Sistemes d’equacions

Porceedukat

Sistemes d’equacions

Què és un sistema d'equacions

Un sistema d’equacions són dues o més equacions que compleixen certes igualtats per a uns valors determinats (solucions) de les incògnites.

Dues equacions són equivalents quan tenen les mateixes solucions.

El nombre de solucions d’un sistema és igual al grau de l’equació, tot i que en el conjunt del nombre reals (\(\mathbb R\)) pot ser inferior quan apareixen arrels d’índex parell negatives:

\(x^2-4x+8=0
\\
\Delta=\sqrt {b^2-4*a*c}
\\
=\sqrt {4^2-4*1*8}
\\
=\sqrt {16-32}=\sqrt{-16}\)

En aquest article, sols veurem la resolució de sistemes de dues equacions. 

Classificació dels sistemes d'equacions

Segons el grau de les equacions

Lineals

Un sistema d’equacions és lineal quan tots els termes de les equacions són de grau u.

No lineals

Quan alguna o totes les equacions del sistema són de grau dos o superior, o bé són equacions no lineals, diem que és un sistema d’equacions no lineal.

Segons les soluciones del sistema

Sistema Compatible Determinat (SCD)

Un sistema és compatible determinat si té un nombre finit de solucions.

Per a què un sistema d’equacions sigui determinat, calen tantes equacions diferents com incògnites tingui el sistema.

Dues rectes del pla que formen un sistema compatible determinat es tallen en un punt.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
——–
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}
\)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT

Sistema Compatible Indeterminat

Un sistema compatible indeterminat és un sistema d’equacions que té infinites solucions.

Si un sistema té més incógnites que equacions diferents, serà un sistema indeterminat.

Si un sistema de dues funcions lineals del pla és indeterminat, les rectes que el formen són en realitat una mateixa recta.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
4x+6y=16
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +4x+6y=16
\\
-4x-6y=-16
\\
——–
\\
\hspace{9pt} 0x+0y=0
\end {cases}\)

 
SISTEM COMPATIBLE INDETERMINAT

Sistema Incompatible

Un sistema és incompatible si no té solució.

Quan dues rectes del pla són paral·leles, formen un sistema incompatible.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x+3y=10
\\
——
\\
0=-2
\end{cases}\)

SISTEMA INCOMPATIBL

(Per a saber-ne, vegeu Altres sistemes d’equacions -Batxillerat).

Resolució del sistemes d'equacions

En resoldre un sistema d’equacions determinem els punts secants (d’intersecció) de les equacions del sistema entre sí. Aquests són els punts que tenen en comú les equacions del sistema.

El nombre màxim de solucions serà el grau més gran de les equacions del sistema.

Lineals

Reducció o Eliminació

Consisteix en eliminar o reduir una de les incògnites del sistema d’equacions. 

Per a eliminar-la, multiplicarem cada equació pel coeficient de la incógnita que volem eliminar de l’altre equació.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
4*)\,2x+3y=8
\\
3*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
8x+12y=32
\\
3x-12y=-21
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} 11x+0y=11
\\
x=\frac{11}{11}=1
\\[0.2cm]
y=\frac{8-2x}{3}=2
\end {cases}\)

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
1*)\,2x+3y=8
\\
2*)\,x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
2x+3y=8
\\
2x-8y=-14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\hspace{0.2pt} +2x+3y=8
\\
-2x+8y=+14
\\
——–
\\
\hspace{9pt} 0x+11y=22
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{22}{11}=2
\\[0.2cm]
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}\)

Igualació

Per tal d’aplicar el mètode d’igualació, aillarem la mateixa incògnita de cada equació i després igualarem ambdues expressions.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}
\\
x={-7+4y}
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
\frac{8-3y}{2}={-7+4y}
\\[0.2cm]
(8-3y)=2*(-7+4y)
\\[0.2cm]
8-3y=-14+8y
\\[0.2cm]
-3y-8y=-14-8
\\[0.2cm]
-11y=-22
\\[0.2cm]
y=\frac{22}{11}=2
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x=\frac{8-3y}{2}=1
\end {cases}\)

Substitució

En el mètode de substitucío, aïllarem una de les incògnites i la substituirem en l’altra equació.

\(\begin {cases}
2x+3y=8
\\
x-4y=-7
\end {cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
x-4*(\frac{8-2x}{3})=-7
\\[0.2cm]
x-\frac{32+8x}{3}=-7
\\[0.2cm]
\frac{3x-32+8x}{3}=\frac{-21}{3}
\\[0.2cm]
3x+8x=-21+32
\\[0.2cm]
11x=11
\\[0.2cm]
x=1
\end {cases}
\\[1.5cm]
\begin {cases}
y=\frac{8-2x}{3}
\\[0.2cm]
y=2
\end {cases}\)

Mètode gràfic

Aïllarem la \(y\) de cada equació i les representarem en un mateix gràfic.

Si el sistema és compatible determinat, el punt d’intersecció d’ambdues rectes serà la solució del sistema.

Si és indeterminat, ambdues rectes seran coincidents.

Si és incompatible, seran paral·leles.

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT

No lineals

El millor mètode de resoldre sistemes d’equacions no lineals sol ser el mètode de substitució, tot i que s’ha d’analitzar en cada cas el sistema per a determinar quin és el millor métode de resolució.

Per a saber-me  més, vegeu Altres mètodes de resolució d’equacions -Batxillerat).

\(\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x+y=5
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
x^2+y^2=25
\\
x=5-y
\\
\end{cases}
\\[1cm]
\begin {cases}
\\(5-y)^2+y^2=25
\\
(25-10y+y^2)+y^2=25
\\
2y^2-10y=0
\\
y*(2y-10)=0
\\
y=0,5
\\
x=5,0
\end{cases}\)

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible:

Sobre el autor

ceedukat administrator

Deja un comentario

CEEdukat Online! Ara també obrim a l'estiu!Primària - ESO - Batxillerat - Provés d'accés

A CEEdukat ara també fem classes online amb la mateixa qualitat i professionalitat que les presencials. També obrim els mesos de juliol i agost.