Instruccions abans de començar
Definició
La trigonometria és l’àrea de les matemàtiques que estudia la relació entre els costats i els angles dels triangles.
S’aplica sols als triangles rectangles, tot i que ens serveix per a resoldre qualsevol mena de triangle.
La paraula prové del grec: tri (tres), gono (angle) i metria (mesura).
Classificació dels triangles
Un triangle és una figura geomètrica plana de tres costats i tres angles.
Podem classificar els triangles segons els angles o els costats que els formen.
Segons els angles que els formen, es classifiquen en acutangles, rectangles i obtusangles.
Segons els costats que els formen, es classifiquen en isòsceles, equilàters i escalens.
(Vegeu l’entrada càlcul de l’àrea d’un polígon per a saber-ne més).
Mesura d’angles
Els angles tenen diferents unitats de mesura. La més coneguda és el grau sexagesimal. En una circumferència divida en graus sexagesimals cada quart de circumferència són 90º i una volta sencera són 360º.
El radià és la unitat d’angle del SI. Un radià és l’angle que té un arc de circumferència igual al radi \[s=r\].
Com que la longitud de qualsevol circumferència és \[L=2\pi*r \Rightarrow \, 2\pi=\frac{L}{r}\].
Això vol dir que la longitud de qualsevol circumferència conté \[2\pi\] vegades el radi.
Cada partició d’un radi de la longitud d’una circumferència és un radià.
Quan mesurem els angles en radians, cada quart de circumferència són \[\frac{\pi}{2}\] radians (escrit \[rad\]). Una volta sencera són \[2\pi \enspace rad\] o simplement \[2\pi\].
Per passar de graus sexagesimals a radians usem el factor de conversió \[360º = 2\pi \, rad\].
Exemple:
\[30º.\frac{2\pi}{360º} = \frac{\pi}{6}\, rad\].
Els angles notables (més importants) són: \[0º\, (0\, rad),\, 30º\ (\frac{\pi} {6} \, rad), \, 45º\, (\frac{\pi}{4} \, rad), \,60º [latex]\frac{\pi}{6}\] \, 90º \, \[(\frac{\pi}{2} \, rad)\].
Raons trigonomètriques
Una raó o proporció trigonomètrica és el quocient de la longitud de dos costats d’un triangle rectangle.
Definim les raons trigonomètriques fonamentals o bàsiques per a un angle qualsevol de la circumferència goniomètrica (la circumferència per a mesurar angles) com:
\[sin \, \alpha= \frac {catet \, oposat}{hipotenusa}\\\]
\[cos \, \alpha= \frac {catet \, contigu \, o \, adjacent}{hipotenusa}\]
Per a qualsevol triangle rectangle també es compleix que:
\[hipotenusa^2 = catet \, oposat^2 + catet \, adjacent^2
\,
(a^2=b^2+c^2)
\]
I la relació derivada:
\[tan \, \alpha= \frac {catet \, oposat}{catet \, contigu\, o\, adjacent}\]Les resta de relacions (proporcions o raons) trigonomètriques derivades del sinus i cosinus d’un angle són:
\[cosecant \, d’ \alpha \,(csc \, \alpha) =\frac{1}{sin \, \alpha}= \frac{a}{b}
\\
secant \, d’ \alpha \,(sec \, \alpha) =\frac{1}{cos \, \alpha}=\frac{a}{c}
\\
cotangent \, d\, ‘ \alpha \, (cot \, \alpha) = \frac{1}{tan \, \alpha}=\frac{c}{b}
\]
Exemple:
Si \[a = 5, \,b = 3, \,c = 4\], llavors
\[\sin\, \alpha = \frac{b}{a} = \frac{3}{5} = 0.6\\
\cos\, \alpha = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0.8\\
\tan\,\alpha = \frac{b}{c} = \frac{3}{4} = 0.75\\
\csc\, \alpha = \frac{a}{b} = \frac{5}{3} = 1.6667\\
\sec\, \alpha = \frac{a}{c} = \frac{5}{4} = 1.25\\
\cot\, \alpha = \frac{c}{b} = \frac{4}{3} = 1.333
\]
Les funcions inverses ens serveixen per a trobar l’angle sabent els valor de la funció.
Exemple:
\[\alpha=\ arcsin \, \alpha\, (\sin^{-1} \, \alpha); \,
\arcsin{0.6} \,(\sin^{-1}{0.6})=36.87º
\\
\alpha=\ arccos \, \alpha\, (\cos^{-1} \, \alpha); \,
\arccos{0.6} \,(\cos^{-1}{0.6})=53.13º
\\
\alpha=\ arctan \, \alpha\, (\tan^{-1} \, \alpha); \,
\arctan{0.6} \,(\tan^{-1}{0.6})=30.96º
\]
I la taula de relacions trigonomètriques notables és:
\[0º (0 \, rad)\] | \[30º (\frac{\pi}{6} \, rad)\] | \[45º (\frac{\pi}{4} \, rad)\] | \[60º (\frac{\pi}{3} \, rad)\] | \[45º (\frac{\pi}{2} \, rad)\] | |
\[\\sin \, \alpha\] | \[0\] | \[\frac{1}{2}\] | \[\frac{\sqrt2}{2}\] | \[\frac{\sqrt3}{2}\] | \[1\] |
\[\\cos \, \alpha\] | \[1\] | \[\frac{\sqrt3}{2}\] | \[\frac{\sqrt2}{2}\] | \[\frac{1}{2}\] | \[0\] |
\[\\tan \, \alpha\] | \[0\] | \[\frac{1}{\sqrt3}\] | \[1\] | \[{\sqrt3}\] | \[\infty\] |
Reducció d’angles al primer quadrant
La reducció d’un angle al primer quadrant consisteix en transformar un angle de més de 90º a un altre del primer quadrant que tingui la mateixa obertura.
Un angle més gran de 360º es pot transformar en un angle de la primera volta de la següent manera:
Si \[\alpha= 1 285º\]: el quocient de \[1 285 \div 360= 3\] i el residu és \[205º\]. Això vol dir que \[1 285º\] equivalen a 3 voltes senceres a la circumferència més 205º addicionals a la quarta volta.
Un cop hem determinat quan val l’angle de la darrera volta incompleta, fem la reducció d’aquest angle al primer quadrant. Observant el gràfic superior, veiem que:
Per a un angle de segon quadrant: \[\theta_{q2}=180º – \theta_{q1}\\\]
Per a un angle de tercer quadrant: \[\theta_{q3}= 180º+\theta_{q1}\\\]
Per a un angle de quart quadrant: \[\theta_{q4}= 360º – \theta_{q1}
\].
Ailant \[\theta_1\], tenim la reducció de l’angle al primer quadrant.
Exemple:
Si \[\theta_{q2} = 135º \, \Rightarrow \, \theta_{q1}=180º – 35º = 45º\\\]
Si \[\theta_{q3} = 200º \, \Rightarrow \, \theta_{q1}=200º – 180º = 20º\\\]
Si \[\theta_{q4} = 350º \, \Rightarrow \, \theta_{q1}=360º – 350º =10º\]
I els signes de les relacions trigonomètriques de cada quadrant són:
\[sin \, \theta_{q1}: +, \, cos \, \theta_{q1}: +, \, tan \, \theta_{q1}: +\]
\[sin \, \theta_{q2}: +, \, cos \, \theta_{q2}: -, \, tan \, \theta_{q2}: \, –\]
\[sin \, \theta_{q3}: -, \, cos \, \theta_{q3}: -, \, tan \, \theta_{q3}: +\\
sin \, \theta_{q4}: -, \, cos \, \theta_{q4}: +, \, tan \, \theta_{q4}: \, –\]
Resolució de triangles
Semblança de triangles
Dos triangles són semblants quan es compleix que:
1. Els seus angles són iguals: \[\hat{A} = \hat{A’}, \hat{B} = \hat{B’}, \hat{C} = \hat{C’}\], i que
2. Els seus costats són proporcionals: \[\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\].
Resoldre un triangle consisteix a trobar el valor de tots els seus costats i angles. Els diferents triangles que haurem de resoldre són:
i) Un triangle rectangle,
ii) un triangle inscrit en un altre triangle
iii) un triangle obtusangle.
Per a resoldre els triangles anteriors farem servir la trigonometria i la semblança de triangles:
i) Un triangle rectangle:
Per a resoldre un triangle rectangle ens calen, o bé dos costats, o bé un costat i un angle. Farem servir les relacions trigonomètriques sinus, cosinus, tangent i el teorema de Pitàgores:
Exemple:
\[c=3, \, \hat B=30º \Rightarrow \, a=\frac{c}{cos\, 30º}= 2 \sqrt 3, \, b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt 3\]
Exemple:
\[c=3, \,a=2\sqrt3 \Rightarrow \, b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt 3, \, \hat B=tg^{-1}(\frac{b}{c})=30º\]
Per a trobar l’angle complementari del \[\hat B\] farem \[90-\hat B=60º\].
ii) Dos triangles rectangles inscrits:
En aquest cas, farem la tangent de cada triangle rectangle i resoldrem el sistema pel mètode d’igualació:
Exemple:
\[
x=5 m, \, \hat B=40º, \, \hat C=20º, \, (L=?, \, h=?) \\
\begin{cases}
\tan \hat B=\frac{h}{L}\\
\tan \hat C=\frac{h}{L+x}
\end{cases} \\
h=\tan \hat B*L=\tan \hat C*(L+x)\\
L=\frac{\tan \hat C*x}{\tan \hat B-\tan \hat C }\\
L=\frac{tan 20º*5}{tan 40º-tan 20}=3.83 m\\
h= \tan \hat B*L=tan 40º*3.83= 3.21 m
\]
iii) Un triangle obtusangle:
Usarem també el mètode anterior:
Exemple:
\[
L=15 m, \, \hat A=40º, \, \hat B=20º, \, (x=?, \, h=?) \\
\begin {cases}
\tan \hat A=\frac{h}{L-x}\\
\tan \hat B=\frac{h}{x}
\end {cases}\\
x=\frac{L*tan \hat A}{tan \hat A+\tan \hat B}\\
x=\frac{15*(tan 40º)}{tan 40º+tan 20º}=10.46 m\\
h=x*\tan \hat B= 10.46*tan 20º=3.81 m
\]
Altres mètodes de resolució
Teorema del cosinus
Fem servir el teorema del cosinus si coneixem tres costats o dos costats i l’angle que els separa. També el podem usar per a calcular l’angle que els separa si coneixem dos costats adjacents.
Qualsevol triangle d’angles \[\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\] i costats \[a, b, c\] compleix que (teorema del cosinus):
\[a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c\cos\hat{A}\]
\[b^2 = a^2 + c^2 – 2*a*c*\cos\hat{B}\]
\[c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\]
Exemple:
Si coneixem els tres costats (ens cal esbrinar els tres angles): \[a = 7, b = 3, c = 6\]
Trobem dos angles:
\[
a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c*\cos\hat{A}\\
7^2 = 3^2 + 6^2 – 2*3*6*\cos\hat{A}\\
\cos\hat{A} = -\frac{7^2-3^2-6^2}{2*3*6}=\frac{1}{9}\\
\hat{A} = \cos^{-1}{(\frac{1}{9})}=96.38º
\]
Exemple:
Si coneixem dos costats i l’angle que el separa: \[a = 7, b = 3, \hat C=58º\]
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\\
c^2 = 7^2 + 3^2 – 2*7*3*\cos\hat{58}\\
c=5.99 m
\]
Per a trobar \[\hat A, \, \hat B\], seguim el procediment anterior:
\[
\hat A=\cos^{-1}{\frac{a^2-b^2-c^2}{-2*b*c}}=93.38º\\
\hat B=\cos^{-1}{\frac{b^2-a^2-c^2}{-2*a*c}}=25.21º
\]
Teorema del sinus
Qualsevol triangle d’angles \[\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\] i costats \[a, b, c\] compleix que: \[\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}} = \frac{c}{\sin\hat{C}}\]
Usem el teorema del sinus quan coneixem, o bé dos costats i l’angle oposat d’un dels costats coneguts, o bé dos angles i un costat oposat d’un dels angles coneguts del triangle.
Exemple:
Coneguts un costat i dos angles: \[\hat{A} = 62º, \hat{B} = 47º, c = 9\]
Trobem l’angle que falta sabent que tots tres sumen 180:
\[\hat{C} = 180 – 62 – 47 = 71º\]
Apliquem el teorema del sinus per trobar els altres dos costats:
\[
\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}}= \frac{c}{\sin\hat{C}}\\
\frac{a}{\sin 62º}=\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
\frac{a}{\sin 62º} = \frac{9}{\sin71º}\\
a = 9*\frac{\sin 62}{\sin 71}=8.4\\
\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
b = 9*\frac{\sin 47}{\sin 71}=6.96
\]
Teorema de l’altura
\[h^2 = m*n\]
Teorema del catet
\[c^2 = a*m\]
Equacions trigonomètriques
Per a resoldre equacions trigonomètriques hem d’usar les identitats trigonomètriques.
(Vegeu l’entrada equacions trigonomètriques per a saber-ne més).
1. Els seus angles són iguals: \[\hat{A} = \hat{A’}, \hat{B} = \hat{B’}, \hat{C} = \hat{C’}\], i que
2. Els seus costats són proporcionals: \[\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\].
ii) un triangle inscrit en un altre triangle
iii) un triangle obtusangle.
Teorema del cosinus
Fem servir el teorema del cosinus si coneixem tres costats o dos costats i l’angle que els separa. També el podem usar per a calcular l’angle que els separa si coneixem dos costats adjacents.
Qualsevol triangle d’angles \[\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\] i costats \[a, b, c\] compleix que (teorema del cosinus):
\[a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c\cos\hat{A}\]
\[b^2 = a^2 + c^2 – 2*a*c*\cos\hat{B}\]
\[c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\]
Exemple:
Si coneixem els tres costats (ens cal esbrinar els tres angles): \[a = 7, b = 3, c = 6\]
Trobem dos angles:
\[
a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c*\cos\hat{A}\\
7^2 = 3^2 + 6^2 – 2*3*6*\cos\hat{A}\\
\cos\hat{A} = -\frac{7^2-3^2-6^2}{2*3*6}=\frac{1}{9}\\
\hat{A} = \cos^{-1}{(\frac{1}{9})}=96.38º
\]
Exemple:
Si coneixem dos costats i l’angle que el separa: \[a = 7, b = 3, \hat C=58º\]
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\\
c^2 = 7^2 + 3^2 – 2*7*3*\cos\hat{58}\\
c=5.99 m
\]
Per a trobar \[\hat A, \, \hat B\], seguim el procediment anterior:
\[
\hat A=\cos^{-1}{\frac{a^2-b^2-c^2}{-2*b*c}}=93.38º\\
\hat B=\cos^{-1}{\frac{b^2-a^2-c^2}{-2*a*c}}=25.21º
\]
Teorema del sinus
Qualsevol triangle d’angles \[\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\] i costats \[a, b, c\] compleix que: \[\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}} = \frac{c}{\sin\hat{C}}\]
Usem el teorema del sinus quan coneixem, o bé dos costats i l’angle oposat d’un dels costats coneguts, o bé dos angles i un costat oposat d’un dels angles coneguts del triangle.
Exemple:
Coneguts un costat i dos angles: \[\hat{A} = 62º, \hat{B} = 47º, c = 9\]
Trobem l’angle que falta sabent que tots tres sumen 180:
\[\hat{C} = 180 – 62 – 47 = 71º\]
Apliquem el teorema del sinus per trobar els altres dos costats:
\[
\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}}= \frac{c}{\sin\hat{C}}\\
\frac{a}{\sin 62º}=\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
\frac{a}{\sin 62º} = \frac{9}{\sin71º}\\
a = 9*\frac{\sin 62}{\sin 71}=8.4\\
\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
b = 9*\frac{\sin 47}{\sin 71}=6.96
\]
Teorema de l’altura
\[h^2 = m*n\]
Teorema del catet
\[c^2 = a*m\]
Equacions trigonomètriques
Per a resoldre equacions trigonomètriques hem d’usar les identitats trigonomètriques.
(Vegeu l’entrada equacions trigonomètriques per a saber-ne més).
\[a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c\cos\hat{A}\]
\[b^2 = a^2 + c^2 – 2*a*c*\cos\hat{B}\]
\[c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\]
Trobem dos angles:
\[
a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c*\cos\hat{A}\\
7^2 = 3^2 + 6^2 – 2*3*6*\cos\hat{A}\\
\cos\hat{A} = -\frac{7^2-3^2-6^2}{2*3*6}=\frac{1}{9}\\
\hat{A} = \cos^{-1}{(\frac{1}{9})}=96.38º
\]
Qualsevol triangle d’angles \[\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\] i costats \[a, b, c\] compleix que: \[\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}} = \frac{c}{\sin\hat{C}}\]
Usem el teorema del sinus quan coneixem, o bé dos costats i l’angle oposat d’un dels costats coneguts, o bé dos angles i un costat oposat d’un dels angles coneguts del triangle.
Exemple:
Coneguts un costat i dos angles: \[\hat{A} = 62º, \hat{B} = 47º, c = 9\]
Trobem l’angle que falta sabent que tots tres sumen 180:
\[\hat{C} = 180 – 62 – 47 = 71º\]Apliquem el teorema del sinus per trobar els altres dos costats:
\[\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}}= \frac{c}{\sin\hat{C}}\\
\frac{a}{\sin 62º}=\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
\frac{a}{\sin 62º} = \frac{9}{\sin71º}\\
a = 9*\frac{\sin 62}{\sin 71}=8.4\\
\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\
b = 9*\frac{\sin 47}{\sin 71}=6.96
\]
Teorema de l’altura
\[h^2 = m*n\]
Teorema del catet
\[c^2 = a*m\]
Equacions trigonomètriques
Per a resoldre equacions trigonomètriques hem d’usar les identitats trigonomètriques.
(Vegeu l’entrada equacions trigonomètriques per a saber-ne més).
Equacions trigonomètriques
Per a resoldre equacions trigonomètriques hem d’usar les identitats trigonomètriques.
(Vegeu l’entrada equacions trigonomètriques per a saber-ne més).