Arxiu d'etiquetes trigonometria

Instruccions abans de començar

Definició

La trigonometria és l’àrea de les matemàtiques que estudia la relació entre els costats i els angles dels triangles.

S’aplica sols als triangles rectangles, tot i que ens serveix per a resoldre qualsevol mena de triangle.

La paraula prové del grec: tri (tres), gono (angle) i metria (mesura).

Classificació dels triangles

Un triangle és una figura geomètrica plana de tres costats i tres angles.

Podem classificar els triangles segons els angles o els costats que els formen.

Segons els angles que els formen, es classifiquen en acutangles, rectangles i obtusangles.

Segons els costats que els formen, es classifiquen en isòsceles, equilàters i escalens.

(Vegeu l’entrada càlcul de l’àrea d’un polígon per a saber-ne més).

Mesura d’angles

Els angles tenen diferents unitats de mesura. La més coneguda és el grau sexagesimal. En una circumferència divida en graus sexagesimals cada quart de circumferència són 90º i una volta sencera són 360º.

El radià és la unitat d’angle del SI. Un radià és l’angle que té un arc de circumferència igual al radi $s=r$.

Com que la longitud de qualsevol circumferència és $L=2\pi*r \Rightarrow \, 2\pi=\frac{L}{r}$.

Això vol dir que la longitud de qualsevol circumferència conté $2\pi$ vegades el radi.

Cada partició d’un radi de la longitud d’una circumferència és un radià.

Quan mesurem els angles en radians, cada quart de circumferència són $\frac{\pi}{2}$ radians (escrit $rad$). Una volta sencera són $2\pi \enspace rad$ o simplement $2\pi$.

Per passar de graus sexagesimals a radians usem el factor de conversió $360º = 2\pi \, rad$.

Exemple:

$30º.\frac{2\pi}{360º} = \frac{\pi}{6}\, rad$.

Els angles notables (més importants) són: $0º\, (0\, rad),\, 30º\ (\frac{\pi} {6} \, rad), \, 45º\, (\frac{\pi}{4} \, rad), \,60º [latex]\frac{\pi}{6}$ \, 90º \, $(\frac{\pi}{2} \, rad)$.

Raons trigonomètriques

Una raó o proporció trigonomètrica és el quocient de la longitud de dos costats d’un triangle rectangle.

Definim les raons trigonomètriques fonamentals o bàsiques per a un angle qualsevol de la circumferència goniomètrica (la circumferència per a mesurar angles) com:

$sin \, \alpha= \frac {catet \, oposat}{hipotenusa}\\$
$cos \, \alpha= \frac {catet \, contigu \, o \, adjacent}{hipotenusa}$

Per a qualsevol triangle rectangle també es compleix que:

$hipotenusa^2 = catet \, oposat^2 + catet \, adjacent^2 \, (a^2=b^2+c^2)$

I la relació derivada:

$tan \, \alpha= \frac {catet \, oposat}{catet \, contigu\, o\, adjacent}$

Les resta de relacions (proporcions o raons) trigonomètriques derivades del sinus i cosinus d’un angle són:

$cosecant \, d’ \alpha \,(csc \, \alpha) =\frac{1}{sin \, \alpha}= \frac{a}{b} \\ secant \, d’ \alpha \,(sec \, \alpha) =\frac{1}{cos \, \alpha}=\frac{a}{c} \\ cotangent \, d\, ‘ \alpha \, (cot \, \alpha) = \frac{1}{tan \, \alpha}=\frac{c}{b}$

Exemple:

Si $a = 5, \,b = 3, \,c = 4$, llavors

$\sin\, \alpha = \frac{b}{a} = \frac{3}{5} = 0.6\\ \cos\, \alpha = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0.8\\ \tan\,\alpha = \frac{b}{c} = \frac{3}{4} = 0.75\\ \csc\, \alpha = \frac{a}{b} = \frac{5}{3} = 1.6667\\ \sec\, \alpha = \frac{a}{c} = \frac{5}{4} = 1.25\\ \cot\, \alpha = \frac{c}{b} = \frac{4}{3} = 1.333$

Les funcions inverses ens serveixen per a trobar l’angle sabent els valor de la funció.

Exemple:

$\alpha=\ arcsin \, \alpha\, (\sin^{-1} \, \alpha); \, \arcsin{0.6} \,(\sin^{-1}{0.6})=36.87º \\ \alpha=\ arccos \, \alpha\, (\cos^{-1} \, \alpha); \, \arccos{0.6} \,(\cos^{-1}{0.6})=53.13º \\ \alpha=\ arctan \, \alpha\, (\tan^{-1} \, \alpha); \, \arctan{0.6} \,(\tan^{-1}{0.6})=30.96º$

I la taula de relacions trigonomètriques notables és:

	$0º (0 \, rad)$	$30º (\frac{\pi}{6} \, rad)$	$45º (\frac{\pi}{4} \, rad)$	$60º (\frac{\pi}{3} \, rad)$	$45º (\frac{\pi}{2} \, rad)$
$\\sin \, \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\\cos \, \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\\tan \, \alpha$	$0$	$\frac{1}{\sqrt3}$	$1$	${\sqrt3}$	$\infty$

Reducció d’angles al primer quadrant

La reducció d’un angle al primer quadrant consisteix en transformar un angle de més de 90º a un altre del primer quadrant que tingui la mateixa obertura.

Un angle més gran de 360º es pot transformar en un angle de la primera volta de la següent manera:

Si $\alpha= 1 285º$: el quocient de $1 285 \div 360= 3$ i el residu és $205º$. Això vol dir que $1 285º$ equivalen a 3 voltes senceres a la circumferència més 205º addicionals a la quarta volta.

Un cop hem determinat quan val l’angle de la darrera volta incompleta, fem la reducció d’aquest angle al primer quadrant. Observant el gràfic superior, veiem que:

Per a un angle de segon quadrant: $\theta_{q2}=180º – \theta_{q1}\\$
Per a un angle de tercer quadrant: $\theta_{q3}= 180º+\theta_{q1}\\$
Per a un angle de quart quadrant: $\theta_{q4}= 360º – \theta_{q1}$.

Ailant $\theta_1$, tenim la reducció de l’angle al primer quadrant.

Exemple:

Si $\theta_{q2} = 135º \, \Rightarrow \, \theta_{q1}=180º – 35º = 45º\\$
Si $\theta_{q3} = 200º \, \Rightarrow \, \theta_{q1}=200º – 180º = 20º\\$
Si $\theta_{q4} = 350º \, \Rightarrow \, \theta_{q1}=360º – 350º =10º$

I els signes de les relacions trigonomètriques de cada quadrant són:

$sin \, \theta_{q1}: +, \, cos \, \theta_{q1}: +, \, tan \, \theta_{q1}: +$
$sin \, \theta_{q2}: +, \, cos \, \theta_{q2}: -, \, tan \, \theta_{q2}: \, –$
$sin \, \theta_{q3}: -, \, cos \, \theta_{q3}: -, \, tan \, \theta_{q3}: +\\ sin \, \theta_{q4}: -, \, cos \, \theta_{q4}: +, \, tan \, \theta_{q4}: \, –$

Resolució de triangles

Semblança de triangles

Dos triangles són semblants quan es compleix que:

1. Els seus angles són iguals: $\hat{A} = \hat{A’}, \hat{B} = \hat{B’}, \hat{C} = \hat{C’}$, i que
2. Els seus costats són proporcionals: $\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}$.

Resoldre un triangle consisteix a trobar el valor de tots els seus costats i angles. Els diferents triangles que haurem de resoldre són:

i) Un triangle rectangle,
ii) un triangle inscrit en un altre triangle
iii) un triangle obtusangle.

Per a resoldre els triangles anteriors farem servir la trigonometria i la semblança de triangles:

i) Un triangle rectangle:

Per a resoldre un triangle rectangle ens calen, o bé dos costats, o bé un costat i un angle. Farem servir les relacions trigonomètriques sinus, cosinus, tangent i el teorema de Pitàgores:

Exemple:

$c=3, \, \hat B=30º \Rightarrow \, a=\frac{c}{cos\, 30º}= 2 \sqrt 3, \, b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt 3$

Exemple:

$c=3, \,a=2\sqrt3 \Rightarrow \, b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt 3, \, \hat B=tg^{-1}(\frac{b}{c})=30º$

Per a trobar l’angle complementari del $\hat B$ farem $90-\hat B=60º$.

ii) Dos triangles rectangles inscrits:

En aquest cas, farem la tangent de cada triangle rectangle i resoldrem el sistema pel mètode d’igualació:

Exemple:

$x=5 m, \, \hat B=40º, \, \hat C=20º, \, (L=?, \, h=?) \\ \begin{cases} \tan \hat B=\frac{h}{L}\\ \tan \hat C=\frac{h}{L+x} \end{cases} \\ h=\tan \hat B*L=\tan \hat C*(L+x)\\ L=\frac{\tan \hat C*x}{\tan \hat B-\tan \hat C }\\ L=\frac{tan 20º*5}{tan 40º-tan 20}=3.83 m\\ h= \tan \hat B*L=tan 40º*3.83= 3.21 m$

iii) Un triangle obtusangle:

Usarem també el mètode anterior:

Exemple:

$L=15 m, \, \hat A=40º, \, \hat B=20º, \, (x=?, \, h=?) \\ \begin {cases} \tan \hat A=\frac{h}{L-x}\\ \tan \hat B=\frac{h}{x} \end {cases}\\ x=\frac{L*tan \hat A}{tan \hat A+\tan \hat B}\\ x=\frac{15*(tan 40º)}{tan 40º+tan 20º}=10.46 m\\ h=x*\tan \hat B= 10.46*tan 20º=3.81 m$

Altres mètodes de resolució

Teorema del cosinus

Fem servir el teorema del cosinus si coneixem tres costats o dos costats i l’angle que els separa. També el podem usar per a calcular l’angle que els separa si coneixem dos costats adjacents.

Qualsevol triangle d’angles $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$ i costats $a, b, c$ compleix que (teorema del cosinus):

$a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c\cos\hat{A}$
$b^2 = a^2 + c^2 – 2*a*c*\cos\hat{B}$
$c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}$

Exemple:

Si coneixem els tres costats (ens cal esbrinar els tres angles): $a = 7, b = 3, c = 6$

Trobem dos angles:

$a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c*\cos\hat{A}\\ 7^2 = 3^2 + 6^2 – 2*3*6*\cos\hat{A}\\ \cos\hat{A} = -\frac{7^2-3^2-6^2}{2*3*6}=\frac{1}{9}\\ \hat{A} = \cos^{-1}{(\frac{1}{9})}=96.38º$

Exemple:

Si coneixem dos costats i l’angle que el separa: $a = 7, b = 3, \hat C=58º$

$c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*\cos\hat{C}\\ c^2 = 7^2 + 3^2 – 2*7*3*\cos\hat{58}\\ c=5.99 m$

Per a trobar $\hat A, \, \hat B$, seguim el procediment anterior:

$\hat A=\cos^{-1}{\frac{a^2-b^2-c^2}{-2*b*c}}=93.38º\\ \hat B=\cos^{-1}{\frac{b^2-a^2-c^2}{-2*a*c}}=25.21º$

Teorema del sinus

Qualsevol triangle d’angles $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$ i costats $a, b, c$ compleix que: $\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}} = \frac{c}{\sin\hat{C}}$

Usem el teorema del sinus quan coneixem, o bé dos costats i l’angle oposat d’un dels costats coneguts, o bé dos angles i un costat oposat d’un dels angles coneguts del triangle.

Exemple:

Coneguts un costat i dos angles: $\hat{A} = 62º, \hat{B} = 47º, c = 9$

Trobem l’angle que falta sabent que tots tres sumen 180:

$\hat{C} = 180 – 62 – 47 = 71º$

Apliquem el teorema del sinus per trobar els altres dos costats:

$\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}}= \frac{c}{\sin\hat{C}}\\ \frac{a}{\sin 62º}=\frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\ \frac{a}{\sin 62º} = \frac{9}{\sin71º}\\ a = 9*\frac{\sin 62}{\sin 71}=8.4\\ \frac{b}{\sin 47} = \frac{9}{\sin71º}\\ b = 9*\frac{\sin 47}{\sin 71}=6.96$

Teorema de l’altura

$h^2 = m*n$

Teorema del catet

$c^2 = a*m$

Equacions trigonomètriques

Per a resoldre equacions trigonomètriques hem d’usar les identitats trigonomètriques.

(Vegeu l’entrada equacions trigonomètriques per a saber-ne més).

• Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?
  
  Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible.

• 
  Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-Compartir Igual 4.0 Internacional de Creative Commons