Altres mètodes de resolució de sistemes d’equacions

Porceedukat

Altres mètodes de resolució de sistemes d’equacions

Gauss

El mètode de resolució de sistemes d’equacions per Gauss, segueix el métode clàssic de resolució per reducció. La diferència és que eliminarem les incògnites ordenadament (primer la \(x\), després la \(y\) i finalment la \(z\)) i que farem servir matrius sols amb els coeficients en comptes de tota l’equació.

A tall d’exemple,  resoldrem primer un sistema d’equacions amb tres incògnites pel mètode reducció ordenadament:

\(2x+3y-z=4
\\
4x-2y+5z=7
\\
7x-5y+2z=4
\\[1cm]
*2)2x+3y-\enspace z=4
\\
\hspace{0.8cm}4x-2y+5z=7
\\
———————–
\\
\hspace{0.8cm}0x+8y-7z=1
\\[1cm]
\hspace{0.5cm}7*) 2x+3y-\enspace z=4
\\
-2*)7x-5y+2z=4
\\
————————–
\\
\hspace{1.9cm}31y-11z=20
\\[1cm]
\hspace{0.2cm}31*)\hspace{0.3cm}8y-\enspace 7z=1
\\
-8*)31y-11z=20
\\
———————
\\
\hspace{1.2cm}-129z=-129\)

Per a resoldre un sistema d’equacion per Gauss fem la triangulació superior de matriu ( fem zeros a la part inferior de la diagonal de la matriu).

Si el sistema resultant és compatible, el resoldrem. Si és incompatible, acabarem l’exercici.

Observeu que obtenim els mateixos resultats que fent-ho pel mètode anterior de reducció:

\(\left[ \begin{matrix} \color{red} 2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 4 & \hspace{0.3cm} -2 & \hspace{0.3cm} 5 & -1 &\\ 7 & \hspace{0.3cm} -5 & \hspace{0.3cm}2 & 4 \\ \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 2F_1-F_2
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \color{red} 2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 & \hspace{27px} 8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1\\ 7 & \hspace{0.3cm}-5 & \hspace{0.4cm} 2 & 4 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace F1-2F_3
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 & \hspace{27px} \color{red}8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1\\ 0 & \hspace{0.5cm}31 & -11 & \hspace{5px} 20 \end{matrix} \right]
\\[0.5cm]
\hspace{1cm} \downarrow \enspace 31F_2-8F_3
\\[0.5cm]
\left[ \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & -1 & 4 \\ 0 &\hspace{27px}  \color{red}8 & \hspace{0.05cm} -7 & 1\\ 0 & \hspace{0.6cm}0 & -129 & \hspace{5px} -129 \end{matrix} \right]\)

La tercera fila d’aquesta matriu triangulada ens diu que \(-129z=-129\), i per tant,\( z=1.\)

De la segona fila, \(8y-7z=1,\,  y=\frac{1+7z}{8}=1.\)

I de la primera, \(2x+3y-z=4, \,x=\frac{4-3y+z}{2}=1.\)

Quant a la resolució d’un sistema indeterminat:

\(2x+3y-z=4
\\]x-2y+5z=7
\\
6x+y+4z=11
\\[1cm]
\begin{bmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & -1 & 4 \\ 4 & \hspace{0.3cm}-2 & \hspace{0.3cm}5 & 7 \\ 6 & \hspace{0.7cm}1 & \hspace{0.3cm}4 & 11\end{bmatrix}
\\[1cm]
\begin{bmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & -1 & 4 \\0 & \hspace{0.6cm}8 & \hspace{0.05cm}-7 & 1 \\ 0 & \hspace{0.6cm}8 & \hspace{0.05cm}-7 & 1 \end{bmatrix}
\\\)

Sols les dues primeres equacions són linealment independents. El resolem, per tant, com un sistema indeterminat (SCI):

\(2x+3y-z=4
\\
8y-7z=1
\\
z=\lambda \\ y=\frac{1+7z}{8}=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}\lambda \\ x=\frac{4+z-3y}{2}=\frac{4+z-3y}{2}=\frac{29}{16}-\frac{13}{16}\lambda\)

Crammer

El mètode de Crammer usa els determinants per a calcular els resultats del sistema d’equacions. Consisteix en canviar la columna de coeficients de la incògnita que volem calcular per la dels termes independents:

\(\Delta x=\frac{\left| \begin{matrix}\hspace{4px} \color{red}4 & \hspace{27px} 3 & -1\\ \color{red}7 & \hspace{0.4cm} -2 & \hspace{0.2cm} 5 \\ 4 & \hspace{0.4cm} \color{red} -5 & \hspace{0.2cm} 2 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\\
\Delta y=\frac{\left| \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px}\color{red} 4 & -1\\ 4 & \hspace{27px}\color{red} 7 & \hspace{0.2cm}5 \\ \hspace{0.1cm}7 & \hspace{0.7cm}\color{red}4 & \hspace{0.2cm} 2 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1
\\
\Delta z=\frac{\left| \begin{matrix} \hspace{4px}2 & \hspace{27px} 3 & \hspace{10px}\color{red}4\\ 4 &\hspace{0.4cm} -2 & \hspace{15px}\color{red} 7 \\ 7 &\hspace{0.4cm}-5 &\hspace{15px} \color{red} 4 \end{matrix} \right|}{|A|}=\frac{129}{129}=1\)

Quan el determinant de la matriu és zero, \(|A|=0\),  diem que el sistema no és de Cramer. En aquest cas, per a resoldre el sistema indeterminat farem servir sols les equacions que són linealment independents.

\(
\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.7cm}3 & 4+\lambda \\4 & -2 &\hspace{0.4cm} 7-5\lambda \end{vmatrix}
\\[1cm]
\Delta x=\frac{\begin{vmatrix}4+\lambda & \hspace{0.3cm}3 \\7-5\lambda & -2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.3cm}3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} }=\frac{29}{16}-\frac{13}{16}\lambda
\\[1cm]
\Delta y=\frac{\begin{vmatrix}2 & \hspace{0.3cm}4+\lambda\\4 & \hspace{0.3cm}7-5\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & \hspace{0.3cm}3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} }=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}\lambda\)

Teorema de Rouché-Fröbenius

Sistema Compatible Determinat (SCD): \(Rang A=Rang A^*=3\)

Sistema Compatible Indeterminat (SCI): \(Rang A=Rang A^*=2\)

Sistema Incompatible (SI): \(Rang A=2, Rang A^*=3\)

Per a determinar els rangs de la matriu de coeficients \(A\) i de l’ampliada \(A^*\), farem la triangulació del sistema i analitzarem el nombre de files independents de cadascuna. 

Si el determinant de la matriu de coeficients és zero, vol dir que el sistema no és determinat.

  • Tens dubtes? Vols saber-ne més? T’agradaria que publiquéssim algun tema del teu interès? Has trobat algun error?

    Envia’ns un comentari sense compromís i et respondrem tan aviat com ens sigui possible:

Sobre el autor

ceedukat administrator

Deja un comentario

CEEdukat Online! Ara també obrim a l'estiu!Primària - ESO - Batxillerat - Provés d'accés

A CEEdukat ara també fem classes online amb la mateixa qualitat i professionalitat que les presencials. També obrim els mesos de juliol i agost.