Matrius

Instruccions abans de començar

Definicions

Matriu

És un arranjament de nombres o expressions en files i columnes. Cada nombre (o expressió) té una posició que es determina per la fila \[ i\] i la columna \[ j\] que ocupa.

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}…&a_{2n}\\ …\\ a_{m1}&a_{m2}…&a_{mn} \end{bmatrix} \]

Matriu adjunta

S’obté substituint cada element pel seu adjunt.

L’adjunt \[A_{ij}\]d’un element \[a_{ij}\] és el valor del menor complementari de l’element multiplicat per signe que correspon a la seva posició.

El menor complementari d’un element \[(M_{ij})\] és el valor del determinant que resulta d’eliminar la fila i la columna de l’element.

El signe atribuït a a l’element d’acord a la seva posició és \[(-1)^{i+j}\].

Per tant, l’adjunt d’un element \[a_{ij}\] és \[(-1)^{i+j}*M_{ij}\].

Exemple:

Els signes que corresponen a cada element d’una matriu quadrada de dimensió tres, són:

\[ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}+&-&+&\\-&+&-&\\+&-&+\end{bmatrix} \]

I l’adjunt de cada element de la següent matriu és:

\[ A_{3*3}=\begin{bmatrix}3&8&5\\2&-6&-1\\1&5&1\end{bmatrix} \\[1cm] A_{11}=(-1)^{(1+1)}*M_{11}=(-1)^2*\begin{bmatrix}-6&-1\\5&1\end{bmatrix}=1*-1=-1 \\ A_{12}=(-1)^3*M_{12}=-1*\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}=-1*3=-3 \\ A_{13}=+M_{13}=+\begin{bmatrix}2&-6\\1&5\end{bmatrix}=16 \\ A_{21}=-M_{21}=-\begin{bmatrix}8&5\\5&1\end{bmatrix}=17 \\ A_{22}=+M_{22}=+\begin{bmatrix}3&5\\1&1\end{bmatrix}=-2 \\ A_{23}=-M_{23}=-\begin{bmatrix}3&8\\1&5\end{bmatrix}=-7 \\ A_{31}=+M_{31}=+\begin{bmatrix}8&5\\-6&-1\end{bmatrix}=22 \\ A_{32}=-M_{32}=-\begin{bmatrix}3&5\\2&-1\end{bmatrix}=+13 \\ A_{33}=+M_{33}=+\begin{bmatrix}3&8\\2&-6\end{bmatrix}=-34 \\[1cm] \]

Per tant, la matriu adjunta és:

\[ A^{adj}=\begin{bmatrix}-1&-3&16\\17&-2&-7\\22&13&-34\end{bmatrix} \]

Matriu ampliada

És un sistema d’equacions lineals escrit en forma de matriu. Inclou els coeficients i els termes independents.

Exemple:

\[ \begin{cases}3x+8y+5z=16\\2x-6y-1z=-5\\x+5y+z=7\end{cases} \\[1cm] \begin{bmatrix}3&8&5&|16\\2&-6&-1&\hspace{0.3cm}|-5\\1&5&1&|7\end{bmatrix} \]

Matriu anti-simètrica

És un matriu en la qual es verifica que \[a_{ij}=-a_{ji}\]. Els elements de la diagonal principal són zero.

Exemple:

\[ \begin{bmatrix} \color{red}0&\color{blue}5&\color{blue}1\\ \color{green}-5&\color{red}0&\color{blue}2\\ \color{green}-1&\color{green}-2&\color{red}0 \end{bmatrix} \]

Matriu associada

És un sistema d’equacions lineals escrit en forma de matriu. Sols inclou els coeficients de les incògnites.

\[ \begin{cases}3x+8y+5z=16\\2x-6y-1z=-5\\x+5y+z=7\end{cases} \\[1cm] \begin{bmatrix}3&8&5\\2&-6&-1\\1&5&1\end{bmatrix} \]

Matriu columna

És una matriu de dimensió \[m*1 \, (A=\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\…\\a_{m1}\end{bmatrix})\]

Exemple:

\[A=\begin{bmatrix}2\\8\\-9\\7\end{bmatrix}\].

Matriu diagonal

És una matriu quadrada que té zeros en tots els elements que no pertanyen a la diagonal principal.

Exemple:

\[ \begin{bmatrix}3&0&0\\0&-6&0\\0&0&1\end{bmatrix} \]

Matriu elemental

Una matriu elemental és qualsevol matriu obtinguda fent una transformació elemental sobre la matriu identitat \[(I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix})\]

Les matrius elementals són de primer, segon o tercer tipus segons la mena d’operació elemental que les genera:

De primer tipus: és la matriu que resulta de permutar dues files de la matriu identitat.

Exemple:

\[
\begin{bmatrix} \color{red}0&\color{red} 1&\color{red} 0\\
\color{green}1&\color{green}0&\color{green}0\\
0&0&1\end{bmatrix}
\]

De segon tipus:  és la matriu que resulta de multiplicar una fila de la matriu identitat per un paràmetre (\[λ\]).

Exemple:

\[
5*\begin{bmatrix}1&0&0\\
\color{red}0&\color{red}1&\color{red}0\\
0&0&1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
\color{red}0&\color{red}5&\color{red}0\\
0&0&1\end{bmatrix}
\]

De tercer tipus:  és la matriu que resulta de sumar una fila de la matriu identitat amb una altra fila multiplicada per un paràmetre (\[λ\]).

Exemple:

\[ \begin{bmatrix} \color{red}1&\color{red}0&\color{red} 0\\ \color{green}0&\color{green}5&\color{green}0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ \color{blue}1&\color{blue}5&\color{blue}0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \]

Matrius equivalents

Dues matrius són equivalents si se’n pot obtenir una fent transformacions elementals en l’altra.

Exemple:

\[ A=\begin{bmatrix}3&5&0\\4&3&2\\1&1&7\end{bmatrix} \\ C_1\Leftrightarrow C_2 \\ B=\begin{bmatrix}5&3&0\\\color{red}3&\color{red}4&\color{red}2\\1&1&7\end{bmatrix} \\ \color{red}{F_2=3*F_1+F_2} \\ C=\begin{bmatrix}5&3&0\\\color{red}{18}&\color{red}{13}&\color{red}{2}\\1&1&7\end{bmatrix} \]

\[A, B\] i \[C\] són matrius equivalents

Matriu escalar

És una matriu diagonal que té tots els elements no nuls iguals.

Exemple:

\[ \begin{bmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{bmatrix} \]

Matriu fila

És una matriu de dimensió \[1*n \,
(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}…&a_{1n}\end{bmatrix})\]:

Exemple:

\[A=\begin{bmatrix}2&8&-9&7\end{bmatrix}\].

Matriu identitat

És una matriu diagonal en la qual tots els elements de la diagonal principal són \[1\]. Anomenem \[I\] a la matriu identitat.

Exemple:

\[I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]

Matriu inversa

És una matriu quadrada amb determinant diferent de zero \[(A^{-1})\] que multiplicada per\[A\] fa que \[A*A^{-1}=I\].

Per a calcular la matriu inversa usem, o bé el mètode de Gauss-Jordan, o bé la matriu transposada de l’adjunt dividida pel seu determinant.

Càlcul de la inversa per la transposada de l’adjunta

\[A^{-1}=\frac{(A^{adj})^t}{\left|A\right|}\]

\[ A_{3*3}=\begin{bmatrix}3&8&5\\2&-6&-1\\1&5&1\end{bmatrix}\]

1) Calculem el determinant de la matriu per a assegurar-nos que la matriu és invertible:

\[\left|A\right|=53 \neq 0\]

2) Com que la matriu és invertible, calculem la matriu d’adjunts:

\[ A_{11}=-1 \\ A_{12}=-3 \\ A_{13}=16 \\ A_{21}=17 \\ A_{22}=-2 \\ A_{23}=-7 \\ A_{31}=22 \\ A_{32}=13 \\ A_{33}=-34 \]

\[ A^{adj} = \begin{bmatrix} -1&-3&16\\ 17&-2&-7\\ 22&13&-34 \end{bmatrix} \]

3) Transposem la matriu d’adjunts:

\[ A^{adj} = \begin{bmatrix} -1&17&22\\ -3&-2&13\\ 16&-7&-34 \end{bmatrix} \]

4) Calculem la inversa:

\[ A^{-1} = \frac{\begin{bmatrix} -1&17&22\\ -3&-2&13\\ 16&-7&-34 \end{bmatrix}} {53} \]

\[ \begin{bmatrix} -1/53&17/53&22/53\\ -3/53&-2/53&13/53\\ 16/53&-7/53&-34/53 \end{bmatrix} \]

Càlcul de la inversa per Gauss-Jordan

\[ A_{3*3}=\begin{bmatrix}3&8&5\\2&-6&-1\\1&5&1\end{bmatrix}\]

1) Calculem el determinant de la matriu per a assegurar-nos que la matriu és invertible:

\[\left|A\right|=53 \neq 0\]

2) Calculem la matriu inversa per Gauss-Jordan

El mètode de Gauss transforma la matriu de coeficients en una matriu triangular superior. El mètode de Gauss-Jordan la transforma en una matriu diagonal fent triangulació superior i inferior de la matriu.

\[ \begin{bmatrix} 2&-3&5\hspace{0.7cm}:1&0&0\\ 4&1&-3 \hspace{0.1cm}:0&1&0\\ 5&-2&7\hspace{0.6cm}:0&0&1 \end{bmatrix} \\ F_1=F_1:2 \\ \\ \begin{bmatrix} 1&-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\hspace{0.4cm}:\frac{1}{2}&0&0\\ 4&1&-3:0&1&0\\ 5&-2&7\hspace{0.6cm}:0&0&1 \end{bmatrix} \\ F_2=F_2-4F_1 \\ F_3=F_3-5F_1 \\ \begin{bmatrix} 1&-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\hspace{0.4cm}:\frac{1}{2}&0&0\\ 0&7&-13:-2&1&0\\ 0&\frac{11}{2}&-\frac{11}{2}\hspace{0.6cm}:-\frac{5}{2}&0&1 \end{bmatrix} \\ F_2=F_2:7 \\ \begin{bmatrix} 1&-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\hspace{0.4cm}:\frac{1}{2}&0&0\\ 0&1&-\frac{13}{7}:-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}&0\\ 0&\frac{11}{2}&-\frac{11}{2}\hspace{0.6cm}:-\frac{5}{2}&0&1 \end{bmatrix} \\ F_3=F_3-\frac{11}{2}F_2 \\ \begin{bmatrix} 1&-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\hspace{0.4cm}:\frac{1}{2}&0&0\\ 0&1&-\frac{13}{7}:-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}&0\\ 0&0&\frac{33}{7}\hspace{0.6cm}:-\frac{13}{14}&-\frac{11}{14}&1 \end{bmatrix} \\ F_3=F_3:\frac{33}{7} \\ \begin{bmatrix} 1&-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\hspace{0.4cm}:\frac{1}{2}&0&0\\ 0&1&-\frac{13}{7}:-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}&0\\ 0&0&1\hspace{0.6cm}:-\frac{13}{66}&-\frac{1}{6}&\frac{7}{33} \end{bmatrix} \\ F_2=\frac{13}{7}F_3+F_2 \\ \begin{bmatrix} 1&\frac{3}{2}&0\hspace{0.4cm}:\frac{131}{132}&\frac{5}{12}&\frac{-35}{66}\\ 0&1&0:-\frac{43}{66}&-\frac{1}{6}&\frac{13}{33}\\ 0&0&1\hspace{0.6cm}:-\frac{13}{66}&-\frac{1}{6}&\frac{7}{33} \end{bmatrix} \\ F_1=F_1+\frac{3}{2}F_2 \\ \begin{bmatrix} 1&0&0\hspace{0.4cm}:\frac{1}{66}&-\frac{1}{6}&\frac{2}{33}\\ 0&1&0:-\frac{43}{66}&-\frac{1}{6}&\frac{13}{33}\\ 0&0&1\hspace{0.6cm}:-\frac{13}{66}&-\frac{1}{6}&\frac{7}{33} \end{bmatrix} \\ \]

Matriu nul·la

És una matriu en la qual tots els elements són zero.

Exemple:

\[\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\]

Matriu oposada

És una matriu que té tots els elements de la matriu original canviats de signe (\[A=-A\]).

Exemple:

\[A = \begin{bmatrix}2&-8&9\\6&-1&0\\5&7&7\end{bmatrix} \rightarrow (-A) \begin{bmatrix}-2&8&-9\\-6&1&0\\-5&-7&-7\end{bmatrix} \]

Matriu quadrada

És una matriu amb el mateix nombre de files que de columnes.

Exemple:

Una matriu quadrada de dimensió tres (3 files i 3 columnes) podria ser:

\[ A_{3×3} = \begin{bmatrix} 3&4&7\\ -9&0&3\\ 5&1&1 \end{bmatrix} \]

Matriu rectangular

És una matriu de dimensió \[m*n \, (m\neq n)\].

Matriu (rang d’una)

És el nombre més gran de files o columnes linealment independents d’una matriu. Coincideix amb l’ordre del menor no nul més gran de la matriu.

Quan es triangula la matriu fent servir el mètode de Gauss, el rang és el nombre de files diferents de zero.

Exemple:

\[
\begin{bmatrix}
3&8&5&8\\
2&-6&-1&2\\
1&5&1&5
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
3&8&5&8\\
0&-\frac{34}{3}&-\frac{13}{3}&-\frac{10}{3}\\
0&0&-\frac{53}{34}&\frac{28}{17}\
\end{bmatrix}
\]

El nombre de files no nul·les és el rang de la matriu: \[rang A=3\].

Una altra manera de determinar el rang d’una matrius és aplicant el mètode de Rouché-Fröbenius.

Matriu simètrica

És una matriu en la qual bescanviant les files i columnes obtenim la mateixa matriu. L’eix de simetria és la diagonal principal de la matriu.

Es compleix, per tant, que \[A=A^t\] i \[a_ij=a_ji\].

Exemple:

\[ \begin{bmatrix} \color{red}3&\color{blue}5&\color{blue}1\\ \color{green}5&\color{red}3&\color{blue}2\\ \color{green}1&\color{green}2&\color{red}7 \end{bmatrix} \rightarrow \, Simetria \,\rightarrow \begin{bmatrix} \color{red}3&\color{green}5&\color{green}1\\ \color{blue}5&\color{red}3&\color{green}2\\ \color{blue}1&\color{blue}2&\color{red}7 \end{bmatrix} \]

Matriu singular

És una matriu que no té inversa \[(\left|A \right|=0)\].

La matriu \[A=\begin{bmatrix}3&5&1\\5&3&2\\8&8&3\end{bmatrix}\] no és invertible perquè Det(A)=0.

(Vegeu l’entrada Determinants per a saber-ne més).

Matriu transposada

És una matriu quadrada que s’obté bescanviant les files i les columnes de la matriu. L’anomenem \[A^t\].

\[ A = \begin{bmatrix} 1&3&16\\ 17&-2&-7\\ 22&13&-34 \end{bmatrix} , A^{t} = \begin{bmatrix} 1&17&22\\ 3&-2&13\\ 16&-7&-34 \end{bmatrix} \]

Matriu triangular

És una matriu en la qual tots els elements per sobre (triangular inferior) o per sota (triangular superior) de la diagonal principal són zero.

Exemple:

Transformacions elementals

Són transformacions elementals en una matriu les següents operacions:

(PF) Permutar dues files d’una matriu
(PC) Permutar dues columnes d’una matriu
(MF) Multiplicar alguna de les files per un nombre real diferent de zero
(MC) Multiplicar alguna de les columnes per un nombre real diferent de zero
(SF) Sumar a una fila de la matriu una altra fila multiplicada per un nombre real
(SC) Sumar a una columna de la matriu una altra columna multiplicada per un nombre real 

Operacions amb matrius

Suma/ resta

Per a sumar o restar matrius dues matrius \[A\] i \[B\] hem de sumar o restar els elements de les matrius que ocupen la mateixa posició (\[a_{ij}+b{ij}\]). Les matrius han de tenir la mateixa dimensió.

Exemple:

\[ \begin{bmatrix}2&8&8&9\\-1&6&3&-7\\1&4&3&8\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0&-1&-8&6\\6&6&2&1\\-3&-6&5&8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&7&0&15\\5&12&5&-6\\-2&-2&8&16\end{bmatrix} \]

Multiplicació

Quan multipliquem dues matrius el nombre de columnes de la primera ha de ser igual al nombre files de la segona .

El producte de dues matrius \[A_{m*n}*B_{n*p}\] és una altra matriu \[C_{m*p}\].

Per a multiplicar dues matrius, multipliquem escalarment cada vector fila de primera matriu per tots el vectors columna de la segona matriu.

El producte de dues matrius no és commutatiu.

Exemple:

\[ \begin{bmatrix}2&8&8&9\\-1&6&3&-7\\1&4&3&8\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}0&2\\1&-7\\4&6\\3&4\end{bmatrix} = \\ (2,8,8,9)*(0,1,4,3)=0+8+32+27=67\\ (2,8,8,9)*(2,-7,6,4)=4-56+48+36=32\\ (-1,6,3,-7)*(0,1,4,3)=0+6+12-21=-3\\ (-1,6,3,-7)*(2,-7,6,4)=-2-42+18-28=-54\\ (1,4,3,8)*(0,1,4,3)=0+4+12+24=40\\ (1,4,3,8)*(2,-7,6,4)=2-28+18+32=24\\ =\\ \begin{bmatrix}67&32\\-3&-54\\40&24\end{bmatrix} \]

Divisió

La divisió entre dues matrius \[A\] i \[B\] és el producte \[A*B^{-1}\]. La matriu \[B \] ha de ser quadrada.

Exemple:

\[ \begin{bmatrix}0&2&5\\1&-7&6\\4&6&3\end{bmatrix} \div \begin{bmatrix}3&8&5\\2&-6&-1\\1&5&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&2&5\\1&-7&6\\4&6&3\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}3&8&5\\2&-6&-1\\1&5&1\end{bmatrix}^{-1} =\\ \begin{bmatrix}0&2&5\\1&-7&6\\4&6&3\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1/53&17/53&22/53\\ -3/53&-2/53&13/53\\ 16/53&-7/53&-34/53 \end{bmatrix} =\\ \begin{bmatrix}\frac{74}{53}&\frac{-39}{53}&\frac{-144}{53}\\ \frac{116}{53}&\frac{-11}{53}&\frac{-273}{53}\\ \frac{26}{53}&\frac{35}{53}&\frac{64}{53}&\end{bmatrix} \]

Potència

La potència d’una matriu \[A^n\] es calcula multiplicant \[n\] vegades la matriu \[ A\].