Inequacions

Instruccions abans de començar

1. Definició:

Una inequació és una expressió algebraica que en relaciona els dos termes amb una desigualtat (\[<, \leq, >, \geq\]).

La solució d’una equació real és sempre un o més nombres reals. En canvi, la solució d’una inequació en una dimensió és un o més intervals i en dues una regió.

La resolució d’una equació o d’un sistema d’inequacions varia segons el grau i el nombre d’incògnites de l’equació o sistema. No obstant això, el procediment per a resoldre una inequació és el mateix que per a resoldre una equació, però canviem el sentit de la desigualtat quan la incògnita que aïllem perd el signe.

El mètode general per a resoldre una inequació és:

1. Si n’hi ha, eliminem els denominadors de la inequació.

2. Si n’hi ha, desfem els parèntesis aplicant la propietat distributiva.

3. Agrupem els monomis semblants.

4. Resolem l’equació obtinguda.

5. Si cal, invertim el sentit de la desigualtat.

6. Fem la representació el resultat sobre la recta real (una variable) o en sistema de cartesianes (dues variables) i determinem quina és la solució tenint en compte si els extrems o la regió són oberts/a o tancats/a (si la desigualtat conté un signe =, seran tancats, sinó, seran oberts). La solució de la inequació també es pot indicar en forma algebraica o d’interval (una variable).

2. Tipus d’inequacions

2.1 De primer grau

2.1.1 D’una variable

Les resolem com si fos una equació de primer grau tenint en compte el guió anterior. La solució serà un interval sobre la recta real, que es dividirà en nombre_ de_solucions+1 intervals.

Exemple:

\[
\displaylines{
\frac{3x+3}{4}<=\frac{5(x+1)}{2}
\\3x+3<=2 \cdot {(5x+5)}
\\3x+3<=10x+10
\\3x-10x<=10-3
\\-7x<=7
\\x>=\frac{7}{-7}
\\x>=1
}
\]

La representació gràfica d’aquesta solució és l’interval de la recta real:

I les solucions en forma algebraica i d’interval són: \[x>=1, [1, +\infty)\].

2.1.2 De dues variables

Per a determinar quin és el semiplà solució, calcularem si el punt de mostra (0,0) -agafem aquest punt per facilitat de càlcul- compleix o no la inequació. Si la compleix, la regió solució serà el semiplà que el conté, si no, ho serà l’altre.

\[
y \leq 2x+3\\
0 \leq 2 \cdot 0+3\\
0 \leq 3\\
\]

Per tant, el semiplà de la dreta és la regió solució de la inequació.

2.2 De segon grau

2.2.1 D’una variable

Seguim el guió de resolució d’inequacions, però ara haurem de resoldre una equació de segon grau.

Exemple:

\[ \displaystyle{ \frac{10x^2-7}{3}=3x^2+6\\ 10x^2-7=9x^2+18\\ x^2=25\\ x\pm \sqrt{25}\\ x\pm 5 } \]

La representació gràfica és:

Ara, agafem un punt de cada interval (-10, 0, +10, per exemple) i l’introduïm a la inequació per a comprovar si se’n compleix la desigualtat:

Per tant, la solució és l’interval \[-5 \leq x \leq +5, \text{o bé }, (-5,+5)\].

Exemple:

Determineu els intervals que són solució de la següent inequacioó:

\[\displaystyle{\frac{x^2-7x+10}{x^2-9}<0}\]

Seguim el guió de resolució i determinem el signe de cada interval per a cadascuna de les inequacions substituint un valor de l’interval en cada inequació. A continuació, el determinem per al quocient d’ambdues inequacions en els intervals formats entre dos extrems consecutius. La solució seran els intervals on el quocient tingui signe negatiu.

Per tant, la solució és: (-3,+2]U(+3,+5).

3. Sistemes d’inequacions

Per a determinar la regió (R) solució d’un sistema d’inequacions resoldrem cada inequació i després trobarem la que sigui comuna a ambdues.

3.1 D’una variable

Resolem cada inequació com en l’apartat 2.1. La solució és l’interval comú de les dues inequacions. Cal determinar si els extrems són oberts o tancats.

Exemple:

$$
\begin {cases}
3x+4 \leq 2x+10\\
2x-3 >-5
\end {cases}
\\[1cm]
x+4 \leq 2x+10 \rightarrow 3x-2x \leq 10-4 \rightarrow x \leq 6 \\
2x-3>-5 \rightarrow 2x>+3-5 \rightarrow x<-{\frac{2}{2}} \rightarrow x<-1 $$

Exemple:

$$
\begin {cases}
2x+5 \geq 2-x \\
2x^2-2x-2 \leq x^2-x+4
\end {cases}
\\
\begin {cases}
2x+x \geq 2-5 \\
2x^2-x^2-2x+x-2-4 \leq 0
\end {cases}
\\
\begin {cases}
3x\geq -3 \\
x^2-x-6 \leq 0
\end {cases}
\\
\begin {cases}
x\geq -1 \\
x \leq 3,-2
\end {cases}
$$

En aquest cas, representem gràficament cada inequació i determinem la regió de solució:

Per tant, l’interval solució és \[-2 \leq x \leq -1, [-2,-1]\].

3.2 De dues variables

(Vegeu l’apartat 3. de l’entrada Programació lineal)