dos anteriors.
Un altre exemple és \[a_{1} = 1, a_{2} = -1, a_{3} = 1, a_{4} = -1, a_{5} = 1, a_{6} = -1, a_{7} = 1, …\]
2. Definicions
Ordre del terme de la successio \[(n)\]: és la posició que ocupa cada terme de la successió.
Primer terme de la successió \[(a_1)\]: és el primer terme de la successió.
Terme general d’una successió \[(a_n)\]: és el terme n-éssim (que ocupa la posició \[n\]) de la successió.
Hi ha dues maneres d’indicar el terme general d’una successió, i per tant, de definir la successió:
1.Amb la llei de recurrència: calculem \[a_{n}\] a partir d’un o més elements anteriors.
Exemple:
N’és un exemple la successió de Fibonacci: \[a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}=1,2,3,5,8…\]
2.Amb la llei general: per a calcular \[a_{n}\] sols ens cal saber \[n\] (el lloc que ocupa).
Exemple:
\[a_{n} = n^2 + 1: 2, 5, 10, 17,… \].
Diferència \[(d)\]: és la diferència que hi ha entre un terme i l’anterior d’una progressió aritmètica.
Exemple:
A la successió \[1,3,5,7,9…\] la diferència és \[2:\, 3-1=2,\, 5-3= 2,\, 7-5=2,\,9-7=2…\].
Raó \[(r)\]: és el quocient entre un terme i l’anterior d’una progressió geomètrica.
A la successió \[2,\, 4,\,8,\, 16,\, 32…\] la raó és \[2: \, 4 \div 2=2,\, 8 \div 4 = 2,\, 16 \div 8=2,\, 32 \div 16=2…\].
3. Progressions aritmètiques
Són successions que s’obtenen de sumar una quantitat constant (anomenada diferència, \[d\]) al terme anterior.
Hem d’indicar quin és el primer element \[a_1\], perquè aquest no té un element anterior.
Exemple:
Si \[a_{1} = 3\] i \[d = 2\], la successió és: \[3, 5, 7, 9, 11, …\].
El terme general \[a_n\] d’una progressió aritmètica es pot calcular a partir del primer element \[a_1\] i \[d\]:
\[a_{2} = a_{1} + d\]
\[a_{3} = a_{2} + d = a_{1} + 2d\]
\[a_{4} = a_{3} + d = a_{1} + 3d\]
…
\[\mathbf{a_{n} = a_{n-1} + d = a_{1} + (n-1)d}\]
3.1 Suma d’una progressió aritmètica
La suma dels \[n\] termes d’una progressió aritmètica \[S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n}\] és:
Si \[a_{1} = 1, d = 1,\] i \[ n = 100 \Rightarrow a_n=1,2,3,…,100\] i \[S_{n} = 1 + 2 + 3 + … + 100\]:
és a dir que, \[1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 50 + 51 = 101\].
I per a calcular la suma sols hem de sumar \[50\] vegades \[101\].
Per tant,
\[\mathbf{S_{n} =\frac{(a_{1} + a_{n})*n}{2}}\]
4. Progressions geomètriques
S’obtenen multipicant una quantitat fixa anomenada raó, (\[r\]) per l’element anterior.
Exemple:
Si \[a_{1} = 2\] i \[d=2\], llavors \[a_n= 2, 4, 8, 16, 32,…\].
Fent la suma dels termes equidistants com abans, el terme general és:
\[\mathbf{a_{n} = a_{1}*r^{n-1}}\]
4.1 Producte d’una progressió geomètrica
Per a calcular el producte dels n primers termes \[P_{n} = a_{1}*a_{2}…*a_{n}\] d’una progressió geomètrica farem com abans el càlcul dels productes dels termes equidistants de la successió:
Exemple:
Si \[a_n=1,2,4,8,16,32…\] i volem calcular \[P_{6} = \,1*2*4*8*16*32\]:
fent el producte dels termes equidistants de la successió:
\[1*…32 = 2*16 = 4*8\].
És a dir que: \[P_{6}=(a_1*a_6)^{6/2}=\sqrt{(a_1*a_6)^6}\]
Per tant, la fórmula general és:
\[\mathbf{P_{n} = (a_{1}*a_{n})^{n/2} = \sqrt{(a_{1}a_{n})^{n}}}\].
4.2 Suma d’una progressió geomètrica
Volem calcular \[S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n}\] dels termes d’una progressió geomètrica.
La fórmula que ens permet fer aquest càlcul és: \[\mathbf{S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}}\]
Exemple:
Si \[a_{1} = 2, r = 2\] i \[n = 5 \Rightarrow a_n= 2,4,8,16,32\], i per tant:
\[S_{5} = 2\frac{2^5-1}{2-1} = 2*31 = 62\].
Ho podem comprovar fent la suma manualment:
\[S_{5} = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62\].
4.2.1 De termes infinits
Si fem el límit de \[S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}\] quan \[n \rightarrow \infty\] , és a dir, sumem els infinits termes d’una progressió geomètrica:
\[\lim_{n\to\infty} S_{n} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{1 – r^n}{1 – r} = \lim_{n\to\infty}(\frac{a_{1}}{1- r} – \frac{a_{1}*r^n}{1 – r})\]:
Si \[|r| > 1, r^n\] creixerà quan creixi \[n\] i \[S_n \rightarrow \infty\].
Si \[-1<|r|< 1, r^n\] anirà decreixent fins arribar a \[0\]. En aquest cas, podem per tant eliminar el segon terme i:
\[\mathbf{S_n = \frac{a_{1}}{1 – r}}\].
Exemple:
Si \[a_{1}=2\] i \[r = 1/2\], llavors \[a-n=2, 1, 1/2, 1/4, 1/8,…\].
I el resultat de la suma és: \[S_n = \frac{2}{1 – 1/2} = \frac{2}{1/2} = 4\].
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Per a calcular el producte dels n primers termes \[P_{n} = a_{1}*a_{2}…*a_{n}\] d’una progressió geomètrica farem com abans el càlcul dels productes dels termes equidistants de la successió:
Exemple:
Si \[a_n=1,2,4,8,16,32…\] i volem calcular \[P_{6} = \,1*2*4*8*16*32\]:
fent el producte dels termes equidistants de la successió:
\[1*…32 = 2*16 = 4*8\].
És a dir que: \[P_{6}=(a_1*a_6)^{6/2}=\sqrt{(a_1*a_6)^6}\]
Per tant, la fórmula general és:
\[\mathbf{P_{n} = (a_{1}*a_{n})^{n/2} = \sqrt{(a_{1}a_{n})^{n}}}\].
4.2 Suma d’una progressió geomètrica
Volem calcular \[S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n}\] dels termes d’una progressió geomètrica.
La fórmula que ens permet fer aquest càlcul és: \[\mathbf{S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}}\]
Exemple:
Si \[a_{1} = 2, r = 2\] i \[n = 5 \Rightarrow a_n= 2,4,8,16,32\], i per tant:
\[S_{5} = 2\frac{2^5-1}{2-1} = 2*31 = 62\].
Ho podem comprovar fent la suma manualment:
\[S_{5} = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62\].
4.2.1 De termes infinits
Si fem el límit de \[S_{n} = a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1}\] quan \[n \rightarrow \infty\] , és a dir, sumem els infinits termes d’una progressió geomètrica:
\[\lim_{n\to\infty} S_{n} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{r^n – 1}{r – 1} = \lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{1 – r^n}{1 – r} = \lim_{n\to\infty}(\frac{a_{1}}{1- r} – \frac{a_{1}*r^n}{1 – r})\]:
Si \[|r| > 1, r^n\] creixerà quan creixi \[n\] i \[S_n \rightarrow \infty\].
Si \[-1<|r|< 1, r^n\] anirà decreixent fins arribar a \[0\]. En aquest cas, podem per tant eliminar el segon terme i:
\[\mathbf{S_n = \frac{a_{1}}{1 – r}}\].
Exemple:
Si \[a_{1}=2\] i \[r = 1/2\], llavors \[a-n=2, 1, 1/2, 1/4, 1/8,…\].
I el resultat de la suma és: \[S_n = \frac{2}{1 – 1/2} = \frac{2}{1/2} = 4\].
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons
RSS CEEdukat
Quant a l'autor