Polinomis

Porceedukat

Polinomis

Arrels d’un polinomi

Són els valors de la (variable) indeterminada que anul·len el polinomi. Els valora que anul·len la indeterminada \(x\) el polinomi \(P(x):x^2-6x+5 \) són \(x=1,5\):

\(P(x=1)=1^2-6*1+5=0\)
\(P(x=5)=5^2-6+5+5=0\)

Suma i resta de polinomis

Per a sumar o restar polinomis, primer ordenarem el polinomi (polinomi ordenat) i després sumarem o restarem els coeficients dels monomis semblants entre sí.

Si a un polinomi li manca algun dels seus termes (polinomi incomplet), deixarem un espai buit o col·locarem un zero en la posició corresponent del polinomi ordenat.

Per sumar polinomis sumem els coeficients, i per restar-los, els restem.

Coeficient

És el la part constant que multiplica a la part literal del monomi. En el monomi \(6*x^2+y^4\), el coeficient és \(6\).

Una altra manera més simplificada de sumar/ restar polinomis, és agrupar els termes semblants en un parèntesi i fer les operacions que en resultin:

\(x^4[8+(-6)]+x^2(2+9)+x^2(0+3)+x(9+0)+[(-6+(-4)]=
\)
\( 2x^4+11x^3+3x^2+9x-10x^4[(8-(-6)]+x^3[(2-(+9)]+
\)
\( x^2[(0-(+3)]+x(9-0)+[-6-(-4)]=14x^4-7x^3-3x^2+9x-2\)

Divisió de polinomis

El procediment per dividir polinomis és semblant al de dividir dues quantitats conegudes (divisió aritmètica). La divisió entre els dos polinomis només serà possible si el grau del polinomi dividend \( D(x)\) és més gran o igual que el grau del polinomi divisor \(d(x)\) Per fer la divisió, es dividiran els monomis del dividend entre els monomis del divisor de la mateixa manera que ho fem en una divisió amb quantitats conegudes. S’agafaran tants monomis de \(D(x)\) com termes tingui \(d(x)\) i es dividiran entre si de manera que s’anul·li sempre el terme amb el grau més gran i continuarem fent la divisió d’aquesta manera fins que el polinomi residu sigui de grau més petit que el polinomi divisor. Com en una divisió aritmètica, podem fer la prova de la divisió multiplicant el quocient pel divisor i sumant-li el residu:

\(D(x)=q(x)d(x)+r(x)\)

Factor comú

Factor d’un monomi: Cadascuna de les parts que formen un monomi.

Els factors comuns entre els diferents monomis d’una expressió algebraica, són les parts comunes a cada un dels monomis de l’expressió.

Per entrendre com es fa per extreure factor comú, primer factoritzem cada coeficient i expandim la part literal de cada monomi. Després, n’extraiem els factors comuns:

Exemples:

\(2x²-6x=\color{red}{2.x}.x-\color{red}2.3.\color{red}x=\color{red}{2x}.(x-3)\)
\(5x⁴-15x³+25x²=\color{red}{5.x.x}.x.x-\color{red}5.3.\color{red}{x.x}.x+5.\color{red}{5.x.x}= \color{red}{5x²}(x²-3x+5)\).

Factorització de polinomis

La factorització de polinomis és el procediment de descompondre un polinomi en els seus factors irreductibles. El resultat del producte d’aquest factors és el polinomi original. És l’operació algebraica equivalent a la descomposició en factors primers dels nombres enters. Per exemple, el polinomi \(x^2+5x+6\) es pot descompondre en \(x-2\) i \(x-3\), perquè\(x-2(x-3)=x^2+5x+6\) Un polinomi es pot factoritzar de diverses maneres: per Ruffini, per identitats notables o trobant les solucions de l’equació de segon grau (en cas que ho sigui). En el cas del polinomi anterior, \(x^2+5x+6\), es podria fer la descomposició per qualsevol de les tres maneres esmentades:

Per Ruffini:

Resolent l’equació de segon grau:

\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(x^2+5x+6: a=1, b=5, c=6; x=\frac{-(5) \pm \sqrt{(5)^2-416}}{21}=\frac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{-5 \pm 1}{2}\)
\( \Rightarrow x_1=\frac{-5+1}{2}=-2, \ x_2=\frac{-5-1}{2}=-3\)

Les solucions són \(x_1=-2, x_2=-3\), i els factors corresponents són:
\((x_1+2)\) i \((x_2+3)\)

Si fem \((x_1+2)*(x_2+3)\) el resultat és \(x^2+5x+6\).

Per identitats notables

Les identitats notables principals són:

\((x \pm a)^2=(x)^2 \pm 2xa+(a)^2\)
i \((x+a)(x-a)=x^2-a^2\). En el cas del polinomi \(x^2+4x+4\), la descomposició per identitats notables és \((x+2)^2: a^2=4 \Rightarrow a=2; \ 2xa=4 \Rightarrow x=\frac{4}{4}=1\).

En el cas del polinomi \(x^2-4\), la descomposició per identitats notables és \((x+2)(x-2):a^2=4 \Rightarrow a=2; \ x^2=1 \Rightarrow x=1\).

Fracció algebraica

És l’expressió algebraica d’un quocient entre dos polinomis \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), tal que \(Q(x)\ne0\). L’expressió algebraica \(\frac{x^2-6x+5}{x-4}\) és una fracció algebraica.

Una fracció algebraica, \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), és un quocient entre dos polinomis. La forma d’operar fraccions algebraiques és similar a la d’operar fraccions aritmètiques. Per tant, és necessari saber com descompondre polinomis i trobar el Mínim Comú Múltiple (MCM) i el Màxim Comú Divisor (MCD) per tal de sumar i restar les fraccions algebraiques.

Fraccions algebraiques, multiplicació de

Les fraccions algebraiques es multipliquen de la mateixa manera que es multipliquen les aritmètiques: es multipliquen els numeradors i els denominadors de totes les fraccions entre si:

\(F_1(x)=\frac{x-9}{x^2-1}, \ F_2(x)=\frac{x}{x-1} \ F_1(x)F_2(x)=\frac{(x-9)}{(x^2-1)}\frac{x}{(x-1)}=\ \frac{(x-9)x}{(x^2-1)(x-1)}=\frac{x^2-9x}{x^3-x^2-x+1}\)

Fraccions algebraiques, divisió de

També es divideixen de la mateixa manera que es divideixen les aritmètiques:

Es multiplica el numerador de la primera per el denominador de la segona i el resultat es col·loca en el numerador de la fracció resultant, es multiplica el denominador de la primera pel numerador de la segona i el resultat es col·loca en el denominador de la fracció resultant:

\(F_1(x)=\frac{x-9}{x^2-1}, F_2(x)=\frac{x}{x-1} \ F_1(x) \div F_2(x)=\frac{(x-9)}{(x^2-1)} \div \frac{x}{(x-1)}=\ \frac{(x-9)(x-1)}{(x^2-1)x}=\ \frac{x^2-10x+9}{x^3-x}\)

Fraccions algebraiques, suma i resta de

Com en el cas de la suma i resta de fraccions aritmètiques, hem de trobar el MCM de les fraccions que volem suma o restar i operar-les entre elles de la forma convencional:

\(F_1(x)=\frac{x-9}{x^2-1}, F_2(x)=\frac{x}{x-1}\)

Calculem el MCM dels denominadors:

\(\ F_1(x)=\frac{x-9}{x^2-1}=\frac{x-9}{(x-1)*(x+1)}\)
\(F_2(x)=\frac{x}{x-1}\)
\(MCM[F_1(x),F_2(x)]=x^2-1\)

I operem les fraccions:

\(\frac{(x-9)}{(x^2-1)} + \frac{x}{x-1}= \frac{(x-9)}{(x^2-1)} + \frac{x(x+1)}{x^2-1}\ \frac{(x-9)}{(x^2-1)} – \frac{x}{x-1}= \frac{(x-9)}{(x^2-1)} – \frac{x(x+1)}{x^2-1}\)

Fraccions algebraiques, simplificació de

Per simplificar una fracció algebraica, factoritzarem el numerador i el denominador i eliminarem els factors iguals. La simplificació es pot fer per Ruffini, amb la fórmula de les equacions de segon grau, per identitats notable o extraient factor comú.

Per exemple, \(\frac{x^2+4x+4}{x+2}=\frac{(x+2)^2}{x+2}=\frac{(x+2)*(x+2)}{x+2}=x+2\)

Identitat notable

Identitat: igualtat que es compleix sempre, per a qualsevol valor de la indeterminada.

Notable: important.

Les identitats notables són expressions que apareixen moltes vegades en el cálcul matemàtic que fem servir per agilitzar els cálculs:

  1. Binomi al quadrat: \((x \pm a)=(x)² \pm 2.(x).(a) +(a)²\) Exemples: \((x+2)²=(x)²+2.x.2+2²= x²+4x+4, (2x-3y)²=(2x)²-2.2x.3y+(3y)²=4x²-12xy+9y²\).
  2. Suma per diferència: \((x+a)*(x-a)=(x)²-(a)²\) Exemples: \((x+3(x-3)=(x)²-(3)²=x²-9, (2x+3y)(2x-3y)=(2x)²-(3y)²=4x²-9y²\). S’obtindrien els mateixos resultats si es fes la multiplicació dels binomis dels exemples, però fer-ho així, és molt més ràpid.

Grau d’un polinomi

Màxim Comú Divisor (MCD)

És el divisor més gran que tenen en comú dos nombres o dues expressions algebraiques. Es calcula multiplicant els factors primers (o irreductibles) comuns de cada nombre (o expressió algebraica) elevats al exponents més petits. Si \(24=2^3*color{red}{3}\) i \(180=\color{red}{2^2}*53^2\), llavors el \(MCD(24,180)=2^23=12\).

El procediment per a calcular el MCD d’expressions algebraiques és similar al de fer-ho amb nombres.

Mínim Comú Múltiple (mcm)

És el múltiple més petit que tenen en comú dos nombre o dues expressions algebraiques. És calcula multiplicant tots els factors de cada nombre (o expressió algebraica) elevats al seus exponents més grans. Si \(24=\color{red}{2^3}*3\) i \(180=2^2*\color{red}{53^2}\).

,llavors el \(MCD(24,180)=2^33^2*5=240\)

El procediment per a calcular el MCM d’expressions algebraiques és similar al de fer-ho amb nombres.

Monomi

És una expressió algebraica formada per la multiplicació dels termes del monomi. Un monomi està format per la part literal (les variables indeterminades) i el coeficient (valor constant). Per sumar (o restar) monomis, les part literals han de ser idèntiques. Per sumar (o restar) monomis se sumaran (o restaran) els coeficients de cada monomi.

\(-5x^2y^3\)

: \(-5\) és el coeficient del monomi; \(x^2+y^3\), és la part literal del monomi.

\(-5x^2y^3 + 2x^3y^2\)

: no es poden sumar, perquè la part literal de cada monomi és diferent.

\(-5x^2y^3 + 2x^2y^3=-3+x^2y^3\)

(les parts literals de cada monomi són idèntiques). Per a multiplicar i dividir monomis, multiplicarem (o dividirem) els coeficients i les parts literals entre sí. En aquest cas, no cal que les parts literals siguin idèntiques.

\(\frac{-6x^2y^3}*{2xy}=-3xy^2\ {-6x^2y^3}{2xy}=-12x^3y^4\)

Multiplicació de polinomis

Per multiplicar polinomis multiplicarem tant els coeficients com la part literal de cada monomi que forma el polinomi. A diferència de la suma o resta de polinomis, en aquest cas no és necessari que les parts literals de cada monomi siguin idèntiques.

\(\begin{matrix}P(x)=-6x^3+9x^2+10x-1 & Q(x)=2x^2+3\end{matrix}\).

Resultat de la multiplicació de polinomis:

\(\begin{matrix} 6x^33=18x^3 & \hspace{0.2em}6x^32x^2=12x^5\end{matrix}\ \begin{matrix} 9x^23=27x^2 & \hspace{0.2em}9x^22x^2=18x^4\end{matrix}\ \begin{matrix} 10×3=30x & \hspace{0.4em} 10x2x^2=20x^3\end{matrix}\ \begin{matrix} -13=-3 & \hspace{1.3em}-12x^2=-2x^2\end{matrix}\)

Sumem els monomis obtinguts entre si i agrupem els que siguin semblants (mateixa part literal):

\((6x³+9x²+10x-1)*(2x^2+3)=18x^3+27x^2+30x-3+12x^5+18x^4+20x^3-2x^2=12x^5+18x^4+38x^3+25x^2+30x-3\)

\(\begin{matrix}P(x)=-6x^3+9x^2+10x-1 & Q(x)=2x^2+3\end{matrix}\\\)

\(\begin{matrix} 6x^3*3=18x^3 & \hspace{0.2em}6x^3*2x^2=18x^5\end{matrix}\\ \begin{matrix} 9x^2*3=27x^2 & \hspace{0.2em}9x^2*2x^2=18x^4\end{matrix}\\ \begin{matrix} 10x*3=30x & \hspace{0.4em} 10x*2x^2=20x^3\end{matrix}\\ \begin{matrix} -1*3=-3 & \hspace{1.3em}-1*2x^2=-2x^2\end{matrix}\\\)

Part literal

És el la part variable que multiplica a la part constant del monomi. En el monomi \(6*x^2y^4\), la part literal és \(x^2y^4\).

Polinomis iguals

Polinomis iguals Són els que tenen el mateix grau i tots els seus termes iguals. \(8x^4+6x^2+7x-9-5x^3\) \(8x^4-5x^3+6x^2+7x-9\)

Dos polinomis són semblants si els seus termes tenen la mateixa part literal i alguns dels coeficients diferents. \(9x^4-5x^3+6x^2+7x-9\) \(8x^4-5x^3+6x^2+7x-9\)

Un polinomi és irreductible quan no és pot descompondre en els seus factors.

\(x^2+3x+5/latex [latex]x^2-6x+5=(x-1)*(x-5).\)

\(x-1\) i \(x-5\) són els factors del polinomi.

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini és una forma ràpida de fer una divisió entre un polinomi i un binomi lineal -de la forma \(x-a\). Per fer una divisió per Ruffini, agafarem només els coeficients del polinomi i els dividirem pel terme independent del binomi canviat de signe, recordant de fer zeros els termes nuls del polinomi.

El polinomi resultant de la divisió \(q(x)\) sempre serà un grau més petit que el del polinomi dividend \(D(x)\). En l’exemple anterior, \(\color{blue}{q(x)=1x^2+2x-4}\) i el residu és \({\color{Grey}-4}\).

La regla de Ruffini també ens permet factoritzar un polinomi i trobar-ne les serves arrels. Per fer-ho, haurem de trobar un nombre enter que faci que el residu de la divisió sigui zero. Aquest nombre enter, ha de ser un divisor del darrer terme del polinomi.

Per exemple, en el polinomi \(D(x)=x^2+5x+6\), els possibles divisors enters seran els divisors del sis, \(\pm 1,2,3,6\).

Teorema del residu

El residu de la divisió d’un polinomi \(P(x)\) per un binomi \(x-a\) és igual al valor numèric de \(P(x=a)\). Si \(P(x)=x^2-6x+5\) i latex]=x-4[/latex], el residu de la divisió \(x^2-6x+5 : x-4\) és \(-3.\) \([P(x=4)=4^2-6*4+5=-3]\).

El teorema del residu diu que el valor numèric d’un polinomi és el residu de la divisió entre dos polinomis -el polinomi divisor ha de ser de la forma \(x-a\). És a dir, que si el valor numèric és zero, el valor de la indeterminada serà una arrel del polinomi.

Valor numèric d’un polinomi

És el resultat obtingut en substituir la indeterminada d’un polinomi per un valor. En substituir la indeterminada \(x\) de \(P(x)=x^2-6x+5\) per \(4\), el valor numèric del polinomi és \(-3\): \(P(x=4)=4^2-6*4+5=-3\).

Sobre el autor

ceedukat administrator

Deja un comentario