Càlcul de l’àrea i el volum d’un poliedre

Un poliedre està format per la unió de diverses cares poligonals.

Els poliedres poden ser regulars o irregulars.

Entre els poliedres irregulars hi ha el prismes i les piràmides.

PRISMES: Un prisma és un poliedre amb dues bases poligonals (té un polígon en cada base). Les cares laterals són paral·lelograms (quadrilàters amb els costats oposats paral·lels).

Per a calcular l’àrea lateral d’un prisma, fem:

$A_{prisma}=Perímetre*alçària=n*c*h$

L’àrea de la base es calcula mitjançant les fórmules per a calcular l’àrea d’un polígon:

$A_{base}=\frac{2*n*c*ap}{2}=n*c*ap$

Si el costat del prisma és 8 cm, l’apotema fa 3 cm i l’alçària del prisma són 10 cm, l’àrea del prisma serà:

$A_{prisma}=n*c*h+n*c*ap=5*8*10+5*8*3=520 , cm^2$

Per a calcular el volum del prisma fem:

$V_{prisma}=A_{base}*alçària=n*c*ap*h=5*8*3*10= 1 , 200 , cm^3$

PIRÀMIDES: una piràmide és un poliedre que té un base poligonal i cares triangulars. Les cares convergeixen en un vèrtex.

Per a calcular l’àrea de la base d’una piràmide, fem:
$A_{base}=\frac{n*c*ap}{2}$

I per a calcular l’àrea lateral, fem:
$A_{lateral}=n*àrea_{triangle}$
Per a calcular l’àrea de cada triangle de l’àrea lateral de la piràmide, fem:

$A_{triangle}=base*alçària=\frac{c*h}{2}$

I l’àrea lateral és:

$A_{lateral}=base*alçària*n=\frac{c*h*n}{2}$

Per tant, l’àrea de la piràmide és:

$A_{piràmide}=A_{base}+A_{lateral}=\frac{n*c*ap}{2}+\frac{c*h*n}{2}$

El volum d’una piràmide és un terç de l’àrea del volum del prisma d’igual base i alçària:

$V{pirámide}=\frac{A_{base}*h}{3}$